2012年文科数学及答案-新课标

2012年普通高等学校招生全国统一考试（新课标卷）

文科数学

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知集合A={x |x 2

－x －2<0}，B={x |－1<x <1}，则

（A ）A ?≠B （B ）B ?≠A （C ）A=B （D ）A ∩B=?

（2）复数z ＝－3+i 2+i 的共轭复数是

（A ）2+i （B ）2－i （C ）－1+i （D ）－1－i

3、在一组样本数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ）（n ≥2，x 1,x 2,…,x n 不全相等）的散点图中，若所有样本点

（x i ，y i ）(i =1,2,…,n )都在直线y =12x +1上，则这组样本数据的样本相关系数为

（A ）－1 （B ）0 （C ）12 （D ）1

（4）设F 1、F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x =3a 2上一点，△F 1PF 2是底角为30°的等腰三角

形，则E 的离心率为（ ）

（A ）12 （B ）23 （C ）34 （D ）45

5、已知正三角形ABC 的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C 在第一象限，若点（x ，y ）在△ABC 内部，则z =－x+y 的取值范围是

（A ）(1－3，2) （B ）(0，2) （C ）(3－1，2) （D ）(0，1+3)

（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数N(N ≥2)和实数a 1,a 2,…,a N ，输出A,B ，则

（A ）A+B 为a 1,a 2,…,a N 的和

（B ）A ＋B 2为a 1,a 2,…,a N 的算术平均数

（C ）A 和B 分别是a 1,a 2,…,a N 中最大的数和最小的数

（D ）A 和B 分别是a 1,a 2,…,a N 中最小的数和最大的数

（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（A）6

（B）9

（C）12

（D）18

(8)平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为

（A ）6π （B ）43π （C ）46π （D ）63π

（9）已知ω>0，0<φ<π，直线x =π4和x =5π4是函数f (x )=sin(ωx +φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ=

（A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π4

（10）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2

=16x 的准线交于A ，B 两点，|AB|=43，则C 的实轴长为

（A ） 2 （B ）2 2 （C ）4 （D ）8

(11)当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是

（A ）(0，22) （B ）(22，1) （C ）(1，2) （D ）(2，2)

（12）数列{a n }满足a n +1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为

（A ）3690 （B ）3660 （C ）1845 （D ）1830

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-24题为选考题，考生根据要求作答。

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

(13)曲线y =x (3ln x +1)在点（1,1）处的切线方程为________

(14)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3+3S 2=0，则公比q =_______

(15)已知向量a ,b 夹角为45° ，且|a |=1，|2a －b |=10，则|b |=

(16)设函数f (x )=(x +1)2+sin x x 2+1的最大值为M ，最小值为m ，则M+m =____

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）

已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，c =

3a sinC －c cosA (1) 求A

(2) 若a =2，△ABC 的面积为3，求b ,c

18.（本小题满分12分）

某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售。如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理。

（Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n （单位：枝，n ∈N ）的函数解析式。

（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：

(1)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；

(2)若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率。

（19）（本小题满分12分）

如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=1

2AA 1，D 是棱AA 1的中点 (Ｉ)证明：平面BDC 1⊥平面BDC

（Ⅱ）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比。

（20）（本小题满分12分）

设抛物线C ：x 2

=2py (p >0)的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点。

（I ）若∠BFD =90°,△ABD 的面积为42，求p 的值及圆F 的方程；

（II ）若A ，B ，F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值。

B 1

C B

A

D

C 1

A 1

（21）（本小题满分12分）

设函数f (x )= e x

－ax －2

(Ⅰ)求f (x )的单调区间

(Ⅱ)若a =1，k 为整数，且当x >0时，(x －k ) f ´(x )+x +1>0，求k 的最大值

请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清楚题号。

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，D ，E 分别为△ABC 边AB ，AC 的中点，直线DE 交△ABC 的外接圆于F ，G 两点，若CF//AB ，证明： F

G

(Ⅰ)CD=BC ；

(Ⅱ)△BCD ∽△GBD

(23)(本小题满分10分)选修4—4；坐标系与参数方程

已知曲线C 1的参数方程是???

x ＝2cos φy ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A 、B 、C 、D 以逆时针次序排列，点A 的极坐标为

(2，π3)

(Ⅰ)求点A 、B 、C 、D 的直角坐标；

(Ⅱ)设P 为C 1上任意一点，求|PA| 2+ |PB|2 + |PC| 2+ |PD|2

的取值范围。

（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数f(x) = |x + a| + |x－2|.

(Ⅰ)当a=－3时，求不等式f(x)≥3的解集；

(Ⅱ)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围。

参考答案

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