多元函数微分学总结

`第八章 多元函数微分学

8.1基本知识点要求

1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义.

2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。

3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必 要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。

4.理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法. 5.熟练掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法.

6.了解隐函数存在定理，熟练掌握多元隐函数偏导数的求法. 7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，熟练掌握它们的方程的求法。

8.了解二元函数的二阶泰勒公式.

9.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，掌握二元函数极值存在的充分条件，并会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。

8.2基本题型及解题思路分析

题型1 与多元函数极限、连续、偏导数和可微的概念及其之间的关系有关的题

1. 二元函数的极限与连续的概念及二元函数极限的计算。 （1）基本概念

①二元函数极限的定义：设f(P)?f(xy,)的定义域为D,P0(x0,y0)是D的聚

?点.若?常数A，对于???0，总???0，使得当P(x,y)?D?U(P时，都有0,?)f(P)?A?f(x,y)?A??成立，则称A为函数f(x,y)当(x,y)?(x0,y0)时的极

限，记作

(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)?A或limf(P)?A。

P?P0②二元函数的连续：设f(P)?f(x,y)的定义域为D,P0(x0,y0)为D的聚点，且P0?D.若

(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)?f(x0,y0)，则称f(x,y)在点P0(x0,y0)连续。

（2）关于二元函数极限的解题思路

注意：在二元函数limf(P)?A存在的定义中，P?P0方式任意，正是由于

P?P0这一点致使二元函数有与一元函数不一样的性态，在学习过程中注意比较、总结和体会二者之间的不同。

① 证明二元函数的极限不存在：若P以两种不同的方式趋于P0时，f(P)的极

限不同，则limf(P)一定不存在（见例1）。

P?P0②求二元函数的极限：可以应用一元函数求极限方法中的适用部分求二元函数的极限，比如：极限的局部有界性、局部保号性、四则运算法则、夹逼准则、两个重要的极限、变量代换法则、等价无穷小代换、分子分母有理化、无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量、连续性等（见例2）

xy2例1证明：f(x,y)?2在原点的极限不存在。 （0,0）x?y4【分析】观察分子、分母中变量x,y的各次幂的特点，可考虑选择路径

x?ky2。

xy2ky4k证明：?limf(x,y)?lim2， ?lim?2y?0y?0x?y4y?0k2y4?y4k?122x?kyx?ky?k不同，极限值就不同，故

(x,y)?(0,0)limf(x,y)不存在。

【评注】证明二元函数的极限不存在是个难点，关键是选择适当的P?P0的路径，注意总结其选择路径的规律。

例2

(x,y)?(0,0)lim1-cosxy2?e?1xy? 。

【分析】此题既可以直接利用等价无穷小代换，也可以先将分母有理化，再进行等价无穷小代换。 解：

(x,y)?(0,0)lim1-cosxy2?e?1xy?(x,y)?(0,0)lim1-cosxy1?(1?e)?1xy xy?(x,y)?(0,0)lim1?exy22?xy??1

(x,y)?(0,0)?xylim【评注】二元函数的极限有与一元函数的极限类似的性质与运算法则，求法一般不难，这里不再多举例子。

?x3?y2,(x,y)?(0,0)?22例3 设f(x,y)??x?y，证明函数f(x,y)在点(0,0)连

?,(x,y)?(0,0)?0续 。

【分析】：通过观察分子、分母中变量x,y的各次幂的特点，可以看出f(x,y)在(0,0)点的极限存在且为0，但不易利用例2中的评注直接求解，可以考虑将点(x,y)转化成极坐标来表示。

x3?y2x?y22证明： ?lim(x,y)?(0,0)f(x,y)?(x,y)?(0,0)lim

?2(?cos3??sin2?)x??cos?,y??sin?lim?0?f(0,0)

??0??f(x,y)在点(0,0)连续。

2. 偏导数的概念

二元函数的偏导数的概念：设z?f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义? 如果极限lim?x?0f(x0??x,y0)?f(x0,y0) 存在? 则称此极限为函数z?f(x,y)在点

?xx?x0y?y0?f(x0,y0)处对x的偏导数? 记作?zx?x0? x?x0? zx?xy?y0?xy?y0? 或fx(x0,y0)。

如果极限lim?y?0f(x0,y0??y)?f(x0,y0)存在? 则称此极限为函数z?f(x,y)在点

?yx?x0y?y0?f(x0,y0)处对y 的偏导数，记作 ?zx?x0? x?x0? zy?yy?y0?yy?y0x2?y4? 或fy(x0? y0)?

例4设f(x,y)?e,则函数在原点偏导数存在的情况是

?A? fx?(0,0)存在,fy?(0,0)存在 ?B??C?

fx?(0,0)不存在,fy?(0,0)存在fx?(0,0)存在,fy?(0,0)不存在

?D?fx?(0,0)不存在,fy?(0,0)不存在（研）

解：应选【C】

fx?(0,0)=limx?0ex2?04?1e?1?lim， x?0x?0x?0x

e?x?1e?1ex?1?lim?1，lim因为lim??1

x?0?x?0x?0?x?0x?0?x?0e?1e?x?1故lim，所以fx?(0,0)不存在。 ?lim??x?0x?0x?0x?0xxfy?(0,0)?limy?0e02?y4?1ey?1y2?lim?lim?0 y?0y?0y?0y?0y2所以fy?(0,0)存在。故选【C】。

【评注】开算数根也即含绝对值也即为分段函数，必要时需要用偏导数定义

讨论偏导数，与一元函数类似，是重要考点。

例5 设

(x,y)?(0,0)limf(x,y)?3x?4y?2, 则 2fx?(0,0)?fy?(0,0)? 22x?y（2008-北京赛）.

