2012年全国高考(新课标)理科数学试题及答案

2012年全国高考数学试题和答案

绝密*启用前

2012年普通高等学校招生全国统一考试（新课标）

理科数学

注息事项:

1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.问答第Ⅰ卷时。选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效.

3.回答第Ⅱ卷时。将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·

4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。

第一卷

一． 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的。

（1）已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈；,则B 中所含元素

的个数为（ ）

()A 3 ()B 6 ()C 8 ()D 10

【解析】选D

5,1,2,3,4x y ==，4,1,2,3x y ==，3,1,2x y ==，2,1x y ==共10个

（2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，

每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）

()A 12种 ()B 10种 ()C 9种 ()D 8种

【解析】选A

甲地由1名教师和2名学生：122412C C =种

（3）下面是关于复数21z i

=-+的四个命题：其中的真命题为（ ） 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1- ()A 23,p p ()B 12,p p ()C ,p p 24 ()D ,p p 34

【解析】选C

22(1)11(1)(1)

i z i i i i --===---+-+--

1:p z =

22:2p z i =，3:p z 的共轭复数为1i -+，4:p z 的虚部为1-

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（4）设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b

+=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点， ?21F PF 是底角为30 的等腰三角形，则

E 的离心率为（ ） ()A 12 ()B 23 ()C 34

()D 45 【解析】选C ?21

F PF 是底角为30 的等腰三角形2213

32()224c PF F F a c c e a ?==-=?== （5）已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（ ） ()A 7 ()B 5 ()C -5 ()D -7

【解析】选D

472a a +=，56474784,2a a a a a a ==-?==-或472,4a a =-=

471101104,28,17a a a a a a ==-?=-=?+=-

471011102,48,17a a a a a a =-=?=-=?+=-

（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数(2)N N ≥和

实数12,,...,n a a a ，输出,A B ，则（ ）

()A A B +为12,,...,n a a a 的和

()B 2

A B +为12,,...,n a a a 的算术平均数 ()C A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最大的数和最小的数

()D A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最小的数和最大的数

【解析】选C

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（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的

是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）

()A 6 ()B 9 ()C 12 ()D 18

【解析】选B

该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3

此几何体的体积为11633932V =

????=

（8）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B

两点，AB =C 的实轴长为（ ）

()

A ()B

()C 4 ()D 8

【解析】选C

设222:(0)C x y a a -=>交x y 162=的准线:4l x =-

于(A

-(4,B --

得：222(4)4224a a a =--=?=?=

（9）已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2

π

π上单调递减。则ω的取值范围是（ ） ()A 15[,]24 ()B 13[,]24

()C 1(0,]2 ()D (0,2] 【解析】选A

592()[,]444

x πππωω=?+∈ 不合题意 排除()D 351()[,]444

x πππωω=?+∈ 合题意 排除()()B C 另：()22πωππω-≤?≤，3()[,][,]424422

x ππππππωωπω+∈++? 得：315,2424224πππππωπωω+≥+≤?≤≤

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（10） 已知函数1()ln(1)f x x x

=+-；则()y f x =的图像大致为（ ）

【解析】选B

()l n (1)()1()010,()00()(0)

x g x x x g x x

g x x g x x g x g '=+-?=-+''?>?-<<<?>?<= 得：0x >或10x -<<均有()0f x < 排除,,A C D （11）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上，ABC ?是边长为1的正三角形，

SC 为球O 的直径，且2SC =；则此棱锥的体积为（ ）

()

A 6 ()B

6 ()C

3 ()

D 2

【解析】选A

ABC ?

的外接圆的半径r =O 到面ABC

的距离d == SC 为球O 的直径?点S 到面ABC

的距离为23d =

此棱锥的体积为11233436

ABC V S d ?=?=?=

另：123ABC V S R ?<?=排除,,B C D

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（12）设点P 在曲线12x y e =

上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则PQ 最小值为（ ） ()A 1ln 2- ()B

ln 2)- ()C 1ln 2+ ()

D ln 2)+

【解析】选A

函数12

x y e =与函数ln(2)y x =互为反函数，图象关于y x =对称 函数12x y e =上的点1(,)2x P x e 到直线y x =

的距离为d =

设函数min min 11()()1()1ln 222x x g x e x g x e g x d '=-?=-?=-?= 由图象关于y x =对称得：PQ

最小值为min 2ln 2)d =-

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-第24题为选考题，考生根据要求做答。

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）已知向量,a b 夹角为45?

