第33届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题解答

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第33届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题解答

一、（20分）如图，上、下两个平凸透光柱面的

半径分别为1R 、2R ，且两柱面外切；其剖面（平

面）分别平行于各自的轴线，且相互平行；各

自过切点的母线相互垂直。取两柱面切点O 为

直角坐标系O-XYZ 的原点，下侧柱面过切点O

的母线为X 轴，上侧柱面过切点O 的母线为Y

轴。一束在真空中波长为λ的可见光沿Z 轴负

方向傍轴入射，分别从上、下柱面反射回来的光线会发生干涉；借助于光学读数显微镜，逆着Z 轴方向，可观测到原点附近上方柱面上的干涉条纹在X-Y 平面的投影。1R 和2R 远大于傍轴光线

干涉区域所对应的两柱面间最大间隙。空气折射率为0 1.00n =。试推导第k 级亮纹在X-Y 平面的投影的曲线方程。

已知：a. 在两种均匀、各向同性的介质的分界面两侧，折射率较大（小）的介质为光密（疏）介质；光线在光密（疏）介质的表面反射时，反射波存在（不存在）半波损失。任何情形下，折射波不存在半波损失。伴随半波损失将产生大小为π的相位突变。b. sin , 1x x x ≈<<当。

参考解答：

如图a 所示，光线1在上侧柱面

P 点处傍轴垂直入射，入射角为θ，折

射角为0θ，由折射定律有

00sin sin n n θθ= ①

其中n 和0n 分别玻璃与空气的折射率。

光线在下侧柱面Q 点处反射，入射角

与反射角分别为i 和i '，由反射定律有

i i '= ②

光线在下侧柱面Q 点的反射线交上侧柱面于P '点，并由P '点向上侧柱面折射，折射光线用1''表示；光线1''正好与P '点处的入射光线2的反射光线2'相遇，发生干涉。考虑光波反射时的半波损失，光线1''与光线2'在P '点处光程差L ?为

p 0p 0p p ()(P Q P Q )()(P Q P Q )()22L n z n n z n n z z λλ''??''?=-+++--=+--+???

? ③

2

式中λ为入射光线在真空中的波长，0 1.00n =。由题意，1R 和2R 远大于傍轴光线干涉区域所对应

的两柱面间最大间隙；因而在傍轴垂直入射情况下有

0θ≈，1i i '=<<

①式成为

00n n θθ≈ ④

亦即

010n θθ>>≈≈ ⑤

在傍轴条件下， 柱面上P 、Q 两处切平面的法线近似平行，因此

010i i θ'>>=≈≈ ⑥

从而，在P 、Q 两处，不仅切平面的法线近似平行，而且在上下表面的反射光线、折射光线均近似平行于入射线，因而也近似平行于Z 轴，从而P '与P 点近似重合，即

p p z z '≈ ⑦

且PQ 近似平行于Z 轴，因而长度

P Q

P Q PQ z z '≈≈- ⑧

由③⑧式得 ()00P Q 2PQ 222L n n z z λ

λ

?=?+=-+ ⑨

可以将⑨式右端的-z 坐标近似用-x 或-y 坐标表出。为此，引

入一个近似公式。如图b 所示，设置于平面上的柱面透镜与平面之

间的空气隙的厚度为e ，柱面半径为R 。对三边边长分别为R 、

R e -和r 的直角三角形有

()2

22=R R e r -+ ⑩

即

222Re e r -= ?

在光线傍轴垂直入射时，e R <<，可略去?式

左端的2e ，故

2

2r e R = ? 在光线傍轴垂直入射时， 前面已证近似有

PQ//Z 轴。故可将上、下两个柱面上的P 、Q 两

点的坐标取为P P (,,)x y z 、Q Q (,,)x y z ，如图c

所示。根据?式可知，P 、Q 两点到XOY 切平面的距离分别为

3 21P 12x e z R ==，2

2Q 2

2y e z R =-= ? 最后，光线在上、下两个柱面反射并相遇时, 其光程差L ?为

()()0P Q 0122222L n z z n e e λ

λ

?≈-+=++

2222001212 22222x y x y n n R R R R λλ????=++=++ ? ????? ?

若P 、Q 两点在XOY 平面的投影点(,)x y 落在第k 级亮(暗)纹上，则L ?须满足条件

22012, 1,2,, 12(),0,1,2,, 2

k k x y L n R R k k λλλ=?????=++=? ?+=????亮环暗环 ? ?式中亮环条件对应于第k 级亮纹上的点(,,)x y z 的x -、y -坐标满足的方程。

更具体地，不妨假设12R R >，根据?式中的亮环条件，可得第k 级亮纹的方程为

22

221, 1,2k k x y k A B +=

= ?