【分析】为了利用偏导数的定义求出fx?(0,0)和fy?(0,0)，需要写出函数的表达式，为此要想到利用结论：limf(P)?A?f(P)?A??,其中lim??0。

P?P0P?P0解：?lim(x,y)?(0,0)f(x,y)?3x?4y?2, 22x?y?f(x,y)?3x?4y?2??,其中lim??0,

(x,y)?(0,0)x2?y2从而f(x,y)??3x?4y?2(x2?y2)??(x2?y2)，

22f(0?x,0)?f(0,0)?3x?2x??x?0fx?(0,0)?lim?lim??3

x?0x?0x?0x22f(0,0?y)?f(0,0)4y?2y??y?0fy?(0,0)?lim?lim?4

y?0x?0y?0y故2fx?(0,0)?fy?(0,0)??6?4?2。

【评注】此例中这种把极限表示式转化为极限值加无穷小量，是有关极限分

析过程中常用的思想。

3. 全微分概念及以上几个概念之间的关系

二元函数全微分的概念：如果函数z?f(x,y)在点(x? y)的全增量

?z?f(x??x,y??y)?f(x,y)可表示为

?z?A?x?B?y?o(?) (??(?x)2?(?y)2 )? 则称函数z?f(x,y)在点(x? y)可微

分? 而称A?x?B?y为函数z?f(x,y)在点(x? y)的全微分? 记作dz? 即

dz?A?x?B?y

关系：偏导连续?可微?偏导存在；可微?连续；但偏导存在??可微；连续??偏导存在

【评注】一元函数微分学的有些结论不能搬到多元函数微分学中。

1?xysin,(x,y)?(0,0)?22例6设f(x,y)??，（1）f(x,y)在（0，0）点x?y?0,(x,y)?(0,0)?是否连续？（2）求fx?(x,y)；（3）f(x,y)在（0，0）点是否可微；（4）fx?(x,y)在（0，0）点是否连续。（天津工业大学竞赛题）

【分析】讨论分段函数在分段点的偏导数及全微分必须利用偏导数和全微分的定义。

解 (1)由夹逼准则 0?f(x,y)?xysin1x?y22?xy ，

因此(x,y)?(0,0)limf(x,y)?0?f(0,0)，故f(x,y)在（0,0）点连续。

(2)当(x,y)?(0,0)时

1x?y22fx?(x,y)?2xsin?xx?y22cos1x?y22, 当(x,y)?(0,0)，利用偏导数的定义得

f(0??x,0)?f(0,0)0fx?(0,0)?lim?lim?0，

?x?0?x?0?x?x1x1?2xsin?cos,(x,y)?(0,0)?222222故fx?(x,y)?? x?yx?yx?y?0,(x,y)?(0,0)?同理可得

1y1?2ysin?cos,(x,y)?(0,0)?222222?fy(x,y)?? x?yx?yx?y?0,(x,y)?(0,0)?(3)为了考察f(x,y)在(0,0)点是否可微，我们来考察

?z?[fx?(0,0)?x?fy?(0,0)?y]是否为??(?x)2?(?y)2的高阶无穷小，因为

0??z?[fx(0,0)?x?fy(0,0)?y]?x?ysin?1(?x)2?(?y)2??x?y2?x?y??x?y2(?x)2?(?y)2??0(?x?0,?y?0)，

故lim??0?z?[fx(0,0)?x?fy(0,0)?y]??0，即?z?[fx(0,0)?x?fy(0,0)?y?o(?)

所以f(x,y)在(0,0)点可微。 （4）由于

limfx?(x,y)?lim(2xsin1x?y22(x,y)?(0,0)x(y,?)(0,0)?xx?y22cos1x?y22)不存在，所以fx?(x,y)在(0,0)点不连续。

【评注1】利用偏导数和全微分的定义讨论函数偏导数的存在性和可微性，

既是重点也是难点，需掌握。

（0,0）【评注2】若f(x,y)在(0,0)点连续，且偏导数存在，则判别f(x,y)在

点是否可微，需考察?z?[fx?(0,0)?x?fy?(0,0)?y]是否为??(?x)2?(?y)2的高阶无穷小。

【评注3】此例验证了偏导数连续是可微的充分条件，而非必要条件。 【评注4】注意这几个概念之间的关系与一元函数的有关结论的不同之处。

例 7设函数f(x,y)?|x?y|?(x,y),其中?(x,y)在点(0,0)的一个邻域内连续,证明: f(x,y)在点(0,0)处可微的充要条件为?(0,0)?0。（2007-天津赛）

证明：（必要性）已知f?x,y?在点(0,0)处可微，故fx??0,0?与fy??0,0?都存在。而

fx??0,0??limx?0x?0??x,0??0???0,0?x?limx?0x??x,0?x，

其中lim?x?0|x|?(x,0)??(0,0),xx?0lim?|x|?(x,0)???(0,0),由于fx??0,0?存在，故x??0,0??0。

（充分性）已知??0,0??0，类似于必要性的过程容易推出

fx?(0,0?)fy?0,lim?(0,欲证0f?x,y?在点(0,0)处可微，只需证

=lim|x?y|?(x,y)x?y22f(x,y)?f(0,0)?fx?(0,0)x?fy?(0,0)yx?y22(x,y)?(0,0)(x,y)?(0,0)?0.

