整式的加减（二）—去括号与添括号（提高）

整式的加减（二）—去括号与添括号（提高）知识讲解

撰稿：孙景艳 审稿： 赵炜

【学习目标】

1．掌握去括号与添括号法则，注意变号法则的应用；

2. 熟练运用整式的加减运算法则，并进行整式的化简与求值． 【要点梳理】

【高清课堂：整式的加减（二）--去括号与添括号388394 去括号法则】

要点一、去括号法则

如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同； 如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反． 要点诠释：

(1)去括号法则实际上是根据乘法分配律得到的结论：当括号前为“+”号时，可以看作+1与括号内的各项相乘；当括号前为“-”号时，可以看作-1与括号内的各项相乘．

（2）去括号时，首先要弄清括号前面是“+”号，还是“-”号，然后再根据法则去掉括号及前面的符号． (3)对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号．

（4）去括号只是改变式子形式，不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形． 要点二、添括号法则

添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号； 添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号． 要点诠释：

(1)添括号是添上括号和括号前面的符号，也就是说，添括号时，括号前面的“+”号或“-”号也是新添的，不是原多项式某一项的符号“移”出来得到的． (2)去括号和添括号的关系如下：

添括号添括号?????????如：a?b?c?a?(b?c)， a?b?c??????????????a?(b?c) 去括号去括号要点三、整式的加减运算法则

一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项． 要点诠释：

（1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项． （2）两个整式相减时，减数一定先要用括号括起来．

(3)整式加减的最后结果的要求：①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止；②一般按照某一字母的降幂或升幂排列；③不能出现带分数，带分数要化成假分数． 【典型例题】 类型一、去括号

1．?a?b?c的相反数是（ ）．

A．a?b?c B．a?b?c C．a?b?c D．c?a?b 【答案】C

【解析】求?a?b?c的相反数实质是求?(?a?b?c)，去括号，得?(?a?b?c)?a?b?c． 【总结升华】去括号时．若括号前有数字因数，应先把它与括号内各项相乘，再去括号． 类型二、添括号

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2．按要求把多项式3a?2b?c?1添上括号：

(1)把含a、b的项放到前面带有“+”号的括号里，不含a、b的项放到前面带有“-”号的括号里； (2)把项的符号为正的放到前面带有“+”号的括号里，项的符号为负的放到前面带有“-”号的括号里． 【答案与解析】

解：(1)3a?2b?c?1?(3a?2b)?(?c?1)；

(2)3a?2b?c?1?(3a?c)?(2b?1)．

【总结升华】在括号里填上适当的项，要特别注意括号前面的符号，考虑是否要变号． 举一反三： 【变式】添括号：

（1）(x?y)2?10x?10y?25?(x?y)2?10()?25．

（2）(a?b?c?d)(a?b?c?d)?[a?(_______)][a?(_______)]． 【答案】(1)x?y； (2)b?c?d,b?c?d ．

类型三、整式的加减

【高清课堂：整式的加减（二）--去括号与添括号 388394典型例题5】

3． 一个多项式加上4x?x?5得3x?4x?x?x?8，求这个多项式． 【答案与解析】

解：在解答此题时应先根据题意列出代数式，注意把加式、和式看作一个整体，用括号括起来，然后再进行计算，在计算过程中找同类项，可以用不同的记号标出各同类项，减少运算的错误．

(3x4?4x3?x2?x?8)?(4x3?x2?5)

32432?3x4?4x3?x2?x?8?4x3?x2?5?3x?8x?x?13.4343

答：所求多项式为3x?8x?x?13．

【总结升华】整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项． 举一反三：

【变式】化简：

(1)15+3(1-x)-(1-x+x2)+(1-x+x2-x3). (2)3x2y-[2x2z-(2xyz-x2z+4x2y)]. (3)-3[(a2+1)-

11(2a2+a)+(a-5)]. 63 (4)ab-{4a2b-[3a2b-(2ab-a2b)+3ab]}.

【答案】

解： (1) 15+3(1-x)-(1-x+x2)+(1-x+x2-x3) ＝15+3(1-x)-(1-x+x2)+(1-x+x2)-x3

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＝18-3x-x3. ??整体合并，巧去括号 (2) 3x2y-[2x2z-(2xyz-x2z+4x2y)]

＝3x2y-2x2z+(2xy-x2z+4x2y) ??由外向里，巧去括号 ＝3x2y-2x2z+2xyz-x2z+4x2y ＝7x2y-3x2z+2xyz.

.

(3) ?3[(a?1)?11(2a2?a)?(a?5)] 631??3(a2?1)?(2a2?a)?(a?5)

21??3a2?3?a2?a?a?5

21??2a2?a?2.

22 (4)ab-{4a2b-[3a2b-(2ab-a2b)+3ab]}

＝ab-4a2b+3a2b-2ab+a2b+3ab ??一举多得，括号全脱 ＝2ab.

