高中数学教学论文 易错题分类及解析

高中数学中的易错题分类及解析

关键词：高考 数学 易错题 全文摘要：“会而不对，对而不全”严重影响考生成绩.易错题的特征：心理因素、易错点的隐蔽性、形式多样性、可控性.易错题的分类解析:分为五大类即审题不严、运算失误、概念模糊、公式记忆不准确、思维不严，每类再分为若干小类，列举高中数学中的典型易错题进行误解与正解和错因分析.本文既是对高考中的易错题目的分类解析，同时又是第一轮复习中的一本易错题集.下表是易错题分类表：

正 文 数学学习的过程，从本质上说是一种认识过程，其间包含了一系列复杂的心理活动.从数学学习的认知结构上讲，数学学习的过程就

是学生头脑里的数学知识按照他自己理解的深度与广度，结合自己的感觉、知觉、记忆、思维与联想，组合成的一个整体结构.所以，数学中有许多题目，求解的思路并不繁杂，但解题时，由于读题不仔细，或者对某些知识点的理解不透彻，或者运算过程中没有注意转化的等价性，或者忽略了对某些特殊情形的讨论……等等原因，都会导致错误的出现.“会而不对，对而不全”，一直以来都是严重影响考生数学成绩的重要因素. 一．易错题的典型特征 解题出错是数学答题过程中的正常现象，它既与数学学习环境有关,又与试题的难易程度有关.同时也与考生的数学水平、身体与心理状况有关.

1．考生自我心理素质：数学认知结构是数学知识的逻辑结构与学生的心理结构相互作用的产物.而数学解题是考生主体感受并处理数学信息的创造性的心理过程.部分考生题意尚未明确，加之考试求胜心切，仅凭经验盲目做题，以至于出现主观认识错误或陷入主观思维定势，造成主观盲动性错误和解题思维障碍.

2．易错点的隐蔽性：数学知识的逻辑结构是由数学知识之间的内在的联系联结而成的整体，而其心理结构是指智力因素及其结构，即观察力、记忆力、想象力、注意力和思维力等五个因素组成.数学解题是考生借助特定“数学语言”进行数学思维的过程，在这个过程中考生的数学知识结构和数学思维习惯起着决定性的作用.个体思维的跳跃性是产生思维漏洞的根本原因，这种思维漏洞一旦产生，考生自己是很难发现的，因此易错点的隐蔽性很强. 3．易错点形式多样性：根据数学学习的一般过程及数学认知结构的特点，数学易错点一般有知识性错误和心理性错误两种等形式：而知识性错误主要包括数学概念的理解不透彻、数学公式记忆不准确两方面；心理性错误包括审题不严、运算失误、数学思维不严谨等. 4．易错题的可控性：学生的认识结构有其个性特点.在知识总量大体相当的情况下，有的学生对知识不仅理解深刻，而且组织得很有条理，便于储存与撮；相反，有的学生不仅对知识理解肤浅，而且支离破碎，杂乱无章，这就不利于储存，也不容易提取.在学生形成了一定的数学认知结构后，一旦遇到新的信息，就会利用相应的认知结构对新信息进行处理和加工，随着认识活动的进行，学生的认知结构不断分化和重组，并逐渐变得更加精确和完善，所谓“吃一堑长一智”.只要我们在容易出错的地方提高警戒意识，建立建全解题的“警戒点”,养成严谨的数学思维好习惯，易错点就会逐渐减少. 二、易错题的分类解析 1.数学概念的理解不透

数学概念所能反映的数学对象的属性，不仅是不分精粗的笼统的属性，它已经是抓住了数学对象的根本的、最重要的本质属性.每一个概念都有一定的外延与内涵.而平时学习中对概念本质的不透彻，对其外延与内涵的掌握不准确，都会在解题中反映出来，导致解题出错. 例1.若不等式ax+x+a＜0的解集为 Φ，则实数a的取值范围（ ） A.a≤-2111111或a≥ B.a＜ C.-≤a≤ D.a≥ 22222222【错解】选A.由题意，方程ax+x+a=0的根的判别式??0?1?4a?0? a≤-≥

1或a21，所以选A. 2【错因分析】对一元二次不等式与二次函数的图象之间的关系还不能掌握，忽视了开口方向对题目的影响.

【正确解析】D .不等式ax+x+a＜0的解集为 Φ，若a=0,则不等式为x<0解集不合已知条

22件，则a?0；要不等式ax+x+a＜0的解集为 Φ，则需二次函数y=ax+x+a的开口向上

2???0?1?4a2?01且与x轴无交点，所以a>0且??a?.

