电场重力场复合问题的解决方法

电场和重力场复合问题

复合场问题的处理方法主要有那么几个：

（1）分方向处理；

（2）用能量的角度综合处理

（3）用等效场的角度处理

(1)分方向处理（类比于抛体运动）

例题：（16分）如图所示,水平绝缘粗糙的轨道AB与处于竖直平面内的半圆形绝缘光滑轨道BC平滑连接，半圆形轨道的半径R＝0．4m在轨道所在空间存在水平向右的匀强电场，电场线与轨道所在的平面平行，电场强度E＝1.0×104N／C现有一电荷量q＝＋1.0×10－4C，质量m＝0.1kg的带电体（可视为质点），在水平轨道上的P点由静止释放，带电体恰好能通过半圆形轨道的最高点C，然后落至水平轨道上的D点．取g＝10m／s2．试求：

（1）带电体运动到圆形轨道B点时对圆形轨道的压力大小；

（2）D点到B点的距离xDB；

（3）带电体在从P开始运动到落至D点的过程中的最大动能．

处理第一问的思路：这问必须用圆周运动和能的知识处理，根据圆周运动的特点先找到C点的最小速度，再用动能定理解出B点的速度，再根据圆周运动把B点的受力情况找出来。

利用动能定理找B点速度的时候我们可以有两个思路：

第一个从两个分力做功的角度，各个外力做功的代数和等于动能的变化量第二个从合力的角度出发，那就必须采用等效的思路，找到等效场方向上B 和C的距离，再利用合力乘以这个距离就得到和外力做的功，很显然这个方法比较麻烦，但是这恰好是本题第三问的处理方法。

第二问必须要找到D的位置，这时候我们分水平和竖直两个方向处理就好，水平方向上粒子做以VC为初速度，qE

为加速度的匀减速运动，竖直方向为自由落体运动。

m

第三问的求解我们必须要找到最大动能点，最大动能点是B点吗，很明显不是，因为从等效场类比重力场我们就发现，最大动能点应该为等效场中的最低点，那么怎么找，首

先要找到等效场，再根据等效场找到R点。

解：（1）设带电体通过C点时的速度为，根据牛顿第二定律得：

（2分）

设带电体通过B点时的速度为，设轨道对带电体的支持力大小为，带电体从B

运动到C的过程中，根据动能定理：（2分）

带电体在B点时，根据牛顿第二定律有：

（2分）

联立解得：（1分）

根据牛顿第三定律可知，带电体对轨道的压力（1分）

（2）设带电体从最高点C落至水平轨道上的D点经历的时间为t，根据运动的分解有：

（1分）

（2分）

联立解得：（1分）

（3）由P到B带电体做加速运动，故最大速度一定出现在从B经C到D的过程中，在此过程中保有重力和电场力做功，这两个力大小相等，其合力与重力方向成45 0夹角斜向右下方，故最大速度必出现在B点右侧对应圆心角为45 0处。（1分）

设小球的最大动能为，根据动能定理有：

（2分）

解得：（1分）

v竖直向上发射一例2 如图3所示，在电场强度为E的水平匀强电场中，以初速度为

个质量为m、带电量为+q的带电小球，求小球在运动过程中具有的最小速度。

解析建立等效重力场如图4所示，等效重力加速度g

设g '与竖直方向的夹角为θ，则θ

cos g

g =' 其中2

2

arcsin ）

（）（mg qE qE +=

θ

则小球在“等效重力场”中做斜抛运动

θsin 0v v x = θcos 0v v y =

当小球在y 轴方向的速度减小到零，即0=y v 时，两者的 合速度即为运动过程中的最小速度

2

20

0min sin ）

（）（qE mg qE

v v v v x +===θ

例1、一条长为l 的细线上端固定在O 点，下端系一个质量为m 的小球，将

它置于一个很大的匀强电场中，电场强度为E ，方向水平向右，已知小球在B 点时平衡，细线与竖直线的夹角为30°，求

（1）当悬线与竖直方向的夹角为多大时，才能使小球由静止释放后，细线到竖直位置时，小球的速度恰好为零．

（2）当细线与竖直方向成37°角时，至少要给小球一个多大的速度，才能使小球做圆周运动？

（1）小球受重力、电场力和拉力处于平衡，根据共点力平衡得， qE=mgtan α，解得E=

mgtan α

q

②

（2）将小球由静止释放过程中，重力做正功，电场力做负功，动能的变

化量为零，根据动能定理得 mgL （1-cosφ）-EqLsinφ=0 ③ 联立②③式得φ=2α．

另解：这里也可以采用等效单摆的思路求解，这样子问题更加简单。

g

'

