2022届山东枣庄八中南校区高三下3月一模文科数学试卷

2021年山东枣庄八中南校区高三下3月一模文科数学试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．设复数i i z 510)2(-=+?（i 为虚数单位），则z 的共轭复数z 为（ ）

A ．i 43+-

B ．i 43--

C ．i 43+

D ．i 43-

2．（题文）已知集合

，集合，则（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

3．某校高三（1）班共有

人，学号依次为，现用系统抽样的方法抽取一个容量为的样本.已知学号为

的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

4．已知直线

经过点，则的最小值为（ ） A ． B ． C ． D ．

5．设n m ,是两条不同的直线，βα,是两个不同的平面，给出下列四个命题：

①若β⊥m n m ,∥，则β⊥n ；②若βα∥∥m m ,，则βα∥；③若β∥∥m n m ,，则β∥n ；④若βα⊥⊥m m ,，则βα⊥.

其中真命题的个数为（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

6．已知命题R x p ∈?0:，使25sin 0=

x ，命题x x x q sin ),2,0(:>∈?π，则下列判断正确的是（ ）

A ．p 为真

B ．q ?为假

C ．q p ∧为真

D ．q p ∨为假

7．函数)2,0)(sin(2)(π?ω?ω<

>+=x x f 的部分图象如图所示，则)1217()0(πf f +的值为（ ）

A ．32-

B ．32+

C ．231-

D ．2

31+ 8．已知满足约束条件，则的范围是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

9．已知函数

，连续抛掷两颗骰子得到的点数分别是，则函数

在处取得最值的概率是（ ） A ． B ． C ． D ．

10．已知抛物线，的三个顶点都在抛物线上，

为坐标原点，设三条边的中点分别为，且的纵坐标分别为

.若直线的斜率之和为，则的值为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

二、填空题

11．设，则_____.（其中e 为自然对数的底数）

12．已知向量,，2,3==b a ，且⊥-)(，则向量和的夹角是______.

13．已知过点)4,2(的直线l 被圆0542:2

2=---+y x y x C 截得的弦长为6，则直线l 的方程为_____.

14．公元年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设

计的一个程序框图，则输出的值为_____．（参考数据：，

）

15．已知函数1)(,1

),1(1,)(+=???>-≤=kx x g x x f x e x f x ，若方程0)()(=-x g x f 有两个不同实根，则实数k 的取值范围是_____.

三、解答题

16．近日，济南楼市迎来去库存一系列新政，其中房产税收中的契税和营业税双双下调，对住房市场持续增长和去库存产生积极影响.某房地产公司从两种户型中各拿出套进行促销活动，其中

户型每套面积为平方米，均价万元/平方米，户型每套面积平方米，均价万元/平方米.下表是这套住宅每平方米的销售价格：（单位：万元/平方米）.

（1）求的值；

（2）张先生想为自己和父母买两套售价小于

万元的房子，求至少有一套面积为平方米的概率.

17．在

中，内角的对边为，已知. （1）求角

的值； （2）若，且的面积为，求.

18．如图，四棱锥ABCD P -的底面为正方形，侧面⊥PAD 底面ABCD ，AD PA ⊥，H F E ,,分别为BC PC AB ,,的中点.

（1）求证：∥EF 面PAD ；

（2）求证：平面⊥PAH 平面DEF .

19．已知数列

是公差不为零的等差数列，其前项和为，满足，且恰为等比数列

的前三项. （1）求数列，的通项公式；

（2）设是数列的前项和，是否存在，使得等式成立，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

20．设椭圆，定义椭圆的“相关圆”方程为

.若抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，且椭圆短轴

的一个端点和其两个焦点构成直角三角形.

（1）求椭圆的方程和“相关圆”

的方程； （2）过“相关圆”上任意一点作相关圆”

的切线与椭圆交于两点，为坐标原点.若，证明原点

到直线的距离是定值，并求的取值范围. 21．设函数)(ln )(2x x b ax x f -+=，x b x x g )1(2

1)(2-+-

=.已知曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线与直线01=+-y x 垂直.

