高二数学选修2-2导数及其应用测试题（含答案）

高二数学选修2-2导数及其应用测试题

一、 选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的，请将所选答案写在答题卡上)

1?x21．设y?，则y'?（ ）．

sinx?2xsinx?(1?x2)cosx?2xsinx?(1?x2)cosxA． B．

sin2xsin2x?2xsinx?(1?x2)?2xsinx?(1?x2) C． D．

sinxsinx2．设f(x)?lnA．

x2?1，则f'(2)?（ ）．

4213 B． C． D． 55552x?3f(x)的值为（ ）．

x?3x?33．已知f(3)?2,f'(3)??2，则limA．?4 B．0 C．8 D．不存在 4．曲线y?x在点(2,8)处的切线方程为（ ）．

A．y?6x?12 B．y?12x?16 C．y?8x?10 D．y?2x?32

3(x2,0)，5．已知函数f(x)?ax?bx?cx?d的图象与x轴有三个不同交点(0,0),(x1,0)，

且f(x)在x?1，x?2时取得极值，则x1?x2的值为（ ） A．4 B．5 C．6 D．不确定 6．在R上的可导函数f(x)?取得极小值，则

321312当x?(0,1)取得极大值，当x?(1,2)x?ax?2bx?c，

32b?2的取值范围是（ ）． a?1121111,) D．(?,) 2422A．(,1) B．(,1) C．(?

7．函数f(x)?141x?． e(sinx?cosx)在区间[0,]的值域为（ ）

22?1111A．[,e2] B．(,e2) C．[1,e2] D．(1,e2)

2222??? 第 1 页

a8．积分

??a． a2?x2dx?（ ）

B．

A．

1?a2 41?a2 2

C．?a2 D．2?a2

x2y29．由双曲线2?2?1，直线y?b,y??b围成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体

ab积为（ ）

A．

8?ab2 32 B．

82?ab 3 C．

424?ab D．?ab2 3310．由抛物线y?2x与直线y?x?4所围成的图形的面积是（ ）． A．18

B．

38 3C．

16 3D．16

11．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，则其表面积最小时，底面边长为（ ）． Ａ．3V Ｂ．32V Ｃ．34V D．23V 12．某人要剪一个如图所示的实心纸花瓣，纸花瓣的边界 由六段全等的正弦曲线弧y?sinx(0?x??)组成，其中 曲线的六个交点正好是一个正六边形的六个顶点，则这个 纸花瓣的面积为（ ）． A．6?33? B．12?

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题（每小题4分，共16分。请将答案填在答题卷相应空格上。）

13．曲线y?x在点(a,a)(a?0)处的切线与x轴、直线x?a所围成的三角形的面积为

332332332? C．6??2 D．6?? 221，则a?_________ 。 614．一点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移是S?为零的时刻是_______________。 15．lim(n??1433t?t?2t2，那么速度4512n????)?_______________. 22222n?1n?2n?n16．

?40(|x?1|?|x?3|)dx? ____________。

三、解答题：（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

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（17）（本小题满分10分）

已知向量a?(x,x?1),b?(1?x,t)，若函数f(x)?a?b在区间(?1,1)上是增函数，求t的取值范围。

（18）（本小题满分12分）

已知函数f(x)?ax?bx?3x在x??1处取得极值. (1)讨论f(1)和f(?1)是函数f(x)的极大值还是极小值; (2)过点A(0,16)作曲线y?f(x)的切线,求此切线方程.

（19）（本小题满分14分）

设0?x?a，求函数f(x)?3x?8x?6x?24x的最大值和最小值。

（20）（本小题满分12分）

用半径为R的圆形铁皮剪出一个圆心角为?的扇形，制成一个圆锥形容器，扇形的圆心角?多大时，容器的容积最大？

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432322

(21) （本小题满分12分）

直线y?kx分抛物线y?x?x与x轴所围成图形为面积相等的两个部分,求k的值.

(22) （本小题满分14分） 已知函数f(x)?lnx,g(x)?212ax?bx,a?0。 2 （1）若b?2，且函数h(x)?f(x)?g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围。 （2）设函数f(x)的图象C1与函数g(x)的图象C2交于点P,Q，过线段PQ的中点作

x轴的垂线分别交C1、C2于点M,N。证明：C1在点M处的切线与C2在点N处的

切线不平行。

新课改高二数学选修2-2第一章导数及其应用测试题参考答案

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分。）

1 B 2 C 3 A 4 B 5 B 6 C 7 A 8 B 9 B 10 A 11 C 12 B 第 4 页

二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）

（13）、 ?1 （14）、 t?0

（15）、

1、 10 ln2 （16）

2

三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） （17）（本小题满分10分） 解：由题意知：f(x)?x(1?x)?t(x?1)??x?x?tx?t，则

f'(x)??3x?2x?t ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ （3分） ∵f(x)在区间(?1,1)上是增函数，∴f'(x)?0

即t?3x?2x在区间(?1,1)上是恒成立， ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ （5分）

2 设g(x)?3x?2x，则g(x)?3(x?)?222322131，于是有 3 t?g(x)max?g(?1)?5

∴当t?5时，f(x)在区间(?1,1)上是增函数 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ （8分） 又当t?5时， f'(x)??3x?2x?5??3(x?)?213214， 3在(?1,1)上，有f'(x)?0，即t?5时，f(x)在区间(?1,1)上是增函数 当t?5时，显然f(x)在区间(?1,1)上不是增函数

∴t?5 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ （10分）

（18）（本小题满分12分）

解：（1）f'(x)?3ax?2bx?3，依题意，

2?3a?2b?3?0, f'(1)?f'(?1)?0，即? 解得 a?1,b?0 ┅┅ （3分）

3a?2b?3?0.? ∴f'(x)?x?3x，∴f'(x)?3x?3?3(x?1)(x?1)