2?a?0例2. 命题“若△ABC有一内角为

?，则△ABC的三内角成等差数列”的逆命题是（ ） 3A．与原命题真值相异 B．与原命题的否命题真值相异 C．与原命题的逆否命题的真值不同 D．与原命题真值相同 【错解】选A.因为原命题正确，其逆命题不正确.

【错因分析】本题容易出现的错误是对几个概念的理解失误：逆命题——将原命题的题设和结论交换、否命题——将原命题的题设和结论同时否定，逆否命题——将原命题的题设和结论交换后再同时否定，原命题与逆命题、否命题与逆命题是两对互为逆否的命题，互为逆否的命题是等价的.

【正确解析】选D.显然，原命题正确；其逆命题为：“若△ABC的三内角成等差数列，则△ABC有一内角为

?”.也正确，所以选D. 31?x的奇偶性为____________________ 1?x例3.判断函数f(x)=(x－1)

1?x(1?x)(x?1)2【错解】偶函数.f(x)=(x?1)??(1?x)(1?x)?1?x2，所以1?x1?xf(?x)?1?(?x)2?1?x2?f(x)，所以f（x）为偶函数.

【错因分析】上述解法有两个错误：1未考虑函数的定义域；2.x-1<0，放入根号内后根号前应添负号.

【正确解析】非奇非偶函数

.y=f(x)的定义域为：

?(1?x)(1?x)?01?x?0????1?x?1，定义域不关于原点对称，所以此函数为非奇1?x?1?x?0非偶函数.

例4.(2011四川)l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） (A)l1?l2，l2?l3?l1//l3 （B）l1?l2，l//l3?l1?l3 (C)l1//l2//l3? l1，l2，l3共面 （D）l1，l2，l3共点?l1，l2，l3共面

【错解】错解一：选A.根据垂直的传递性命题A正确； 错解二：选C.平行就共面；

【错因分析】错解一、二都是因为对空间的线线平行、线线垂直、共面等概念的理解不透彻所致.

【正确解答】选B.命题A中两直线还有异面或者相交的位置关系；命题C中这三条直线可以是三棱柱的三条棱，因此它们不一定共面；命题D中的三条线可以构成三个两两相交的平面，所以它们不一定共面.

例5.x=ab是a、x、b成等比数列的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件

C.充要条件 D.既非充分又非必要条件

【错解】C.当.x=ab时，a、x、b成等比数列成立；当a、x、b成等比数列时，x=ab成立 .

【错因分析】对等比数列的定义理解不透.

【正确解析】选D.若x=a=0，x=ab成立，但a、x、b不成等比数列， 所以充分性不成立；反之，若a、x、b成等比数列，则x?ab?x??ab，所以x=ab不一定成立，必要性不成立.所以选D.

例6．(1)把三枚硬币一起掷出，求出现两枚正面向上，一枚反面向上的概率.

(2)某种产品100件，其中有次品5件，现从中任抽取6件，求恰有一件次品的概率. 分析: （1）【错解】三枚硬币掷出所有可能结果有2×2×2=8种，而出现两正一反是一种结果，故

1所求概率P=.

8【正解】在所有的8种结果中，两正一反并不是一种结果，而是有三种结果：正、正、反，

3正、反、正，反、正、正，因此所求概率P?,上述错解在于对于等可能性事件的概念理解

8不清，所有8种结果的出现是等可能性的，如果把上述三种结果看作一种结果就不是等可能

m性事件了，应用求概率的基本公式P?自然就是错误的.

n（2） 【错解】由题意知，这种产品的次品率为5%，且每次抽取相互独立，由独立重复实

5515验概率公式，得：6件产品中恰有1件次品的概率为：P6(1)?C6(1?)?0.2321.

100100【正解】在上题的解法中有两个错误：第一，100件产品，其中有5件次品与次品率为5%

是两个不同的概念；第二，该实验不是独立重复实验，从100件产品中任抽6件，可当作抽了6次，每次抽1个，但每次抽到次品还是正品，显然直接影响到下一次抽到次品还是正品，显然直接影响到下一次抽到次品或正品的概率，具体地说，如果第一次抽出的是次品，那么次品就少了一个，第二次再抽到次品的概率就小了…这就是说各次实验之间并非独立的，错用了独立重复实验概率公式，正确解法应为：P?2.公式理解与记忆不准

数学公式众多，学生在应用公式解决数学问题时，由于理解不准确（例如公式成立的条件未考虑）或记忆不准确，极易导致运算失误.例如公式a?b?2ab(a?0,b?0,当且仅当a=b时“=”成立）中极易忽略数a,b均为正和取等号的条件，还有学生把我们常用的一些公式记成下面的一系列错误公式：

loga(x?y)?logax?logay等等.

