数字信号处理习题集（5-7章）

第五章 数字滤波器

一、数字滤波器结构

填空题：

1．FIR滤波器是否一定为线性相位系统？（ ）。

解：不一定

计算题：

2．设某FIR数字滤波器的冲激响应，h(0)?h(7)?1,h(1)?h(6)?3,

h(2)?h(5)?5,h(3)?h(4)?6，其他n值时h(n)?0。试求H(ej?)的幅频响应和

相频响应的表示式，并画出该滤波器流图的线性相位结构形式。

解： h(n)??1,3,5,6,6,5,3,1?,0?n?7

H(e)??h(n)e?j?nj?n?0N?1

?1?3e?j??5e?j2??6e?j3??6e?j4??5e?j5??3e?j6??e?j7??e7?j?27755733711??j???j??j??j???j??j??j???j??j??j???j7?e2?e2??3e2?e2?e2??5e2?e2?e2??6e2?e2?e2?????????????????7?????3???5???7????j2???12cos???10co?s??6co?s??2co?s??e?H(?)ej?(?)

?2??2??2??2???所以H(ej?)的幅频响应为

7?????3???5???7????j2? H(?)??12cos???10cos???6cos???2cos???e?2??2??2??2???H(ej?)的相频响应为

?(?)???

72作图题：

3．有人设计了一只数字滤波器，得到其系统函数为：

?1?10.287?10.446z6?2.142?81.145z5H(z)???1?2?1?21?1.297z1?0.694z91?1.069z1?0.369z9

1.8557?0.6303z?1??1?21?0.9972z?0.2570z

请采用并联型结构实现该系统。 解：答案略

4．用级联型结构和并联型结构实现一下传递函数

32（1）H(z)?3z?3.5z?2.5z

(z2?z?1)(z?0.5)4z3?2.8284z2?z（2）H(z)?2

(z?1.4142z?1)(z?0.7071)

3z3?3.5z2?2.5z3?3.5z?1?2.5z?2??2解：（1）H(z)?2 ?1?1(z?z?1)(z?0.5)(z?z?1)(1?0.5z)（5z?1?3)(0.5z?1?1)21?z?1??2??(z?z?1?1)(1?0.5z?1)1?0.5z?1z?2?z?1?1?3?3.5z?2.5z1?1.5z?1?1.5z?2?0.5z?3?1?2

级联型结构及并联型结构图略 （2）

4z3?2.8284z2?zH(z)?2(z?1.4142z?1)(z?0.7071)

4?2.8284z?1?z?2?(1?1.4142z?1?z?2)(1?0.7071z?1)?4.5857?0.4143z?0.5857?1?1.4142z?1?z?21?0.7071z?1?1

级联型结构及并联型结构图略

5．用横截型结构实现以下系统函数：

H(z)?(1?解：

1?11z)(1?6z?1)(1?2z?1)(1?z?1)(1?z?1)26

1?11?1?1?1H(z)?(1?z)(1?6z)(1?2z)(1?z)(1?z?1)

26 ?(1?1?11z?2z?1?z?2)(1?z?1?6z?1?z?2)(1?z?1) 265?137?1z?z?2)(1?z?z?2)(1?z?1)26 8?1205?2205?38?4?1?z?z?z?z?z?5312123?(1?结构图略。

6．设某FIR数字滤波器的系统函数为

1H(z)?(1?3z?1?5z?2?3z?3?z?4)5

试画出此滤波器的线性相位结构。

解：由题中所给的条件可知

1331h(n)??(n)??(n?1)??(n?2)??(n?3)??(n?4)