令f'(x)?0，得 x??1,x?1 若x?(??,?1)?(1,??)，则f'(x)?0 故f(x)在(??,?1)和(1,??)上是增函数； 若x?(?1，1)，则f'(x)?0 故f(x)在(?1,1)上是减函数；

所以f(?1)?2是极大值，f(1)??2是极小值。 ┅┅┅┅┅┅┅┅ （6分） （2）曲线方程为y?x?3x，点A(0,16)不在曲线上。 设切点为M(x0,y0)，则y0?x0?3x0

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2 由f'(x0)?3(x0?1)知，切线方程为

y?y0?3(x0?1)(x?x0) ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ （9分） 又点A(0,16)在切线上，有16?(x0?3x0)?3(x0?1)(0?x0) 化简得 x0??8，解得 x0??2

所以切点为M(?2,?2)，切线方程为 9x?y?16?0 ┅┅┅┅┅┅ （12分） （19）（本小题满分14分）

解：f'(x)?12x?24x?12x?24?12(x?1)(x?1)(x?2)

令f'(x)?0，得：x1??1,x2?1,x3?2 ┅┅┅┅┅┅┅ （2分） 当x变化时，f'(x),f(x)的变化情况如下表：

323232x f'(x) (0,1) 1 0 (1,2) － 2 0 (2,??) ? ? f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 ∴极大值为f(1)?13，极小值为f(2)?8 又f(0)?0，故最小值为0。 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ （6分）

最大值与a有关：

（1）当a?(0,1)时，f(x)在(0,a)上单调递增，故最大值为：

f(a)?3a?8a?6a?24a ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ （8分） （2）由f(x)?13，即：3x?8x?6x?24x?13?0，得： (x?1)(3x?2x?13)?0，∴x?1或x?224324321?210 3 又x?0，∴x?1或x?1?210 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ （10分） 3 ∴当a?[1,1?210]时，函数f(x)的最大值为：f(1)?13 ┅┅ （12分） 31?210,??)时，函数f(x)的最大值为： 332（3）当a?(4 f(a)?3a?8a?6a?24a ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ （14分） （20）（本小题满分12分）

解：设圆锥的底面半径为r，高为h，体积为V，则 由h?r?R，所以

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V?1111?r2h??(R2?h2)h??R2h??h3,(0?h?R) 3333 ∴V'?312R ┅┅┅┅┅┅┅ （6分） ?R??h2，令V'?0得 h?333R是函数V的唯一极值点，且为最大值点，从而是最大值点。 3 易知：h? ∴当h?3R时，容积最大。 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ （8分） 3 把h?36R代入h2?r2?R2，得 r?R 3326? 3 由R??2?r得 ?? 即圆心角??26?时，容器的容积最大。 ┅┅┅┅┅┅┅ （11分） 326?时，容器的容积最大。 ┅┅┅┅ （12分） 3答：扇形圆心角?? (21) （本小题满分12分） 解：解方程组??y?kx2?y?x?x 得：直线y?kx分抛物线y?x?x的交点的横坐标为

2 x?0和x?1?k ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ （4分） 抛物线y?x?x与x轴所围成图形为面积为 S?21213112(x?x)dx?(x?x)|0? ┅┅┅┅┅ （6分） ?02361 由题设得

1?k1?kS??(x?x2)dx??kxdx 002 ??1?k0(1?k)3 ┅┅┅┅┅┅┅ （10分） (x?x?kx)dx?6234113 又S?，所以(1?k)?，从而得：k?1? ┅┅┅┅┅ （12分）

226 (22) （本小题满分14分）

解：（1）b?2时，函数h(x)?lnx?12ax?2x，且 2 第 7 页

1ax2?2x?1 h'(x)??ax?2??xx∵函数h(x)存在单调递减区间，∴h'(x)?0有解。 ┅┅┅┅ （2分） 又∵x?0，∴ax?2x?1?0 有 x?0的解。

① 当a?0时，y?ax?2x?1为开口向上的抛物线，ax?2x?1?0总有

222x?0的解; ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ （4分）

② 当a?0时，y?ax?2x?1为开口向下的抛物线，而ax?2x?1?0有

22x?0的解，则

??4a?4?0，且方程ax?2x?1?0至少有一正根，此时， ?1?a?0

综上所述，a的取值范围为(?1,0)?(0,??)。 ┅┅┅┅┅┅┅ （7分） （2）设点P(x1,y1),Q(x2,y2)，且0?x1?x2，则 点M,N的横坐标为x?2x1?x2， 212|x1?x2?； xx?2x1?x2x?x1?x2?2C1在点M处的切线斜率为k1?C2在点N处的切线斜率为k2?(ax?b)|a(x1?x2)?b。 ┅ （9分） 2 假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则k1?k2，即

a(x1?x2)2??b

x1?x22则

2(x2?x1)a22?(x2?x1)?b(x2?x1)

x1?x22 ?(a2a2x2?bx2)?(x1?bx1)?y2?y1?lnx2?lnx1 22x2?1)xx1所以 ln2? ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ （11分）

x2x11?x12(设t?x22(t?1)，则lnt?,t?1， ① x11?t令h(t)?lnt?2(t?1),t?1，则 1?t 第 8 页

14(t?1)2h'(t)??? 22t(1?t)t(t?1)当t?1时，h'(t)?0，所以h(t)在[1,??)上单调递增。 故h(t)?h(1)?0，从而lnt?2(t?1) 这与①矛盾，假设不成立， 1?t∴C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行。 ┅┅┅┅ （14分）

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