平面及其方程

高数

一、平面的点法式方程 z如果一非零向量垂直 于一平面，这向量就叫做 该平面的法线向量.x

nM

M0oy

法线向量的特征： 垂直于平面内的任一向量. 已知 n { A, B, C}, M 0 ( x0 , y0 , z0 ),

设平面上的任一点为 M ( x , y , z )

必有 M 0 M n M 0 M n 0

高数

M 0 M { x x0 , y y0 , z z0 } A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0平面的点法式方程 其中法向量 n { A, B , C }, 已知点 ( x0 , y0 , z0 ).

平面上的点都满足上方程，不在平面上的 点都不满足上方程，上方程称为平面的方程， 平面称为方程的图形.

高数

例 1 求过三点 A( 2, 1,4) 、B( 1,3, 2) 和

C (0,2,3)的平面方程.解

AB { 3, 4, 6} AC { 2, 3, 1}

取 n AB AC {14, 9, 1},所求平面方程为 14( x 2) 9( y 1) ( z 4) 0, 化简得 14 x 9 y z 15 0.

高数

例 2 求过点(1,1,1) ,且垂直于平面x y z 7 和

3 x 2 y 12 z 5 0 的平面方程. 解 n1 {1, 1, 1}, n2 {3, 2, 12} 取法向量 n n1 n2 {10, 15, 5},所求平面方程为

10( x 1) 15( y 1) 5( z 1) 0,化简得

2 x 3 y z 6 0.

高数

二、平面的一般方程由平面的点法式方程

A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0 Ax By Cz ( Ax0 By0 Cz0 ) 0 D

Ax By Cz D 0 平面的一般方程 法向量 n { A, B , C }.

高数

平面一般方程的几种特殊情况：(1) D 0, 平面通过坐标原点；

D 0, 平面通过 x 轴； ( 2) A 0, D 0, 平面平行于 x 轴；类似地可讨论 B 0, C 0 情形.

( 3) A B 0, 平面平行于xoy 坐标面；类似地可讨论 A C 0, B C 0 情形.

高数

例 3 设平面过原点及点(6, 3, 2) ,且与平面

4 x y 2 z 8 垂直，求此平面方程.解 设平面为 Ax By Cz D 0, 由平面过原点知 D 0,由平面过点(6, 3, 2) 知 6 A 3 B 2C 0

n {4, 1,2},

4 A B 2C 0备注 两个方程求三个未知 数可以将其中一个当做已知， 到最后约掉

2 : A B C, 3 所求平面方程为 2 x 2 y 3 z 0.

高数

例4

设平面与x , y , z 三轴分别交于P (a ,0,0) 、

Q(0, b,0) 、 R(0,0, c )(其中a 0 ,b 0 , c 0 ) ,求此平面方程.

解

设平面为 Ax By Cz D 0,

aA D 0, 将三点坐标代入得 bB D 0, cC D 0, D D D A , B , C . a b c

高数

D D D 将A , B , C , a b c代入所设方程得

x y z 1 平面的截距式方程 a b c

x 轴上截距

y 轴上截距

z 轴上截距

高数

备注：平行于一个平面也可以先设 为6x+y+6z+a=0,然后

再去求解

例 5 求平行于平面6 x y 6 z 5 0 而与三个坐 标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.

x y z 解 设平面为 1, a b c 1 1 V 1, abc 1, 3 21

z

o

y

x

由所求平面与已知平面平行得

a b c , (向量平行的充要条件) 6 1 6

1

1

高数

1 1 1 1 1 1 , 令 t 化简得 6a b 6c 6a b 6c 1 1 1 a , b , c , 6t 6t t 1 1 1 1 1 1 t , 6 6t t 6t 6 a 1, b 6, c 1,所求平面方程为 6 x y 6 z 6. 代入体积式

高数

三、两平面的夹角定义 两平面法向量之间的夹角称为两平面的 (通常取锐角) 夹角.

n2

n1

1 : A1 x B1 y C1 z D1 0, 2

2 : A2 x B2 y C2 z D2 0, n1 { A1 , B1 , C1 }, 1 n2 { A2 , B2 , C2 },

高数

按照两向量夹角余弦公式有

cos

| A1 A2 B1 B2 C1C 2 | A1 B1 C1 A2 B2 C 22 2 2 2 2 2

两平面夹角余弦公式 两平面位置特征：

(1) 1 2 A1 A2 B1 B2 C1C2 0;A1 B1 C1 . ( 2) 1 // 2 A2 B2 C 2

高数

例6 研究以下各组里两平面的位置关系：

(1) x 2 y z 1 0, ( 2) 2 x y z 1 0, ( 3) 2 x y z 1 0,解

y 3z 1 0 4 x 2 y 2z 1 0 4 x 2 y 2z 2 0

| 1 0 2 1 1 3 | (1) cos ( 1)2 22 ( 1)2 12 32

1 1 cos 两平面相交，夹角 arccos . 60 60

高数

( 2)

n1 {2, 1,1},

n2 { 4, 2, 2}

2 1 1 , 两平面平行 4 2 2 M (1,1,0) 1 M (1,1,0) 2两平面平行但不重合.

2 1 1 ( 3) , 两平面平行 4 2 2

M (1,1,0) 1

M (1,1,0) 2

两平面重合.

高数

例7

设 P0 ( x 0 , y0 , z 0 ) 是平面Ax By Cz D 0

外一点，求P0 到平面的距离.

解

P1 ( x1 , y1 , z1 ) d | Pr jn P1 P0 |Pr jn P1 P0 P1 P0 n0

n P0P1 N

P1 P0 { x0 x1 , y0 y1 , z0 z1 }

高数

A n , 2 2 2 A B C0

B , 2 2 2 A B C

C 2 2 2 A B C

Pr jn P1 P0 P1 P0 n0 A( x0 x1 ) B( y0 y1 ) C ( z0 z1 ) 2 2 2 2 2 2 A B C A B C A2 B 2 C 2

Ax0 By0 Cz0 ( Ax1 By1 Cz1 ) , 2 2 2 A B C

高数

Ax1 By1 Cz1 D 0

( P1 )

Ax0 By0 Cz0 D , Pr jn P1 P0 2 2 2 A B C

| Ax0 By0 Cz0 D | d . 2 2 2 A B C点到平面距离公式

高数

四、小结 平面的方程 一般方程. 截距式方程.(熟记平面的几种特殊位置的方程)

点法式方程 .

两平面的夹角.(注意两平面的位置特征) 点到平面的距离公式.

高数

思考题若平面 x ky 2

z 0 与平面

2 x 3 y z 0 的夹角为 ，求k ? 4

高数

思考题解答 1 2 k ( 3 ) 2 1 cos 2 , 2 2 2 2 2 4 1 k ( 2 ) 2 ( 3 ) 1

1 3k 70 , k . 2 2 5 k 14 2

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