注意到： |x?y|x?y22?|x|x?y22?|y|x?y22?2，

所以 0?x?y??x,y?x?y22?2??x,y?。

x?y??x,y?x?y22又

(x,y)?(0,0)lim??x,y????0,0??0，由夹逼定理知

(x,y)?(0,0)lim?0。

从而f?x,y?在点(0,0)处可微，并且df?x,y??0。

【评注】此题是一元函数中的重要结论“设?(x)在x?a点连续，则在多元函数中的推广，但证明过程f(x)?|x?a?|(x在)x?a可导的??(a)?0”要比一元函数复杂的多。

题型2 多元函数的偏导数的计算 1. 复合函数求导

例8 设函数F(x,y,z)??解：

xy0sint?2Fdt，则221?t?x?x?0y?2（2011-研）

?Fysinxy?，为了计算简便，由偏导数的定义，可得 2?x1?(xy)?2F?x2x?0y?22sin2x4(1?4x2)cos2x?16xsin2x?()???4。 2221?4xx?0(1?4x)x?0【评注】fx??x0,y0??fx??x,y?x?x0,y?y0同时fx??x0,y0??df(x,y0),dx

fy??x0,y0??fy??x,y?x?xy?y00??x0,y0??，同时fydf(x0,y)， dy

利用后者往往可以大大简化计算，此例的解答就是利用的后者。

?x??y??xy,?g例9设z?f???，其中f具有二阶连续偏导数，g具有二阶连续??y??x???2z?2z导数。求2,。（2005-天津赛）

?x?y?x 【分析】本题是典型的利用复合函数求导法则求二阶偏导数的常规题。

解：

?z?1?y?yf1?f2?2g?， ?xyx2??2z?1??1??1??2y?y???y??yf11?yf12???y??yf21?yf22???x3g?x4g?x2????

2y??1?2y?y2f11?2f12?2f22?3g??4g??yxx??2z1?1?1y??x???x???????f1?y?xf?f?f?xf?f?g?g??1122122?212?2223???x?yy?yyx??y?x

y?1??x?1?f1?2f2?xyf11?3f22?2g??3g??yyxx【评注1】多元复合函数的求导法则是重点，应理解链式法则的内涵。常见

的链式法则有：

①z?f(u),u??(x,y)：

?zdz?u?zdz?u??,?? ?xdu?x?ydu?ydz?zdu?zdv ??dx?udx?vdx③z?f(u,v),u??(x,y),v??(x,y)：?z??z??u??z??v，?z??z??u??z??v

?x?u?x?v?x?y?u?y?v?y④z?f(u? x? y)? 且u??(x? y)：?z??z??u? ?z??z??u??z?dv?

?x?u?x?y?u?y?vdy②z?f(u,v),u??(x),v??(x)：

其它情形可以此类推，此例中就涉及到①和③。

???f21??, 注意将此两项进行合并. 【评注2】若f具有二阶连续偏导数，则f12例10设z?f[?(2xy,x2)]，这里f可导且?具有连续偏导数，求解：

?z????2y??2??2x? ?f?[?(2xy,x2)]??f?[?(2xy,x2)]???1?x?x?z?z,. ?x?y??y?2?)?f?[?(2xy,x2)] ?2(x?1

?z?y?f?[?(2xy,x2)]????y?f?[?(2xy,x2)]???1??2x??2??0? ?2x??1??f?[?(2xy,x2)] 【评注】注意区分何时该用全导数记号，何时该用偏导数记号。

例11设u?f(x,y,z)，又y??(x,t)，t??(x,z)，求?u?u?x，?z. 解： 由上述表达式可知x,z为自变量, 所以

?u?x?f?yx'?fy'?x?fx'?fy'??x'??t'?x'??fx'?fy'?x'?fy'?t'?x' ?u?z?f?yy'?z?fz'?fy'??t'?z'??fz'?fy'?t'?z'?fz'。 【评注】类似于一元函数，对于多层的复合关系，先要分清变量间的关系，然后逐层利用复合函数的链式法则即可。

例 12 设变换???u?x?ay把方程?2z?2z1?z??0化为?2z?0，?v?x?2y?x2?y?y2?2?y?u?v试确定a.（2003-天津赛）。

【分析】利用变量替换，借助求解多元复合函数的偏导数使方程变形，是常见题型，这里注意把握好z,?z?x,?z?y与中间变量u,v及自变量x,y的树形关系： 解：计算一、二阶偏导数： ?z?x??z?u?z?v?z?z?u??x??v??x??u??v，

?z?z?u?z?v?za?z11?y??u??y??v??y??u?2y??v?y??y?a?2??z?u??z??v??， ?2z?2z?2z?2?x2??u2?2?u?v?z?v2， ?2z1?322222?a?z?y2??2y??2??u??z??v???1?y??z??u?a?za?z1?4y??u?v?y??， ?2?v2?y??代入方程?2z?2z1?z?x2?y?y2?2?y?0，得到 ?2z?2z1?za2?2?x2?y?y2?y?(1?4)z?2z2??u2?(2?a)?u?v?0

?a2?0?1?以题意有?，所以a??2. 4?2?a?0?例13设二元函数u?x,y?具有二阶偏导数，且u?x,y??0，证明u?x,y??f?x?g?y??2u?u?u的充要条件为：u。（2009-天津赛） ???x?y?x?y证明：（必要性）若u?x,y??f?x?g?y?，

?u?u?2u?2u?u?u?f??x?g?y?，?f?x?g??y?，?f??x?g??y?，??则显然有u。 ?x?y?x?y?x?y?x?y?2u?u?u???u??u?u??（充分性）若u，则u?????0， ?x?y?x?y?y??x??x?y由于u?x,y??0，所以

?u??u?u??u?u?u??????????x??y??x??x?y??0，

?y?u?u2????即

???lnu??lnu?lnu不含y，故可设???x?。从而有 ???0，因此

?y??x??x?xlnu????x?dx?ψ?y?，

u?e???x?dx?ψ?y??e???x?dx?eψ?y?，

即u?x,y??f?x?g?y?。

【评注】此题的难点在充分性的证明上，注意是涉及到了关于商的偏导数运算法则的逆运算，看似简单，实际上非常能考察大家的基本功。

2. 隐函数求导

xz例14 设有三元方程xy?zlny?e?1，根据隐函数存在定理，存在点（0,1,1）的一个邻域，在此邻域内该方程（ ）

（A）只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z?z(x,y)；

（B）可确定两个具有连续偏导数的隐函数x?x(y,z)和z?z(x,y)； （C）可确定两个具有连续偏导数的隐函数y?y(x,z)和z?z(x,y)；

Fx???2x，Fy???2y， Fz??1.