它们是椭圆亮环纹，其半长轴与半短轴分别为

1,2,k A k ==

， 1,2,k B k ==

?

评分参考：①②式各1分，③式2分，④⑤式各1分，⑥式2分，⑦式1分，⑧式2分，⑨⑩??式各1分，?式2分，?式1分，?式（亮环条件正确）2分。

二、（20分）某秋天清晨，气温为4.0C ?，一加水员到

实验园区给一内径为2.00 m 、高为2.00 m 的圆柱形不

锈钢蒸馏水罐加水。罐体导热良好。罐外有一内径为

4.00 cm 的透明圆柱形观察柱，底部与罐相连（连接

处很短），顶部与大气相通，如图所示。加完水后，

加水员在水面上覆盖一层轻质防蒸发膜（不溶于水，

与罐壁无摩擦），并密闭了罐顶的加水口。此时加水

员通过观察柱上的刻度看到罐内水高为1.00 m 。

（1）从清晨到中午，气温缓慢升至24.0C ?，问此时

观察柱内水位为多少？假设中间无人用水，水的蒸发及罐和观察柱体积随温度的变化可忽略。

（2）从密闭水罐后至中午，罐内空气对外做的功和吸收的热量分别为多少？求这个过程中罐内空气的热容量。

4

已知罐外气压始终为标准大气压501.0110P a p =?，水在4.0C ?时的密度为330 1.0010kg m ρ-=??，水在温度变化过程中的平均体积膨胀系数为413.0310K κ--=?，重力加速度大小为29.80m s g -=?，绝对零度为273.15C -?。

参考解答：

（1）清晨加完水封闭后，罐内空气的状态方程为

000p V nRT = ①

式中n 为罐内空气的摩尔数，0p 、30π m V =和0277.15K T =分别是此时罐内空气的压强、体积和温度。

至中午时，由于气温升高，罐内空气压强增大，设此时罐内空气的压强、体积和温度分别为1p 、1V 和1T ，相应的状态方程为

111pV nRT = ②

式中1297.15K T =。空气和水的体积都发生变化，使得观察柱中水位发生变化，此时观察柱内水位和罐内水位之差为，

101010120122

()(+)V V V V T T S S l h S S S κ---?=++ ③ 式中右端第三项是由原罐内和观察柱内水的膨胀引起的贡献，01.00 m l =为早上加水后观测柱内水面的高度，21πm S =、4224π10m S -=?分别为罐、观察柱的横截面积。由力平衡条件有

1011p p g h ρ=+? ④

式中

1101()T T ρρκ=+- ⑤

是水在温度为1T 时的密度。联立①②③④⑤式得关于h ?的一元二次方程为

2110110000

()()(

)0T gS h p S gV h p V T ρλρλ'?++?--= ⑥ 式中

1212S S S S S '=+，101()T T λκ=-- ⑦ 解方程⑥得

10.812m h ?== ⑧ 另一解不合题意，舍去。由③⑤⑦⑧式和题给数据得

5

3101010()0.0180m V V S h T T S l κ'-=?--=-

由上式和题给数据得，中午观察柱内水位为

10101+1.82m V V l h l S -=?-= ⑨

（2）先求罐内空气从清晨至中午对外所做的功。

（解法一）早上罐内空气压强50 1.0110Pa p =?；中午观察柱内水位相对于此时罐内水位升高h ?，罐内空气压强升高了

3317.91310Pa 7.9110Pa p g h ρ?=?=?=? ⑩ 由于0p p ?<<，可认为在准静态升温过程中，罐内空气平均压强为

5501 1.049510Pa 1.0510Pa 2

p p p =+?=?=? ?

罐内空气体积缩小了 30.0180m V ?= ?

可见0/1V V ?<<，这说明?式是合理的。罐内空气对外做功

331.88910J 1.910J W p V =?=-?=-? ?

（解法二）缓慢升温是一个准静态过程，在封闭水罐后至中午之间的任意时刻，设罐内空气都处于热平衡状态，设其体积、温度和压强分别为V 、T 和p 。水温为T 时水的密度为

01()T T ρρκ=+- ⑩

将②③④式中的1V 、1T 和1p 换为V 、T 和p ，利用⑩式得，罐内空气在温度为T 时的状态方程为

()()00010010001000()/() 1()g

p p V V T T S l S V V S l T T gS l p S T T ρκκρκ=+-+-???