（1）求a 的值；

（2）求函数)(x f 的极值点； （3）若对于任意),1(+∞∈b ，总存在],1[,21b x x ∈，使得

m x g x g x f x f +->--)()(1)()(2121成立，求实数m 的取值范围.

参考答案1．C

【解析】

试题分析：因为

1051052

34

222

i i i

z i

i i i

---

==?=-

++-

，所以34

z i

=+.

考点：复数运算、共轭复数.

【易错点晴】复数问题易错点有三个，一个是除法中的分母实数化过程中，分子忘记乘以分母的共轭复数；二个是题目问的是z，往往有很多同学求出z就直接选答案，造成丢分；三个是求复数的虚部，注意虚部是b，不是bi.同时还要注意复数的模的公式有开方.

2．D

【解析】

试题分析：因为y=2?x+6=√?(x+3)(x?2)，所以N={x|?3≤x≤2}，所以M∪N={x|?3≤x<3}.

考点：1、函数定义域；2、集合交集.

3．A

【解析】

试题分析：依题意可知，8个编号抽一个，所以还有一个是19+8=27.

考点：系统抽样.

4．B

【解析】

试题分析：因为直线经过点，所以a+2b=1，故2a+4b=2a+22b≥2√2a+2b=2√2

，当且仅当a=2b=1

2

时，等号成立.

考点：基本不等式.

5．A

【解析】

试题分析：①正确；②不正确，因为m可以平行于,

αβ的交线；③不正确，因为n可以含于

β；④错误，因为α可以平行于β.

考点：空间点线面的位置关系.

6．B

【解析】

试题分析：因为sin 1x ≤，所以命题p 为假命题；令()sin f x x x =-，()'1cos 0f

x x =-≥，所以()()0f x f >，即sin x x >成立，q 为真命题，q ?为假命题.

考点：1、全称命题与特称命题；2、含有逻辑连接词命题真假性的判断.

7．A

【解析】 试题分析：由图可知46124

T πππ??=--= ???，故()(),2,2sin 2T f x x πω?===+，将点,06π?? ???代入，可得2sin(2)066f ππ???=?+= ???，故(),2sin 233f x x ππ???=-=- ??

?，17

(0)()212

f f π+=考点：三角函数图象与性质.

8．C

【解析】

试题分析：z 表示的是可行域内的点(x,y)，与点(?1,?1)连线的斜率的取值范围，作出函可行域如图所示，由图可知，z 的取值范围是[k AC ,k AB ]=[12,32].

考点：线性规划.

9．C

【解析】

试题分析：f ′(x)=ax 2?bx +1(a,b >0)，依题意其对称轴为x =

b 2a =1，即b =2a ，故符合题意得点数为(1,2),(2,4),(3,6)，概率为

336=112.

考点：1、函数导数；2、古典概型. 【思路点晴】本题巧妙地结合了函数导数与古典概型这两个知识点，对f(x)求导后可发现f ′(x)为二次函数，且二次项系数大于零，开口向上，有最小值，二次函数最小值是在对称轴的位置取得，这样就可以确定a,b 的关系，进而列举出符合题意得事件.二次函数最值是初中的知识，在高中作用很大.

10．B

【解析】

试题分析：设A(x A ,y A ),B(x B ,y B ),C(x C ,y C )，则{y A 2=2px A

y B 2=2px B y B 2=2px B

，三个式子两两相减得

{(y A +y B )(y A ?y B )=2p(x A ?x B )(y A +y C )(y A ?y C )=2p(x A ?x C )(y B +y C )(y B ?y C )=2p(x B ?x C ) ，即{2y 1(y A ?y B )=2p(x A ?x B )

2y 3(y A ?y C )=2p(x A ?x C )2y 2(y B ?y C )=2p(x B ?x C )

即{ p y 1=y A ?y B x A

?x B =k AB p y 2=y B ?y C x B ?x C =k BC p y 3=y A ?y C x A ?x C

=k AC ，所以1y 1+1y 2+1y 3=?1p . 考点：圆锥曲线------抛物线.

