初中数学 培优专题复习 中考压轴题 易错题 汇编 含答案 2：几何

初中数学

培优专题复习

2018版

初中培优系列 2018年全国中考数学分类解析汇编

1

2 012年全国中考数学分类解析汇编

专题2：几何问题

一、选择题

1. （2018上海市4分）如果两圆的半径长分别为6和2，圆心距为3，那么这两个圆的位置关系是【 】 A． 外离 【答案】D。

【考点】圆与圆的位置关系。

【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。因此，

∵两个圆的半径分别为6和2，圆心距为3，6﹣2=4，4＞3，即两圆圆心距离小于两圆半径之差， ∴这两个圆的位置关系是内含。故选D。

2. （2018安徽省4分）在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2、4、3，则原直角三角形纸片的斜边长是【 】

B． 相切

C． 相交

D． 内含

A.10 B.45 C. 10或45 D.10或217 【答案】C。

【考点】图形的剪拼，直角三角形斜边上中线性质，勾股定理

【分析】考虑两种情况，分清从斜边中点向哪个边沿着垂线段过去裁剪的。根据题意画出图形，再根据勾股定理求出斜边上的中线，最后即可求出斜边的长：

2

①如左图：

∵CE?CD2?DE2?42+32=5，点E是斜边AB的中点，∴AB=2CE=10 。 ②如右图：

∵CE?CD2?DE2?42+22=25，点E是斜边AB的中点，∴AB=2CE=45。 因此，原直角三角形纸片的斜边长是10或45。故选C。

3. （2018广东省3分）已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是【 】 A． 5 【答案】C。

【考点】三角形三边关系。

【分析】设此三角形第三边的长为x，则根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的构成条件，得10﹣4＜x＜10+4，即6＜x＜14，四个选项中只有11符合条件。故选C。 4. （2018广东珠海3分）如果一个扇形的半径是1，弧长是A. 30° B. 45° C ．60° D．90° 【答案】C。

【考点】弧长的计算。 【分析】根据弧长公式l?，那么此扇形的圆心角的大小为【 】

B． 6

C． 11

D． 16

n?r，即可求解 180n???1?设圆心角是n度，根据题意得?，解得：n=60。故选C。

18035. （2018浙江宁波3分）勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾

3

股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为【 】

A．90 B．100 C．110 D．121 【答案】C。

【考点】勾股定理的证明。

【分析】如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，

所以，四边形AOLP是正方形，边长AO=AB+AC=3+4=7。 所以，KL=3+7=10，LM=4+7=11，

因此，矩形KLMJ的面积为10×11=110。故选C。

6. （2018江苏宿迁3分）在平面直角坐标系中，若将抛物线y=2x2 - 4x+3先向右平移3个单位长度，再

向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是【 】 A.（－2，3） 【答案】D。 【考点】坐标平移。

【分析】根据坐标的平移变化的规律，左右平移只改变点的横坐标，左减右加。上下平移只改变点的纵坐标，下减上加。因此，将抛物线y=2x2 - 4x+3先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，其顶点也同样变换。

∵y?2x2? 4x?3?2?x?1?+1的顶点坐标是（1，1），

∴点（1，1）先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得点（4，3），即经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（4，3）。故选D。

7. （2018福建南平4分）如图，正方形纸片ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别和AE、AF折叠，点B、D恰好都将在点G处，已知BE=1，则EF的长为【 】

2B.（－1，4） C.（1，4） D.（4，3）

4

A．

359 B． C． D．3 224【答案】B。

【考点】翻折变换（折叠问题），正方形的性质，折叠的性质，勾股定理。 【分析】∵正方形纸片ABCD的边长为3，∴∠C=90°，BC=CD=3。

根据折叠的性质得：EG=BE=1，GF=DF。

设DF=x，则EF=EG＋GF=1＋x，FC=DC－DF=3－x，EC=BC－BE=3－1=2。 在Rt△EFC中，EF2=EC2＋FC2，即（x＋1）2=22＋（3－x）2，解得：x?∴DF=

3。 2335 ，EF=1＋=。故选B。 2228. （2018湖北咸宁3分）中央电视台有一个非常受欢迎的娱乐节目：墙来了！选手需按墙上的空洞造型 摆出相同姿势，才能穿墙而过，否则会被墙推入水池．类似地，有一个几何体恰好无缝隙地以三个不同形 状的“姿势”穿过“墙”上的三个空洞，则该几何体为【 】．

A．【答案】A。

B． C． D．

【考点】由三视图判断几何体。

【分析】一个几何体恰好无缝隙地以三个不同形状的“姿势”穿过“墙”上的三个空洞，即要这个几何体的三 视图分别是正方形、圆和正三角形。符合此条件的只有选项A：主视图是正方形，左视图是正三角形，俯 视图是圆。故选A。

9. （2018福建泉州3分）如图，点O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC、BC分别交于点E、F，则【 】

5

A .EF>AE+BF B. EF

【考点】三角形内心的性质，切线的性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质。 【分析】如图，连接圆心O和三个切点D、G、H，分别过点E、F作AB的垂线交AB于点I、J。

∵EF∥AB，∴∠HEO=∠IAE，EI=OD。 又∵OD=OH，∴EI=OH。

又∵∠EHO=∠AIE=900，∴△EHO≌△AIE（AAS）。∴EO=AE。 同理，FO=BF。

∴AE+BF= EO+FO= EF。故选C。

10. （2018湖南长沙3分）现有3cm，4cm，7cm，9cm长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是【 】

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B。

【考点】构成三角形的三边的条件。

【分析】四条木棒的所有组合：3，4，7和3，4，9和3，7，9和4，7，9，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的构成条件，只有3，7，9和4，7，9能组成三角形。故选B。 11. （2018湖南怀化3分）等腰三角形的底边长为6，底边上的中线长为4，它的腰长为【 】 A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】 C。

【考点】等腰三角形的性质，勾股定理。

【分析】如图，△ABC中AB=AC，AD是BC边上的中线，根据等腰三角形三线合一的性质，AD⊥BC。 在Rt△ABD中，BD= 故选C。

12. （2018湖南湘潭3分）如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC=40°，则∠BOD=【 】

6

1×6=3，AD=4，根据勾股定理，得AB=5。 2

A．20° B．40° C．50° D．80° 【答案】D。

【考点】圆周角定理，平行线的性质。

【分析】∵弦AB∥CD，∴∠ABC=∠BCD（两直线平行，内错角相等）

又∵∠ABC=40°，∴∠BOD=2∠ABC=2×40°=80°（同圆所对圆周角是圆心角的一半）。故选D。

13. （2018四川自贡3分）如图①是一个几何体的主视图和左视图．某班同学在探究它的俯视图时，画出了如图②的几个图形，其中，可能是该几何体俯视图的共有【 】

A．3个 【答案】C。

【考点】简单组合体的三视图。

【分析】由主视图和左视图看，几何体的上部都位于下部的中心，在两种视图下是全等的，故d不满足要求。故选C。

14. （2018辽宁阜新3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，BE、CF交于点G．若使EF?B．4个

C．5个

D．6个

1AD，那么平行四边形ABCD应满足的条件是【 】 4 A．∠ABC=60° B．AB：BC=1：4 C．AB：BC=5：2D．AB：BC=5：8 【答案】D。

【考点】平行四边形的性质，平行的性质，等腰三角形的判定。

【分析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB=CD，AD=BC。∴∠AEB=∠EBC。

又BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC。∴∠ABE=∠AEB。∴AB=AE。

7

同理可得：DC=DF。

∴AE=DF。∴AE－EF=DE－EF，即AF=DE。

1AD时，设EF=x，则AD=BC=4x。 41∴AF=DE=（AD－EF）=1.5x。∴AE=AB=AF+EF=2.5x。

4当EF?∴AB：BC=2.5：4=5：8。

∵以上各步可逆，∴当AB：BC=2.5：4=5：8时，EF?1AD。故选D。 415. （2018山东泰安3分）如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD=3，则EF的长是【 】