?'-+-=+'+- ? 由题设数据和前面计算结果可知

010()()0.0060T T T T κκ-<-=

0101010

=0.0057V V V V S l S l --< 这说明?式右端分子中与T 有关的项不可略去，而右端分母中与T 有关的项可略去。于是?式可

()()0001001000100 ()/()g

p p V V T T S l S gS l p V V S l T T S ρκρκ=+-+-????'=+-+-????' 利用状态方程，上式可改写成

6

00001010001

10

()1g nR p V T S l nR S S l p gl S S l V nR S ρκκκρκ-

++

'=--' ? 从封闭水罐后至中午，罐内空气对外界做的功为

1100000010100011000110100001000

11001003()d d 11()()ln 11.89010J 1.9V V V V g nR p V T S l nR S S l W p V V gl S S l V nR S gl S V nR S g nR nR S V V p V T S l gl S S l g S S l V nR S ρκκκρκκρρκκρκρκ??-++??'==-????-??'??

??-??'??'=----++????'????-'?

?

=-?=-???310J ? （解法三）缓慢升温是一个准静态过程，在封闭水罐后至中午的任意时刻，罐内空气都处于热平衡状态，设其体积、温度和压强分别为V 、T 和p 。水在温为T 时的密度为

01()T T ρρκ=+- ⑩

将②③④式中的1V 、1T 和1p 换为V 、T 和p ，利用⑩式得，罐内空气在温度为T 时的状态方程为

()()0001000100

00000100100001000100001000100010 1() 1() ()[1()] ()(1)()g p p V V T T S l S V V T T S l g p S T T g g V V S l p S l S S T T gl S g

p V V S l T T S S gl S g p V V S l T pV V V S l S S nR ρκκρκρρκρρκρρκκ=+

-+-???

?'-+-=+'+---=+

+''+-≈+

+----''?=

++--+---''001001000100001000000001

0000000 ()(1) (2)(1) (2)(1)gl S g g S l p V V S l T pV S S S nR gl S g g V p V V T pV S S S nR gl S g g T p V V T pV S S S p ρρρκκρρρκκρρρκκ?????≈

++--++'''=

++-++'''=++-++''' ? 式中应用了

010()()0.0060T T T T κκ-<-=，

0101010

=0.0057V V V V S l S l --< ?式可改写成

7

001

0000000000000000000(2)(1) 112(12)(1) 1gl S g

p V V T S S p g T V S p T gV p T T p T S g T T V S p ρρκρκκρκκκρκκ++-+'

'=-'+-+'+=-+-' ?

从封闭水罐后至中午，罐内空气对外界做的功为

1100000000000000000000110000000003312(12)(1)d d 1(1)ln 1.89610J 1.910J

V V V V T gV p T T p T S W p V V g T T V S p T p S p S p g T V V V V T g T S p g T V κρκκκρκκκρκκρκρκ+??-+??'+==-+????-'????

''+-????=--+-?? ?'-???

?=-?=-??? ? 现计算罐内空气的内能变化。由能量均分定理知，罐内空气中午相对于清晨的内能改变为

440010100

55()=() 5.72410J 5.7210J 22p V U nR T T T T T ?=--=?=? ? 式中5是常温下空气分子的自由度。由热力学第一定律得，罐内空气的吸热为

445.53510J 5.5410J Q W U ?=+?=?=? ?

从密闭水罐后至中午，罐内空气在这个过程中的热容量为

3110

2.7710 J K Q C T T -?==??-。 ? 评分参考：第（1）问10分，①②③④⑤⑥⑦⑧式各1分，⑨式2分；第（2）问10分，⑩??式各1分，???式各2分，?式1分。

三、（20分）木星是太阳系内质量最大的行星（其质量约为地球的318倍）。假设地球与木星均沿圆轨道绕太阳转动，两条轨道在同一平面内。将太阳、地球和木星都视为质点，忽略太阳系内其它星体的引力；且地球和木星之间的引力在有太阳时可忽略。已知太阳和木星质量分别为s m 和j m ，引力常量为G 。地球和木星绕太阳运行的轨道半径分别是e r 和j r 。假设在某个时刻，地球与太阳的连线和木星与太阳的连线之间的夹角为θ。这时若太阳质量突然变为零，求

（1）此时地球相对木星的速度大小ej v 和地球不被木星引力俘获所需要的最小速率0v 。

（2）试讨论此后地球是否会围绕木星转动，可利用（1）中结果和数据30s 2.010kg m ≈?、27j 1.910kg m ≈?、木星公转周期j 12 y T ≈。

参考解答：

8

（1）若太阳质量突然变为零，地球和木星围绕太阳转动速度不会突然改变，因而应当等于在太阳质量变为零之前的瞬间，地球和木星围绕太阳转动的速度。设在太阳质量变为零之前，地球和木星绕太阳转动速度分别是e v 和j v 。以太阳为原点、地球和木星公转轨道平面为-x y 平面建立坐标

