2013届高考数学知能演练轻松闯关专题训练：专题三第1讲知能演练

1．(2011·高考江西卷)设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和，若S10＝S11，则a1＝( )

A．18 B．20 C．22 D．24

解析：选B.因为S10＝S11，所以a11＝0.又因为a11＝a1＋10d，所以a1＝20. 2．(2012·高考安徽卷)公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则a5＝( ) A．1 B．2 C．4 D．8

2

解析：选A.∵a3·a11＝16，∴a7＝16.

－－

又∵an＞0，∴a7＝4.a5＝a7·q2＝4×22＝1.故选A. 3．(2012·东北三校模拟)等差数列{an}中，a5＋a6＝4，则log2(2a1·2a2·…·2a10)＝( ) A．10 B．20 C．40 D．2＋log25

10?a1＋a10?

解析：选B.依题意得，a1＋a2＋a3＋…＋a10＝＝5(a5＋a6)＝20，因此有

2

log2(2a1·2a2·…·2a10)＝a1＋a2＋a3＋…＋a10＝20. 4．(2012·浙江嘉兴质检)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1an＝2n(n∈N*)，则a10＝( ) A．64 B．32 C．16 D．8

n

解析：选B.因为an＋1an＝2，

an＋2＋

所以an＋1an＋2＝2n1，两式相除得＝2.

an

又a1a2＝2，a1＝1，所以a2＝2， a10a8a6a4则···＝24，即a10＝25＝32. a8a6a4a25．(2011·高考上海卷)设{an}是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为ai，ai＋1的矩形的面积(i＝1,2，…)，则{An}为等比数列的充要条件是( ) A．{an}是等比数列

B．a1，a3，…，a2n－1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比数列 C．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列

D．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相同

An＋1an＋1an＋2an＋2A2a3A3解析：选D.∵Ai＝aiai＋1，若{An}为等比数列，则＝＝为常数，即＝，＝AnanA1a1A2anan＋1

a4，…. a2

∴a1，a3，a5，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…成等比数列，且公比相等．反之，若奇数

An＋1an＋2项和偶数项分别成等比数列，且公比相等，设为q，则＝＝q，从而{An}为等比数列．

Anan

6．(2012·高考课标全国卷)等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋3S2＝0，则公比q＝________. 解析：∵S3＋3S2＝0，∴a1＋a2＋a3＋3(a1＋a2)＝0， ∴a1(4＋4q＋q2)＝0. ∵a1≠0，∴q＝－2. 答案：－2

7．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于________．

解析：∵{an}是等差数列， ∴a4＋a6＝2a5＝－6，

a5－a1－3＋11

即a5＝－3，d＝＝＝2，得{an}是首项为负数的递增数列，所有的非正项之和最

45－1

小，∵a6＝－1，a7＝1，∴当n＝6时，Sn取最小值． 答案：6

an＋2－an＋1

8．在数列{an}中，如果对任意n∈N*都有＝k(k为常数)，则称数列{an}为等差比数

an＋1－an

列，k称为公差比．现给出下列命题： ①等差比数列的公差比一定不为零； ②等差数列一定是等差比数列；

③若an＝－3n＋2，则数列{an}是等差比数列；

④若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比． 其中正确命题的序号为________．

解析：若k＝0，{an}为常数列，分母无意义，①正确；公差为零的等差数列不是等差比数列，

an＋2－an＋1－

②错误；＝3，满足定义，③正确；设an＝a1qn1(q≠0)，

an＋1－an

＋

an＋2－an＋1a1qn1－a1qn则＝－＝q，④正确． an＋1－ana1qn－a1qn1答案：①③④ 9．(2011·高考福建卷)已知等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3. (1)求数列{an}的通项公式；

(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．

解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d. 由a1＝1，a3＝－3可得1＋2d＝－3，解得d＝－2. 从而an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n. (2)由(1)可知an＝3－2n，

n[1＋?3－2n?]

所以Sn＝＝2n－n2.

2

由Sk＝－35可得2k－k2＝－35，

即k2－2k－35＝0，解得k＝7或k＝－5. 又k∈N*，故k＝7.

10．在公差为d(d≠0)的等差数列{an}和公比为q的等比数列{bn}中，a2＝b1＝3，a5＝b2，a14＝b3，

(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；

(2)令cn＝ban，求数列{cn}的前n项和Tn.

???3＋3d＝3q，?d＝2，?解：(1)由条件得∴? 2?3＋12d＝3q，?q＝3，??

∴an＝2n－1，bn＝3n.

－

(2)由(1)得cn＝ban＝b2n－1＝32n1.

＋

cn＋132n1∵＝＝9，c1＝3， cn32n－1∴{cn}是首项为3，公比为9的等比数列，

3?1－9n?3n

∴Tn＝＝(9－1)．

81－9

1

11．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝，且2Sn＝2Sn－1＋2an－1＋1(n≥2，n∈N*)．数列{bn}

4

3

满足b1＝，且3bn－bn－1＝n(n≥2，n∈N*)．

4

(1)求证：数列{an}为等差数列； (2)求证：数列{bn－an}为等比数列；

(3)求数列{bn}的通项公式以及前n项和Tn.

解：(1)证明：∵2Sn＝2Sn－1＋2an－1＋1(n≥2，n∈N*)， ∴当n≥2时，2an＝2an－1＋1，

1

可得an－an－1＝.

2

∴数列{an}为等差数列．

1

(2)证明：∵{an}为等差数列，公差d＝，

2

111

∴an＝a1＋(n－1)×＝n－.

224

又3bn－bn－1＝n(n≥2)，

11

∴bn＝bn－1＋n(n≥2)，

33

1111

∴bn－an＝bn－1＋n－n＋ 3324

111＝bn－1－n＋ 364113＝(bn－1－n＋) 324111＝[bn－1－(n－1)＋] 3241

＝(bn－1－an－1)， 3

1

又b1－a1＝≠0，

2

bn－an1

∴对n∈N*，bn－an≠0，得＝(n≥2)．

bn－1－an－1311

∴数列{bn－an}是首项为，公比为的等比数列．

231?1?n－1

(3)由(2)得bn－an＝·，

2?3?n11?1?n－1*

∴bn＝－＋·(n∈N)．

242?3?1??1?n?1－?3??2?∵b1－a1＋b2－a2＋…＋bn－an＝，

11－3

∴b1＋b2＋…＋bn－(a1＋a2＋…＋an) 3?1?n?. ＝?1－

4??3??

n23??1?n?∴Tn－＝?1－?3??.

44

n23??1?n?

∴Tn＝＋?1－?3??(n∈N*)．

44

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