线性代数B期末试卷及答案

2008 – 2009学年第二学期《线性代数B》试卷

2009年6月22日 一 得 分 一、填空题（共6小题，每小题 3 分，满分18分） 二 三 四 五 六 总分 ?10?01?1. 设A???00??0?300100?0??，则A＝ .0??8?

2. A为n阶方阵,AAT=E且A?0,则A?E? . ?12?2??, B为三阶非零矩阵，4t33．设方阵A??且AB=O，则t? . ????3?11??4. 设向量组?1,?2,?,?m线性无关，向量?不能由它们线性表示，则向量组?1,?2,?,?m,? 的秩为 .

5．设A为实对称阵，且|A|≠0，则二次型f =x TA x化为f =yTA-1 y的线性变换是x= ．

1，a2??1,0,?1?，a3??1,0,1?；６．设R的两组基为a1??1,1,?3T???1?(1,2,1,)T，?2??2,3,4?,?3??3,4,3?，则由基a1,a2,a3到基?1,?2,?3

的过渡矩阵为 .

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?? 分 得

6小题，每小题3分，满分18分） 二、单项选择题（共 1. 设Dn为n阶行列式，则Dn＝0的必要条件是[ ]. (A) Dn中有两行元素对应成比例； (B) Dn中各行元素之和为零； (C) Dn中有一行元素全为零；

(D)以Dn为系数行列式的齐次线性方程组有非零解．

2．若向量组?，?，? 线性无关，?，?，? 线性相关，则[ ]. (A) ?必可由?，?，? 线性表示； (B) ?必可由?，?，? 线性表示； (C) ?必可由?，?，? 线性表示； (D) ?必可由?，?，? 线性表示.

３．设3阶方阵A有特征值0，－1，1，其对应的特征向量为P1，P2，P3，令P＝(P1，P2，P3)，则P－1AP＝[ ].

?100??； (B)0?10(A)?????000?? ?000??； (D)010 (C) ?????00－1??

?000??0?10?； ????001???100??000?． ????00－1??４．设α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性相关的是[ ].

(A)α1，α2，α3 - α1； (B)α1，α1+α2，α1+α3； (C)α1+α2，α2+α3，α3+α1； (D)α1-α2，α2-α3，α3-α1.

５．若矩阵A3×4有一个3阶子式不为0，则A的秩Ｒ(A) =[ ].

(A) 1； (B) 2； (C) 3； (D) 4．

６．实二次型f＝xTAx为正定的充分必要条件是 [ ].

(A) A的特征值全大于零； (B) A的负惯性指数为零； (C) |A| > 0 ； (D) R(A) = n .

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分 得

三、解答题（共5小题，每道题8分，满分40分） 1b1000b31?b31.求D??11?b1b20?11?b200?1的值.

２. 求向量组?1?(1,1,1,4),?2?(2,1,3,5),?3?(1,?1,3,?2),?4?(3,1,5,6)的一个极大无关组，并把其余的向量用该极大无关组线性表出.

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?100??,若P=(α,α,α), 010３.设A、P均为3阶矩阵，且PTAP=?123????000??Q=(α1+α2,α2,α3),求QTAQ．

4．设A是n阶实对称矩阵，A2?2A?O，若R(A)?k(0?k?n)，求

A?3E.

?220??82a5.设矩阵A=???相似于对角矩阵?，求a.

??006??

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?x1?a1x2?a12x3?a13，?23得 分 ?x1?a2x2?a2x3?a2，四、（本题满分10分）对线性方程组? 23 x?ax?ax?a，333?132 23??x1?a4x2?a4x3?a4.(1) 若a1,a2,a3,a4两两不等，问方程组是否有解，为什么？

(2)若a1?a3?b, a2?a4??b (b?0)，且已知方程的两个解

?1?(1,1,?1)T, ?2?(?1,1,1)T，试给出方程组的通解．

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得 分

五、（本题满分8分）设二次曲面方程axy?2xz?2byz?1（a?0）

?x??????Q???，化成222y经正交变换?????2??1，求a、b的值及正交矩???????z??????阵Q.

六、 （本题满分6分）设A为n阶实矩阵，α为A的对应于实 特征值λ的特征向量，β为AT的对应于实特征值μ的特征向量，且λ≠μ，证明α与β正交．

得 分

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2008 – 2009学年第二学期《线性代数B》试卷参考答案

2009年6月22日 一 得 分 一、填空题（共6小题，每小题 3 分，满分18分） 二 三 四 五 六 总分 ?10?01?1. 设A???00??0?300100?0??，则A＝ 2 .0??8?

2. A为n阶方阵,AAT=E且A?0,则A?E? 0 . ?12?2??, B为三阶非零矩阵，且AB=O，则 4t33．设方阵A??t?????3?11??-3 .

4. 设向量组?1,?2,?,?m线性无关，向量?不能由它们线性表示，则向量组?1,?2,?,?m,? 的秩为 m+1 .

5．设A为实对称阵，且|A|≠0，则二次型f =x TA x化为f =yTA-1 y的线性变换是x=____A?1y__ ．

６．设R3的两组基为a1??1,1,1?，a2??1,0,?1?，a3??1,0,1?；

T???1?(1,2,1,)T,?2??2,3,4?,?3??3,4,3?，则由基a1,a2,a3到基?1,?2,?3的过渡

34??2??矩阵P=?0?10?．

???10?1????

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得 分 二、单项选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）

1. 设Dn为n阶行列式，则Dn＝0的必要条件是[ D ].