15C5C956C1002?0.2430.

x2?x，

1uu?v?uv??1?x?1，()??，

vv2x例7.若x?0,y?0,x?y?1，则

14?的最小值为___________. xy【错解】

144??2?4xyxy1?8，错解原因是忽略等号成立条件.

x?y2()2【正解】

y4x14x?y4(x?y)?=??5???9

xyxyxy4

4

例8. 函数y=sinx+cosx－

3的相位____________，初相为__________ .周期为_________，4单调递增区间为____________. 【错解】y=sinx+cosx－

4

4

31?=cos4x，所以相位为4x，初相为0，周期为，增区间为…. 442【错因分析】应先把函数转化为正弦型函数.教材中关于相位、初相……的定义是在正弦型函数的基础上.

311???=cos4x?sin(4x?).相位为4x?，初相为，444222?2k?1k??,](k?Z). 周期为，单调递增区间为[422【正确解析】y=sinx+cosx－

4

4

3.审题不严

审题，是解题的第一步，考生在审题过程中可能发生读题不清楚、未发现隐含条件及字母的意义含混不清等错误. （1）读题不清

例9.(2011四川)已知f(x)是R上的奇函数，且当x?0时，f(x)?()?1，则f(x)的反函数的图像大致是

12x

【错解】选B.因为y?()在x?0内递减，且f(x)?()?1过点（0，2），所以选B. 【错因分析】考生未看清楚题目是求f(x)的反函数的图像.

【正确解答】A.根据函数与其反函数的性质，原函数的定义域与值域同其反函数的值域、定义域相同.当x?0,0?()?1,?1?y?2，所以选A.或者首先由原函数过点（0，2），则其反函数过点（2，0），排除B、C；又根据原函数在x?0时递减，所以选A.

例10.编号为1，2，3，4，5的五个人，分别坐在编号为1，2，3，4，5的座位上，则至多

12x12x12x

有两个号码一致的坐法种数为（ ）

A．120 B.119 C.110 D.109

【错解】“至多有两个号码一致”的对立事件是“三个或四个（即五个）号码一致”， 三个

53232号码一致有C5?C5A2?1?99，A2种，四个号码一致仅一种，所以所求的坐法种数为A5无选项.

【错因分析】三个号一致时，另两个号则不能一致，例如已经选择了1、2和3号一致，则

24号人只能坐5号位且5号人坐4号位，仅一种坐法而不是A2种.读题不清导致解题出错.

【正确解析】选D .“至多有两个号码一致”的对立事件是“三个或四个（即五个）号码一

3致”，三个号码一致有C5种（若三个号一致，另外两个不在自己号位仅一种方法），四个号53码一致仅一种，所以所求的坐法种数为A5?C5?1?109.选D.

例11. 一箱磁带最多有一盒次品.每箱装25盒磁带，而生产过程产生次品磁带的概率是0.01.则一箱磁带最多有一盒次品的概率是 .

【错解】一箱磁带有一盒次品的概率0.01?(1?0.01)24，一箱磁带中无次品的概率

(1?0.01)25，所以一箱磁带最多有一盒次品的概率是0.01?(1?0.01)24+(1?0.01)25.

【错因分析】由于这一箱磁带共25盒，则一箱磁带有一盒次品的概率应为

1. C25?0.01?(1?0.01)241【正确解析】一箱磁带有一盒次品的概率C25?0.01?(1?0.01)24，一箱磁带中无次品的概率0C25?(1?0.01)25，所以一箱磁带最多有一盒次品的概率是10C25?0.01?(1?0.01)24+C25?(1?0.01)25.

【点评】在做文字较多的排列组合或概率题时应特别细心读题，读懂题目中的关键词的含义. （2）忽视隐含条件

数学题目中有很多隐含条件，例如已知“直线与圆有公共点”，这就隐含着“联立直线与圆的方程消元后的二次方程的判别式??0”，又如“求函数y?1的值域”隐含

sinx?2着“?1?sinx?1”这个有界性条件…….审题过程应尽可能找出这些隐含条件后再解题.

22例12.设?、?是方程x?2kx?k?6?0的两个实根，则(??1)?(??1)的最小值是

2（ ）

(A)?494(B)8(C)18(D)不存在

【错解】利用一元二次方程根与系数的关系易得：????2k,???k?6,

?(??1)2?(??1)2??2?2??1??2?2??1?(???)2?2???2(???)?2

349?4(k?)2?.选A.

44【错因分析】受选择答案（A）的诱惑，一看到4(k?)?3424949则立即选了答案?.这44正是思维缺乏反思性的体现.忽视了一元二次方程有根，则判别式??0这个隐含条件. 【正确解析】利用一元二次方程根与系数的关系易得：????2k,???k?6,

?(??1)2?(??1)2??2?2??1??2?2??1?(???)2?2???2(???)?2

349?4(k?)2?.? 原方程有两个实根?、?，∴??4k2?4(k?6)?0 ?