系。由万有引力定律和牛顿第二定律有

2s e e e 2e e m m G m r r =v ①

由①式得

e =v ② 同理有

j =v ③

现计算地球不被木星引力俘获所需要的最小速率0v （不考虑太阳引力）。若地球相对木星刚

好以速度0v 运动，也就是说，当地球在木星的引力场里运动到无限远时，速度刚好为零，此时木

星-地球系统引力势能为零，动能也为零，即总机械能为零。按机械能守恒定律，在地球离木星距离为ej r 时，速度0v 满足

e j 2e 0ej 102m m m G r -=v ， ④

即

0v =， ⑤

可见，地球不被木星引力俘获所需要的最小速率0v 的大小与木星质量和地球离木星的距离有关。

设在太阳质量变为零的瞬间，木星的位矢为

j j (,0)r =r ⑥

地球的位矢为

e e e (cos , sin )r r θθ=r ， ⑦ 式中θ为地球此时的位矢与x -轴的夹角。此时地球和木星的距离为

ej r ⑧

此时地球相对于木星的速度大小为

ej e j =-=v v v ⑨

式中cos θ项前面取减号是因为考虑到木星和地球同方向绕太阳旋转的缘故。由⑤⑧式得

9

1/2j 0221/4e j e j (2)(2cos )Gm r r r r θ=

+-v ， ⑩

（2）解法（一） 为了判断地球是否会围绕木星转动，只需比较ej v 和0v 的大小。由开普勒第三定律有

3

3j e 22j e r r T T =， ? 式中j =12 y T 是木星公转周期，而e =1y T 是地球公转周期。由?式得

j

e 5.2r r ==≈ ?

ej v 和0v 都是正数，所以，由⑨⑩?式有：

ej

0 =v v ?

显然，?式右端当cos 1θ=，即

0θ= ?

时取最小值，此时太阳、地球、木星共线，且地球和木星在太阳同侧。由??式和题给数据有

ej 0min

291??>> ???v v ? 也就是说，在任何情况下，

ej 0v >>v ?

即若太阳质量突然变为零，地球必定不会被木星引力俘获，不会围绕木星旋转。这里考虑的是地球与木星绕太阳运动方向相同的情况。若地球和木星绕太阳转动方向相反，则地球和木星的相对速度会更大，而0v 不变，地球也不会围绕木星旋转。

解法（二）

为了判断地球是否会围绕木星转动，只需比较ej v 和0v 的大小。首先讨论0θ=时的情况，即在太阳质量变为零的瞬间，太阳、地球、木星共线，且地球和木星在太阳同侧的情形。由开普勒第三定律有

3

3j e 22j e r r T T =， ? 式中j =12 y T 是木星公转周期，而e =1y T 是地球公转周期。由?式得

10

2/3j j e e e e 5.2T r r r T ??==≈ ???， ?

将?式和有关数据代入⑨⑩式得

ej 7.910=?v ?

1/2

j 0221/4

e j e j (2) 2.710(2cos )Gm r r r r θ=

≈?+-v ? 可见，此时有 ej 0v >>v ?

所以这种情形下地球不会围绕木星旋转。这里考虑的是地球与木星绕太阳运动方向相同的情况。若地球和木星绕太阳转动方向相反，则地球和木星的相对速度会更大，而0v 不变，地球也不会围绕木星旋转。

对于0θ≠的情况，当θ从0到π（或从0到π-）改变时，从式⑨⑩式可以看到，

ej v 单调增大，0v 单调减小 ?

所以总有?式成立。因此，若太阳质量突然变为零，地球仍不会围绕木星旋转。

评分参考：第（1）问10分，①②③④⑤⑦⑧⑨⑩式各1分；第（2）问10分，?式2分，?式1分，??式各2分，??式各1分，结论正确给1分。

四、（20分）蹦极是年轻人喜爱的运动。为研究蹦极过程，现将一长

为L 、质量为m 、当仅受到绳本身重力时几乎不可伸长的均匀弹性

绳的一端系在桥沿b ，绳的另一端系一质量为M 的小物块（模拟蹦

极者）；假设M 比m 大很多，以至于均匀弹性绳受到绳本身重力和

蹦极者的重力向下拉时会显著伸长，但仍在弹性限度内。在蹦极者

从静止下落直至蹦极者到达最下端、但未向下拉紧绳之前的下落过

程中，不考虑水平运动和可能的能量损失。重力加速度大小为g 。

（1）求蹦极者从静止下落距离y （y L < ）时的速度和加速度的

大小，蹦极者在所考虑的下落过程中的速度和加速度大小的上限。

（2）求蹦极者从静止下落距离y （y L < ）时，绳在其左端悬点b

处张力的大小。

参考解答：

11

（1）由题意，均匀弹性绳在自重作用下几乎不可伸长，此即其劲度系数非常大。因而，虽然绳的弹力大小不可忽略，但绳在自重作用下的弹性势能却可忽略不计。取桥面为重力势能零点，系统总的初始能量是绳的初始势能，即