【思路点晴】本题是一个好题，巧妙地利用的点差法，设而不求，设出A,B,C 三点坐标之后，代入抛物线的方程，然后两两作差，将作差之后得到的式子进行因式分解，配出斜率和中点，然后将斜率和代入，就可以求出最后的结果.对式子的变形能力，是解这类中点弦问题的关键.

11．10

【解析】

试题分析：e a +e b =e ln3+e ln7=3+7=10.

考点：对数和指数运算.

12．6

π 【解析】 试题分析：设向量和的夹角为θ

，⊥-)(，∴

()

22()32cos 0a b a a a b θ-?=-?=-?=，即cos 6

πθθ==. 考点：向量的数量积、夹角公式.

13．02=-x 或01043

=+-y x

【解析】

试题分析：圆配方得()()22

1210x y -+-=，圆心为()1,2，半径r =当直线l 斜率不存在时，直线方程为2x =，代入圆的方程，求得交点分别为()()2,5,2,1-，此时弦长为

6，符合题意；当直线l 斜率存在时，设直线方程为()42,

420y k x kx y k -=--+-=，

圆心到直线的距离d ==，依题意，6

=，解得34

k =.所求直线方程为02=-x 或01043=+-y x .

考点：直线和圆的位置关系. 【易错点晴】直线和圆相交所得弦长问题第一必须牢记直线和圆相交所得弦长公式：AB =，第二因为题目没有说明直线的斜率是否存在，故必须注意斜率不存在的情况，因此，解题时就必须分成两种情况来讨论.本题容易漏掉的结果是直线斜率不存在的情况.

14．

【解析】

试题分析：代入n =6，按照程序框图运行的过程，逐一计算出每一步的结果为：S =3√32，S =3，S =12?sin15°=12?sin(45°?30°)=12?

√6?√24>3.1，此时n =24. 考点：算法与程序框图.

15．]1,1()1,2

1(--e e 【解析】

试题分析：分别作出()(),f x g x 的图象如图所示，由图象可知，当1k =时，直线1y x =+与x y e =相切，只有一个交点；当1k >增大时，()(),f x g x 有两个不同的交点，最大值

为1110e e -=--；当当1k <变小时，()(),f x g x 有两个不同的交点，最小值为11202

e e --=-，故k 的取值范围为]1,1()1,21(--e e .

考点：1、函数零点问题；2、数形结合与分类讨论的数学思想.

【方法点晴】本题是一个函数中典型的属性结合与分类讨论的题目.通过本题，我们要学会画分段周期函数的图象，()()1f x f x =-说明函数的周期为1，通过向右平移1个单位，就可以得到函数在区间[]1,2上的图象，以此类推，得出函数()f x 的图象，对函数()g x 的图象，要注意到它经过定点()0,1，再结合图象，就可以快速解决. 16．（1）；（2）. 【解析】 试题分析：（1）根据A,B 户型的均价分别为

，，可计算出a,b 的值；(2)图表分析，户型小于万的有套，户型小于

万的有套，进行列举，进而求出概率. 试题解析：（1）.

（2）户型小于

万的有套，设为；户型小于万的有套，设为，

买两套售价小于万的房子所含基本事件为：

共有个基本事件.

令事件为“至少有一套面积为平方米住房，则中所含基本事件为

共个.

∴

，即买两套房中至少有一套面积为平方米的概率为. 考点：古典概型.

17．（1）

；（2）.