5555则

1?0.253h(1)?h(3)??0.6

5h(2)?1h(0)?h(4)?N?1?2处，N为奇数（N=5）。 2即h(n)是偶对称，对称中心在n?线性相位结构如下图示

x(n)z?1z?1z?1z?10.61 0.2y(n) 图 P5-7

7．画出由下列差分方程定义的因果线性离散时间系统的直接Ⅰ型、直接Ⅱ型、级联型和并 联型结构的信号流程图，级联型和并联型只用1阶节，

y(n)? 解：（1）直接Ⅰ型

311y(n?1)?y(n?2)?x(n)?x(n?1)483

x(n)y(n)z?1133/4?1/8（2）直接Ⅱ型

z?1z?1

x(n)y(n)z?13/4?1/8

（3）级联型

1/3z?1

x(n)y(n)z?11/4将系统函数写成

z?11/2

1/311?z?113 H(z)??1?11?11?z1?z42（4）并联型

x(n)?7/3y(n)z?11/410/3z?11/2

2z3?3z2?2z8．用级联型及并联型结构实现系统函数：H(z)?2

(z?z?1)(z?1)解：①用级联型结构实现

z?1?12z(z?2)(z?1)1?2?2?1?2z2 H(z)?2??1?2?1(z?z?1)(z?1)1?z?z1?z信号流图如图（a）所示。

②用并联型结构实现

7z2?6z?24z?13 H(z)?2?2 ?2?2?(z?z?1)(z?1)z?z?1z?14z?1?z?23z?1? ?2?

1?z?1?z?21?z?1信号流图如图（b）所示。

X2z?12z?11?2Yz?1?1（a）

2Xz?1Y3z?1z?14?1

（b）

9．已知滤波器单位抽样响应为

?2nh(n)???00?n?5 画出横截型结构。

其它解：y(n)?h(n)?x(n)?横截型结构如图所示。

?h(k)x(n?k)??2k?0k?055kx(n?k)

z?1x(n)z?12z?14z?18z?11632y(n)

10．用卷积型和级联型网络实现系统函数：H(z)?(1?1.4z?1?3z?2)(1?2z?1)

解： H(z)?(1?1.4z?1?3z?2)(1?2z?1) (8.3)

?1?0.6z?1?0.2z?2?6z?3 (8.4)

由（8.3）式得到级联型结构如图T8.11（a）所示，由（8.4）式得到卷积型结构如图T8.11（b）所示。

z?1Xz?10.2z?16z?1?1.4z?13z?1Y2x(n)0.6y(n)(a)图T8.11

(b)

二、IIR数字滤波器设计

填空题：

0.9?z?11．已知一IIR滤波器的H（z)?，试判断滤波器的类型为（ ）。 ?11?0.9z解：全通系统

2．脉冲响应不变法的基本思路是（ ）。

??ha(t)????ha(nT)解：H(s)??L?1[?]抽样?h(n)????H(z)

L?1[?]3．写出设计原型模拟低通的三种方法：（1）（ ），（2）（ ），（3）（ ）。 解：（1）巴特沃兹逼近，（2）切比雪夫逼近，（3）椭圆滤波器

4．设计数字滤波器的方法之一是先设计模拟滤波器，然后通过模拟S域（拉氏变换域）到数字Z域的变换，将模拟滤波器转换成数字滤波器，其中常用的双线性变换的关系式是（ ）。 解：答案略

2?Fs变换到

5．设计IIR DF时采用的双线性变换法，将S域j?轴上的模拟抽样角频率

Z域单位圆上的数字频率（ ）处。

解：2arctg(?)

简答题：

6．试分析脉冲响应不变法设计数字滤波器的基本思想、方法及其局限性。 解：答案略

7．从以下几个方面比较脉冲响应不变法和双线性变换法的特点：基本思路，如何从S平面映射到Z平面，频域变换的线性关系。 解：答案略。

判断说明题：

8．将模拟滤波器转换成数字滤波器，除了双线性变换法外，脉冲响应不变法也是常用方法之一，它可以用来将模拟低通，带通和高通滤波器转换成相应的数字滤波器。（ ） 答：由于采用脉冲响应不变法转换时，数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓。所以当模拟滤波器的频响是限带于半抽样频率之内时，周期延拓不会造成频谱混叠，变换得到的数字滤波器的频响才能不失真地重现模拟滤波器的频响。