设切点坐标为(x0,y0,z0)，则切平面的法矢量为 n?{?2x0,?2y0,1}，其与已知平面2x?4y?z?0平行，因此有

?2x0?2y01， ??24?1?22?y0?5. 可解得 x0?1,y0?2，相应地有 z0?x0故所求的切平面方程为

2(x?1)?4(y?2)?(z?5)?0，即 2x?4y?z?5。

【评注1】两平面平行，则它们的法向量成比例，但并不一定相等。 【评注2】一般地，若曲面方程为F(x,y,z)?0，则在M0(x0,y0,z0)点，切平面的法向量n?(Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0))。

?x?ucosv??例23 求曲面S:?y?usinv，在u?2,v?处的切平面方程。

4?z?2v??【分析】S为曲面的参数方程，分别将u?2,v??4代人曲面S的方程中，得

在曲面上过点(2,2,)的两条空间曲线方程，这两条曲线在点(2,2,)的切

22线所确定的平面就是所求的切平面。

解：将u?2,v????代人S的方程，得曲面上一点(2,2,)， 42??x?2cosv?将u?2代人曲面方程得在曲面上的一条空间曲线的参数方程?y?2sinv，

?z?2v???其切向量为T1?(?2,2,2)，将v?代人曲面方程得在曲面上的另一条空间曲

4?2u?x?2???222?,,0)，从而切平面的法向量为 线的参数方程?y?u，其切向量为T2?(222???z??2??

???n?T1?T2???i222?j222?k02?(22,22,1)，故所求的切平面方程为

??2(x?2)?2(y?2)?(z?)?0，即2x?2y?z?4?。

22x2y2z2例24在椭球面2?2?2?1上求一切平面，它在坐标轴的正半轴截取相

abc等的线段。（2009-天津赛）

【分析】只需按题设要求一步一步去做即可，关键是建立完切平面方程后，应注意到切点满足椭球面方程，最好把切平面方程化简成平面的截距式方程。

2x2yx2y2z2解：设F?x,y,z??2?2?2?1，切点为(x0,y0,z0)，Fx??20，Fy??20，

abcab?2z02x2y2zFz??2，故该点处切平面的法向量为n?(20,20,20)，

abcc切平面方程为

2x02y02z0xyz??c2?1。 ，即??????x?x?y?y?z?z?02000222ab2abcx0y0z0a2b2c2a2b2c2???k?k?0?，即x0?,y0?,z0?依题意，有截距。 x0y0z0kkk?a2??b2??c2?????k???k???k??a2b2c2?????????1由于切点在椭球面上，故有，即2?2?2?1，

a2b2c2kkk222从而解得k?a2?b2?c2， 于是有x0?a2a?b?c222,y0?b2a?b?c222,z0?c2a?b?c222。

切平面方程为x?y?z?a2?b2?c2。

题型4与函数的全微分、方向导数和梯度有关的题

1例25设函数f(u)可微,且f??0??,则z?f?4x2?y2?在点(1,2)处的全微

2

分dz?1,2?? （研）

解：

?z?z1??2yf?(4x2?y2)??2，?8xf?(4x2?y2)?8??4，

(1,2)(1,2)?y(1,2)?x(1,2)2??z?zdx?dy?4x?2dy。 ?x(1,2)?y(1,2)?1,2?dz?1,2?【评注】一般地，若z?f?x,y?,则dz?u?x??z?zdx??x(x0,y0)?y?u?ydy?(x0,y0,z0)dy；

(x0,y0)若u?f?x,y,z?,则du(x0,y0,z0)?dx?(x0,y0,z0)?u?zdz。

(x0,y0,z0)例26.设函数z?z(x,y)由方程z?y?x?xez?y?x?2所确定，则

dz? （2006-天津赛）.

解1:令F(x,y,z)=z?y?x?xez?y?x?2，则由隐函数的求导公式得

Fx??z?1?ez?y?x?xez?y?x1?ez?y?x?xez?y?x?????z?y?x?x1?xe1?xez?y?x?Fz，

Fy??z?1?xez?y?x1?xez?y?x??????1 z?y?xz?y?x?y1?xe1?xeFz??z?z1?ez?y?x?xez?y?xdx?dy。 故dz?dx?dy??x?y1?xez?y?x解2：由全微分形式不变性，得dz?dy?dx?ez?y?xdx?xez?y?x(dz?dy?dx)?0，

1?ez?y?x?xez?y?xdx?dy。 故dz?z?y?x1?xe【评注】求由隐函数所确定的函数的全微分时，既可以先利用隐函数的求导方法求出偏导数，再利用全微分的计算公式得dz，也可以利用全微分形式不变性得dz

例27函数u?ln(x?y2?z2)在点A(1,0,1)处，沿点A指向点B(3,?2,2)方向的方向导数为 （2005-天津赛）。

?u1解：??x(1,0,1)x?y2?z2?(1,0,1)1?u1y，??2?y(1,0,1)x?y2?z2y2?z2 ?0，

(1,0,1)

?u1z???z(1,0,1)x?y2?z2y2?z2?(1,0,1)1， 2?????221l?AB?(2,?2,1)，cos??,cos???,cos??,

333?f?l?(2,?2,1)?u?xcos??(2,?2,1)?u?ycos??(2,?2,1)?u?zcos??(2,?2,1)1。 2【评注】一般地，

?f?l?f?l?fx(x0,y0)cos??fy(x0,y0)cos?，

(x0,y0)?fx(x0,y0,z0)cos??fy(x0,y0,z0)cos??fz(x0,y0,z0)cos?，其中

(x0,y0,z0)co?s,c?os?l的方向余弦。 是向量,?cox例28.函数f(x,y)?arctan在点(0,1)处的梯度等于 。

y（2008-研）

?f?x1y?x1?()2y?f?x解：?1,(0,1)(0,1)?f?y(0,1)xy2?x1?()2y??0，

(0,1)所以gradf(0,1)???fi??y(0,1)??j?i。

(0,1)【评注】一般地，gradf(x0,y0)?(fx(x0,y0),fy(x0,y0))；

gradf(x0,y0,z0)?(fx(x0,y0z0,),fy(x0,y0,z0),f(x0,y0,z0))。

例289求a,b,c的值，使函数f(x,y,z)?axy2?byz?cx3z2在点M(1,2,?1)处沿

z轴正方向的方向导数有最大值64.