【解析】 试题分析：（1）用正弦定理把边化为角，然后化简，得到

，求得；（2）由（1）C =π3,c =2由余弦定理得，再结合三角形的面积公式，联立方程组可求得a,b . 试题解析：（1）∵，∴，

∴

， ∴

， ∴

，∴. 又∵

是三角形的内角，∴. （2）

，∴，∴， 又∵

，∴，∴, ∴. 考点：解三角形——正余弦定理，面积公式.

18．（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）利用中位线构造平行四边形证明线面平行；（2）要证明面面垂直，通过线面垂直证明，通过分析直观图，目标定在DE ，只需证明DE PAH ⊥平面.

试题解析：（1）取PD 中点M ，连接AM FM ,，∵在PCD ?中，M F ,为中点，

∴CD M F ∥且CD M F 2

1=. 因为在正方形ABCD 中，CD AE ∥且CD AE 21=

，∴M F AE ∥且M F AE =， 即四边形AEFM 为平行四边形，∴EF AM ∥，

因为?EF 平面PAD ，?AM 平面PAD ，∴∥EF 平面PAD .

（2）∵侧面PAD ⊥底面ABCD ，AD PA ⊥，侧面 PAD 底面AD ABCD =， ∴⊥PA 底面ABCD ，∵?DE 底面ABCD ，∴PA DE ⊥.

∵H E ,分别为正方形ABCD 边BC AB ,中点，∴ADE RT ABH RT ???， 则ADE BAH ∠=∠，∴ 90=∠+∠AED BAH ，则AH DE ⊥，

∵?PA 平面PAH ，?AH 平面PAH ，A AH PA = ，∴⊥DE 平面PAH ， ∵?DE 平面EFD ，∴平面⊥PAH 平面EFD .

考点：1、立体几何证明线面平行；2、立体几何证明面面平行.

19．(1)，；(2) 不存在，理由见解析.

【解析】试题分析：（1）设等差数列的公差为d ，利用条件，求得

，即可得到数列，的通项；（2）由（1）可知1a n a n+1=12(12n+1?1

2n+3)，可采用裂项求和，

得到T n ，再得到

，利用数列的单调性即可判断. 试题解析：（1）设等差数列

的公差为， ∴

，联立解得.

∴，∵，∴. （2），

∴，

∴，而是单调递减的，∴，

而，∴不存在，使得成立.

考点：等差、等比数列的通项公式；数列的求和.

【方法点晴】本题主要考查了等差、等比数列的通项公式，数列的求和问题，其中解答中涉及到等差、等比数列的通项公式和数列的性质，数列的裂项求和，以及数列的单调性等知识点的考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，解答中准确计算、合理解答是解答的关键，属于中档试题.

20．（1）椭圆的方程为，“相关圆”的方程为；(2)或.

【解析】

试题分析：（1）抛物线焦点为(1,0)，故，椭圆短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形，即b=c=1，从而求出椭圆方程与相关圆方程；（2）设出直线l的斜截式方程，联立直线的方程和椭圆的方程求出A,B两点横坐标的韦达定理表达式，利用得到一个关系式，利用直线和圆相切得到另一个关系式

，由着两个关系式得出m的取值范围.

试题解析：（1）因为抛物线的焦点为与椭圆的一个焦点重合，所以. 又因为椭圆短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形，所以b=c=1，

故椭圆的方程为，“相关圆”的方程为.

（2）设

联立方程组得，即，

，即，

∴

由条件得，

所以原点

到直线l 的距离是，

由得为定值. 此时要满足，即，又，

即，所以，即或.

考点：1、直线和椭圆的位置关系；2、直线和圆的位置关系；3、抛物线的概念.

【思路点晴】第一问是基本的抛物线定义和椭圆基本量分析.一个抛物线方程给出来，可以求出焦点和准线，相应的性质也可以知道；椭圆的短轴端点和焦点所对应的b,c,a 的关系，易得椭圆的方程；第二问有两个关键点，一个是直线和圆相切，转化为圆心到直线的距离等于半径，另一个关键点是直线和椭圆相交得到A,B ，，根据这两点，设出直线方程，列出方程组来求解.最后注意直线和椭圆相交，判别式要大于零.