，且1,2a a b =-= ；则_____b = 【解析】_____b =

222(2)1044cos 4510a b a b b b b ?-=?-=?+-=?=

(14) 设,x y 满足约束条件：,013x y x y x y ≥??-≥-??+≤?

；则2z x y =-的取值范围为

【解析】2z x y =-的取值范围为 [3,3]-

约束条件对应四边形OABC 边际及内的区域：(0,0),(0,1),(1,2),(3,0)O A B C

则2[3,3]z x y =-∈-

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（15）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3

正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从 正态分布2(1000,50)N ，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命 超过1000小时的概率为

【解析】使用寿命超过1000小时的概率为 38

三个电子元件的使用寿命均服从正态分布2(1000,50)N

得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为12

p = 超过1000小时时元件1或元件2正常工作的概率2131(1)4P p =--=

那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为2138

p p p =?= （16）数列{}n a 满足1(1)21n n n a a n ++-=-，则{}n a 的前60项和为

【解析】{}n a 的前60项和为 1830

可证明：14142434443424241616n n n n n n n n n n b a a a a a a a a b +++++---=+++=++++=+

11234151514101015161830

2b a a a a S ?=+++=?=?+?= 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）

已知,,a b c 分别为

ABC ?三个内角,,A B C 的对边，cos sin 0a C C b c --=

（1）求A （2）若2a =，ABC ?的面积为3；求,

b c 。

【解析】

（1）由正弦定理得：

cos sin 0sin cos sin sin sin a C C b c A C A C B C --=?=+

sin cos sin sin()sin 1

cos 1sin(30)2303060A C A C a C C

A A A A A ????

?+=++?-=?-=?-=?=

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（2

）1sin 42S bc A bc =

=?= 2222cos 4a b c bc A b c =+-?+=

解得：2b c ==（l fx lby ）

18.（本小题满分12分）

某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售， 如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。

（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n

（单位：枝，n N ∈）的函数解析式。

（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：

以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。

（i ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润（单位：元），求X 的分布列，

数学期望及方差；

（ii ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？

请说明理由。

【解析】（1）当16n ≥时，16(105)80y =?-=

当15n ≤时，55(16)1080y n n n =--=-

得：1080(15)()80(16)n n y n N n -≤?=∈?≥?

（2）（i ）X 可取60，70，80

(60)0.1,(70)0.2,(80)0.7P X P X P X ======

X 的分布列为

222

160.160.240.744DX =?+?+?=

（ii ）购进17枝时，当天的利润为 (14535)0.1(15525)0.2(16515)0.161750.5476.4y =?-??+?-??+?-??+??= 76.476> 得：应购进17枝

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（19）（本小题满分12分）

如图，直三棱柱111ABC A B C -中，112

AC BC AA ==， D 是棱1AA 的中点，BD DC ⊥1

（1）证明：BC DC ⊥1

（2）求二面角11C BD A --的大小。

【解析】（1）在Rt DAC ?中，AD AC =

得：45ADC ?

∠=

同理：1114590A DC CDC ??∠=?∠= 得：111,DC DC DC BD DC ⊥⊥?⊥面1BCD DC BC ?⊥

（2）11,DC BC CC BC BC ⊥⊥?⊥面11ACC A BC AC ?⊥

取11A B 的中点O ，过点O 作OH BD ⊥于点H ，连接11,C O C H

1111

11A C B C C O A B =?⊥，面111A B C ⊥面1A BD 1C O ?⊥面1A BD 1O H B D C H B D

⊥?⊥ 得：点H 与点D 重合 且1C DO ∠是二面角11C BD A --的平面角

设AC a =

，则12

C O =

，111230C D C O C DO ?==?∠= 既二面角11C BD A --的大小为30?