4

i pi L E E mg ==- ① 式中，m 是绳的质量，L 是绳的原长。蹦极者下落距离y 时，系统的动能为 2211222k L y E M m L

-=+v v ② 式中，M 是蹦极者的质量，v 是蹦极者的速度大小，它等于下落的绳的速度。下落的那段绳的重力势能为 ,(24p L y L y E m

g y L --=-+动) ③ 而此时静止的那段绳的重力势能为 ,24

p L y L y E m g L ++=-静 ④ 由②③④式得，此时系统（蹦极者和绳）总的机械能为

,,22+11 (2222424

f k p p E E E E Mgy

L y L y L y L y L y M m m g y m g Mgy L L L =+----++=+-+--v v )动静 ⑤ 按题意，不考虑可能的能量损失，有

i f E E = ⑥

由①②③④⑤⑥式得 2422ML mL my gy ML mL my

+-=+-v ⑦ 将⑦式两边对时间求导得

2(42)22+(2)d dy my ML mL my g dt dt ML mL my +-??=??+-??v v

⑧ 将dy dt =v 代入⑧式得，蹦极者加速度大小d a dt

=v 为 ()()222122ML mL g a ML mL my ??+=+??+-????

或2(42)12(2)my ML mL my a g ML mL my +-??=+??+-?? ⑨ 在所考虑的下落过程中，加速度向下，速度大小的上限为

y L →=v ⑩ 由⑨式有

12

22

3

(2)0(2)da M m L mg dy ML mL my +=>+- ? 加速度大小的上限为

2(4)18y L m M m a g M →+??=+????

? （2）解法（一）设蹦极者在时刻t 下落到离起始水平面距离y 处，在时刻t dt +下落到离起始水平面距离y dy +处。考虑时刻t 绳底端右边长度为/2dy 的一小段绳，它在时刻t dt +静止于绳底端左边，如图所示。在这个过程中，在竖直方向上，对这一小段绳应用冲量定理有 12()022

m dy m dy F F dt g dt L L ++=-v ? 式中1F 和2F 分别是绳的弯曲段左、右两端在时刻t 张力的大小。

另一方面，对于右边正在下落的那段绳，由牛顿第二定律有 222m L y m L y M y g Mg F L L --??+=++ ??

? ? 联立⑤⑥??式得

1210()2

f dE F F y dt ==-- ? 由??式得

21211224m dy m F F g L L

==--v ? 取0dy →，绳在其上端悬点b 处的张力大小为

2b 124m L y m F g L L

+=+v ? 由⑩?式得

b 42242L y y ML mL my F mg L L ML mL my ++-??=+ ?+-??

? 解法（二）设蹦极者在时刻t 下落到离起始水平面距离y 处，在时刻t dt +下落到离起始水平面距离y dy +处。整个系统（整段绳、蹦极者和地球）在这段时间始末动量的改变为

[]()()()22 ()()()22m L y dy m L y dp M y dy M y L L m L y m dy M y dy y y dy L L -+-????=++-+????????-??=++--+????

v v v v v ? 外力的冲量为

b ()I M m gdt F dt =+- ? 由动量定理

I dp =

?

13

并利用

()()d y dy y dy dy

+=+

v v v 可得

b +()()()2222m L y m d y m L y m L y d y d F g y M g M L L d t L L d t --+

????=+++-+ ???????v v ? 对右边那段绳应用牛顿第二定律有

22()11()222224m L y m L y dy d m dy m dy m M g M F g g L L dt

L L L --+??+-+=+=-????v v 这里利用了解法（一）的?式。将上式代入?式，并取取0dy →得

2b 124m L y m F g L L

+=

+v ? 由⑩?式得 b 42242L y y ML mL my F mg L L ML mL my ++-??=+ ?+-??

? 解法（三）设蹦极者在时刻t 下落到离起始水平面距离y 处，在时刻t dt +下落到离起始水平面距离y dy +处。整个系统（整段绳、蹦极者和地球）在这段时间始末动量的改变为

[]()()()22 ()()()22m L y dy m L y dp M y dy M y L L m L y m dy M y dy y y dy L L -+-????=++-+????????-??=++--+????

v v v v v ? 外力的冲量为

b ()I M m gdt F dt =+- ? 由动量定理

I dp = ? 并利用

()()d y dy y dy dy +=+

v v v 可得

2b +()()[()]()2222m L y m m L y m dy F g y M g a y a y L L L L -=+++-+v ? 利用⑨式，?式成为

2b 2+(42)()()2222(2)m L y m m L y my ML mL my F g y M g L L L ML mL my -+-=+-++-v ? 式中右端已取0dy →。由⑦?式得

14

b 42242L y y ML mL my F mg L L ML mL my ++-??=+ ?+-??