故脉冲响应不变法只适用于设计频率严格有限的低通、带通滤波器，不适用于设计高通滤波器。

9．采用双线性变换法设计IIR DF时，如果设计出的模拟滤波器具有线性频响特性，那么转换后的数字滤波器也具有线性频响特性。（）

答：采用双线性变换法设计IIR DF时，数字频率?与模拟频率?的关系不是线性的，即

??2???tg??。因此，变换前的线性频响曲线在经过???非线性变换后，频响曲线的T?2?各频率成分的相对关系发生变化，不再具有线性特性。

计算题：

10．假设某模拟滤波器Ha(s)是一个低通滤波器，又知H(z)?Ha(z?1)（用了变换z?1s?z?1）于是数字滤波器的通带中心位于： z?1（1）??0（是低通）

（2）???（是高通）

（3）在（0，?）内的某一频率上 是判定哪个结论对。

解：只要找出对应于??0的数字频率?的值即可。 由

s?z?1s?1?z?,z?ej?,s?j?代入上式，得 z?1s?1频率点的对应关系为

S平面 Z平面

???

??0?????0即将模拟低通中心频率??0映射到???处，所以答案为（2）

11．设有一模拟滤波器

Ha(s)?1(s2?s?1)

抽样周期T=2，试用双线性变换法将它转变为数字系统函数H(z)。 解

由变换公式

1?z?1s?c?1?z?1 及c?

2,T?2，可得 T1?z?1s??1

1?zs?1?z?11?z?1

所以

H(z)?Ha(s)|

?1?z?1??1?z?1???????1?1??1?? ? ?1?z??1?z?(1?z?1)2?3?z?212．下图表示一个数字滤波器的频率响应。

（1）用冲激响应不变法，试求原型模拟滤波器的频率响应。

（2）当采用双线性变换法时，试求原型模拟滤波器的频率响应。

?12H(ej?)113??解 （1）

?2?3??30?32?3??

冲激响应不变法

j?因为?大于折叠频率时H(e)为零，故用此法无失真。

H(ej?)?T?1?Ha(j)?Ha(j?) TT由图可得

52??2??,????????333?25?2? H(ej?)?????,????333???0,[??,?]内的其他???又由???T，则有

52??2?T?,????????33T3T?25?2????T?,??? Ha(j?)?H(ej?)|???T???33T3T

??0,其他???Ha(j?)113?2?3T??3T0?3T2?3T?

（2） 双线性变换法 根据双线性变换公式，可得：

Ha(j?)?Ha(jc?tan?2)

推出 ??c?tan(?2)

即 故

??2arctan(?) c?4?53arctan?,?3c?????c33???53?4 Ha(j?)???arctan?,c???3c

c33??0,其他????1Ha(j?)130?3c?3c33c33c?

13．用双线性变换法设计一个3阶Butterworth数字带通滤波器，抽样频率fs?720Hz，上下边带截止频率分别为f1?60Hz，f2?300Hz。 附：低阶次巴特沃斯滤波器的系统函数H(s):

阶 次 1 2 3 4 系 统 函 数 ?pc/(s+?pc) ?pc2/(s2+1.414?pcs+?pc3) ?pc3/(s3+2?pcs2+2?pc2s+?pc3) ?pc4/(s4+2.613?pc s3+3.414?pc 2s2+2.613?pc 3s+?pc 4)