44k??2或k?3.

当k?3时，(??1)2?(??1)2的最小值是8； 当k??2时，(??1)2?(??1)2的最小值是18.选B. 例13.已知(x+2)+ =1, 求x+y的取值范围.

4

【错解】由已知得 y=－4x－16x－12，因此 x+y=－3x－16x－12=－3(x+828282222

∴当x=－ 时，x+y有最大值 ，即x+y的取值范围是(－∞, ]. 333【错因分析】没有注意x的取值范围要受已知条件的限制.

【正确解析】由已知得 y=－4x－16x－12，因此 x+y=－3x－16x－12=－3(x+由于(x+2)+ =1 ? (x+2)=1－ ≤1 ? －3≤x≤－1，

44282222

从而当x=－1时x+y有最小值1.∴ x+y的取值范围是[1, ]. 3

【点评】注意一些代数式的有界性，例如 x≥0，－1≤sinx≤1， a>0等及圆锥曲线有界性等.

例14. 方程log2(9【

x?12

x

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

y2

22

8228)+ ， 338228)+ 33y2

2

y2

?5)?log2(3x?1?2)?2?0的解集为___________________-

错

解

】

lx?12?o?x?12g? (x?2log2(9x?1?5)?log24(3x?1?2)?9x?1?5?4(3x?1?2)?(3x?1?1)(3x?1?3)?0

3x?1?1?0或3x?1?3?0所以x=1或x=2.所以解集为{1，2}.

【错因分析】产生了增根x=1.实际上当3则原方程无意义. 【

正

x?12x?1?1?0时，3x?1?2<0导致对数的真数为负数

解】

l?o?x?12g? (x?2?9x?1?5?4(3x?1?2)?log2(9x?1?5)?log24(3x?1?2)??3x?1?2?0?3x?1?3?0?x?2

?9x?1?5?0?所以解集为{2}.

例15. 已知在6个电子元件中，有2个次品，4个合格品，每次任取一个测试，测试完不再放回，直到2个次品都找到为止，求经过4次测试恰好将2个次品全部找出的概率.

分析:错解一: 经过4次测试恰好将2个次品全部找出,表示前4次中有2次取到正品和2

A42A421次取到次品，故所求概率为=..

5A64错解二: 经过4次测试恰好将2个次品全部找出表示第4次正好取到次品，故所求概率为

123C2C4A34A61= 5正解:若仔细审题，我们会发现：经过4次测试恰好将2个次品全部找出，不仅包括4次正好取到次品，前3次中有一次取到次品，还有前4次正好都取到合格品的情况，即此时剩下2个都是次品，所以，经过4次测试恰好将2个次品全部找出的概率为（3）字母意义含混不清

1234C2C4A3?A4A46?4 155x2y2例16.若双曲线2?2??1的离心率为，则两条渐近线的方程为（ ）

4abA.

xyxyxyxy??0 B.??0 C.??0 D.??0 9161693443【错解】选D.

c5c225a2?b2b2b29b33xye???2???1???????y??x???0222a4a16aaa16a4443，选D.

【错因分析】审题不认真，混淆双曲线标准方程中的a和题目中方程的a的意义.

x2y2y2x2【正确解析】2?2??1?2?2?1，与标准方程中字母a,b互换了.选C.

abba4.运算错误

运算能力是思维能力和运算技能的结合．运算包括对数字的计算、估值和近似计算，对式子的组合变形与分解变形，对几何图形中各几何量的计算求解等．运算能力包括分析运算条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等一系列过程中的思维能力，也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力．而计算出错，已经成为影响数学成绩的最重要因素之一.运算出错主要有以下几种： （1）数字与代数式运算出错

数字运算，移项、合并同类项、因式分解等整式变形、繁分式化简、无理式变形等式子的等价变形是考生最容易出错的地方.

?????例17. 若a?(5,?7),b?(?1,2)，且（a??b）?b，则实数?的值为____________.

【错解】a??b?(5??,?7?2?)，

??则（a??b）?b?(a??b)?b?0?5???2(?7?2?)?0???3.

【错因分析】计算过程中数字运算出错，(5??)?(?1)仍等于5??导致出错. 【正确解析】a??b?(5??,?7?2?)，

??19（a??b）?b?(a??b)?b?0???5?2(?7?2?)?0???

5例18. 已知直线l与点A（3，3）和B（5，2）的距离相等，且过二直线l1：3x－y－1=0和

l2：x+y－3=0的交点，则直线l的方程为_______________________

【错解】先联立两直线求出它们交点为（1，2），设所求直线的点斜式，再利用A、B到它的距离相等建立方程得|2k?1|k2?1?|4k|1?k??，所以所求直线为x+2y-5=0.