解：fx?(x,y,z)?ay2?3cx2z2,fy?(x,y,z)?2axy?bz,fz?(x,y,z)?by?2cx3z，

fx?(1,2,?1)?4a?3c,fy?(1,2,?1)?4a?b,fz?(1,2,?1)?2b?2c，

?设l?(1,0,0)，则cos??1,cos??0,cos??0，

故

?f?l?fx?(1,2,?1)cos??fy?(1,2,?1)cos??fz?(1,2,?1)cos??4a?3c，

(1,2,?1)

?由方向导数与梯度的关系知，当l?(1,0,的方向与梯度

gra(d1f,?2,?1)?(a4 c3?a,4b?的方向一致时，方向导数达到最大值。bc?4a?3c?64?据题意有?4a?b?0，故a?4,b?c?16。

?2b?2c?0? 【评注】方向导数沿梯度的方向达到最大值，且其最大值为梯度的模。

题型5 与多元函数极值有关的题

例30已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且

limf(x,y)?xy?1，则 222(x?y)(x,y)?(0,0)(A) 点(0,0)不是f(x,y)的极值点； (B) 点(0,0)是f(x,y)的极大值点； (C) 点(0,0)是f(x,y)的极小值点； (D) 无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点.

（研）

【分析】 由题设，容易推知f(0,0)?0，因此点(0,0)是否为f(x,y)的极值，关键看在点(0,0)的充分小的邻域内f(x,y)是恒大于零、恒小于零还是变号.

解：应选（A） 由

(x,y)?(0,0)limf(x,y)?xy?1知，分子的极限必为零，从而有f(0,0)?0, 222(x?y)且f(x,y)?xy?(x2?y2)2?o[(x2?y2)2] (x,y充分小时），于是

f(x,y)?f(0,0)?xy?(x2?y2)2?o[(x2?y2)2].

特殊地，当y?x且x充分小时，f(x,y)?f(0,0)?x2?4x4?0；而当y??x且x充分小时，f(x,y)?f(0,0)??x2?4x4?0. 故点(0,0)不是f(x,y)的极值点，应选(A).

【评注】 本题综合考查了多元函数的极限、连续和多元函数的极值概念，题型比较新，有一定难度. 极限表示式转化为极限值加无穷小量，是有关极限分析过程中常用的思想（见例5的评注）。

例31设函数z?f(x,y)的全微分为dz?xdx?ydy，则点（0，0）

（A）不是f(x,y)的连续点 ； （B）不是f(x,y)的极值点； （C）是f(x,y)的极大值点 ； （D）是f(x,y)的极小值点 。 解;应选 （ D ） 因dz?xdx?ydy可得

?z?z?x,?y， ?x?y?z?z?2z?2z?2z?0，C?2?1，又在（0，0）处，?0,?0， A?2?1，B??x?y?y?x?x?yAC?B2?1?0，A?1?0，故（0，0）为函数z?f(x,y)的一个极小值点。

【评注】此题主要考察了极值的充分条件：设函数z?f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数? 又fx(x0,y0)?0,fy(x0,y0)?0， 令

fxx(x0,y0)?A,fxy(x0,y0)?B,fyy(x0,y0)?C ，则

① AC?B2>0时具有极值? 且当A<0时有极大值? 当A>0时有极小值? ② AC?B2<0时没有极值? ③ AC?B2?0时可能有极值? 也可能没有极值?。

例32设z=z(x,y)是由x2?6xy?10y2?2yz?z2?18?0确定的函数，求

z?z(x,y)的极值点和极值.

【分析】 可能极值点是两个一阶偏导数为零的点，为此先求出一阶偏导数，

再令其为零即可确定驻点，然后用二元函数极值的充分条件确定是否为极值点，是极大值点还是极小值点，并求出相应的极值.

解： 因为 x2?6xy?10y2?2yz?z2?18?0，方程两边分别对x,y求导数得

2x?6y?2y?z?z?2z?0， ?x?x?z?z?2z?0. ?y?y ?6x?20y?2z?2y??z?0,?x?3y?0,??x?3y,??x令 ??z 得 ?故 ?

??3x?10y?z?0,?z?y.?0????y

?x?9,?x??9,??将上式代入x2?6xy?10y2?2yz?z2?18?0，可得 ?y?3, 或 ?y??3,

?z?3?z??3.???2z?z2?2z由于 2?2y2?2()?2z2?0，

?x?x?x?z?2z?z?z?2z ?6?2?2y?2??2z?0,

?x?x?y?y?x?x?y?z?z?2z?z2?2z 20?2?2?2y2?2()?2z2?0，

?y?y?y?y?y对于驻点(9,3,3)，

?2z A?2?x?2z1?，B?(9,3,3)?x?y6?2z1??，C?2(9,3,3)2?y?5， 3(9,3,3)11?0，又A??0，从而点(9,3)是z(x,y)的极小值点，极小值366为z(9,3)=3.

故AC?B2?对于驻点(?9,?3,?3)，类似地，由

?2zA?2?x?2z1??，B?(?9,?3,?3)?x?y6?2z1?，C?2(?9,?3,?3)2?y5??， (?9,?3,?3)311?0，又A???0，从而点(-9, -3)是z(x,y)的极大值点， 366极大值为z(-9, -3)= -3.

