练习-相似三角形-综合练习01-相似与圆(难)(部分附答案)

相似三角形与圆

1．如图，AB是⊙O直径，ED⊥AB于D，交⊙O于G，EA交⊙O于C，CB交ED于F，求证：DG2＝DE DF

2．如图，弦EF⊥直径MN于H，弦MC延长线交EF的反向延长线于A，求证：MA MC＝MB MD

N

3．(2006年黄冈)如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦ED分别交⊙O于点E，交AB于点H，交AC于点F，过点C的切线交ED的延长线于点P．

(1)若PC=PF，求证：AB⊥ED；

2(2)点D在劣弧ACAD=DE·DF，为什么？

A

4．如图(1)，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆直径，则有结论：AB· AC=AE· AD成立，请证明．如果把图(1)中的∠ABC变为钝角，其它条件不变，如图(2)，则上述结论是否仍然成立？

5．如图，AD是△ABC的角平分线，延长AD交△ABC的外接圆O于点E，过点C、D、E三点的⊙O1与AC的延长线交于点F，连结EF、DF．

(1)求证：△AEF∽△FED；

(2)若AD=8，DE=4，求EF的长．

6．如图，PC与⊙O交于B，点A在⊙O上，且∠PCA=∠BAP．

(1)求证：PA是⊙O的切线．

(2)△ABP和△CAP相似吗？为什么？

(3)若PB:BC=2:3，且PC=20，求PA的长．

7．已知：如图， AD是⊙O的弦，OB⊥AD于点E，交⊙O于点C，OE=1，BE=8，AE:AB=1:3．

(1)求证：AB

是⊙

O的切线；

(2)点F是AOF=2∠B时，求AF的长．

8．如图，⊿ABC内接于⊙O，且BC是⊙O的直径，AD⊥BC于D，F是弧BC中点，且AF交BC于E，AB＝6，AC＝8，求CD，DE，及EF的长．

C

9． 已知：如图，在Rt△ABC中， ACB 90，AC

4，BC ，以AC为直径的O交AB于点D，点E是BC的中点，连结OD，OB、DE交于点F．

(1)求证：DE是O的切线；

(2)求EF：FD的值．

BCE

10．如图，A是以BC为直径的O上一点，AD BC于点D，过点B作O的切线，与CA的延长线相交于点E，G是AD的中点，连结CG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P．

(1)求证：BF EF；

(2)求证：PA是O的切线；

(3)若FG BF，且O

的半径长为BD和FG的长度．

C

4．答：．连接BE，证△ABE∽△ADC图(2)同理可证，结论仍成立；

5．答：．(1)连接EC，可证∠DFE=∠DCE，又

∠DCE=∠BAE=∠CAE，从而△AEF∽△FED；(2)EF

=

6．答：．(1)作直径AC'，连接BC'，证∠PAC'=90即可；(2)△ABP∽△CAP，理由略；(3)PA

10．(1)证明：∵BC是O的直径，BE是O的切线，

∴EB BC．

又∵AD BC，∴AD∥BE．

易证△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC．

BFCFEFCF∴ ． DGCGAGCG

BFEF∴ ． DGAG

∵G是AD的中点，

∴DG AG．

∴BF EF．

(2)证明：连结AO，AB．

∵BC是O的直径，∴ BAC 90°．

在Rt△BAE中，由(1)，知F是斜边BE的中点，

∴AF FB EF．

∴ FBA FAB．

又∵OA OB，∴ ABO BAO．

∵BE是O的切线，∴ EBO 90°．

∵ EBO FBA ABO FAB BAO FAO 90°，

∴PA是O的切线．

(3)解：过点F作FH AD于点H．

∵BD AD，FH AD，

∴FH∥BC．

由(1)，知 FBA BAF，∴BF AF．

由已知，有BF FG，∴AF FG，即△AFG是等腰三角形．

∵FH AD，∴AH GH．

∵DG AG，

HG1∴DG 2HG，即 ． DG2

∵FH∥BD，BF∥AD， FBD 90°，

∴四边形BDHF是矩形，BD FH．

∵FH∥BC，易证△HFG∽△DCG．

FHFGHGBDFGHG1∴ ． ，即CDCGDGCDCGDG2C ∵

O的半径长为

∴BC

∴BDBD1 ．

CDBC BD2

解得BD

∴BD FH

FGHG11 ，∴FG CG． CGDG22

∴CF 3FG．

在Rt△FBC中，∵CF 3FG，BF FG， ∵由勾股定理，得CF BF BC．

222

∴(3FG)2 FG2 2．

解得FG 3(负值舍去)．

∴FG 3．

［或取CG的中点H，连结DH，则CG 2HG．易证△AFC≌△DHC， ∴FG HG，故CG 2FG，CF 3FG．

由GD∥FB，易知△CDG∽△CBF，∴CDCG2FG2 ．

CBCF3FG32

，解得BD 3又在Rt△

CFB中，由勾股定理，得(3FG)2 FG2 2，

∴FG 3(舍去负值)．］

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