A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D。

【考点】三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质。 【分析】连接DE并延长交AB于H，

∵CD∥AB，∴∠C=∠A，∠CDE=∠AHE。

∵E是AC中点，∴DE=EH。∴△DCE≌△HAE（AAS）。 ∴DE=HE，DC=AH。

∵F是BD中点，∴EF是△DHB的中位线。∴EF=∴BH=AB﹣AH=AB﹣DC=2。∴EF=1。故选D。

1BH。 2??CB?，则下列结论不一定16. （2018河南省3分）如图，已知AB为⊙O的直径，AD切⊙O于点A, EC正确的是【 】

A．BA⊥DA

B．OC∥AE

C．∠COE=2∠CAE D．OD⊥AC

8

【答案】D。

【考点】切线的性质，圆周角定理，平行的判定，垂径定理。

【分析】由为直径，AD为切线，根据切线的性质可知：BA⊥DA。故A正确。

∵根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，得?EOB?2?EAO, ?EOB?2?BOC。 ∴?EAO??BOC。∴OC∥AE。故B正确。

由“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”可以判断C正确。

?的中点时，OD⊥AC才成立。故D不正确。 根据垂径定理，只有在点E是AC故选D。

二、填空题

1. （2018北京市4分）在平面直角坐标系xOy中，我们把横 、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点 A（0，4），点B是x轴正半轴上的整点，记△AOB内部（不包括边界）的整点个数为m．当m=3时，点 B的横坐标的所有可能值是 ▲ ；当点B的横坐标为4n（n为正整数）时，m= （用含n 的代数式表示．）

【答案】3或4；6n－3。

【考点】分类归纳（图形的变化类），点的坐标，矩形的性质。

【分析】根据题意画出图形，再找出点B的横坐标与△AOB内部（不包括边界）的整点m之间的关系即可求出答案：

如图：当点B在（3，0）点或（4，0）点时，△AOB内部（不包括边界）的整点为（1，1），

（1，2），（2，1），共三个点，∴当m=3时，点B的横坐标的所有可能值是3或4。

当点B的横坐标为4n（n为正整数）时，

∵以OB为长OA为宽的矩形内（不包括边界）的整点个数为（4n－1）×3=12 n－3，对角线AB

上的整点个数总为3，

∴△AOB内部（不包括边界）的整点个数m=（12 n－3－3）÷2=6n－3。

9

2. （2018广东汕头4分）如图，在?ABCD中，AD=2，AB=4，∠A=30°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是 ▲ （结果保留π）．

【答案】3??。

【考点】平行四边形的性质，扇形面积的计算 【分析】过D点作DF⊥AB于点F。

∵AD=2，AB=4，∠A=30°，

∴DF=AD?sin30°=1，EB=AB﹣AE=2。

∴阴影部分的面积=平行四边形ABCD的面积－扇形ADE面积－三角形CBE的面积

1330???2211??2?1?3??。 =4?1?360233. （2018广东深圳3分）如图，Rt△ABC中，C= 90o，以斜边AB为边向外作正方形 ABDE，且正方形对角线交于点D，连接OC，已知AC=5，OC=62，则另一直角边BC的长为 ▲ ．

【答案】7。

【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理。

【分析】如图，过O作OF垂直于BC，再过O作OF⊥BC，过A作AM⊥OF，

10

∵四边形ABDE为正方形，∴∠AOB=90°，OA=OB。 ∴∠AOM+∠BOF=90°。

又∵∠AMO=90°，∴∠AOM+∠OAM=90°。∴∠BOF=∠OAM。 在△AOM和△BOF中，

∵∠AMO=∠OFB=90°，∠OAM=∠BOF， OA=OB， ∴△AOM≌△BOF（AAS）。∴AM=OF，OM=FB。

又∵∠ACB=∠AMF=∠CFM=90°，∴四边形ACFM为矩形。∴AM=CF，AC=MF=5。 ∴OF=CF。∴△OCF为等腰直角三角形。

∵OC=62，∴根据勾股定理得：CF2+OF2=OC2，即2CF2=（62）2，解得：CF=OF=6。 ∴FB=OM=OF－FM=6－5=1。∴BC=CF+BF=6+1=7。

4. （2018广东珠海4分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=26，CD=24，那么sin∠OCE= ▲ ．

【答案】

5。 13【考点】垂径定理，勾股定理，锐角三角函数的定义。

【分析】如图，设AB与CD相交于点E，则根据直径AB=26，得出半径OC=13；由CD=24，CD⊥AB，根据垂径定理得出CE=12；在Rt△OCE中，利用勾股定理求出OE=5；再根据正弦函数的定义，求出sin∠OCE的度数：

sin?OCE?OE5=。 OC135. （2018浙江宁波3分）如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=22，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为 ▲ ．

11

【答案】3。

【考点】垂线段的性质，垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，此时线段EF=2EH=20E?sin∠EOH=20E?sin60°，当半径OE最短时，EF最短。如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H。

∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=22， ∴AD=BD=2，即此时圆的直径为2。

1∠EOF=∠BAC=60°， 233∴在Rt△EOH中，EH=OE?sin∠EOH=1×=。

22由圆周角定理可知∠EOH=由垂径定理可知EF=2EH=3。

6. （2018江苏泰州3分）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这 些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan∠APD的值是 ▲ ．

【答案】2。

【考点】正方形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义。 【分析】如图，连接BE，交CD于点F。

∵四边形BCED是正方形， ∴DF=CF=

11CD，BF=BE，CD=BE，BE⊥CD，∴BF=CF。 22根据题意得：AC∥BD，∴△ACP∽△BDP。

12

∴DP：CP=BD：AC=1：3。∴DP=PF=在Rt△PBF中，tan?BPF?11CF= BF。 22BF?2。 PF∵∠APD=∠BPF，∴tan∠APD=2。

7. （2018福建福州4分）如图，已知△ABC，AB＝AC＝1，∠A＝36°，∠ABC的平分线BD交AC于 点D，则AD的长是 ▲ ，cosA的值是 ▲ ．(结果保留根号)

【答案】

5－15＋1

；。 24

【考点】黄金分割，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义。

【分析】可以证明△ABC∽△BDC，设AD＝x，根据相似三角形的对应边的比相等，即可列出方程，求得x的值；过点D作DE⊥AB于点E，则E为AB中点，由余弦定义可求出cosA的值：

180°－∠A∵ 在△ABC中，AB＝AC＝1，∠A＝36°，∴ ∠ABC＝∠ACB＝＝72°。

21

∵ BD是∠ABC的平分线，∴ ∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝36°。

2∴ ∠A＝∠DBC＝36°。

又∵∠C＝∠C，∴ △ABC∽△BDC。∴

ACBC

＝。 BCCD

5＋15－11x

设AD＝x，则BD＝BC＝x．则＝，解得：x＝(舍去)或。

x1－x22∴x＝

5－1

。 2

11

如图，过点D作DE⊥AB于点E，∵ AD＝BD，∴E为AB中点，即AE＝AB＝。

221

25＋1AE

在Rt△AED中，cosA＝＝＝。

AD45－1

2

8. （2018湖北宜昌3分）已知⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则反映直线l与⊙O的位置关系的图形是【 】