解：该数字带通滤波器的上下边带截止频率：

?1?2?f1f?2??60720??6

s?2?2?f2f?2??300720?5?6

s数字低通原型滤波器的截止频率?p可以自选，为了使下面参数k的表示比较简单，这里选

?p2?2?p??3。则相应的模拟低通滤波器的截止频率???tan?2ftan?fs csTs263于是可以得到3阶模拟低通滤波器的系统函数

83??cHa(s)?3?2223??s?2??s?2?s??ccc33

488s3?fss2?fs2s?fs33333fs3而数字低通原型滤波器的系统函数

H1(z)?Ha(s)21?z?11?z?1s???1?2fsTs1?z1?z?1

1 ?33(1?z?1)3?2(1?z?1)3

21(1?z?1)2(1?z?1)?(1?z?1)(1?z?1)2?(1?z?1)33333下面将数字低通变换位数字带通。

a?cos(?1??22)/cos(?2??12)?cos/cos

23??k?ctan(?2??12)tan?p??31 ?ctan.tan?.23633于是得到变换公式：

z?12?k?1k?11Z?Z?2?2Z?2?1k?1k?12 ??????2k?1?22?k?11?2Z?2Z?Z?1?Z?1k?1k?12Z?2?最后可以得到所要求的数字带通滤波器的系统函数

Hd(Z)?H1(z)z?1?2Z?2?1Z?2?2

1 ?33?(Z?2?1)3?2(3Z?2?3)3

21(Z?2?1)2(3Z?2?3)?(Z?2?1)(3Z?2?3)2?(3Z?2?3)33333

三、FIR数字滤波器设计

填空题：

1．用频率取样法设计线性相位FIR滤波器时，控制滤波器阻带衰减的方法为（ ）。 解：增加过滤点

1?z?1H（z)?2，试判断滤波器的类型（低通，高2．已知一FIR数字滤波器的系统函数

通，带通，带阻）为（ ）。

解：高通

3．要获得线性相位的FIR数字滤波器，其单位脉冲响应h(n)必须满足条件: ⑴ （ ）⑵ （ ）

解：（1）h(n)是实数

（2）h(n)满足以n?(N?1)2为中心的偶对称或奇对称，即h(n)??h(N?1?n)

4．FIR系统称为线性相位的充要条件是（ ）。

解：（1）h(n)是实数

（2）h(n)满足以n?(N?1)2为中心的偶对称或奇对称，即h(n)??h(N?1?n)

5．FIR滤波器（单位取样序列h（n）为偶对称且其长度N为偶数）的幅度函数H(?)对?点奇对称，这说明?频率处的幅度是（ ），这类滤波器不宜做（ ）。 解：0 高通、带阻滤波器

6．用窗口法设计出一个FIR低通滤波器后，发现它过渡带太宽。这样情况下宜采取的修改措施是（ ）。 解：加大窗口长度，或换用其他形状的窗口

7．线性相位FIR滤波器传递函数的零点呈现（ ）的特征。 解：互为倒数的共轭对（四零点组、二零点组或单零点组）

判断说明题：

?8．所谓线性相位FIR滤波器，是指其相位与频率满足如下关系式：?（?）数 （ ）

解：错。所谓线性相位滤FIR波器，是指其相位与频率满足如下关系式：

?k?,k为常

?(?)??k???,k,?为常数。

9．用频率抽样法设计FIR滤波器时，减少采样点数可能导致阻带最小衰耗指标的不合格。（ ）

解：错。减小采样点数，不会改变通阻带边界两抽样点间的幅度落差，因而不会改变阻带最小衰耗。

10．只有当FIR系统的单位脉冲响应h(n)为实数，且满足奇/偶对称条件

h(n)??h(N?n)时，该FIR系统才是线性相位的。 （ ）

解：错。只有当FIR系统的单位脉冲响应h(n)为实数，且满足奇/偶对称条件

h(n)??h(N?1?n)时，该FIR系统才是线性相位的。

11．FIR滤波器一定是线性相位的，而IIR滤波器以非线性相频特性居多。 （ ） 解：错。FIR滤波器只有满足一定条件时，才是线性相位的。

简答题：

12．利用窗函数法设计FIR滤波器时，如何选择窗函数？ 解：答案略。

13．什么是吉布斯（Gibbs）现象? 窗函数的旁瓣峰值衰耗和滤波器设计时的阻带最小衰耗各指什么，有什么区别和联系？

答：增加窗口长度N只能相应地减小过渡带宽度，而不能改变肩峰值。例如，在矩形窗地情况下，最大肩峰值为8.95%;当N增加时，只能使起伏振荡变密，而最大肩峰值总是8.95%,

