相似性原理与量纲分析

相似性原理与量纲分析

1.弦长为3m的飞机机翼以300km/h的速度，在温度为20℃，压强为1at（n）的静止空气中飞行，用比例为20的模型在风洞中作试验，要求实现动力相似。(a) 如果风洞中空气温度、压强和飞行中的相同，风洞中的空气速度应该怎样？(b) 如果在可变密度的风洞中作实验，温度为20℃, 压强为30at(n), 则速度为多少？(c) 如果模型在水中作实验，水温20℃，则速度为多少？ 解：雷诺准数相等 （a）vnLn??vmLm?

vm?vnLnLm=300?20=6000km/h

不可能达到此速度，所以要改变实验条件 （b） ∵等温P?c，?不变，Re?vl??vl?pvl

????得vm?vnLnPnLmPm=300?20?1=200km/h 30（c）由vnLn=vmLm

?气?水得vm?vnLn?水=300?20×1.007=384km/h

?气Lm15.72.长1.5m，宽0.3m的平板在20℃的水内拖曳，当速度为3m/s时，阻力为14N，计算相似板的尺寸，它的速度为18m/s，绝对压强101.4kN/m2，温度15℃的空气气流中形成动力相似

条件，它的阻力为多少？ 解：由雷诺准数相等：

v1L1?1?v2L2?2?3?l?水=18??l=0.4

? 且????l?v

Lm=Lm=

Ln?lLn=1.5=3.75m （长）

0.4?l=0.3=0.75m （宽）

0.4141.0072998.222 ??F=???2?????()vl??15.21.226Fm解得：Fm?3.92N

3.当水温为20℃.平均速度为4.5m/s时，直径为0.3m水平管线某段的压强降为68.95kN/m2，如果用比例为6的模型管线，以空气作为工作流体，当平均速度为30m/s时，要求在相应段 产生55.2kN/m2的压强降。计算力学相似所要求的空气压强，设空气的温度20℃ 解：由欧拉准则：因p?RT，pm??pn?pm68.9555.23??????18kg/m 2222vn?nvm?m998.2?4.5??30?m?pn?n?p1?m?pm?15at?abs? 1.205184.拖曳比例为50的船模型，以4.8km/h航行所需的力为9 N 。若原型航行主要受(a) 密度和重力；(b) 密度和表面张力；(c)密度和粘性力的作用，计算原型相应的速度和所需的力。

22FInvnvmFIm???vn?解：（a）弗诺德准则：?FGnFGmLnLmLn?vm?33.9km/h Lm

Fn233????2v?l??l?Fn?50?9?1125kNFm

(b) 韦伯准则：

22FIn?vnLn?vmLmFIm1????vn??4.8?0.678km/N F?nF?m??50Fn2??2v?l??l?50?Fn?450N Fm(c) 雷诺准则：FInF?n?vLvLFIm1?nn?mm?vn??4.8?0.096km/h F?m??50Fn??v?l?1?Fn?9N Fm5.小型水面船只和溢水建筑的原型和模型所受重力、粘性力和表面张力可能有同样的重要性。为了实现动力相似，粘性力、表面张力和模型尺寸之间，应当有什么关系？ 解：如果Fr与Re相等

Re:v??l

Fr:v?l23v∴?l?? 如果We与Re相等

We:v???l

Re:v??l

∴????l??2??3???2v?l∵?I??????2??22vlFr:?v??

12l

???l4∴?I?2??

∵?l∴?I??23v

23?????

6.为了决定吸风口附近的流速分布，取比例为10作模型设计。模型吸风口的速度为13m/s，距风口轴线0.2m处测得流速为0.5m/s，若实际风口速度为18m/s怎样换算为原型的流动速度？ 解

?l?10,ln?lm??l?2m

?v?18，vn?vm?v?0.69m/s 13即在原型2m处流速为0.69m/s

7.在风速为8m/s的条件下，在模型上测得建筑物模型背风面压强为-24N/m2 ，迎风面压强为+40N/m2 。估计在实际风速为10m/s 的条件下，原型建筑物被风面和迎风面的压强为多少？

解：由雷诺准则：?p??l?2??2v ?5??pn?pm?????背??37.5N/m2；

?4?2?迎?62.5N/m2

8.溢水堰模型设计比例为20。当在模型上测得模型流量为Qm=300L/s 时，水流推力为pm=300N 时，求实际流量Qn和推力pn 。

解：由弗诺德准则：

Q?vA??Q??v?l2??l2.5?Qn?Qm?202.5?202.5?300?10?3?537m3/s3?p??3kN l?pn?300?20?2400

9.两个共轴圆筒，外筒固定，内筒旋转，两筒的筒壁间隙充满不可压缩的粘性流体。写出维持内筒以不变角速度旋转所需转距的无因次的方程式。假定这种转距只与筒的长度和直径，流体的密度和粘性，以及内筒的旋转角速度有关。 解：M?f?d,?,l,?,?? 取d、ρ、ω为基本物理量

?M?ML2T?2?L5T?2?????3ML???M?L5T?25??L??2T?2?????M??1?25????d?

???1 同理?l??1，??2??d??d??LM?l???1，得?f?,2?

??2d5?d??dd??或用?定理，解法见下题

10.角速度为Φ的三角堰的溢流流量Q是堰上水头H，堰前流速v0和重力加速度g的函数分别以(a) H，g；(b) H ，v0为基本物理量，写出Q的无因次表达式。

解：（a）?1:Q?H?g?

?LT???L??LT?3?1??2?

L:3???? T:?1??2?

∴??1,??5

22∴?1?QHg5

同理?2?(b)

3v0gH? ?1:Q?H?v0?LT???L??LT??1??1?

L:3????T:?1???

∴??1,??2 ∴?1?Qv0H2

?Hg?Q?? ?f1?2?v0H?v0?同理?2?Hg，得2v011.流动的压强降Δp是流速v，密度ρ，线性尺度l,l1,l2重力加速度g，粘滞系数μ，表面张力σ，体积弹性模量E的函数。即：

Δp=F(v，ρ，l，l1,l2，g，μ，σ，E)

取v、ρ、l 作为基本物理量，利用因次分析法，将上述函数写为无因次式。 解：解法同上题

?l1l2gl??P?E??? ?f,,,,,2222??ll?vl?vv?lv?v??

12.射流从喷嘴中射入另一均匀流动，按图取x，y 坐标。已知射流轴线轨迹可以用下列形的函数表征： y=f(x，d，θ，α，ρ1，ρ2，v1，v2)

式中d为喷嘴出口直径；v1 , v2 为气流出口流速和外部均匀流速；ρ1，ρ2为气流密度和外部流动介质密度；θ为射流角度；α为紊流系数（无因次量）。试用因次分析：（1）以d , ρ1, v1为基本物理量，将上述函数写为无因次式。（2）从几何相似和惯性力相似出发将上述函数写为无因次式。 解：（1）解法同第10题 ，得：

?vyx?f1(,?,?,2,2) dd?1v1（2）∵是射流 ∴由欧拉准则

Eu??p?v2

2?2v2yx ∴?f2(,?,?,2)

dd?1v12?p2?2v2∴??p1?1v12

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