13

A．【答案】B。

B． C． D．

【考点】直线与圆的位置关系。

【分析】根据直线与圆的位置关系来判定：①直线l和⊙O相交?d＜r；②直线l和⊙O相切?d=r；③直 线l和⊙O相离?d＞r（d为直线与圆的距离，r为圆的半径）。因此，

∵⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，

∵5＞3，即：d＜r，∴直线L与⊙O的位置关系是相交。故选B。 【宜昌无填空题，以倒数第二条选题代替】

9. （2018湖北襄阳3分）在等腰△ABC中，∠A=30°，AB=8，则AB边上的高CD的长是 ▲ ． 【答案】4或3或43。 3【考点】等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。 【分析】根据题意画出AB=AC，AB=BC和AC=BC时的图象，然后根据等腰三角形的性质和解直角三角形，分别进行计算即可：

（1）如图，当AB=AC时，

∵∠A=30°， ∴CD=

11AC=×8=4。 22（2）如图，当AB=BC时，则∠A=∠ACB=30°。

∴∠ACD=60°。∴∠BCD=30° ∴CD=cos∠BCD?BC=cos30°×8=43。 （3）如图，当AC=BC时，则AD=4。

∴CD=tan∠A?AD=tan30°?4=43。 343。 3综上所述，AB边上的高CD的长是4或3或10. （2018湖南长沙3分）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=2，∠B=60°，则BC的长为 ▲ ．

14

【答案】4。

【考点】等腰梯形的性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质。 【分析】过点A作AE∥CD交BC于点E，

∵AD∥BC，∴四边形AECD是平行四边形。 ∴AE=CD=2，AD=EC=2。

∵∠B=60°，∴△ABE是等边三角形。∴BE=AB=AE=2。 ∴BC=BE+CE=2+2=4。

11. （2018四川凉山5分）如图，在四边形ABCD中，AC=BD=6，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则EG2+FH2= ▲ 。

【答案】36。

【考点】三角形中位线定理，菱形的判定和性质，勾股定理。 【分析】如图，连接EF，FG，GH，EH，EG与FH相交于点O。

∵E、H分别是AB、DA的中点，∴EH是△ABD的中位线。 ∴EH=

1 BD=3。 211 AC=3，FG= BD=3。 22同理可得EF=GH=

∴EH=EF=GH=FG=3。∴四边形EFGH为菱形。 ∴EG⊥HF，且垂足为O。∴EG=2OE，FH=2OH。 在Rt△OEH中，根据勾股定理得：OE2+OH2=EH2=9。 等式两边同时乘以4得：4OE2+4OH2=9×4=36。 ∴（2OE）2+（2OH）2=36，即EG2+FH2=36。

12. （2018贵州铜仁4分）以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，则线段AB的最小值是 ▲ ．

15

【答案】2。

【考点】正方形的性质，垂线段最短的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理。 【分析】如图，

∵四边形CDEF是正方形，∴∠OCD=∠ODB=45°，∠COD=90°，OC=OD。 ∵AO⊥OB，∴∠AOB=90°。

∴∠CAO+∠AOD=90°，∠AOD+∠DOB=90°，∴∠COA=∠DOB。 ∵在△COA和△DOB中，∠OCA=∠ODB，OC=OD，∠COA=∠DOB， ∴△COA≌△DOB（ASA）。∴OA=OB。 ∵∠AOB=90°，∴△AOB是等腰直角三角形。 由勾股定理得：AB?OA2?OB2?2OA。 ∴要使AB最小，只要OA取最小值即可。

根据垂线段最短的性质，当OA⊥CD时，OA最小。

∵四边形CDEF是正方形，∴FC⊥CD，OD=OF。∴CA=DA，∴OA=∴AB=2。

13. （2018山东滨州4分）如图，锐角三角形ABC的边AB，AC上的高线CE和BF相交于点D，请写出图中的两对相似三角形： ▲ （用相似符号连接）．

1CF=1。 2

【答案】△BDE∽△CDF，△ABF∽△ACE。 【考点】相似三角形的判定。

【分析】（1）在△BDE和△CDF中，∵∠BDE=∠CDF，∠BED=∠CFD=90°，∴△BDE∽△CDF；

（2）在△ABF和△ACE中，∵∠A=∠A，∠AFB=∠AEC=90°，∴△ABF∽△ACE。

14. （2018山东济宁3分）如图，在等边三角形ABC中，D是BC边上的一点，延长AD至E，使AE=AC，∠BAE的平分线交△ABC的高BF于点O，则tan∠AEO= ▲ ．

16

【答案】3。 3【考点】等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。 【分析】∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，AB=BC。

∵BF⊥AC，∴∠ABF=

1∠ABC=30°。 2∵AB=AC，AE=AC，∴AB=AE。 ∵AO平分∠BAE，∴∠BAO=∠EAO。

∵在△BAO和△EAO中，AB=AE，∠BAO=∠EAO，AO=AO，

3。 315. （2018山东日照4分）如图，过A、C 、D三点的圆的圆心为E，过B、F、E三点的圆的圆心为D，

∴△BAO≌△EAO（SAS）。∴∠AEO=∠ABO=30°。∴tan∠AEO=tan30°=如果∠A=63°，那么∠θ= ▲ ．[来︿源

【答案】180。

【考点】等腰三角形的判定和性质，三角形外角定理。 【分析】如图，连接CE，DE，

∵过A、C 、D三点的圆的圆心为E，过B、F、E三点的圆的圆心为D，

∴AE=CE=DE=DB。∴∠A=∠ACE，∠ECD=∠CDE，∠DEB=∠DBE=∠θ。 ∵∠A=63°，∴∠AEC=1800－2×630=540。

又∵∠ECD=∠CDE=2∠θ，∴∠AEC=∠ECD＋∠DBE=3∠θ，即3∠θ=540。∴∠θ=180。 16. （2018山东枣庄4分）如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝5，BC＝8，则EF的长为 ▲ _．

17

【答案】

3。 2

【考点】三角形中位线的性质，直角三角形斜边上中线的性质。

【分析】由于DE为△ABC的中位线，BC＝8，从而根据三角形中位线平行于第三边并且等于第三边一半的性质，得DE＝4；又由于∠AFB＝90°，点D为AB的中点，AB＝5，从而根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半的性质，得DF＝

553。因此EF＝DE－DF＝4－＝。 22217. （2018广西来宾3分）如图，为测量旗杆AB的高度，在与B距离为8米的C处测得旗杆顶端A的仰角为56°，那么旗杆的高度约是 ▲ 米（结果保留整数）．（参考数据：sin56°≈0.829，cos56°≈0.559，tan56°≈1.483）

【答案】12。

【考点】解直角三角形的应用（仰角仰角问题），锐角三角函数定义。

【分析】直接根据正切函数定义求解：AB=BC·tan∠ACB=8·tan56°≈8×1.483≈12（米）。

18. （2018河北省3分）用4个全等的正八边形进行拼接，使相等的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图1，用n个全等的正六边形按这种方式进行拼接，如图2，若围成一圈后中间形成一个正多边形，则n的值为 ▲ 。

【答案】6。

【考点】正多边形内角和定理，周角定义。 【分析】∵正六边形的每个内角为?6?2?180??120?， 618

∴围成一圈后中间形成的正多边形的一个内角?360??2?120??120?，它也是正六边形。 ∴n=6。

19. （2018新疆区5分）如图所示，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积S1=S2=2π，则S3是 ▲ ．

