2018届北师大版 平面向量、复数 单元质量检测

时间：90分钟 分值：100分 一、选择题(每小题4分，共40分)

1．(2016·武汉调研)如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则OP―→＋OQ―→＝( )

A．OH―→ C．EO―→

B．OG―→ D．FO―→

解析：以F为坐标原点，FP，FG所在直线为x轴，y轴建系，假设一个方格长为单位长度，则F(0，0)，O(3，2)，P(5，0)，Q(4，6)，则OP―→＝(2，－2)，OQ―→＝(1，4)，所以OP―→＋OQ―→＝(3，2)，而FO―→＝(3，2)，故OP―→＋OQ―→＝FO―→.

答案：D

23

2．(2015·四川卷)设i是虚数单位，则复数i－＝( )

iA．－i C．i

23

解析：i－＝－i＋2i＝i.

i答案：C

3．已知向量a＝(2，1)，b＝(－1，2)，且m＝ta＋b，n＝a－kb(t，k∈R)，则m⊥n的充要条件是( )

A．t＋k＝1 C．t·k＝1

B．t－k＝1 D．t－k＝0 B．－3i D．3i

解析：由已知得m＝t(2，1)＋(－1，2)＝(2t－1，t＋2)，n＝(2，1)－k(－1，2)＝(k＋2，1－2k)．又m⊥n，故m·n＝0即(2t－1)(k＋2)＋(t＋2)(1－2k)＝0，整理得t－k＝0.

答案：D

4．(2016·长春市质量监测)已知|a|＝1，|b|＝2，且a⊥(a－b)，则向量a与向量b的夹角为( )

A.π 6

B.π 4

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π 3

2

C.D.

2π 3

2

解析：∵a⊥(a－b)，∴a·(a－b)＝a－a·b＝0，∴a·b＝a，∵|a|＝1，|b|＝2，a·ba2π

∴cos〈a，b〉＝＝＝，∴向量a与向量b的夹角为，故选B.

|a||b||a||b|24

答案：B

5．(2016·陕西省质量检测)设向量a，b满足|a＋b|＝20，a·b＝4，则|a－b|＝( ) A.2 C．2

B．23 D.6

2

2

2

解析：∵|a＋b|＝20，a·b＝4，∴|a＋b|－|a－b|＝4a·b＝16，∴|a－b|＝2，选C.

答案：C

z

6．(2015·山东卷)若复数z满足＝i，其中i为虚数单位，则z＝( )

1－iA．1－i C．－1－i

B．1＋i D．－1＋i

z

解析：∵＝i，∴z＝i(1－i)＝1＋i，∴z＝1－i.

1－i答案：A

7．设a，b是两个非零向量( ) A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b B．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|

C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得a＝λb D．若存在实数λ，使得a＝λb，则|a＋b|＝|a|－|b|

解析：利用排除法可得选项C是正确的．因为|a＋b|＝|a|－|b|，则a，b共线．且a与b反向，故A，B不正确；选项D，若存在实数λ，使得a＝λb，a，b可为同向的共线向量，此时显然|a＋b|＝|a|－|b|不成立．

答案：C

8．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足AP―→＝2PM―→，则PA―→·(PB―→＋PC―→)等于( )

4A．－ 94C. 3

4B．－

34D. 9

解析：AP―→＝2PM―→?P是AM的一个三等分点，延长PM到H，使得MH＝MP，

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244?22

→ ?PA―→·(PB―→＋PC―→)＝PA―→·PH―→＝?－AM―·AM―→＝－AM―→＝－. ?99?3?3

答案：A

9．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且BC―→＝3CD―→，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若AO―→＝xAB―→＋(1－x)AC―→，则x的取值范围是( )

?1?A.?0，?

?2??1?C.?－，0? ?2?

?1?B.?0，? ?3??1?D.?－，0? ?3?

解析：∵AO―→＝xAB―→＋AC―→－xAC―→，∴AO―→－AC―→＝x(AB―→－AC―→)，1即CO―→＝xCB―→＝－3xCD―→.∵点O在线段CD上(不含C，D两点)，∴0<－3x<1，∴－

3

答案：D

10．(2016·天津模拟)已知正三角形ABC的边长为1，点P是AB边上的动点，点Q是AC边上的动点，且AP―→＝λAB―→，AQ―→＝(1－λ)AC―→，λ∈R，则BQ―→·CP―→的最大值为( )

3

A. 23C. 8

3B．－

23D．－

8

解析：BQ―→·CP―→＝(BA―→＋AQ―→)·(CA―→＋AP―→) ＝[BA―→＋(1－λ)AC―→]·(CA―→＋λAB―→)

＝[AB―→·AC―→－λAB―→＋(λ－1)AC―→＋λ(1－λ)AB―→·AC―→] ＝(λ－λ＋1)×1×1×cos60°－λ＋λ－1 ＝

1

(－λ2＋λ2

2

2

2

)－

1 2

1?231?＝－?λ－?－(λ∈R)．

2?2?8

13

当λ＝时，BQ―→·CP―→的最大值为－.故选D项．

28答案：D

二、填空题(每小题4分，共16分)

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