【评注】 本题讨论了隐函数求极值问题，关键是：求可能的极值点时应注

可知AC?B2?Fy?Fx??z?z意x,y,z满足原方程，当然也可以利用公式??及??求两个偏导

?yFz??xFz?数，但由于此题需要求出二阶偏导数在驻点处的偏导数值，故在求A,B,C时，还是用此例的方法运算量小。

例33 设f(x,y)有二阶连续偏导数, g(x,y)?f(exy,x2?y2), 且

f(x,y)?1?x?y?o((x?1)2?y2), 证明g(x,y) 在(0,0)取得极值, 判断此极

值是极大值还是极小值, 并求出此极值.（2008-北京赛）

【分析】为证明g(x,y) 在(0,0)取得极值,必须找出g(x,y)在(0,0)的各个二阶导数，为此需求出f(x,y)在(1,0)点的一阶偏导数，由已知条件自然会想到利用

微分的概念。

解 ：因为f(x,y)??(x?1)?y?o((x?1)2?y2), 由全微分的定义知 f(1,0)?0，fx?(1,0)?fy?(1,0)??1.

??xy???xy??g?x?f1?ey?f2?2x，gy?f1?ex?f2?2y ，gx(0,0)?0， gy(0,0)?0

xy???xy???xy2??xy??? g?xx?(f11?ey?f12?2x)ey?f1?ey?(f21?ey?f22?2x)2x?2f2，

xyxy???xy???xy??xy?? g?xy?(f11?ex?f12?2y)ey?f1?(exy?e)?(f21?ex?f22?2y)2x， xy???xy???xy2??xy??? g?yy?(f11?ex?f12?2y)ex?f1?ex?(f21?ex?f22?2y)2y?2f2，

??A?g?xx(0,0)?2f2(1,0)??2,?(0,0)?2f2?(1,0)??2 C?g?y2??B?g?xy(0,0)?f1(1,0)??1

AC?B2?3?0, 且A?0, 故g(0,0)?f(1,0)?0是极大值.

【评注】此题考察了全微分的概念、复合函数的导数和极值的充分条件，是

概念性、综合性较强的题，当然在求二阶偏导数时，也可以利用偏导数的定义，事实上，这样做运算量会更小。

例 34 设二元函数u(x,y)在有界闭区域D上可微，在D的边界曲线上

u(x,y)?0，并满足

?u?u。 ??u(x,y)，求u(x,y)的表达式.（2005-天津赛）

?x?y【分析】此题乍看好像无从下手，但题设条件：在D的边界曲线上u(x,y)?0给了我们思路，不妨大胆假设处处有u(x,y)?0，然后用反正法证之。

解：显然u(x,y)?0满足题目条件. 下面用反证法证明只有u(x,y)?0满足题目条件.

事实上，假设u(x,y)不恒等于0，则至少存在一点(x1,y1)?D，使得

u(x1,y1)?0，不妨假设u(x1,y1)?0，由于u(x,y)在有界闭区域D上可微，从而

在有界闭区域D上连续，也必在D内至少存在一点(x0,y0)，使u(x0,y0)?M?0为u(x,y)在D上的最大值. 因为u(x,y)在D上可微，所以必有

?u?u?u?0?，于是得到

?x(x0,y0)?y(x0,y0)?x?(x0,y0)?u?y?0. 然而，由题设知

(x0,y0)?u?u??u(x,y)，因此应有u(x0,y0)?0，这与u(x0,y0)?M?0的假设矛盾；同?x?y理可证u(x1,y1)?0的情况. 因此可知在D上u(x,y)?0。

【评注】此题的理论性、概念性比较强，主要考察了函数可微与偏导数存在、连续的关系及极值的必要条件：设函数z?f(x,y)在点(x0,y0)具有偏导数? 且在点(x0,y0)处有极值? 则有 fx?(x0,y0)?0，fy?(x0,y0)?0，注意极值的必要条件是重要考点。

例35 设f(x,y)与?(x,y)均为可微函数，且?y?(x,y)?0，已知(x0,y0)是

f(x,y)在约束条件?(x,y)?0下的一个极值点，下列选项正确的是

(A) 若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. (B) 若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. (C) 若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. (D)若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0.

（2006-天津赛） 【分析】 利用二元函数条件极值的拉格朗日乘子法 解：应选(D)

作拉格朗日函数F(x,y,?)?f(x,y)???(x,y)，并记对应x0,y0的参数?的值为?0，则

?F?(x,y,?)?0?f?(x,y)????(x,y)?0?x000?x000x00 ?， 即? .

??????Fy(x0,y0,?0)?0?fy(x0,y0)??0?y(x0,y0)?0因为?y?(x,y)?0，将?0?? fx?(x0,y0)?1fy?(x0,y0)?y?(x0,y0)代人第一个方程,得

?y?(x0,y0)fy?(x0,y0)?x?(x0,y0).

因此若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0.故应选（D）.

【评注】条件极值的拉格朗日乘子法是重要考点，一般它有以下几种情形：

①求函数z?f(x,y)在条件?(x,y)?0下取得极值的必要条件

可构造拉格朗日函数：L(x,y,?)?f(x,y)???(x,y)

?Lx(x,y,?)?fx(x,y)???x(x,y)?0? 令?Ly(x,y,?)?fy(x,y)???y(x,y)?0，解之可得驻点。

??L?(x,y,?)??(x,y)?0 ②求函数u?f(x,y,z)在条件?(x,y,z)?0下取得极值的必要条件, 可构造拉格朗日函数：L(x,y,,z,?)?f(x,y,z)???(x,y,z)

??(x,y,z,t)?0③求函数u?f(x,y,z,t)在条件?下取得极值的必要条件

?(x,y,z,t)?0?可构造拉格朗日函数：L(x,y,,z,t,?,?)?f(x,y,z,t)???(x,y,z,t)???(x,y,z,t)。

例36在椭球面2x2?2y2?z2?1上求一点，使函数f(x,y,z)?x2?y2?z2在

???该点沿方向l?i?j的方向导数最大.（2004-天津赛）

解：函数f(x,y,z)的方向导数表达式为：

?f?f?f?f??cos??cos??cos?