25?，8

【答案】?。 【考点】勾股定理。

9811?c?2511?a?【分析】如图，由圆的面积公式得S1=???=?，S2=???=2?，

22?2?822?2? 解得，c2=25，a2=16。

根据勾股定理，得b2=c2?a2=9。

221?b?19 S3=???=?b2=?。

2?2?8820. （2018黑龙江哈尔滨3分）如图。四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB于点F，∠AED=2∠CED，点G是DF的中点，若BE=1，AG=4，则AB的长为 ▲ 2

【答案】15。

【考点】矩形的性质，平行的性质，直角三角形斜边上中线的性质，三角形外角性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理。

【分析】∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC。∴∠CED=∠ADE。 ∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=900。

19

∵点G是DF的中点，∴AG=

1DF=DG。∴∠CGE=2∠ADE=2∠CED。 2 又∵∠AED=2∠CED，∴∠CGE=∠AED。∴AE=AG。 又∵BE=1，AG=4，∴AE=4。

∴AB?AE2?BE2?42?12?15。

21. （2018黑龙江大庆3分）用八个同样大小的小立方体粘成一个大立方体如图1，得到的几何体的三视图如图2所示，若小明从八个小立方体中取走若干个，剩余小立方体保持原位置不动，并使得到的新几何体的三视图仍是图2，则他取走的小立方体最多可以是 ▲ 个．

【答案】2。

【考点】由三视图判断几何体，简单组合体的三视图。

【分析】由于从八个小立方体中取走若干个，剩余小立方体保持原位置不动，并使得到的新几何体的三视图都相同，由主视图可知有2层2列，由左视图可知有2层2行，由俯视图可知最少有4个小立方体，所以下层4个小立方体不变，同时上层每一横行和每一竖列上都有一个小立方体。因此，取走的小立方体最多可以是2个，即上层一条对角线上的2个。 三、解答题

1. （2018山东淄博9分）在矩形ABCD中，BC=4，BG与对角线AC垂直且分别交AC，AD及射线CD于点E，F，G，AB=x．

（1）当点G与点D重合时，求x的值；

（2）当点F为AD中点时，求x的值及∠ECF的正弦值．

20

【答案】解：（1）当点G与点D重合时，点F也与点D重合。

∵矩形ABCD中，AC⊥BD，∴四边形ABCD是正方形。 ∵BC=4，∴x= AB= BC=4。

（2）∵点F为AD中点，BC=4，∴AF=2。

∵矩形ABCD中，AD∥BC，∴△AEF∽△BEB。∴ ∴CE=2AE，BD=2FE。∴AC=3AE，BF=3FE。 ∵矩形ABCD中，∠ABC=∠BAF=900，

∴在Rt△ABC和Rt△BAF中由勾股定理得AC2=AB2+BC2，BF2=AF2+AB2， 即?3AE?=x2+42， ?3FE?=22+x2。 两式相加，得9AE2+FE2=2x2+20。

又∵AC⊥BG，∴在Rt△ABE中，AE2+FE2=AB2=x2。 ∴9x2=2x2+20，解得x=22AEFEAF21????。 CEBDCB42??2。 35（已舍去负值）71?201?20?48132528?132， FE2=??4+?=，CE2=4AE2=4?= ∴AE2=??+16?=。

9?76397636363??? ∴在Rt△CEF中由勾股定理得CF2=FE2+CE2=248528576。 +?63636348132CF ∴?sin?ECF?=2=63=。∴sin?ECF=。

576126EF48【考点】矩形的性质，正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数定义。 【分析】（1）由点G与点D重合得出四边形ABCD是正方形即可求得x的值。

（2）由点F为AD中点和矩形的性质，得△AEF∽△BEB，从而得AC=3AE，BF=3FE。在Rt△ABC、 Rt△BAF和Rt△ABE应用勾股定理即可求得x的值。在Rt△CEF中应用勾股定理求得CF，

21

根据锐角三角函数定义即可求得∠ECF的正弦值。

2. （2018山西省12分）问题情境：将一副直角三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）按图1所示的方式摆放，其中∠ACB=90°，CA=CB，∠FDE=90°，O是AB的中点，点D与点O重合，DF⊥AC于点M，DE⊥BC于点N，试判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由． 探究展示：小宇同学展示出如下正确的解法： 解：OM=ON，证明如下： 连接CO，则CO是AB边上中线，

∵CA=CB，∴CO是∠ACB的角平分线．（依据1） ∵OM⊥AC，ON⊥BC，∴OM=ON．（依据2） 反思交流：

（1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：

依据1： 依据2： （2）你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程． 拓展延伸：

（3）将图1中的Rt△DEF沿着射线BA的方向平移至如图2所示的位置，使点D落在BA的延长线上，FD的延长线与CA的延长线垂直相交于点M，BC的延长线与DE垂直相交于点N，连接OM、ON，试判断线段OM、ON的数量关系与位置关系，并写出证明过程．

【答案】（1）解：等腰三角形三线合一（或等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合）；角平分线上的点到角的两边距离相等。

（2）证明：∵CA=CB，∴∠A=∠B。

∵O是AB的中点，∴OA=OB。

∵DF⊥AC，DE⊥BC，∴∠AMO=∠BNO=90°。

∵在△OMA和△ONB中，∠A=∠B，OA=OB，∠AMO=∠BNO，

22

∴△OMA≌△ONB（AAS）。∴OM=ON。

（3）解：OM=ON，OM⊥ON。理由如下：

连接CO，则CO是AB边上的中线。 ∵∠ACB=90°，∴OC=又∵CA=CB，

∴∠CAB=∠B=45，∠1=∠2=45°，∠AOC=∠BOC=90°。∴∠2=∠B。 ∵BN⊥DE，∴∠BND=90°。

又∵∠B=45°，∴∠3=45°。∴∠3=∠B。∴DN=NB。 ∵∠ACB=90°，∴∠NCM=90°。

又∵BN⊥DE，∴∠DNC=90°。∴四边形DMCN是矩形。∴DN=MC。∴MC=NB。 ∴△MOC≌△NOB（SAS）。∴OM=ON，∠MOC=∠NOB。 ∴∠MOC﹣∠CON=∠NOB﹣∠CON，即∠MON=∠BOC=90°。 ∴OM⊥ON。

【考点】等腰三角形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质。 【分析】（1）根据等腰三角形和角平分线的性质直接作答。

（2）利用AAS证明△OMA≌△ONB即可。

（3）利用SAS证明△MOC≌△NOB即可得到OM=ON，∠MOC=∠NOB。通过角的等量代换即

可得∠MON=∠BOC=90°，而得到OM⊥ON。 3. （2018福建厦门10分）已知

ABCD，对角线AC与BD相交于点O，点P在边AD上，过点P分

1AB=OB。 2别作PE⊥AC、PF⊥BD，垂足分别为E、F，PE＝PF． （1）如图，若PE＝3，EO＝1，求∠EPF的度数；

（2）若点P是AD的中点，点F是DO的中点，BF ＝BC＋32－4，求BC的长．

【答案】解：（1）连接PO ,

∵ PE＝PF，PO＝PO，PE⊥AC、PF⊥BD， ∴ Rt△PEO≌Rt△PFO（HL）。 ∴∠EPO＝∠FPO。

23

EO3

在Rt△PEO中， tan∠EPO＝＝，

PE3∴ ∠EPO＝30°。∴ ∠EPF＝60°。 （2）∵点P是AD的中点，∴ AP＝DP。

又∵ PE＝PF，∴ Rt△PEA≌Rt△PFD（HL）。 ∴∠OAD＝∠ODA。∴ OA＝OD。

∴ AC＝2OA＝2OD＝BD。∴ABCD是矩形。 ∵ 点P是AD的中点，点F是DO的中点，∴ AO∥PF。

∵ PF⊥BD，∴ AC⊥BD。∴ABCD是菱形。∴ABCD是正方形。 ∴ BD＝2BC。

332∵ BF＝BD，∴BC＋32－4＝BC，解得，BC＝4。

44

【考点】平行四边形的性质，角平分线的性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，锐角三角函数定义。