?

评分参考：第（1）问10分，①②③④⑤⑥⑦⑨⑩?式各1分。第（2）问10分，（解法一）???式各2分，??式各1分，?式2分；（解法二）??式各2分，??式各1分，?式2分（其中包括（解法一）?式的1分），?式2分；（解法三）??式各2分，??式各1分，??式各2分。

五、（20分）一种拉伸传感器的示意图如图a 所示：它

由一半径为2r 的圆柱形塑料棒和在上面紧密缠绕N

（1N >>）圈的一层细绳组成；绳柔软绝缘，半径为1r ，

外表面均匀涂有厚度为t （12t r r <<<<）、电阻率为ρ的

石墨烯材料；传感器两端加有环形电极（与绳保持良好

接触）。未拉伸时，缠绕的绳可视为N 个椭圆环挨在一

起放置；该椭圆环面与圆柱形塑料棒的横截面之间的夹

角为θ（见图a ），相邻两圈绳之间的接触电阻为c R 。

现将整个传感器沿塑料棒轴向朝两端拉伸，绳间出现n

个缝隙，每个缝隙中刚好有一整圈绳，这圈绳被自动调

节成由一个未封闭圆环和两段短直线段（与塑料棒轴线平行）串接而

成（见图b ）。假设拉伸前后θ 、1r 、2r 、ρ、t 均不变。

（1）求拉伸后传感器的伸长率ε（ε是传感器两电极之间距离的伸

长与其原长之比）和两环形电极间电阻的变化率；

（2）在传感器两环形电极间通入大小为I 的电流，求此传感器在未

拉伸及拉伸后，在塑料棒轴线上离塑料棒中点O 距离为D （D 远大于传感器长度）的P 点（图中未画出）处沿轴向的磁感应强度。

已知：长半轴和短半轴的长度分别为a 和b

的椭圆的周长为π(3

2

a b +，其中0b ≠。 参考解答：

（1）如图a 所示，由几何关系知，传感器轴向和细绳的横截面之间的夹角也是θ。传感器两电极之间的长度（原长）为 112cos r L N

θ=

① 每圈绳可看作长半轴为2cos r θ'、短半轴为2r '的椭圆环，其周长为

15

222π3cos π(3(3)22cos r r r l θθ''+'=-= ②

式中2122r t r r r '=++≈。拉伸后，传感器的伸长率为ε，产生了n 个缝隙，设每个缝隙宽L ，传感器的长度变为

121112(1)()cos 2()cos r L L L N n nL r n L εθθ=+==-++-

③ 式中

2211π32π2(1)22cos r L l r r r θ=-+=

+ ④ 由①②③④式得

11112()cos r n L L εθ=-

≈ ⑤

式中最后一步是因为考虑到12r r <<的缘故。

由电阻定律并利用②式得，每圈椭圆环形细绳沿着塑料棒轴向的电阻为

1112r R lt πρ== ⑥ 式中因子1/2是由于细绳内、外半圈的电阻并联的缘故。未拉伸时传感器的电阻为

011(N 1)(), 1c c R NR R N R R N =+-≈+>> ⑦

拉伸后，产生缝隙地方的电阻将由原来的接触电阻2c R 和1R 之和变为2R （2R 为细绳单独绕圆柱形塑料棒一圈的电阻）

21112l R rt ρρπ== ⑧ 传感器在其伸长率为ε时的电阻变为 3012(2)c R R n R R nR =-++ ⑨

由⑥⑦⑧⑨式得，传感器在其伸长率为ε时的电阻变化率为

16

3000212(33cos )cos

c c R R R R R R r tR r θρθ-?==--==2n N ?-??

⑩ （2）在未拉伸时电流沿着塑料棒轴向，根据毕奥-萨伐尔定律，此时不会产生沿塑料棒轴向的磁场，P 点处沿塑料棒轴向的磁感应强度为零。

同理，只有拉伸后每个缝隙处的细圆环绳中的电流才会产生沿塑料棒轴向的磁场。现仅考虑一圈中心与P 点的距离为z r 的细圆环绳产生的磁场。如右图所示，在圆环上任一直径AA '一端各取电流元Id l 和Id -l ，它在P 点产生的磁场d B 和d 'B ，d B 和d 'B 的垂直于轴线的分量相互抵消，它们的合磁感应强度沿塑料棒轴向，其大小为2cos dB α（α是

AP 与AA '的夹角）。将整个圆环电流类似地按各直径两端分割成一个个电流元，P 点沿塑料棒轴向的总磁场即为各元电流

在该点产生的磁场的轴向分量cos dB α之和。注意到Idl 可以

写为2Ir d β（d β是弧元dl 所对的圆心角），由毕奥-萨伐尔定

律有

2202200cos cos 4Ir d B dB r ππμβααπ==?? ? 式中z sin r r α=。对于给定的P 点，α是常数，于是有

22

20

220220z z sin cos sin cos 42Ir Ir B d r r

πμααβμααπ==? ? 式中

cos α= sin α= ? 将?式代入?式得

220223/22z 2()r I B r r μ=+

? 由题设，D 远大于传感器的长度，故也远大于2r ，因而z 2r D r ≈>>，于是

22032r I B D μ= ?