2k2?1【错因分析】显然，解方程时漏了一根，含绝对值的方程应讨论（或平方）求解，一般有两

根.

【正确解析】x-6y+11=0或x+2y-5=0.联立直线l1：3x－y－1=0和l2：x+y－3=0的方程得它们的交点坐标为（1，2），令过点（1，2）的直线l为：y-2=k(x-1)（由图形可看出直线l的

斜率必然存在），由点到直线的距离公式得：直线l的方程为:x-6y+11=0或x+2y-5=0.

|2k?1|k2?1?|4k|11?k?,k??，所以

62k2?1（2）运算方法（如公式、运算程序或运算方向等）选择不当导致运算繁杂或不可能得解而出错

在同样的题目条件下，不同公式的选择及不同运算程序都将极大影响运算的速度和准确度.

例19. 已知圆(x－3)+y=4和直线y=mx的交点分别为P，Q两点，O为坐标原点，则OP?OQ2

2

的值为 .

【运算繁杂的解法】联立直线方程y=mx与圆的方程(x－3)+y=4消y，得关于x的方程

2

2

(1?m2)x2?6x?5?0，令P(x1,y1),Q(x2,y2)，则x1?x2?265,x?x?，则12221?m1?m5m2y1y2?mx1x2?，由于向量OP与向量OQ共线且方向相同，即它们的夹角为0，21?m55m2??5. 所以OP?OQ?OP?OQ?x1x2?y1y2?1?m21?m2【分析】上述解法正确，也得出了正确答案，但运算繁杂.下面的解法简洁明了. 【正确解析】根据圆的切割线定理，设过点O的圆的切线为OT（切点为T），由勾股定理，则OP?OQ?OT?3?2?5.

例20.长为1的正四面体内有一点P，由点P向各面引垂线，垂线段长度分别为d1，d2，d3，d4，则d1＋d2＋d3＋d4的值为 【运算繁杂的解法】在正四面体S-ABC内任取一点P，则

222133VS?ABC?VP?ABC?VP?ABS?VP?ACS?VP?BCS???12?()2?343136?(d1?d2?d3?d4)?d1?d2?d3?d4?. 343【分析】上述解法正确，但如果采用下面的特殊值（特殊点）法，运算更为简洁. 【正确解析】

6.令P为正四面体的中心（显然，P的位置不影响正确答案），则36,12，而棱长为1的正四面体的内切球半径为r=d1?d2?d3?d4?r（r为内切球半径）

所以所求值为4r=

6. 3（3）忽视数学运算的精确性，凭经验猜想得结果而出错

y2?1的右焦点作直线交双曲线于A、B两点，且AB?4，则这样的直线有例21.曲线x－22

___________条.

【错解】4条.过右焦点的直线，与双曲线右支交于A、B时，满足条件的有上、下各一条（关于x轴对称）；与双曲线的左、右分别两交于A、B两点，满足条件的有上、下各一条（关于x轴对称），所以共4条.

【错因分析】实际上，通过计算可知，过右焦点且与X轴垂直的弦AB（即通径）为

2b22?2??4，恰好为所需长度，因此过右焦点的直线与右支相交于A、B两点时，仅有a1一条满足条件.

2b22?2??4，所以过右焦点的直【正解】过右焦点且与X轴垂直的弦AB（即通径）为a1线，与双曲线右支交于A、B时，满足条件的仅一条；与双曲线的左、右分别两交于A、B两点，满足条件的有上、下各一条（关于x轴对称），所以共3条.

（4）计量单位缺乏量纲意识

例22．甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次为P万元和Q万元，它们与投入资金x（万元）的关系有经验公式P?13x,Q?x.现有3万元资金投入经营甲、55乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别是多少元？

【错解一】设对甲种商品投入金额x元，则乙种商品投资为30000-x元，获得利润总额为y元.

则将利润总额为y的单位换算成元有：y?13x?30000?x,x?[0,30000]，如法炮制，令 5530000?x?t,则x?30000?t2,t?[0,1003]

13139?y?(30000?t2)?t??(t?)2?6000,t?[0,1003].

555220?t?3. ?x?29997.75(元）,30000?x?2.25（元）2【错解二】设对甲种商品投入金额x元，则乙种商品投资为30000-x元，获得利润总额为y元.

把利润总额单位转化为元，则y?13x?10000?30000?x,x?[0,30000] 55令30000?x?t,则x?300000?t2,t?[0,1003]

3329?y?2000?(30000?t2)?t??2000(t?)?6?107??10?5，t?[0,1003].

5200002?t?332.时y最大，此时对甲商品资金投入量为x?30000?()?29999.99999997752000020000元，对乙商品资金投入量为0.0000000225元.，此时甲商品获得利润60000000.000045元.（不管怎样分配，甲商品都赚了投入资金的1999倍的钞票！）

【错解三】设对甲种商品投入金额x元，则乙种商品投资为30000-x元，获得利润总额为y元.