【分析】（1）连接PO，利用解直角三角形求出∠EPO=30°，再利用“HL”证明△PEO和△PFO全等，根据全等三角形对应角相等可得∠FPO=∠EPO，从而得解。

（2）根据条件证出 ABCD是正方形。根据正方形的对角线与边长的关系列式计算即可得解。

4. （2018甘肃白银10分）如图，点A，B，C，D在⊙O上，AB=AC，AD与BC相交于点E，AE?延长DB到点F，使FB?1ED，21BD，连接AF． 2（1）证明：△BDE∽△FDA；

（2）试判断直线AF与⊙O的位置关系，并给出证明．

【答案】解:（1）证明：在△BDE和△FDA中，∵FB＝

11BDED2BD，AE＝ED，∴??。 22FDAD3又∵∠BDE＝∠FDA，∴△BDE∽△FDA。 （2）直线AF与⊙O相切。证明如下：

连接OA，OB，OC，

∵AB＝AC，BO＝CO，OA＝OA，

24

∴△OAB≌△OAC（SSS）。∴∠OAB＝∠OAC。 ∴AO是等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线。 ∴AO⊥BC。

∵△BDE∽FDA，得∠EBD＝∠AFD，∴BE∥FA。 ∵AO⊥BE，∴AO⊥FA。∴直线AF与⊙O相切。

【考点】相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行的判定和性质，切线的判定。

【分析】（1）因为∠BDE公共，夹此角的两边BD：DF=ED：AD=2：3，由相似三角形的判定，可知△BDE∽△FDA。

（2）连接OA、OB、OC，证明△OAB≌OAC，得出AO⊥BC．再由△BDE∽FDA，得出

∠EBD=∠AFD，则BE∥FA，从而AO⊥FA，得出直线AF与⊙O相切。

5. （2018广东广州14分）如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，F为AD的中点，CE⊥AB于E，设∠ABC=α（60°≤α＜90°）． （1）当α=60°时，求CE的长； （2）当60°＜α＜90°时，

①是否存在正整数k，使得∠EFD=k∠AEF？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． ②连接CF，当CE﹣CF取最大值时，求tan∠DCF的值．

2

2

【答案】解：（1）∵α=60°，BC=10，∴sinα=

CE3CE?，即sin60°=，解得CE=53。 102BC（2）①存在k=3，使得∠EFD=k∠AEF。理由如下：

连接CF并延长交BA的延长线于点G， ∵F为AD的中点，∴AF=FD。

在平行四边形ABCD中，AB∥CD，∴∠G=∠DCF。 在△AFG和△CFD中，

∵∠G=∠DCF，∠G=∠DCF，AF=FD， （AAS）∴△AFG≌△CFD。∴CF=GF，AG=CD。

25

∵CE⊥AB，∴EF=GF。∴∠AEF=∠G。

∵AB=5，BC=10，点F是AD的中点，∴AG=5，AF=∴∠AFG=∠G。

在△AFG中，∠EFC=∠AEF+∠G=2∠AEF， 又∵∠CFD=∠AFG，∴∠CFD=∠AEF。

∴∠EFD=∠EFC+∠CFD=2∠AEF+∠AEF=3∠AEF， 因此，存在正整数k=3，使得∠EFD=3∠AEF。

②设BE=x，∵AG=CD=AB=5，∴EG=AE+AG=5﹣x+5=10﹣x， 在Rt△BCE中，CE=BC﹣BE=100﹣x。

在Rt△CEG中，CG=EG+CE=（10﹣x）+100﹣x=200﹣20x。

2

2

2

2

2

2

2

2

2

11AD=BC=5。∴AG=AF。 2212121CG）=CG=（200﹣20x）=50﹣5x。

24452252222

∴CE﹣CF=100﹣x﹣50+5x=﹣x+5x+50=﹣（x﹣）+50+。

24522

∴当x=，即点E是AB的中点时，CE﹣CF取最大值。

2∵CF=GF（①中已证），∴CF=（

2

此时，EG=10﹣x=10﹣=25515515，CE=100?x2=100?=，

4222515CG15?2?∴tan?DCF?tan?G?。 15EG32【考点】锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，平行四边形的性质，对顶角的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形的性质，二次函数的最值，勾股定理。 【分析】（1）利用60°角的正弦值列式计算即可得解。

（2）①连接CF并延长交BA的延长线于点G，利用“角边角”证明△AFG和△CFD全等，根据全

等三角形对应边相等可得CF=GF，AG=CD，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EF=GF，再根据AB、BC的长度可得AG=AF，然后利用等边对等角的性质可得∠AEF=∠G=∠AFG，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠EFC=2∠G，然后推出∠EFD=3∠AEF，从而得解。 ②设BE=x，在Rt△BCE中，利用勾股定理表示出CE，表示出EG的长度，在Rt△CEG中，利用勾股定理表示出CG，从而得到CF，然后相减并整理，再根据二次函数的最值问题解答。

6. （2018广东肇庆10分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC于点E，交BC于点D，连结BE、AD交于点P. 求证：

26

2

2

2

（1）D是BC的中点； （2）△BEC ∽△ADC； （3）AB? CE=2DP?AD．

【答案】证明：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC。

∵AB=AC，∴D是BC的中点。

（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=∠ADB=90°，即∠CEB=∠CDA=90°，

∵∠C是公共角，∴△BEC∽△ADC。 （3）∵△BEC∽△ADC，∴∠CBE=∠CAD。

∵AB=AC，AD=CD，∴∠BAD=∠CAD。∴∠BAD=∠CBE。 ∵∠ADB=∠BEC=90°，∴△ABD∽△BCE。

ABADABBC。∴。 ??BCBEADBEAB2BDABBD∵BC=2BD，∴，即。 ??ADBE2ADBE∴

∵∠BDP=∠BEC=90°，∠PBD=∠CBE，∴△BPD∽△BCE。∴∴

DPBD。 ?CEBEABDP，即AB?CE=2DP?AD。 ?2ADCE【考点】圆周角定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质。

【分析】（1）由AB是⊙O的直径，可得AD⊥BC，又由AB=AC，由三线合一，即可证得D是BC的中点。

（2）由AB是⊙O的直径，∠AEB=∠ADB=90°，又由∠C是公共角，即可证得△BEC∽△ADC。 （3）易证得△ABD∽△BCE与△BPD∽△BCE，根据相似三角形的对应边成比例与BC=2BD，

即可证得AB?CE=2DP?AD。

?的中点，过点D作EF⊥AC的延7. （2018贵州毕节14分）如图，AB是⊙O的直径，AC为弦，D是BC长线于E，交AB的延长线于E，交AB的延长线于F。 （1）求证：EF是⊙O的切线；