（20）（本小题满分12分）

设抛物线2

:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，A C ∈，已知以F 为圆心， FA 为半径的圆F 交l 于,B D 两点；

（1）若090=∠BFD ，ABD ?的面积为24；求p 的值及圆F 的方程；

（2）若,,A B F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，

求坐标原点到,m n 距离的比值。

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【解析】（1）由对称性知：BFD ?是等腰直角?，斜边2BD p =

点A 到准线l

的距离d FA FB ===

122

ABD S BD d p ?=???=?= 圆F 的方程为22(1)8x y +-=

（2）由对称性设2000(,)(0)2x A x x p

>，则(0,)2p F 点,A B 关于点F 对称得：22220000(,)3222

x x p B x p p x p p p --?-=-?=

得：3,)2p A

，直线3:022p p p m y x x -=+?-+=

22

2233x x x py y y x p p p '=?=?==?=?

切点)6p P

直线:06p n y x x p -=?-= 坐标原点到,m n

3=。（lfx lby ）

（21）（本小题满分12分）

已知函数()f x 满足满足121()(1)(0)2

x f x f e

f x x -'=-+； （1）求()f x 的解析式及单调区间； （2）若21()2

f x x ax b ≥

++，求(1)a b +的最大值。 【解析】（1）1211()(1)(0)()(1)(0)2x x f x f e f x x f x f e f x --'''=-+?=-+ 令1x =得：(0)1f = 1211()(1)(0)(1)1(1)2

x f x f e x x f f e f e --'''=-+?==?= 得：21()()()12

x x f x e x x g x f x e x '=-+

?==-+

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()10()x g x e y g x '=+>?=在x R ∈上单调递增

()0(0)0,()0(0)0f x f x f x f x ''''>=?><=?<

得：()f x 的解析式为21()2

x f x e x x =-+ 且单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞

（2）21()()(1)02

x f x x ax b h x e a x b ≥++?=-+-≥得()(1)x h x e a '=-+ ①当10a +≤时，()0()h x y h x '>?=在x R ∈上单调递增

x →-∞时，()h x →-∞与()0h x ≥矛盾

②当10a +>时，()0ln(1),()0ln(1)h x x a h x x a ''>?>+<?<+ 得：当ln(1)x a =+时，min ()(1)(1)ln(1)0h x a a a b =+-++-≥

22(1)(1)(1)ln(1)(10)a b a a a a +≤+-+++>

令22()ln (0)F x x x x x =->；则()(12ln )F x x x '=-

()00()0F x x F x x ''>?<<<?>

当x =max ()2

e F x =

当1,a b ==(1)a b +的最大值为

2e 请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分， 做答时请写清题号。

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，,D E 分别为ABC ?边,AB AC 的中点，直线DE 交

ABC ?的外接圆于,F G 两点，若//CF AB ，证明：

（1）CD BC =；

（2）BCD GBD ??

【解析】（1）//CF AB ，//////DF BC CF BD AD CD BF ??=

//CF AB AF BC BC CD ?=?=

（2）//BC GF BG FC BD ?==

//BC GF GDE BGD DBC BDC ?∠=∠=∠=∠?BCD GBD ??

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（23）本小题满分10分)选修4—4；坐标系与参数方程

已知曲线1C 的参数方程是)(3sin y 2cos x 为参数??

????==，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴

为极轴建立坐标系，曲线2C 的坐标系方程是2=ρ，正方形ABCD 的顶点都在2C 上， 且,,,A B C D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,

)3π （1）求点,,,A B C D 的直角坐标；

（2）设P 为1C 上任意一点，求2222PA PB PC PD +++的取值范围。

【解析】（1）点,,,A B C D 的极坐标为5411(2,),(2,),(2,),(2,)3636

π

πππ 点,,,A B C D

的直角坐标为(11,1)--

（2）设00(,)P x y ；则00

2cos ()3sin x y ???=??=?为参数 2222

224440t PA PB PC PD x y =+++=++ 25620sin [56,76]?=+∈（lfxlby ）

（24）（本小题满分10分）选修45-：不等式选讲

已知函数()2f x x a x =++-

（1）当3a =-时，求不等式()3f x ≥的解集；

（2）若()4f x x ≤-的解集包含[1,2]，求a 的取值范围。

【解析】（1）当3a =-时，()3323f x x x ≥?-+-≥

2323x x x ≤???-+-≥?或23323x x x <<???-+-≥?或3323

x x x ≥???-+-≥?

1x ?≤或4x ≥

（2）原命题()4f x x ?≤-在[1,2]上恒成立

24x a x x ?++-≤-在[1,2]上恒成立

22x a x ?--≤≤-在[1,2]上恒成立

30a ?-≤≤

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/uaj1.html