N维空间几何体质心的计算方法

N维空间几何体质心的计算方法

摘要:本文主要是求一个图形或物体的质心坐标的问题,通过微积分方面的知识来求解,从平面推广到空间,问题也由易到难。首先提出质心或形心问题,然后给出重心的定义,再由具体的例子来求解相关问题。

关键字:质心重心坐标平面薄板二重积分三重积分 一.质心或形心问题:

这类问题的核心是静力矩的计算原理。 1.均匀线密度为M的曲线形体的静力矩与质心: 静力矩的微元关系为 ,

dMx yudl dMy xudl ==.

其中形如曲线L( (, y f x a x b

=≤≤的形状体对x轴与y轴的静力矩分别

为( b

a y f x S = ?

, ( b y a M u f x =? 设曲线AB L

的质心坐标为( ,x y,则,, y x M M x y

M M == 其

中( b a

M u x d x u l == ? 为AB L

的质量,L为曲线弧长。 若在式 y M x M

= 与式 x M y M =

两端同乘以2π,则可得

到22( b a y xl f x S ππ == ?

,

22( b a x yl f x S ππ == ? ,其中x S 与y S

分别表示曲线AB L

绕x轴与y轴旋转而成的旋转体的侧面积。 2.均匀密度平面薄板的静力矩与质心: 设f(x为 [],a b

上的连续非负函数,考虑形如区域 {} (,,0(

D x y a x b y f x =≤≤≤≤

的薄板质心,设M为其密度,利用微元法,小曲边梯形MNPQ的形心坐标为 1 (,(, 2

y f y x y x x ≤≤+?

,当分割无限细化时,可当小曲边梯形MNPQ的质量视为集中于点 1 (,( 2 x f x

处的一个质点,将它对x轴与y轴分别取静力矩微元可有 1 (( 2 x

dM u f x f x dx

= , ( y

dM uxf x dx =

.两个静力矩为2 1 ( 2 b x a M u f x dx =? ? , ( b x a

M u xf x dx =?.设质心坐标为(, x y,则有( y b a M u x xf x dx M M ==? , 2 1 ( 2 y b a M u y f x dx M M

==? .其中 ( b a

M u f x dx MA == ? 为该

均匀密度薄板的质量,A 为面积。 二.平面图形的重心: 给定一个曲线 12(,(,,y f x y f x x a x b ====围成的图形,它是一个物质平面图形,我

们考虑均匀的面密度,即单位面积的质量为常数,它在图形的各部分都等于δ.将所给图形用直线

1,,,n x a x x x x b ==== ,划分成宽为12,,,n x x x ??? 的窄条,每个窄条的 质量等于它的面积和密度δ的乘积。如果每个窄条用以 i x ?为底,高为21((i i f f ξξ-的 矩形来代替,其中 12i i i x x ξ-+=

,则这窄条的质量将近似等于 []21(((1,2,,

i i i i m f f x i n δξξ?=-?= ,这个窄条的重心将近似位于相应的矩形的重 心上:

21(((,(2i i i i i c f f x y ξξξ+==

现在把每个窄条用一个质点来代替,它的质量等

于对应窄条的质量,并且集中于该窄条的重心处,我们来求整个图形的重心坐标的近似

值。 [][]2 1 2 1 ((((i i i i c i i

i f f x x f f x ξδξξδξξ-?≈ -?∑∑, [][][]1221211 ((((2((i i i i i i c i i i f f f f x y f f x ξξδξξδξξ+-?≈ -?∑∑当 max 0 i x ?→时 取 极 限 , 则 得 [][]2 1

2 1 ((((b a c b a

x f x f x dx x f x f x dx -= -??,

[][][]2121211((((2((b a c b

a f x f x f x f x dx y f x f x dx

+-=-??.这些公式任何均匀的平面图形都适用,可看

出重心的坐标是与密度无关的。例:求抛物线与直线所围成的重心的坐标(如图 解:在这种情况下,

21((f x f x ==因此 0520

235 2 5 a c x a x = = = , 0c y =. 三.重心

1.物体的重心是指物体各部分所受重力的合力的作用点,在生产实际中,常常要确定物体的重心。例如:炼钢用钢水包的包轴位置,就与钢水包的重心有关,如果包轴

低于重心,用天平调动钢包时就会翻转,如果包轴高于重心过多,则倒出钢水时翻转困难。因此,我们总是将包轴安装于略高于重心的地方,这时显然需要确定重心的位置。 本段将利用定积分来计算任意形状的均匀平面薄板的重心位置,显然,若于其重心处支持之,则此薄板必保持水平平衡而不倾斜。