27

（2）若sin∠F=，AE=4，求⊙O的半径和AC的长。

13

【答案】（1）证明：连接OD，

?的中点，∴∠BOD=∠A。 ∵D是BC∴OD∥AC。

∵EF⊥AC，∴∠E=90°。∴∠ODF=90°。 ∴EF是⊙O的切线；

（2）解：在△AEF中，∵∠E=90°，sin∠F= ，AE=4，

∴AF?13AE?12。 sin?F13设⊙O的半径为R，则OD=OA=OB=R，AB=2R．

在△ODF中，∵∠ODF=90°，sin∠F=，∴OF=3OD=3R。 ∵OF+OA=AF，∴3R+R=12，∴R=3。 连接BC，则∠ACB=90°。

∵∠E=90°，∴BC∥EF。∴AC：AE=AB：AF。 ∴AC：4=2R：4R，∴AC=2。 ∴⊙O的半径为3，AC的长为2。

【考点】弧、圆周角和圆心角的关系，圆周角定理，平行的判定和性质，切线的判定，锐角三角函数定义，平行线分线段成比例定理。

【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理，可得∠BOD=∠A，则OD∥AC，从而得出∠ODF=90°，即EF是⊙O的切线。

（2）先解直角△AEF，由sin∠F= ，得出AF=3AE=12，再在Rt△ODF中，由sin∠F=，得出OF=3OD，设⊙O的半径为R，由AF=12列出关于R的方程，解方程即可求出⊙O的半径。连接BC，证明BC∥EF，根据平行线分线段成比例定理得出AC：AE=AB：AF，即可求出AC的长。

28

13138. （2018江苏泰州12分）如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA=5，OA与⊙O相交于点 P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C． （1）试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由； （2）若PC=25，求⊙O的半径和线段PB的长；

（3）若在⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，求⊙O的半径r的取值范围．

【答案】解：（1）AB=AC。理由如下：

连接OB。

∵AB切⊙O于B，OA⊥AC，∴∠OBA=∠OAC=90°。 ∴∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠CPB=90°。 ∵OP=OB，∴∠OBP=∠OPB。 ∵∠OPB=∠APC，∴∠ACP=∠ABC。 ∴AB=AC。

（2）延长AP交⊙O于D，连接BD，

设圆半径为r，则由OA=5得，OP=OB=r，PA=5－r。 又∵PC=25，

∴AB2?OA2?OB2?52?r2，AC2?PC2?PA2?2 5 由（1）AB=AC得5?r?2 5 ∴AB=AC=4。

∵PD是直径，∴∠PBD=90°=∠PAC。 ∵∠DPB=∠CPA，∴△DPB∽△CPA。∴

22??22?（5?r） 。

??22?（5?r），解得：r=3。

25265CPAP?，即，解得PB=。 ?6BP5PDBP 29

（3）作线段AC的垂直平分线MN，作OE⊥MN，

则OE=

11122AC=AB=5?r。 2221225?r≤r， 2又∵圆O要与直线MN交点，∴OE=∴r≥5。

又∵圆O与直线l相离，∴r＜5。

∴⊙O的半径r的取值范围为5≤r＜5．

【考点】切线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，直线与圆的位置关系，相似三角形的判定和性质。

【分析】（1）连接OB，根据切线的性质和垂直得出∠OBA=∠OAC=90°，推出∠OBP+∠ABP=90°， ∠ACP+∠CPB=90°，求出∠ACP=∠ABC，根据等腰三角形的判定推出即可。

（2）延长AP交⊙O于D，连接BD，设圆半径为r，则OP=OB=r，PA=5－r，根据AB=AC推出

252?r2?2 5 ?（5?r），求出r，证△DPB∽△CPA，得出

??2CPAP ，代入求出PB即可。 ?PDBP（3）根据已知得出Q在AC的垂直平分线上，作出线段AC的垂直平分线MN，作OE⊥MN，

求出OE＜r，求出r范围，再根据相离得出r＜5，即可得出答案。

9. （2018山东淄博9分）在矩形ABCD中，BC=4，BG与对角线AC垂直且分别交AC，AD及射线CD于点E，F，G，AB=x．

（1）当点G与点D重合时，求x的值；

（2）当点F为AD中点时，求x的值及∠ECF的正弦值．

【答案】解：（1）当点G与点D重合时，点F也与点D重合。

∵矩形ABCD中，AC⊥BD，∴四边形ABCD是正方形。 ∵BC=4，∴x= AB= BC=4。

（2）∵点F为AD中点，BC=4，∴AF=2。

30

∵矩形ABCD中，AD∥BC，∴△AEF∽△BEB。∴ ∴CE=2AE，BD=2FE。∴AC=3AE，BF=3FE。 ∵矩形ABCD中，∠ABC=∠BAF=900，

AEFEAF21????。 CEBDCB42 ∴在Rt△ABC和Rt△BAF中由勾股定理得AC2=AB2+BC2，BF2=AF2+AB2， 即?3AE?=x2+42， ?3FE?=22+x2。 两式相加，得9AE2+FE2=2x2+20。

又∵AC⊥BG，∴在Rt△ABE中，AE2+FE2=AB2=x2。 ∴9x2=2x2+20，解得x=22??2。 35（已舍去负值）71?201?20?48132528?132， FE2=??4+?=，CE2=4AE2=4?= ∴AE2=??+16?=。

9?76397636363??? ∴在Rt△CEF中由勾股定理得CF2=FE2+CE2=248528576。 +?63636348132CF ∴?sin?ECF?=2=63=。∴sin?ECF=。

576126EF48【考点】矩形的性质，正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数定义。 【分析】（1）由点G与点D重合得出四边形ABCD是正方形即可求得x的值。

（2）由点F为AD中点和矩形的性质，得△AEF∽△BEB，从而得AC=3AE，BF=3FE。在Rt△ABC、 Rt△BAF和Rt△ABE应用勾股定理即可求得x的值。在Rt△CEF中应用勾股定理求得CF，根据锐角三角函数定义即可求得∠ECF的正弦值。

10. （2018四川宜宾10分）如图，⊙O1、⊙O2相交于P、Q两点，其中⊙O1的半径r1=2，⊙O2的半径r2=2．过点Q作CD⊥PQ，分别交⊙O1和⊙O2于点C．D，连接CP、DP，过点Q任作一直线AB交⊙O1和⊙O2于点A．B，连接AP、BP、AC．DB，且AC与DB的延长线交于点E． （1）求证：

PA?2； PB（2）若PQ=2，试求∠E度数．

31

【答案】（1）证明：∵⊙O1的半径r1=2，⊙O2的半径r2=2，∴PC=4，PD=22。

∵CD⊥PQ，∴∠PQC=∠PQD=90°。

∴PC．PD分别是⊙O1、⊙O2的直径，在⊙O1中，∠PAB=∠PCD，在⊙O2中，∠PBA=∠PDC，

PAPC4PAPB???2。 ?，即PBPDPCPD22PQ1（2）解：在Rt△PCQ中，∵PC=2r1=4，PQ=2，∴cos∠CPQ=。 ?。∴∠CPQ=60°

PC2PQ2?∵在Rt△PDQ中，PD=2r2=22，PQ=2，∴sin∠PDQ=。∴∠PDQ=45°。 PD2∴△PAB∽△PCD。∴

∴∠CAQ=∠CPQ=60°，∠PBQ=∠PDQ=45°。

又∵PD是⊙O2的直径，∴∠PBD=90°。∴∠ABE=90°﹣∠PBQ=45°。 在△EAB中，∴∠E=180°﹣∠CAQ﹣∠ABE=75°。 答：∠E的度数是75°。