由于利润总额单位为万元，故y?113(x?30000?x)， 1000055令30000?x?t,则x?300000?t2,t?[0,1003] y???t?13139(30000?t2)?t??[(t?)2?6000],t?[0,1003]. 5000050000500002203. ?x?29997.75(元）,30000?x?2.25（元）213x,Q?x的单位理解不清.从量纲角度看，长55【错因分析】量纲不统一，对经验公式P?度立方为体积、长度平方为面积（正如体积的立方根为长度、面积的算术平方根长度一样），

3Q?x的单位由经验公式给出的前提是变量x的单位万元确定，因此，

5【正解一】设对甲种商品投入金额x万元，是乙种商品投资为（3-x）万元，获得的利润总额为y万元. 由题意，得y?y?13x?3?x,x?[0,3],设3?x?t,则x?3?t2,t?[0,3]，则 55131321(3?t2)?t??(t?)2?,t?[0,3]. 5552209339321,即x?3??，3?x?3??. ?[0,3]时,ymax?4444220?当t?因此，为获取最大利润，对甲、乙两种商品的的资金投入应分别为0.75万元和2.25万

元，获得的最大利润为1.05万元.

【正解二】设对甲种商品投入金额x元，则目标函数应该为

y?1x3x13??3?=x?30000?x 51000051000050000500令30000?x?t,则x?300000?t2,t?[0,1003] 则y?13121?x?30000?t2?7500（余与解一同） (30000?t2)?t??(t?150)2?5000050050000205.数学思维不严谨

（1）数学公式或结论的条件不充分

1212

例23.已知：a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+ )+(b+ )的最小值.

ab【错解】 (a+

1212221121)+(b+)=a+b+2+2+4≥2ab++4≥4ab?+4=8. abababab∴(a+

1212

)+(b+)的最小值是8. ab2

2

【错因分析】上面的解答中，两次用到了基本不等式a+b≥2ab，第一次等号成立的条件是a=b=

11,第二次等号成立的条件是ab=，显然，这两个条件是不能同时成立的.因此，8

ab2不是最小值.

111111222

++4=( a+b)+(+)+4=[(a+b)－2ab]+[(+)－2222ababab21a?b21111]+4= (1－2ab)(1+22)+4，由ab≤()= 得：1－2ab≥1－=, 且22≥ab2422abab1251116，1+22≥17，∴原式≥×17+4= (当且仅当a=b=时，等号成立)，

222ab121225

∴(a + ) + (b + )的最小值是 . 2ab【正确解析】原式= a+b+

2

2

例24.已知两正数x,y 满足x+y=1,则z=(x?)(y?1x1)的最小值为 . y【错解一】因为对a>0,恒有a?111?2,从而z=(x?)(y?)?4,所以z的最小值是4. axy2?x2y2?2xy22【错解二】z??(?xy)?2?2xy?2?2(2?1)，所以z的最小

xyxyxy值是2(2?1).

【错因分析】解法一中，等号成立的条件是x?11且y?,即x?1且y?1,与x?y?1相矛xy盾；解法二中，等号成立的条件是

12?xy,即xy?2，与0?xy?相矛盾.

4xy111yx1(x?y)2?2xy2??=xy??【正解】z=(x?)(y?)=xy???xy?2，令

xyxyxyxyxyxyt=xy, 则0?t?xy?(x?y212?1?1)?，由f(t)?t?在?0,?上单调递减,故当t=时 24t4?4?f(t)?t?233133有最小值,所以当x?y?时z有最小值. t244（2）以偏概全，重视一般性而忽视特殊情况

以偏概全是指思考不全面，遗漏特殊情况，致使解答不完全，不能给出问题的全部答案，从而表现出思维的不严密性.

例25．(1)不等式|x+1|(2x－1)≥0的解集为____________ (2)函数y?解析：

1?x的定义域为 . 1?x[,??).因为|x+1|?0恒成立，（1）【错解】所以原不等式转化为2x-1?0，所以x?[,??)

【错因分析】忽略了当x=－1时|x+1|=0原不等式也成立，即x=-1为不等式的解. 【正确解析】[,??)?{?1}.原不等式等价于|x+1|=0或2x-1?0，所以解集为

1212121x?[,??)?{?1}.

21?x?0?(1?x)(1?x)?0?x?1或x??1. 1?x【错因分析】两个错误：一是解分式不等式（方程）时未考虑分母不能为0；二是解二次不等式时没有把二次项系数变为正再考虑两根之外或两根之间，从而导致解集出错.

