2018版高考数学专题2指数函数对数函数和幂函数2.4.2计算函数零点的二分法学案湘教版必修120180426346 

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[学习目标] 1.能用二分法求出方程的近似解.2.知道二分法是求方程近似解的一种常用方法，体会“逐步逼近”的思想．

[知识链接]

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用二分法求函数零点的一般步骤

已知函数y＝f(x)定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它与零点的误差不超过正数ε，即使得|x－x0|≤ε.用二分法求函数零点的一般步骤如下：

(1)在D内取一个闭区间[a0，b0]?D，使f(a0)与f(b0)异号，即f(a0)·f(b0)＜0，零点位于区间[a0，b0]中．

(2)取区间[a0，b0]的中点，则此中点对应的横坐标为x0＝计算f(x0)和f(a0)．并判断：

①如果f(x0)＝0，则x0就是f(x)的零点，计算终止；

②如果f(a0)·f(x0)＜0，则零点位于区间[a0，x0]中，令a1＝a0，b1＝x0； ③如果f(a0)·f(x0)＞0，则零点位于区间[x0，b0]中，令a1＝x0，b1＝b0.

(3)对区间[a1，b1]，按(2)中的方法，可以得到区间[a2，b2]，且它的长度是区间[a1，b1]长度的一半．

如此反复地二分下去，可以得到一系列有限区间[a0，b0]，[a1，b1]，[a2，b2]，[a3，b3]，…，其中每个区间的长度都是它前一个区间长度的一半．

继续实施上述步骤，函数的零点总位于区间[an，bn]上，当|an－bn|＜2ε时，区间[an，bn]1

的中点xn＝(an＋bn)就是函数y＝f(x)的近似零点，计算终止．这时函数y＝f(x)的近似零

2

a0＋b0

2

. 1

点与真正零点的误差不超过ε.

要点一 二分法概念的理解

例1 下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是( )

答案 A

解析 按定义，f(x)在[a，b]上是连续的，且f(a)·f(b)＜0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二分法求出函数的零点．故结合各图象可得选项B、C、D满足条件，而选项A不满足，在A中，图象经过零点x0时，函数值不变号，因此不能用二分法求解．故选A.

规律方法 1.准确理解“二分法”的含义．二分就是平均分成两部分．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．

2．“二分法”与判定函数零点的定义密切相关，只有满足函数图象在零点附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零点． 跟踪演练1 (1)下列函数中，能用二分法求零点的为( )

(2)用二分法求函数f(x)在区间[a，b]内的零点时，需要的条件是( ) ①f(x)在区间[a，b]内连续不断；②f(a)·f(b)＜0； ③f(a)·f(b)＞0；④f(a)·f(b)≥0. A．①② B．①③

2

C．①④ D．①②③

答案 (1)B (2)A

解析 (1)函数图象连续不断，函数零点附近的函数值异号，这样的函数零点才能使用二分法求解，观察四个函数图象，只有B选项符合． (2)由二分法的意义，知选A. 要点二 用二分法求方程的近似解

例2 用二分法求方程x－10＝0在区间[3.1,3.2]上的近似解(误差不超过0.001，即ε＝0.001)．

解 设f(x)＝x－10，则f(3.1)＝－0.39，

2

2

f(3.2)＝0.24.

取a0＝3.1，b0＝3.2，有f(a0)·f(b0)＜0.列表计算：

n 0 1 2 3 4 5 6 an 3.1000 3.1500 3.1500 3.1500 3.1563 3.1594 3.1610 bn 3.2000 3.2000 3.1750 3.1625 3.1625 3.1625 3.1625 bn－an 0.1000 0.0500 0.0250 0.0125 0.0062 0.0031 0.0015 f(an) －0.3900 －0.0775 －0.0775 －0.0775 －0.0378 －0.0182 －0.0081 f(bn) 0.2400 0.2400 0.0806 0.0014 0.0014 0.0014 0.0014 an＋bnxn＝ 23.1500 3.1750 3.1625 3.1563 3.1594 3.1610 3.1618 3.1610＋3.1625

由于b6－a6＝0.0015＜0.002＝2ε，计算停止，取x＝x6＝＝3.16175≈3.1622为方程的近似解．

规律方法 给定ε，用二分法求f(x)零点近似值的步骤如下： (1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0； (2)求区间(a，b)的中点c； (3)计算f(c)；

①若f(c)＝0，则c就是函数的零点；

②若f(a)·f(c)＜0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))； ③若f(a)·f(c)＞0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．

(4)重复第(3)步，可得到一系列有限区间，其中每个区间的长度都是它前一个区间长度的一半，当所在区间值小于2ε时，区间中点就是函数f(x)的近似零点．

跟踪演练2 若函数f(x)的图象是连续不间断的，根据下面的表格，可以断定f(x)的零点所

3

在的区间为______．(只填序号)

①(－∞，1] ②[1,2] ③[2,3] ④[3,4] ⑤[4,5] ⑥[5,6] ⑦[6，＋∞)

x f(x) 1 136.123 2 15.542 3 －3.930 4 10.678 5 －50.667 6 －305.678 答案 ③④⑤

1．用二分法求函数f(x)＝x＋5的零点可以取的初始区间是( ) A．[－2,1] C．[0,1] 答案 A

解析 ∵f(－2)＝－3＜0，f(1)＝6＞0，

B．[－1,0]

3

D．[1,2]

f(－2)·f(1)＜0，故可取[－2,1]作为初始区间，用二分法逐次计算．

2．定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的曲线，已知函数f(x)在区间(a，b)上有一个零点x0，且f(a)·f(b)＜0，用二分法求x0时，当f?A．(a，b)外的点 B．x＝

?a＋b?＝0时，

则函数f(x)的零点是( ) ??2?

a＋b2

C．区间?a，

??

a＋b??a＋b?

，b?或?2??2?内的任意一个实数

?

D．x＝a或x＝b 答案 B

解析 由二分法的思想，采用二分法得到的零点可能是准确值，也可能是近似值．由f?＝0，知选B.

3．函数f(x)的图象是连续不断的曲线，在用二分法求方程f(x)＝0在(1,2)内近似解的过程中得f(1)＜0，f(1.5)＞0，f(1.25)＜0，则方程的解所在区间为( ) A．(1.25,1.5) C．(1.5,2) 答案 A

解析 由于f(1.25)f(1.5)＜0，则方程的解所在区间为(1.25,1.5)． 4．函数f(x)＝log2x＋2x－1的零点必落在区间( )

B．(1,1.25)

D．不能确定

?a＋b???2?

4

?11? A.?，? ?84??1? C.?，1? ?2?

答案 C

?11?B.?，? ?42?

D．(1,2)

15?1?解析 f??＝－＜0， 4?8?

f??＝－＜0，

4

f??＝－1＜0， 2

f(1)＝1＞0，f(2)＝4＞0，

?1????1???

52

?1?∴函数零点落在区间?，1?上． ?2?

5．用二分法求方程x－2x－5＝0在区间(2,3)内的实根，取区间中点为x0＝2.5，那么下一个有根的区间是________． 答案 (2,2.5)

解析 f(2)＝2－2×2－5＝－1＜0，

3

3

f(2.5)＝2.53－2×2.5－5＝5.625＞0，

∴下一个有根的区间是(2,2.5)．

1.二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的误差，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点． 2．并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足： (1)在区间[a，b]上连续不断； (2)f(a)·f(b)＜0.

上述两条的函数方可采用二分法求得零点的近似值．

一、基础达标

1．已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数及可以用二分法求解的个数分别为( )

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