?y?z?l?x?11其中：cos??，cos???，cos??0为方向l的方向余弦. 因此

22?f??2(x?y) ?l由题意即求函数2(x?y)在条件2x2?2y2?z2?1下的最大值. 设F(x,y,z,?)?2(x?y)??(2x2?2y2?z2?1)

??F??x???F???y令???F??z???F?????2?4?x?0??2?4?y?0解之得z?0以及x??y???2?z?0?2x2?2y2?z2?1?01，即得驻点为2

yz7．设函数z?z(x,y)由方程F(,)?0确定，其中F为可微函数，且Fz?0,xx则x?z?z?y? 。(2010-研)。 ?x?y8. 设z?f(x,y)在点(0,的某一邻域内可微，且

22其中??x?y，则由方程f(x,y)?1所确定的函数在f(x,y?1)?1?2x?3y?o(?)，

dy在x?0处的导数|x?0?_______.（2007-北京赛）

dx?3x2?2y2?129.由曲线?绕y轴旋转一周得到的旋转面在点(0,3,2)处的

z?0?指向外侧的单位法向量为 .（2006-天津赛）

22??3x?2y-2z-1?010.曲线L:?2在点（1，1，2）处的切线方程22??x?y?z-4y-2z?2?0为 。（2007-天津赛）

11.设F(u,v,w)是可微函数，且Fu(2,2,2)?Fw(2,2,2)?3,Fv(2,2,2)??6，曲面

F(x?y,y?z,z?x)?0过M（1，1，1）点，则过这点的法线方程为 （研）12.函数u?ln(x?y2?z2)在点A(1,0,1)处，沿点A指向点B(3,?2,2)方向的方向导数为 . （2005-天津赛）

?1?z13.设z?x?xy?y在点(?1,1)处沿方向l?(2,1)的方向导数?

?l522（2002-天津赛）

14.函数u?x2?y2?z2在点M (1,1,1,)处，沿曲面2z?x2?y2在该点的外法线方向l的方向导数

??u?l? 。（2008-天津赛）

?1,1,1?15，函数u?xy2z在P?1,?1,2?处沿什么方向方向导数最大？并求此方向的方向导数.

.

二、选择题

1.考虑二元函数f?x,y?在点?x0,y0?处的下面四条性质： ①连续； ②可微；

③fx??x0,y0?与fy??x0,y0?存在； ④fx??x,y?与fy??x,y?连续。 若用“P?Q”表示可由性质P推出性质Q，则有（ ）

（A）②?③?①； （B）④?②?①； （C）②?④?①； （D）④?③?②。（2007-天津赛）

2.二元函数f(x,y)在点（0，0）处可微的一个充分条件是（ ） （A）

?f(x,y)?f(0,0)??0； （B）(x,ylim(x,y)?(0,0))?(0,0)limf(x,y)?f(0,0)x?y22?0；

（C）limx?0f(0,y)?f(0,0)f(x,0)?f(0,0)?0； ?0,且lim(x,y)?(0,0)yx（D）limfx'(x,0)?fx'(0,0)?0，且limfy'(0,y)?fy'(0,0)?0。（研）

x?0y?0?????xy22?x2?y2,x?y?03.设z??，则z?z(x,y)在点(0,0)（ ）

?0,x2?y2?0?（A）连续且偏导数存在； （B）连续但不可微；

（C）不连续且偏导数不存在； （D）不连续但偏导数存在（2002-天津赛） 4.数f(x,y)?xy，在点(0,0)处f(x,y)（ ）

（A）连续，但偏导数不存在； （B）偏导数存在，但不可微； （C）可微；； （D）不连续且偏导数不存在。 (2004-天津赛) 5.设函数z?f?x,y?在点?x0,y0?处有

?f?x?a,?x0,y0??f?y?b，则下列结论

?x0,y0?正确的是（ ）

（A）limf?x,y?存在，但f?x,y?在?x0,y0?点处不连续；

x?x0y?y0（B）f?x,y?在?x0,y0?点处连续； （C）dz?adx?bdy；

（D）limf?x,y0?,limf?x0,y?都存在，且相等。（2008-天津赛）

x?x0y?y0Fy??x0,y0??0。F?x0,y0??0，Fx??x0,y0??0，6.设F?x,y?具有2阶连续偏导数，

若y?y?x?是由方程F?x,y??0所确定的在点?x0,y0?附近的隐函数，则x0是

y?y?x?的极小值点的一个充分条件为（ ）

???x0,y0??0； （B）Fxx???x0,y0??0； （A）Fxx???x0,y0??0； （D）Fyy???x0,y0??0（2009-天津赛） （C）Fyy?2u7.在平面有界闭区域D上具有二阶连续偏导数，且满足?0及

?x?y?2u?2u?2?0，则（ ） 2?x?y（A）u(x,y)的最小值点在区域的内部，最大值点在区域D的边界上； （B）u(x,y)的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上； （C）u(x,y)的最大值点在区域的内部，最小值点在区域D的边界上； （D）u(x,y)的最大值点和最小值点必定都在区域D的内部。（2001-天津赛） 8.设函数f(x)具有二阶连续偏导数，且f(x)?0,f?(0)?0,则函数在点z?f(x)lnf(y)(0,0)处取得极小值的一个充分条件是 （A）f?0??1,f??(0)?0； （B）f?0??1,f??(0)?0； （C）f?0??1,f??(0)?0； （D）f?0??1,f??(0)?0（2011-研）

三、解答题 1.求( 1 )