(A) Dn中有两行元素对应成比例； (B) Dn中各行元素之和为零； (C)Dn中有一行元素全为零；(D)以Dn为系数行列式的齐次线性方程组有非零解．

2．若向量组?，?，? 线性无关，?，?，? 线性相关，则[ C ].

(A) ?必可由?，?，? 线性表示. (B) ?必可由?，?，? 线性表示.

(C) ?必可由?，?，? 线性表示. (D) ?必可由?，?，? 线性表示. ３．设3阶方阵A有特征值0，－1，1，其对应的特征向量为P1，P2，P3，令P＝(P1，P2，P3)，则P－1AP＝[ B ].

?100??000??000??100??；?0?10?；?010?；?000?．0?10(A)? (B) (C) (D)????????

??00－1???001??00－1????000??? ? ?４．设α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性相关的是[ D ]．

（A）α1，α2，α3 - α1； （B）α1，α1+α2，α1+α3； （C）α1+α2，α2+α3，α3+α1； （D）α1-α2，α2-α3，α3-α1. ５．若矩阵A3?4有一个3阶子式不为0，则[ C ].

（A）Ｒ(A)=1； （B） Ｒ(A)=2； （C） Ｒ(A)=3；（D） Ｒ(A)=4 ． ６．实二次型f＝x?Ax为正定的充分必要条件是 [ A ]． (A) A的特征值全大于零； (B) A的负惯性指数为零； (C) |A| > 0 ； (D) R(A) = n. 分 得

三、解答题（共5小题，每道题8分，满分40分） (共 6 页 第8页)

1b1000b31?b300b31?b3?1b10001000b2100b3?1b10001000b21000?1. b31?11?b1b21.求D?0?11?b201b100?1的值

解：D?01b20?11?b200?1?11?b3２. 求向量组?1?(1,1,1,4),?2?(2,1,3,5),?3?(1,?1,3,?2),?4?(3,1,5,6)的一个极大无关组，并把其余的向量用该极大无关组线性表出.

解：极大无关组?1,?2，

?3?2?2?3?1，?4?2?2??1.

?100??,若 010３.设A、P均为3阶矩阵，且PTAP=?????000??P=(α1,α2,α3),Q=(α1+α2,α2,α3),求QTAQ．

解：由于

?100??100???P?110?, 110Q=(α1+α2,α2,α3)= (α1,α2,α3) ????????001???001??于是QTAQ=

??100????100???110??100????A?P?110????010?PTAP?110? ?P?110?????????????001????001???001???????????001?????110??100??100??210???010??110???110?.??010????????

??001????000????001????000??T

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4．设A是n阶实对称矩阵，A2?2A?O，若R(A)?k(0?k?n)，求

A?3E.

解: 由A2?2A?O知, A的特征值-2或0,又R(A)?k(0?k?n),且A??2?????????2是n阶实对称矩阵,则A~??(k个-2)，故

0???????0??A?3E?3n?k．

?220??相似于对角矩阵?，求a. 82a5.设矩阵A=?????006??解： 由|A-λE|=0，得A的三个特征值λ1=λ2=6，λ3= -2.由于A相似于对角矩阵，R（A-6E）=1，即

??420??2?10??8?4a?~?00a?， ??????000????000??显然，当a=0时，R（A-6E）=1，A的二重特征值6对应两个线性

无关的特征向量．

?x1?a1x2?a12x3?a13，?23?x1?a2x2?a2x3?a2，得 分 四、（本题满分10分）对线性方程组? 23 ?x1?a3x2?a3x3?a3，23??x1?a4x2?a4x3?a4.(1) 若a1,a2,a3,a4两两不等，问方程组是否有解，为什么？

(2)若a1?a3?b, a2?a4??b (b?0)，且已知方程的两个解

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?1?(1,1,?1)T, ?2?(?1,1,1)T，试给出方程组的通解．

解：（1）因为

1a11a21a31a4a122a22a32a4a133a2?(a2?a1)(a3?a1)(a3?a2)(a4?a1)(a4?a2)(a4?a3)?0，3a33a4故R(A?b)?R(A)，无解． （2）R(A)?2，n?3，故通解

??2??1????1?,(k?R)．

x?k(ξ2?ξ1)?ξ1?k?0??????2?????1?? 得 分

五、（本题满分8分）设二次曲面的方程axy?2xz?2byz?1）

?x??????Q???，化成222a?0经正交变换?y????2??1，求a、b的值及???????z??????正交矩阵Q.

??0?a解：设A???2?1???a20b?1??b?，由A?E?0,A?2E?0知a?2,b??1． ?0?????1??0~??01???0t0，，??(1,1,0)1?0??011??1??1??1?1当??1时，A?E????1??1?1????2?(1,?1,2)T

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?101??T01?1当???2时，A?2E~???(?1,1,1). 3????000??1?1??1??263???11??1故正交阵Q??. ?63??221??0?63?得 分 ??

六、（本题满分6分）设A为n阶实矩阵，α为A的对应于实

特征值λ的特征向量，β为AT的对应于实特征值μ的特征向量，且λ≠μ，证明α与β正交．

证 ：依题意得Aα=λα， ATβ=μβ，将Aα=λα的两边转置得，αTAT =λαT，在上式的两边右乘β得，αTATβ =λαTβ，即μαTβ=λαTβ，亦即（μ-λ）αTβ=0，由于λ≠μ，所以αTβ=0，故α与β正交．

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