传感器伸长后有n 个缝隙，由?式得

17

22total

032r nI B D μ=

? 评分参考：第（1）问10分，①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩式各1分；第（2）问10分，传感器在未拉伸时答案正确给1分，??式各1分，??式各2分，?式1分，?式2分。

六、（20分）光电倍增管是用来将光信号转

化为电信号并加以放大的装置，其结构如

图a 所示：它主要由一个光阴极、n 个倍增

级和一个阳极构成；光阴极与第1倍增级、

各相邻倍增级及第n 倍增级与阳极之间均

有电势差V ；从光阴极逸出的电子称为光

电子，其中大部分（百分比η）被收集到第

1倍增级上，余下的被直接收集到阳极上；

每个被收集到第i 倍增级（1,,i n =）的电子在该电极上又使得δ个电子（1δ>)逸出；第i 倍增级上逸出的电子有大部分（百分比σ）被第1i +倍增级收集，其他被阳极收集；直至所有电子被阳极收集，实现信号放大。已知电子电荷量绝对值为e 。

（1）求光电倍增管放大一个光电子的平均能耗，已知1δσ>，1n >>；

（2） 为使尽可能多的电子从第i 倍增级直接到达第1i +倍增级而非阳极，早期的光电倍增管中，会施加垂直于电子运行轨迹所在平面（纸面）的匀强磁场。设倍增级的长度为a 且相邻倍增级间的几何位置如图b 所示，倍增级间电势

差引起的电场很小可忽略。所施加的匀

强磁场应取什么方向以及磁感应强度大

小为多少时，才能使从第i 倍增级垂直出

射的能量为e E 的电子中直接打到第

1i +倍增级的电子最多？磁感应强度大

小为多少时，可以保证在第1i +倍增级

上至少收集到一些从第i 倍增级垂直出

射的能量为e E 的电子？

参考解答：

（1）设从光阴极逸出的电子个数为p n ，按题述，从第1倍增级逸出的电子个数为

1p m n ηδ=

18

可用归纳法得出从第i 倍增级逸出的电子个数为

()1, 1,,i i p m n i n ηδσδ-== ①

光阴极、第i 倍增级和第n 倍增级向阳极贡献的电子数p a n → 、i a m →和n a m →分别为

()()1, 1, 1,,1,. p a p i a i n a n n n m m i n m m ησ→→→=-??=-=???-??=? ②

光阴极与阳极间电势差pa V 、第i 倍增级与阳极之间的电势差ia V 分别为

()(1), 1, 1,,pa ia V n V V n i V i n =+??=-+=? ③

从光阴极溢出的电子被电势差加速所消耗的能量p E 、从第i 倍增级溢出到阳极的电子被电势差加

速所消耗的能量ia E 、第i 倍增级溢出到第1i +倍增级的电子被电势差加速所消耗的能量1i i E →+分别为

1, , 1,,, , 1,, 1.p p p a pa ia i a ia i i i E en V en V E em V i n E em V i n ησ→→→+=+??==??==-? ④

消耗的总电能为

11

11n n p ia i i i i E E E E -→+===++∑∑ ⑤

将①②③④式代入⑤式得，放大单个光阴极逸出的电子消耗的平均能量为

{}

2(1)()1(1)()(1)1(1)1n n p n E n eV n ησδσδσδσδησδσδησδσδ????--+-??-??????=-+++??--???? ⑥ 当1δσ>、1n >>时，上式各项中含()n δσ因子的部分的贡献远大于其他部分，因此可仅保留含

()n δσ级因子的项，有

22(1)(1)()(1)

n p E eV n δσδσδσηδσδσ-+-=- ⑦ （2）所加磁场应当垂直纸面向里。

磁场提供洛仑兹力，且忽略重力和电场力，

电子在匀强磁场中作匀速圆周运动。由于电子

的逃逸速度垂直于电极，电子运动轨迹的圆心

将在电极所在的直线上。运动轨迹如右图所示。

当第i 倍增级最左端的电子到达第1i +倍

增级最右端时，轨迹为1，圆心在第i 倍增级的

延长线上，由几何关系知，对应的半径1r 满足

19

1r ⑧

当第i 倍增级最左端的电子到达第1i +倍增级最左端时，轨迹为2，对应的轨道半径2r 满足

2r ⑨

当第i 倍增级最右端的电子到达第1i +倍增级最右端时，轨迹为3，对应的轨道半径3r 满足

3r ⑩

当第i 倍增级最右端的电子到达第1i +倍增级最左端时，轨迹为4，对应的轨道半径4r 满足

4r ?