21．（1）21-

=a ；（2）证明见解析；（3）1-≤m . 【解析】

试题分析：（1）曲线的切线和某直线垂直，转化为导数值与直线斜率乘积等于1-，第一问容易解决；（2）求出()'f x 后通分，对分子进行分类讨论，从而求出函数()f x 的单调区间；

（3）构造函数],1[),()()(b x x g x f x F ∈-=，存在性问题，转化为

1)()(min max +>-m x F x F 来解决.

试题解析：（1）)11(2)(-+='x b ax x f ，所以12)1(-=='=a f k ，所以21-

=a . （2）)(ln 2

1)(2x x b x x f -+-=，其定义域为),0(+∞， x

b bx x x b x x f +--=-+-='2)11()(， 令),0(,)(2

+∞∈+--=x b bx x x h ，b b 42+=?，

①当04≤≤-b 时，042≤+=?b b ，有0)(≤x h ，即0)(≤'x f ，所以)(x f 在区间),0(+∞上单调递减，故)(x f 在区间),0(+∞无极值点. ②当4-?，令0)(=x h ，有2

4,242221b b b x b b b x ++-=+--=，012>>x x ，

当),0(1x x ∈时，0)(

当),(21x x x ∈时，0)(>x h ，即0)(>'x f ，得)(x f 在),(21x x 上递增； 当),(2+∞∈x x 时，0)(

此时)(x f 有一个极小值点242b b b +--和一个极大值点2

42b b b ++-. ③当0>b 时，0>?，令0)(=x h ，有02

4,0242221>++-=<+--=b b b x b b b x ， 当),0(2x x ∈时，0)(

当),(2+∞∈x x 时，0)(

此时)(x f 有唯一的极大值点2

42b b b ++-. 综上可知，当4-

2

42b b b ++-； 当04≤≤-b 时，函数)(x f 在),0(+∞无极值点；

当0>b 时，函数)(x f 有唯一的极大值点2

42b b b ++-，无极小值点. （3）令],1[),()()(b x x g x f x F ∈-=， 则x x b x b x x x b x x F -=-+---+-=ln ])1(2

1[)(ln 21)(22， 若总存在],1[,21b x x ∈，使得m x g x g x f x f +->--)()(1)()(2121成立，

即总存在],1[,21b x x ∈，使得1)()()()(2211++->-m x g x f x g x f 成立，

即总存在],1[,21b x x ∈，使得1)()(21+>-m x F x F 成立，即1)()(min max +>-m x F x F ， x

x b x b x F -=-='1)(，因为],1[b x ∈，所以0)(≥'x F ，即)(x F 在],1[b 上单调递增， 所以1ln )1()()()(min max +-=-=-b b b F b F x F x F ，

即11ln +>+-m b b b 对任意),1(+∞∈b 成立，

即m b b b >-ln 对任意),1(+∞∈b 成立，

构造函数),1[,ln )(+∞∈-=b b b b b t ，b b t ln )(='，当),1[+∞∈b 时，0)(≥'b t ， ∴)(b t 在),1[+∞上单调递增，∴对于任意),1[+∞∈b ，1)1()(-=>t b t ，所以1-≤m . 考点：1、函数与导数；2、分类讨论的数学思想.

【思路点晴】第一问切线和另一条直线垂直，转化为斜率乘积等于1-，这种形式的问法高考中出现频率很高；第二问对()f x 求导后通分，对分子),0(,)(2

+∞∈+--=x b bx x x h 的分类讨论是本题的难点.对于二次函数分类的标准，由于题目只需要考虑零点个数，所以这里用的是判别式来制定分类标准，有的题目需要对二次项系数进行分类，有的需要对对称轴或者区间进行分类；第三问是一个存在性问题，构造函数，转化为最值问题来解决.