这种现象称为吉布斯效应。

旁瓣峰值衰耗适用于窗函数，它是窗谱主副瓣幅度之比，即旁瓣峰值衰耗=20lg(第一旁瓣峰值/主瓣峰值)。

阻带最小衰耗适用于滤波器。工程上习惯于用相对衰耗来描述滤波器。相对衰耗定义为。当滤波器是用窗口法得出时，阻带最小衰耗取决于窗谱主副瓣面积之比。

14．何为线性相位滤波器?FIR滤波器成为线性相位滤波器的充分条件是什么？ 答：线性相位的滤波器是指其相位函数?(?)与数字频率

?成线性关系，即

?(?)?????(?,?为常数)。

FIR滤波器成为线性相位的充分条件是： ①h(n)是实数。 ②h(n)满足以n?N?1为中心的偶对称或者奇对称，即h(n)??h(N?1?n)。 215．仔细观察下图。

（1） 这是什么类型具有什么特性的数字滤波器？ （2） 写出其差分方程和系统函数。

x?n??1z?1z?1z?1?1?3?1z?1z?11?6y?n?

解：（1）因为h(n)为奇对称，N=6为偶数。

所以是第四类线性相位的FIR DF，适合用做希尔伯特滤波器及微分器。 （2）系统函数：H(z)?1?3z?1?6z?2?6z?3?3z?4?z?5

差分方程：y(n)?x(n)?3x(n?1)?6x(n?2)?6x(n?3)?3x(n?4)?x(n?5)

16．设h(n)是一个N点序列(0?n?N?1)，表示一个因果的FIR滤波器，如果要求该

滤波器的相位特性为：?(?)??m?,m为常数。

说明：h(n)需要的充分必要条件，并确定N和m的关系。 解：充分必要条件：h?n???h?N?1?n? N与m的关系：m?N?1 217．试述窗函数法设计FIR数字滤波器的基本步骤？

解；原理：在时域内用窗函数对理想滤波器的时域特性hd?n?截断，

用截断后长冲激响应去逼近理想滤波器的hd?n?，所得到的频率响应?Hdej?

??18．FIR滤波器具有线性相位的条件是什么？其相位表达式是什么？

解：线性相位条件：h?n???h?N?1?n?

相位表达式：??????0???，?0是起始相位。

计算题：

19．如下图所示，两个长度为8的有限长序列h1(n)和h2(n)是循环位移关系。试问：

h1?n?h2?n?01234567n01234567n

（1）它们的8点离散傅立叶变换的幅度是否相等？

（2）做一个低通FIR数字滤波器，要求h1(n)或h2(n)之一作为其冲激响应，说明下列哪种说法正确？为什么？

①用h1(n)比h2(n)好； ②用h2(n)比h1(n)好；③两者相同 解：

h1(n)可看成是由h2(n)循环移序而得到

~~h1(n)?h2(n?4)RN(n)?h2(n?4)R8(n)

?4k根据DFT的循环移序特性，得到 H1(k)?W8H2(k)?(?1)kH2(k)

故 H1(k)?H2(k)

（2）用h1(n)比h2(n)好，即说法①比较正确。原因是：理想低通的hd(n)是sinc?函数，是非因果，不可实现的，要实现必须加时延。 加时延截断后的h(n)图形正如h1(n)。而

??h2(n)在数值最高处截断，其频谱H2(ej?)的泄漏大于H1(ej?)，显然不好。所以作为

低通滤波器，从衰减特性看，h1(n)是优于h2(n)的。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/u90p.html