由⑧⑨⑩?式分别解得 1234555344r a r a r a r a ====，，， ?

设电子在磁场中作匀速圆周运动的速率为v ，由洛仑兹力公式和牛顿第二定律有

2

m e B r

=v v ? 由?式得

m r eB ==v ? 式中2e 12

E m =v 是速率为v 的电子的动能。由??式可解出相应的1234B B B B 、、、的大小为

1234B B B B === ? 当1B B =时，第i 倍增级释放的电子中只有最左边的被收集；若1B B <，则一个电子都不会被收集。因此为使第1i +倍增级能收集到电子，应当有1B B ≥。

当23B B B ==时，所有电子都被第1i +倍增级收集。

当4B B =时，第i 倍增级释放的电子中只有最右边的被收集到；若4B B >，则一个电子都不会被收集。因此为使第1i +倍增级能收集到电子，应当有4B B ≤。

因此，当

B ? 时第1i +倍增级收集到的电子最多；当

B ≤ ? 时，第1i +倍增级会有电子被收集。

20

评分参考：第（1）问7分，①②③④⑤⑥⑦式各1分；第（2）问13分，所施加的匀强磁场方向正确给1分，⑧⑨⑩?式各1分，?式2分，?式1分，?式2分。?式1分，?式2分。

七、（20分）两根质量均匀分布的杆AB 和BC ，质

量均为m ，长均为l ，A 端被光滑铰接到一固定点（即

AB 杆可在竖直平面内绕A 点无摩擦转动）。开始时C

点有外力保持两杆静止，A 、C 在同一水平线AD 上，

A 、

B 、

C 三点都在同一竖直平面内，ABC 60∠=?。

某时刻撤去外力后两杆始终在竖直平面内运动。

（1）若两杆在B 点固结在一起，求

（i ）初始时两杆的角加速度；

（ii ）当AB 杆运动到与水平线AD 的夹角为θ时，AB 杆绕A 点转动的角速度。

（2）若两杆在B 点光滑铰接在一起（即BC 杆可在竖直平面内绕B 点无摩擦转动），求初始时两杆的角加速度以及两杆间的相互作用力。

参考答案：

（1）（i ）两杆AB 和BC 对于A 点的转动惯量分别为

2113I ml =

①

222112I ml m ?=+???? ②

两杆固结在一起，因而两杆可视为一个刚体绕A 点做定轴转动，总的转动惯量为

21276I I I ml =+= ③

撤去外力作用后，两杆所受到的重力相对于A 点的总力矩为

1344M mgl mgl =+ ④

两杆的角加速度相同，设为α（以顺时针方向为正方向），则由刚体转动定理得

M I α= ⑤

联立①②③④⑤式得，两杆的角加速度为

67g l α= ⑥

（ii ）考虑AB 杆从初始位置到与水平线AD 的夹角为θ位置这一过程，两杆重力势能的变化量为

21

sin 2sin 2623p l l E mg mg ππθθ????

?=----- ? ?????

⑦

两杆动能的变化量为

21

02

k E I ω?=-

⑧

式中，ω为AB 杆与水平线AD 的夹角为θ时绕A 点转动的角速度。整个过程中机械能守恒定律

0k p E E ?+?=

⑨

联立③⑦⑧⑨式得

ω=

⑩

（2）两杆在B 点由光滑铰链连接，因而杆AB 和BC 不能整体视为一个刚体，其角加速度不相等，分别设为12αα、（以顺时针方向为正方向）；取B 点为原点， x 、y 轴正方向分别水平向右、竖直向下，设BC 杆对AB 杆的作用力沿x 、y 轴的分量分别为x F 、y F 。对于AB 杆，相对于A 点，由刚体转动定理得

21

111342y x ml mgl F l l α??

=+ ???

?

对于BC 杆，AB 杆对BC 杆的作用力沿x 、y 轴的分量分别为x F -、y F -，设BC 杆质心的加速度沿x 、y 轴的分量分别为x a 、y a ，由刚体质心运动定理得

x x ma F =-

? y y ma mg F =-

?

BC 杆同时还绕其质心转动，由刚体转动定理得

22

11124y x ml F l l α??

=+ ???

?

两杆连接点B 的加速度沿x 、y 轴的分量B x a 、B y a 为

B 12x x a a αα== ? B 1211

24

y y a l a l αα==-

?

联立??????式得

1911g l α=

，21511g l

α= ?

x F ，1

4

y F mg =

?

两杆间相互作用力的大小为

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