【考点】相交两圆的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，圆周角定理，三角形内角和定理。

【分析】（1）求出PC、PD，证△PAB∽△PCD，得出

（2）由cos∠CPQ=

PAPC4PAPB???2。 ?，从而

PBPD22PCPDPQ1，同理求出∠PDQ=45°。由圆周角定理，得出 ?，求出∠CPQ=60°

PC2∠CAQ=∠CPQ=60°，∠PBQ=∠PDQ=45°，求出∠PBD=90°，求出∠ABE=45°根据三角形的内角和定理求出即可。

11. （2018四川广安9分）如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP． （1）求证：直线CP是⊙O的切线． （2）若BC=25，sin∠BCP=5，求点B到AC的距离． 5（3）在第（2）的条件下，求△ACP的周长．

32

【答案】解：（1）∵∠ABC=∠ACB且∠CAB=2∠BCP，在△ABC中，∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°，

∴2∠BCP+2∠BCA=180°。

∴∠BCP+∠BCA=90°，即∠PCA=90°。

又∵AC是⊙O的直径，∴直线CP是⊙O的切线。 （2）如图，作BD⊥AC于点D，

∵PC⊥AC，∴BD∥PC。∴∠PCB=∠DBC。 ∵C=25，sin∠BCP=5 5∴sin?BCP?sin?DBC?DCDC5??，解得：DC=2。 BC255∴由勾股定理得：BD=4。∴点B到AC的距离为4。 （3）如图，连接AN，

在Rt△ACN中，AC=CNCN5== =5，

sin ?DBC sin ?BCP55又CD=2，∴AD=AC﹣CD=5﹣2=3。 ∵BD∥CP，∴△ABD∽△ACP。 ∴

4320BDAD，即。 ??。∴PC?PC53PCAC222225?20?在Rt△ACP中，AP?AC+PC?5+???。

33??∴△ACP的周长为AC?CP?AP?5+2025+?20。 33【考点】切线的判定和性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义。

【分析】（1））根据∠ABC=∠AC且∠CAB=2∠BCP，在△ABC中∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°，得到2∠BCP+2∠BCA=180°，从而得到∠BCP+∠BCA=90°，证得直线CP是⊙O的切线。

33

（2）作BD⊥AC于点D，得到BD∥PC，从而利用sin?BCP?sin?DBC?DC=2，再根据勾股定理求得点B到AC的距离为4。

DCDC5??求得BC255（3）先求出AC的长度，然后由BD∥PC求得△ABD∽△ACP，利用比例线段关系求得CP的长

度，再由勾股定理求出AP的长度，从而求得△ACP的周长。

12. （2018四川达州7分）如图，C是以AB为直径的⊙O上一点，过O作OE⊥AC于点E，过点A作 ⊙O的切线交OE的延长线于点F，连结CF并延长交BA的延长线于点P.

（1）求证：PC是⊙O的切线.

（2）若AF=1，OA=22，求PC的长.

【答案】解：（1）证明：连结OC，

 ∵OE⊥AC，∴AE=CE。∴FA=FC。

∴∠FAC=∠FCA。

∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA。

∴∠OAC+∠FAC=∠OCA+∠FCA，即∠FAO=∠FCO。

∵FA与⊙O相切，且AB是⊙O的直径，∴FA⊥AB。∴∠FCO=∠FAO=90°。 又∵OC是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线。 （2）∵PC是⊙O的切线，∴∠PCO=90°。

而∠FPA=∠OPC，∠PAF=90°，∴△PAF∽△PCO 。∴∵CO=OA=22，AF=1，∴PC=22PA 。 设PA=x，则PC=22x

在Rt△PCO中，由勾股定理得，(22x)2?(22)2?(x?22)2 ，解得：x?∴PC?PAAF。 ?PCCO42。 716。 7【考点】切线的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理。

【分析】（1）连接OC，根据垂径定理，利用等角代换可证明∠FAC=∠FCA，然后根据切线的性质得出

34

∠FAO=90°，然后即可证明结论。

（2）先证明△PAF∽△PCO，利用相似三角形的性质得出PC与PA的关系，在Rt△PCO中，利用勾股定理可得出x的值，从而也可得出PC得长。

13. （2018四川德阳14分） 如图，已知点C是以AB为直径的⊙O上一点，CH⊥AB于点H，过点B作⊙O 的切线交直线AC于点D，点E为CH的中点，连结并延交BD于点F，直线CF交AB的延长线于G.

⑴求证：AE·FD=AF·EC； ⑵求证：FC=FB；

⑶若FB=FE=2，求⊙O 的半径r的长.

【答案】（1）证明：∵BD是⊙O的切线，∴∠DBA=90°。

∵CH⊥AB，∴CH∥BD。∴△AEC∽△AFD。 ∴

AEEC。∴AE?FD=AF?EC。 ?AFFDCEAEEH。 ??DFAFBF（2）证明：∵CH∥BD，∴△AEC∽△AFD，△AHE∽△ABF。∴

∵CE=EH（E为CH中点），∴BF=DF。

∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=∠DCB=90°。∴CF=DF=BF，即CF=BF。

（3）解：∵BF=CF=DF（已证），EF=BF=2，∴EF=FC。∴∠FCE=∠FEC。

∵∠AHE=∠CHG=90°，∴∠FAH+∠AEH=90°，∠G+∠GCH=90°。 ∵∠AEH=∠CEF，∴∠G=∠FAG。∴AF=FG。 ∵FB⊥AG，∴AB=BG。 连接OC，BC，

∵BF切⊙O于B，∴∠FBC=∠CAB。 ∵OC=OA，CF=BF，

∴∠FCB=∠FBC，∠OCA=∠OAC ∴∠FCB=∠CAB。

35

∵∠ACB=90°，∴∠ACO+∠BCO=90°。∴∠FCB+∠BCO=90°，即OC⊥CG。 ∴CG是⊙O切线。

∵GBA是⊙O割线，FB=FE=2，由切割线定理得：（2+FG）=BG×AG=2BG， 【注，没学切割线定理的可由△AGC∽△CGB求得】

在Rt△BFG中，由勾股定理得：BG=FG﹣BF，∴FG﹣4FG﹣12=0。 解得：FG=6，FG=﹣2（舍去）。

由勾股定理得：AB=BG=62?22=42。 ∴⊙O的半径r是22。

【考点】切线的判定和性质，等腰三角形判定和的性质，直角三角形斜边上的中线性质，勾股定理，圆周角定理，切割线定理，相似三角形的判定和性质。

【分析】（1）由BD是⊙O的切线得出∠DBA=90°，推出CH∥BD，证△AEC∽△AFD，得出比例式即可。

（2）证△AEC∽△AFD，△AHE∽△ABF，推出BF=DF，根据直角三角形斜边上中线性质得出

CF=DF=BF即可。

（3）求出EF=FC，求出∠G=∠FAG，推出AF=FG，求出AB=BG，连接OC，BC，求出∠FCB=∠CAB

推出CG是⊙O切线，由切割线定理（或△AGC∽△CGB）得出（2+FG）=BG×AG=2BG，在Rt△BFG中，由勾股定理得出BG=FG﹣BF，推出FG﹣4FG﹣12=0，求出FG即可，从而由勾股定理求得AB=BG 的长，从而得到⊙O的半径r。

14. （2018四川资阳9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以AB为直径的⊙O交BＣ于点D，交AC于点E，连结DE，过点B作BP平行于DE，交⊙O于点P，连结EP、CP、OP．