(2) 【错解】【正解】

?(1?x)(1?x)?0?(1?x)(x?1)?01?x?0??????1?x?1

1?x?0x?11?x??例26.过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2?4x仅有一个公共点，这样的直线有（ ） A.1条 B.2条 C. 3条 D. 0条

?y2?4x2【错解】设直线的方程为y?kx?1，联立?，得?kx?1??4x，

?y?kx?1即：kx?(2k?4)x?1?0，再由Δ＝0,得k=1,得答案A.

【错因分析】本题的解法有两个问题，一是将斜率不存在的情况考虑漏掉了，另外又将斜率k=0的情形丢掉了，故本题应有三解，即直线有三条.

【正确解析】C.由上述分析，y轴本身即为一切线，满足题意；解方程

22k2x2?(2k?4)x?1?0时，若k=0，即直线y=1也与抛物线y2?4x仅有一个公共点，又

k=1时也合题意，所以有三条直线合题意，选C. （3）解题时忽视等价性变形导致出错 例27. （1）已知f(x) = ax +

b，若?3?f(1)?0,3?f(2)?6,求f(3)的范围. xx2?x?30?0}，且A?B??，求实数a（2）已知集合A?{x||x?a|?1}，B?{x|x?3的取值范围.

①??3?a?b?0?解析：（1）【错解】由条件得? b3?2a??6?②2?由②×2－① 6?a?15 ③ ①×2－②得 ?8b2??? ④ 33310b431043,即?f(3)?. ③+④得 ?3a??33333b，x其值是同时受a和b制约的.当a取最大（小）值时，b不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的.

【错因分析】采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数f(x) = ax +

?f(1)?a?b?【正确解析】由题意有?b, 解得：

f(2)?2a??2?12a?[2f(2)?f(1)],b?[2f(1)?f(2)],

33b1651637?f(3)?3a??f(2)?f(1). 把f(1)和f(2)的范围代入得 ?f(3)?.

39933（2）【错解】由题意，A：a?1?x?a?1

x2?x?30?0?(x?6)(x?5)(x?3)?0?{x|x?6或?5?x?3}……(后面略) B：

x?3【错因分析】求集合B时，未考虑分式不等式中分母为零这一条件（若B中不等式为f(x)?0或f(x)?0形式而不是f(x)?0或f(x)?0则不需要考虑此问题）. 【正确解析】由题意，A={x|a?1?x?a?1}

?(x?6)(x?5)(x?3)?0x2?x?30B：?0???{x|x?6或?5?x?3}

x?3?0x?3?由A?B??则a?(??,?6)[4,5).

n例28.已知数列?an?的前n项和Sn?2?1，求an.

【错解】 an?Sn?Sn?1?(2n?1)?(2n?1?1)?2n?2n?1?2n?1.

1?1【错因分析】 显然，当n?1时，a1?S1?3?2?1，不满足上述公式.

没有注意公式an?Sn?Sn?1成立的条件是n?2.

【正确解析】当n?1时，a1?S1?3，n?2时，

an?Sn?Sn?1?(2?1)?(2nn?1?1)?2?2nn?1?2n?1??3.所以an??n?12??2(n?1)(n?2).

例29.实数a为何值时，圆x2?y2?2ax?a2?1?0与抛物线y?【错解】 将圆x2?y2?2ax?a2?1?0与抛物线 y?得 x?(2a?)x?a?1?0(x?0). ①

221x有两个公共点. 21x联立，消去y， 2122???0?171?. 因为有两个公共点，所以方程①有两个相等正根，得?2a??0 ， 解之得a?82?2?a??1?0.【错因分析】如下图（1）（2）.显然，当a?0时，圆与抛物线有两个公共点.

O 【正

x O x y y 图1 图2 确解析】要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程①有一正根、一负根；或有两个相等

???0正根.当方程①有一正根、一负根时，得?2解之，得?1?a?1.

?a?1?0.因此，当a?公共点.

例30.(1)设等比数列?an?的全n项和为Sn.若S3?S6?2S9，求数列的公比q.

1712222或?1?a?1时，圆x?y?2ax?a?1?0与抛物线y?x有两个82a1(1?q3)a1(1?q6)a1(1?q9)【错解】 ?S3?S6?2S9,?， ??2?1?q1?q1?q整理得q3(2q6?q3?1）＝0.

由q?0得方程2q?q?1?0.?(2q?1)(q?1)?0,?q??6333342或q?1.

a1(1?q3)a1(1?q6)a1(1?q9)【错因分析】在错解中，由， ??2?1?q1?q1?q整理得q3(2q6?q3?1）＝0时，应有a1?0和q?1.

在等比数列中，a1?0是显然的，但公比q完全可能为1，因此，在解题时应先讨论公比q?1的情况，再在q?1的情况下，对式子进行整理变形.