类型四、化简求值

4. 先化简，再求各式的值：

1x?y?2x??3x?2y?2x?5y,其中x?,y??1． ?????2??【答案与解析】

解：原式?x?[y?2x?(3x?2y?4x?5y)]?x?[y?2x?(?x?3y)]

?x?(y?2x?x?3y)?x?(4y?3x)

?x?4y?3x?4x?4y?4(x?y).将x?113,y??1代入，得：4[?(?1)]?4??6. 222【总结升华】化简求值题一般采用“一化二代三计算”，此类题最后结果的书写格式一般为：当??时，原式=？

5. 已知3a2-4b2＝5，2a2+3b2＝10．求：(1)-15a2+3b2的值；(2)2a2-14b2的值．

【答案与解析】显然，由条件不能求出a、b的值．此时，应采用技巧求值，先进行拆项变形． 解：(1)-15a2+3b2＝-3(5a2-b2)＝-3[(3a2+2a2)+(-4b2+3b2)]

＝-3[(3a2-4b2)+(2a2+3b2)]＝-3×(5+10)＝-45； (2)2a2-14b2＝2(a2-7b2)＝2[(3a2-2a2)+(-4b2-3b2)] ＝2×[(3a2-4b2)-(2a2+3b2)]＝2×(5-10)＝-10．

【总结升华】求整式的值，一般先化简后求值，但当题目中含未知数的部分可以看成一个整体时，要用整体代入法，即把“整体”当成一个新的字母，求关于这个新的字母的代数式的值，这样会使运算更简便． 举一反三：

3【变式】当m?2?时，多项式am?bm?1的值是0，则多项式4a??b??531?_____． 23【答案】∵ a(2?3)?b??2??1，0 ∴ 8a?3?2b??1?2(4a?3?b?)?1?0，即4a??b???1． 2第3页 共8页

∴4a??b??53111???5?5． 2226. .已知多项式x2?ax?y?b与bx2?3x?6y?3的差的值与字母x无关，求代数式：

3(a2?2ab?b2)?(4a2?ab?b2)的值．

【答案与解析】

解：x2?ax?y?b?(bx2?3x?6y?3)?(1?b)x2?(a?3)x?7y?(b?3).

由于多项式x2?ax?y?b与bx2?3x?6y?3的差的值与字母x无关，可知：

1?b?0，a?3?0，即有b?1,a??3.

又?3(a2?2ab?b2)?(4a2?ab?b2)??a2?7ab?4b2, 将b?1,a??3代入可得：?(?3)2?7?(?3)?1?4?12?8.

【总结升华】本例解题的关键是多项式的值与字母x无关．“无关”意味着合并同类项后，其结果不含“x”

的项，所以合并同类项后，让含x的项的系数为0即可．

类型五、整式加减运算的应用

7. (湖南益阳)有一种石棉瓦(如图所示)，每块宽60厘米， 用于铺盖屋顶时，每相邻两块重叠部分的宽都为10厘米， 那么n(n为正整数)块石棉瓦覆盖的宽度为 ( ) ．

A．60n厘米 B．50n厘米 C．(50n+10)厘米 D．(60n-10)厘米 【答案】C.

【解析】观察上图，可知n块石棉瓦重叠的部分有(n-1)处，则n块石棉瓦覆盖的宽度为：60n-10(n-1)＝（50n+10）厘米．

【总结升华】求解本题时一定要注意每相邻两块重叠部分的宽都为10厘米这一已知条件，一不小心就可能弄错． 举一反三：

【变式】如图所示，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为9和a2(a＞0)．那么阴影部分的面积为________．

【答案】3a-a2

提示：由图形可知阴影部分面积＝长方形面积?a?9，而长方形的长为3+a，宽为3，从而使问题获解．

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【巩固练习】 一、选择题

1．下列各题去括号所得结果正确的是 ( ) ． A．a2-(2a-b+c)＝a2-2a-b+c

B．3x-[5x-(2x-1)]＝3x-5x-2x+1 C．5(a+b)+4(a+b)-12(a+b)＝-3 D．3a-2x+5a-7x＝8a-9x

2. 已知一个多项式与3x2+9x的和等于3x2+4x-1，则这个多项式是( ) ． A．-5x-1 B．5x+1 C．-13x-1 D．13x+1

3．代数式?3x2y?{10x3?(6x3y?3x2y)}?6x3y?7x3?2的值( )．

A．与x，y都无关 B．只与x有关 C．只与y有关 D．与x、y都有关 4.如果x?x?1?0，那么代数式x?2x?7的值为 （ ）．

A. 6 B.8 C. -6 D. -8

5.（台湾）化简5（2x﹣3）﹣4（3﹣2x）之后，可得下列哪一个结果（ ）． A. 2x﹣27 B. 8x﹣15 C. 12x﹣15 D. 18x﹣27

6. 已知有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示，且a?b，则代数式a?c?a?c?b??b的值为（ ）．

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A. ?2c B . 0 C. 2c D.2a?2b?2c

7.若甲、乙两种糖果，原价分别为每千克a元和b元。根据柜台组调查，将两种糖果按甲种糖果m千克和乙种糖果n千克的比例混合，取得了较好的销售效果。现在糖果价格有了调整：甲种糖果单价上涨c%，乙种糖果单价下跌d%，但按原比例混合的糖果单价恰好不变，那么A.

m等于 （ ）． nacadbcbd B. C. D. bdbcadac8.如果对于某一个特定范围内x的任意允许值，P?1?2x?1?3x?...?1?9x?1?10x的值恒为一个常数，则此值为 （ ）．A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题

9．?1?a?b?c?d?a?? ?； ?2?x?2y?z??? ? ;?3?a2?b2?a?b??a2?b2??? ?;?4?a2?b2?a?b?a2?a?? ?．

10. 如图所示是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，?，第n(n是正整数)个图案中由________个基础图形组成．

11．计算 3x?2(1?2x)?[5x?(4x?3x?6)]=_____________． 3312. 当x?2时，代数式ax?bx?1的值等于-17，那么当x??1时，代数式12ax?3bx?5的值等于

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