（1）(3分)BD＝DC吗？说明理由； （2）(3分)求∠BOP的度数； （3）(3分)求证：CP是⊙O的切线；

[w@ww.^zzste~p.c%om&]22

2222

22

2222

如果你解答这个问题有困难，可以参考如下信息：

为了解答这个问题，小明和小强做了认真的探究，然后分别用不同的思路完成了这个题目．在进行小组交流的时候，小明说：“设OP交AC于点G，证△AOG∽△CPG”；小强说：“过点C作CH⊥AB于点H，证四边形CHOP是矩形”．

36

【答案】解：（1）BD=DC。理由如下：连接AD，

∵AB是直径，∴∠ADB=90°。 ∵AB=AC，∴BD=DC。

（2）∵AD是等腰△ABC底边上的中线，

??DE?。 ∴∠BAD=∠CAD 。∴BD∴BD=DE。

∴BD=DE=DC。∴∠DEC=∠DCE。 ∵△ABC中，AB=AC，∠A=30°， ∴∠DCE=∠ABC=

1 (180°－30°)=75°。∴∠DEC=75°。 2∴∠EDC=180°－75°－75°=30°。 ∵BP∥DE，∴∠PBC=∠EDC=30°。 ∴∠ABP=∠ABC－∠PBC=75°－30°=45°。 ∵OB=OP，∴∠OBP=∠OPB=45°。∴∠BOP=90°。 （3）设OP交AC于点G，则∠AOG=∠BOP =90°。

在Rt△AOG中，∵∠OAG=30°，∴又∵

OG1?。 AG2OPOP1OPOGOGGP。∴。 ??，∴??ACAB2ACAGAGGC[w

又∵∠AGO=∠CGP，∴△AOG∽△CPG。 ∴∠GPC=∠AOG=90°。∴CP是⊙O的切线。

【考点】圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定。 【分析】（1）连接AD，由圆周角定理可知∠ADB=90°，再由AB=AC可知△ABC是等腰三角形，故BD=DC。

??DE?，从而可得（2）由于AD是等腰三角形ABC底边上的中线，所以∠BAD=∠CAD，故BD出BD=DE，故BD=DE=DC，所以∠DEC=∠DCE，△ABC中由等腰三角形的性质可得出∠ABC=75°，故∠DEC=75°由三角形内角和定理得出∠EDC的度数，再根据BP∥DE可知∠PBC=∠EDC=30°，进而得出∠ABP的度数，再由OB=OP，可知∠OBP=∠OPB，由三角形内角和定理即可得出∠BOP=90°。

37

（3）设OP交AC于点G，由∠BOP=90°可知∠AOG=90°在Rt△AOG中，由∠OAG=30°，可知

OG1OPOP1OPOGOGGP， ，由∠AGO=∠CGP可得出△AOG∽△CPG，由相?，由??得??AG2ACAB2ACAGAGGC似三角形形的性质可知∠GPC=∠AOG=90°，故可得出CP是⊙O的切线。

15. （2018山东滨州12分）如图1，l1，l2，l3，l4是一组平行线，相邻2条平行线间的距离都是1个单位长度，正方形ABCD的4个顶点A，B，C，D都在这些平行线上．过点A作AF⊥l3于点F，交l2于点H，过点C作CE⊥l2于点E，交l3于点G． （1）求证：△ADF≌△CBE； （2）求正方形ABCD的面积；

（3）如图2，如果四条平行线不等距，相邻的两条平行线间的距离依次为h1，h2，h3，试用h1，h2，h3 表示正方形ABCD的面积S．

【答案】解：（1）证明：在Rt△AFD和Rt△CEB中，

∵AD=BC，AF=CE，∴Rt△AFD≌Rt△CEB（HL）。

（2）∵∠ABH+∠CBE=90°，∠ABH+∠BAH=90°，∴∠CBE=∠BAH。

又∵AB=BC，∠AHB=∠CEB=90°，∴△ABH≌△BCE（AAS）。 同理可得，△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF。 ∴S正方形ABCD=4S△ABH+S正方形HEGF=4××2×1+1+1=5。 （3）由（1）知，△AFD≌△CEB，故h1=h3，

由（2）知，△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF，

∴S正方形ABCD=4S△ABH+S正方形HEGF=4×（h1+h2）?h1+h2=2h1+2h1h2+h2．

【考点】全等三角形的判定和性质，平行线之间的距离，正方形的性质。 【分析】（1）直接根据HL定理得出Rt△AFD≌Rt△CEB。

（2）由AAS定理得出△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF，再根据S正方形ABCD=4S△ABH+S正方形HEGF

即可得出结论。

1212222

38

（3）由△AFD≌△CEB可得出h1=h3，再根据（2）中△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF，可知

S正方形ABCD=4S△ABH+S正方形HEGF，从而得出结论。

16. （2018山东泰安10分）如图，E是矩形ABCD的边BC上一点，EF⊥AE，EF分别交AC，CD于点M，F，BG⊥AC，垂足为C，BG交AE于点H． （1）求证：△ABE∽△ECF；

（2）找出与△ABH相似的三角形，并证明；

（3）若E是BC中点，BC=2AB，AB=2，求EM的长．

【答案】解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABE=∠ECF=90°．

∵AE⊥EF，∠AEB+∠FEC=90°，∴∠AEB+∠BEA=90°。 ∴∠BAE=∠CEF。∴△ABE∽△ECF。

（2）△ABH∽△ECM。证明如下：

∵BG⊥AC，∴∠ABG+∠BAG=90°。∴∠ABH=∠ECM。 由（1）知，∠BAH=∠CEM，∴△ABH∽△ECM。 （3）作MR⊥BC，垂足为R，

∵AB=BE=EC=2，

∴AB：BC=MR：RC=2，∠AEB=45°。 ∴∠MER=45°，CR=2MR。 ∴MR=ER=

12MR22RC=。∴EM=?。 23sin45?3【考点】矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，锐角三角函数，特殊角的三角函数值。 【分析】（1）由四边形ABCD是矩形，可得∠ABE=∠ECF=90°，又由EF⊥AE，利用同角的余角相等，可得∠BAE=∠CEF，然后利用有两组角对应相等的两个三角形相似，即可证得：△ABE∽△ECF。

（2）由BG⊥AC，易证得∠ABH=∠ECM，又由（1）中∠BAH=∠CEM，即可证得

△ABH∽△ECM。

39

（3）首先作MR⊥BC，垂足为R，由AB：BC=MR：RC=2，∠AEB=45°，即可求得MR的长，

又由EM=

MR 即可求得答案。

sin45?上的一个动点，

17. （2018山东聊城10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC=10，BC=12，P是过点P作BC的平行线交AB的延长线于点D．

（1）当点P在什么位置时，DP是⊙O的切线？请说明理由； （2）当DP为⊙O的切线时，求线段DP的长．

?的中点时，DP是⊙O的切线。理由如下： 【答案】解：（1）当点P是BC连接AP。

??AC?∵AB=AC，∴AB。

??PC?，∴PBA??PCA?。∴PA是⊙O的直径。 又∵PB??PC?，∴∠1=∠2。 ∵PB又∵AB=AC，∴PA⊥BC。

又∵DP∥BC，∴DP⊥PA。∴DP是⊙O的切线。 （2）连接OB，设PA交BC于点E。．

由垂径定理，得BE=BC=6。

在Rt△ABE中，由勾股定理，得：AE=AB2?BE2?102?62?8。 设⊙O的半径为r，则OE=8﹣r，

在Rt△OBE中，由勾股定理，得：r2=62+（8﹣r）2，解得r=∵DP∥BC，∴∠ABE=∠D。 又∵∠1=∠1，∴△ABE∽△ADP， ∴

25。 468BEAE75?，即，解得：DP?。 ?DP2?25DPAP8440

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