【正确解析】若q?1，则有S3?3a1,S6?6a1,S9?9a1.但a1?0，即得S3?S6?2S9,与题设矛盾，故q?1.

a1(1?q3)a1(1?q6)a1(1?q9)又依题意 S3?S6?2S9 ? ? ??2?1?q1?q1?qq3(2q6?q3?1）＝0,即(2q3?1)(q3?1)?0,因为q?1，所以q3?1?0,所以2q?1?0.解得 q??334. 2【点评】本题为1996年全国高考文科试题，不少考生的解法与错误解法相同，根据评分标准而痛失2分. （4）空间识图不准

数学运算能力包括空间想象能力.空间想象能力是指能根据条件作出正确的图形，根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合与变换；会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质． 对图形的想象主要包括有图想图和无图想图两种，是空间想象能力高层次的标志．而空间识图不准导致的立何几何题目出错情况很多.

例31．直二面角α－l－β的棱l上有一点A，在平面α、β内各有一条射线AB，AC与l成45，AB??,AC??，则∠BAC= .

0

【错解】如右图.由最小角定理，

cos?BAC?cos?1?cos?2?221?????BAC?. 2223【错因分析】错解中忽视了AC的另一位置OD，此时?BAD?【正确解析】

2?. 32???或.如下图.当?CAF?时，由最小角定理，

336cos?BAC?cos?1?cos?2?221?????BAC?；当AC在另一边DA位置时，2223?BAC?2?. 3 （5）推理方向的盲目性

根据题的已知条件及所求的特征，有时直接从已知出发，运用公式、定理等得结论，这是综合法；有时需要从结论出发，分析它的必要条件，直到得到一个明显成立的命题，这是分析法.这是两种不同的推理方向，如果解题时失主理方向不正确，可能导致解题思路受阻或出错.

例32. 设f ( x ) = x－

3

12

x－2x＋5，当x?[?1,2]时，f ( x ) < m恒成立，则实数m2的取值范围为 .

7211.令f'(x)?3x2?x?2?0，得f(x)的增区间为(??,?),(1,??)，f(-1)=（区232777间左端点），f(1)?(极小值点)，所以x?[?1,2]时fmin(x)?所以m>.

222【错因分析】推理方向的不正确，f ( x ) < m恒成立应理解为m?fmax(x)而不是m?fmin(x).

【错解】m>

【正确解析】m>7.由题意，f ( x ) < m恒成立即m?fmax(x).令f'(x)?3x2?x?2?0，得

22f(x)的增区间为(??,?),(1,??)，且f(2)=7，f(?)?7，结合f(x)的草图知，fmax(x)?7，

33所以m>7.

（6）限域求值端点取值不正确 例33.若?1?x?3,则

1?____________;x2?___________ x?1111??(?,,)??2?x?1?2?【错解】?1?x?3??x?122

?x2?(1,9)?111??(??,?)?(,??)??2?x?1?2?【正解】?1?x?3?? x?1222?x?[0,9)?例34.已知x?[0,],则f(x)?2sin(2x?)的取值范围是 . 64【错解】[1,3].0?x????4?0?2x??2??6?2x??6?2??12?3,sin?,sin?，所以362321?2sin(2x?)?3. 6【错因分析】当

??6?2x??6?2??1时，根据正弦函数的图象，sin(2x?)的范围应为[,1]而36213]. 不是[,22【正确解析】[1,2].0?x??4?0?2x??2??6?2x??6?2?1?,sin(2x?)?[,1]，所以3266（7）说一套做一套，粗枝大叶，心里想的和手上写的不一致

比如分数结果不约分或不化简、解集不用集合表示、将非常明确的限定条件遗漏（比如形式二次、对数真数为正等）、写错运算符号、写错数据，有时把关键字母写错等等. 例35.设A、B是?ABC的两个内角，且tanA,tanB是方程6x2?5x?1?0的两根，则A+B=____.

分析：由韦达定理易知tan(A?B)?1?2sin(2x??. )?2?tanA?tanB?1，又0?A?B??，故A?B?.

41?tanAtanB部分学生非常遗憾地把结论写成了A+B的正切值1.

数学是一门系统性、逻辑性很强的学科，其演算、推理有一定的规则，就连符号、图形都有一定的要求.如果平时缺乏严格训练，解题时丢三落四，书写不规范，只求三言两语，不求推理有据，更谈不上整齐、清洁、美观，高考丢分就在情理之中了. 所以，在第一轮复习过程中，要注意：

（1）学生个人的错题的收集与整理

（2）错题的原因分析

（3）针对某个学生而言，反复出现的某种类型的错题，即可归为该学生的易错题 （4）不同学生的易错题可能是不同的，要教会学生针对自己的易错题建立数学学习过程中的“警戒点”.

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