设均匀薄板是由曲线

1(y y x =,2(y y x =和直线x b =围成的平面图形,我们要求此 平面的重心(,G x y ,用u 表示此薄板单位面积的重量,则微面积 s d 的重量为12(u y y dx -, 其重心G 的坐标为

12 (,

2y y x +,显然整个薄板的重量为12(b a u y y dx -?,由力学知,合力 对任一轴的力矩,等于各分力对该轴力矩之和,取对y 轴的力矩,得 1212((b b a a u y y dx x ux y y dx ??-?=-?? ??,取对x 轴的力矩得 121212((2b b

a a y y u y y dx y u y y dx +??-?=-??? ??,由此两式,即得确定薄板重心坐标的公式: 1 2 121 2 2222

121212((((111((2 2(b b a a b a b b a a

b

a x y y dx x y y dx x s y y dx

y y dx y y dx y s y y dx ?--? == -? ??--?? ==? -?????? ?

其中s 标薄板的面积,由公式(1知均匀薄板的重心只与薄板的形状有关,而与薄板单位面积的重量无关。

特别,若

2(0y x ≡,则得曲边梯形薄板重心坐标公式: b a

b a xydx x ydx =?? , 2

12b a

b a y dx y ydx =??.

例:试求半径为R 的半圆形均匀薄板的重心。 解:由于 2 2R s π= ,1y =

2y =故知重心G 的坐标(,x y 为:

12023222 2 (22 2(40.42332 b R a R x y y dx x s R R x R R R πππ

-= = -=-? = ≈??, 22121(20 b a y y dx y s -= =? .

四.利用二重积分来求一般的非均匀薄板的重心

设有非均匀平面薄板D ,其上每点的密度为(,x y ρρ=,设薄板D 的重心坐标为 (,x y ,考虑D 中微面积dD ,它的微质量为: (,dm x y dD ρ=,它关于y 轴与x 轴的力矩分别为:

(,xdm x x y dD ρ=与(,ydm y x y dD ρ=

把这些微质量的力矩加起来,即得薄板D 关于y 轴与x 轴的力矩为: (,(,D D D

xdm x x y dD x x y dxdy ρρ==??????与 (,(,D D D

ydm y x y dD y x y dxdy ρρ==??????

薄板的总质量,于是根据重心的定义,得求重心坐标的公式: (,(,(2 (,(,D D D

D D D xdm x x y dxdy x m

x y dxdy ydm y x y dxdy y m x y dxdy ρρρρ?? = = ? ? ?

???==???????????????

特别,若薄板是均匀的,即(,x y ρ=常数,则得求均匀薄板重心坐标公式: D xdxdy x D = ??, D ydxdy y D = ??.

对于均匀薄板,我们有 []21( (21((y x b b a y x a D

xdxdy dx xdy x y x y x dx ==-???

??, [][]{} 2211( 2 (((22 21 21((2 y x y x b b a y x a D y x

b a y ydxdy dx ydy dx y x y x dx ??=-??????故 (2 1b a x y y dx x D -= ?, (2 22112b a

== ??? ?

y y dx y D -= ? .

五.设一立体在空间占据区域T ,那么立体的体积为 T

V d x d y d z =???

设(,,x y z ρρ=,(,,x y z T ∈是立体在点(,,x y z 的密度,其中T 是它所占据的空间区域,那么该立体的质量为 (,,T

M x y z dxdydz ρ=??? 立体重心的坐标公式为: 1T x xdxdydz V = ???, 1T y ydxdydz V

= ???, 1T z zdxdydz V = ???.

这里x ,y ,z 是区域T 的几何重心的坐标。

例:求平面0x =,0z =,1y =,3y =,23x z +=所围之棱柱的重心坐标。体积

33 3201 33 301 03 203(32 1 (3 292

解:先求棱柱的

z T

V dxdydz dx dy dz x

dx dy x dx x x -==-==-=-=?????? ???

现在求重心的坐标 338 2010221 99x

T x xdxdydz xdx dy dz -===??????, 338 2010222

99x T y ydxdydz dx ydy dz -===??????, 338 2010221992x T z zdxdydz dx dy zdz -===??????.

参考文献：《微积分与解析几何》 电子工业出版社， 1. ， 1985 年 11 月出版， 作者：R ? E ? 约翰逊 F ? L ? 基奥克斯特。 2． 《微分与积分学》 吉林人民出版社， ， 1983 年 9 月出版， 作者：N ? PISKUNOV 3.《数学分析》 ，山东科学技术出版社，1985 年出版，作者：郭大钧 陈玉妹 袭 卓明 4． 《高等数学解题手册》 ，天津科学技术出版社，1983 年 12 月出版，作者：丹科 波波夫 科热夫尼科娃。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/u9r5.html