(x,y)?(0,0)limxyx2?y2 ( 2 )

xy

(x,y)?(0,0)2?xy?4lim2.已知函数f(u)具有二阶导数，且f?(0)?1,函数y?y(x)由方程y?xey?1?1dz所确定，设z?f(lny?sinx)，求

dxd2zx?0,dx2x?0。（2007-研）。

?2f?2f3. 设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足2?2?1，又

?u?v?2g?2g122g(x,y)?f(xy,(x?y),求2?2。 （研）

?x?y2

?2u?2u4.设函数u(x,y)的所有二阶偏导数都连续，2?2且u(x,2x)?x，

?x?y?(x,2x)?x2，求u11??(x,2x).（2001-天津赛）. u15.设f(u,v)有一阶连续偏导数，z?f(x2?y2,cos(xy))，x??cos?，

y??sin?，证明：

?z1?z?z?z（2006天津赛） cos??sin??2x?ysin(xy).）

??????u?v?u?x?2y?2z?2z?2z?2z6.设z?z?x,y?,变量?且62? ?2?0那么? 。

v?x?3y?x?x?y?y?u?v?（2009-北京赛）

?2z?2z?2z?2?0可7.设二元函数z?z?x,y?具有二阶连续偏导数，证明：2?2?x?x?y?y?2w经过变量替换u?x?y,v?x?y,w?xy?z化为等式22?1?0。（2008-天津

?u赛）。

?2z?2z8.设z?z?x,y?是由z?e?xy所确定的二元函数，求：2，（2010-?x?y?xz天津赛）

9.设z?z?x,y?是由方程x2?y2?z???x?y?z?所确定的函数，其中?具有2阶导数且????1时，求(1)dz；（2）记u?x,y??1??z?z??u ???，求

x?y??x?y??x10.已知曲面4x2?y2?z2?1上点P处的切平面平行于平面x?y?z?1，求切平面的方程。（2012-天津赛）

x2y2z211求λ的值，使两曲面：xyz?λ与2?2?2?1在第一卦限内相切，并

abc求出在切点处两曲面的公共切平面方程。（2008-天津赛）。

x?ay?b12.设二元函数F可微，试证明由方程F(,)?0所确定的曲面的任

z?cz?c一切平面都通过某定点。

13. 求曲线x?t,y?t2,z?t3上一点，使该点处曲线的切线平行于平面

x?2y?z?4，并写出切线的方程.

14.求曲面y?1?x2与曲面2x?z?3的交线上一点，使交线在该点处的切线平行于已知直线

xyz??，并求交线在该点处的法平面. ?1422z??e?xy?215.求曲线?在点(1,1,0)处的切线与法平面.

22??z?x?y16.设函数f?x,y?具有连续的偏导数，对任意的x,y恒有gradf?x,y??2.

1?F?F记F(u,v)?f(uv,(u2?v2)，试确定常数a,b使a()2?b()2?u2?v2。

2?u?v17.求f(x,y)?x2?2x2y?y2在S?(x,y)x2?y2?1上的最大值与最小值.（2002-天津赛）

x2?y2?2z2?0，求曲线C距离xoy面最远的点和最近的点。18.已知曲线C:???x?y?3z?5??（2008-研）

19.求函数u?x2?y2?z2在在约束条件z?x2?y2和x?y?z?4下的最大和最小值.

20.求过第一卦限中的点(a,b,c)的平面，使之与三坐标平面所围成的四面体的体积最小。（2007-天津赛）。

21.求二元函数f(x,y)?x2(2?y2)?ylny极值（2009-研）。

x2y2z222.设?1:2?2?2?1，其中a?b?c?0,?2:z2?x2?y2，?为?1和?2的

abc交线，求椭球面?1在?上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值。（第二届-全国赛-决赛）。

x3x?y23.求f(x,y)?(y?)e的极值。（2013-研）

3参考答案： 一、1． ?g?(v)（提示：令u?xg(y),?vg2(v)，y则f(u,v)?g(v)；?g(v)）

u2.

22???f2??xyf22??；5.yf??(xy)???(x?y)?y???(x?y) ；(ln2?1) ；3. ；4.xf122e

6. dx?2dy ；7. x?z?zyF??zF2?yF1??y?1??z； ?x?yxF2?F2?28.?（提示：先利用全微分的定义和公式求出fx(0,1),fy(0,1)，再利用隐函数的

3求导法则）；9.1x?1y?1z?2； (0,2,3)；10.??1?4?5511.

3x?1y?1z?111；12.；13.?；14.；15.沿gradu?1,?1,2???2,?4,1?方??2?1?1235向的方向导数最大，最大方向导数为gradu?1,?1,2??4?16?1?21。 二、1.( B)；2. （B） ；3. （D）；4. (B)；5. (D ) ；6.（B）；7.（B）；8.（A）（提示：利用二元函数极值的充分条件）；

4三、1.（1）0（提示：用夹逼准则），（2）-4；2.1,1； 3. x2?y2；4．u11''(x，2x)??x；

3u?vu?v5.略 ；6.0；7.提示：由题意可先解得x?，从而,y?221?xyezu2?v2?u?vu?v?w??z?,； ??；8.3zz42?1?e?21?e??9.dz??????2x?dx??????2y?dy，?u??2???(1?2x)；

???1?x(???1)21110.2(x?)?(y?1)?(z?1)?0；2(x?)?(y?1)?(z?1)?0；

2211. 9.x?abcabcxyz；???3；12.略； ,y?,z?;λ?33333abc11113．切点为：(?1,1,1) 或 (?,,?)3927

切线方程为：

x?1y?1z?1 或 ??123x?111y?z?3?9?27；

211?3314.切点为：(2,?3,?1)，切平面：x?4y?2z?16； 15．

x?1y?1z11??；x?y?4z?0；16. a?,b??； ?1444 14343；minf(x,y)?1?； 18.最远点(?5,?5,5)，最近(x,y)?S9917.maxf(x,y)?1?(x,y)?S点(1,1,1)（提示：利用例35的【评注】3）；19. 最小值为6，最大值为72；

xyz20.???1；21. 极小值

3a3b3cb2?c21?1?f?0,???；22.最大值为bc44，最小b?ce?e?a2?c2值为ac44（提示：先求交线上的切平面方程，再求原点到切平面的距离，a?c最后利用例35的【评注】3得驻点，通过比较两个驻点处函数值的大小，得距

?4离的最大值和最小值）。23.极小值点为(1,?),极小值为?e3。

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