图2-3

图2-1

v ）

E

图3 图4

θ x

y

g'

v ）

g

m

例4 如图7所示，在沿水平方向的匀强电场中有一固定点 O ，用一根长度m L 40.0=的绝缘细绳把质量为kg m 10.0=、带有正电荷的金属小球悬挂在O 点，小球静止在B 点时细绳与竖直方向的夹角为ο37=θ。现将小球拉至位置A 使细线水平后由静止释放，求：

⑴小球通过最低点C 时的速度的大小；

⑵小球通在摆动过程中细线对小球的最大拉力。 （2

/10s m g =，60.037sin =ο，80.037cos =ο）

解析 ⑴建立“等效重力场”如图8所示，“等效重力加速度”g '， 方向：与竖直方向的夹角ο30，大小：g g

g 25.137

cos ==

'ο

由A 、C 点分别做绳OB 的垂线，交点分别为A'、C'，由动能 定理得带电小球从A 点运动到C 点等效重力做功

2

2

1)sin (cos )(m C

C O A O mv L g m L L g =-'=-'''

θθ 代入数值得4.1≈C v m/s

（2）当带电小球摆到B 点时，绳上的拉力最大，设该时小球的速度为B v ，绳上的拉力为F ，则

2

2

1sin B mv L L g m =-'）（θ ① L v m g m F B 2='- ② 联立①②两式子得25.2=F N

例5 如图9所示的装置是在竖直的平面内放置光滑的绝缘轨道，一带负电荷的小球从高h 的A 处静止开始下滑，进入水平向右的匀强电场中，沿轨道ABC 运动后进入圆环内做圆周运动，已知小球受到的电场力是其重力的

4

3

，圆环的半径为R ，小球得质量为kg m 1.0=，斜面的倾角为ο45=θ，R S BC 2=，若使小球在圆环内能做完整的圆周运动，h 至少是多少？

解析 建立“等效重力场”如图10所示，等效重力场加速度g '

与竖直方向的夹角为ο37arctan ==mg

qE

α，则等效重力场加速度g ' 的大小g g g 4

5

cos ==

'α。 圆环上的D 点成为等效重力场中的最高点，要想小球在圆环内 完成圆周运动，则小球通过D 点的速度的最小值为

R g v '=' ①

E

图

9

图

E

图7

图8

小球由A 点运动到D 点，由动能定理得 22

1)sin 2cot (43)cos (v m R R h mg R R h mg '=++---θθθ ② 代入数值，由①②两式解得R R h 5.17)25.35.12(≈+=

例6 半径R=0.8m 的光滑绝缘导轨固定于竖直面内，加上某一方向的匀强电场后，带电小球沿轨道内侧做圆周运动，小球动能最大的位置在A 点，圆心O 与A 点的连线与竖直方向的夹角为θ，如图11所示.在A 点时小球对轨道的压力F N =120N ，若小

球的最大动能比最小动能多32J ，且小球能够到达轨道上的任意一点（不

计空气阻力）.试求：

（1）小球最小动能等于多少？

(2)若小球在动能最小位置时突然撤去轨道，并保持其他量不变，则小

球经0.04s 时间后，其动能与在A 点时的动能相等，小球的质量是多少？

讲析 （1）依题意：我们将带电小球受到的重力和电场力的等效为一

个力F （F 即为重力和电场力的合力），设小球动能最小位置在B 处（该点

必在A 点的对称位置），此时，由牛顿第二定律和圆周运动向心力公式可得：2A N v F F m R -=，从A 到B ，由动能定理得：2kB kA F R E E -?=-，可解得：40kA E J =，8kB E J =，20F N =

（2）撤去轨道后，小球将做类平抛运动（BA 方向上匀加速、垂直于OA 方向上匀速直线运动的合运动），根据机械能守恒，0.04s 后，将运动到过A 点且垂直于OA 的直线上.运动过

程的加速度为：F a m =，根据平抛运动规律可得：2122

R at =，可解得：20.014Ft m kg R ==。

例1、如图3-1所示，绝缘光滑轨道AB 部分为倾角为30°的斜面，AC 部分为竖直平面

上半径为R 的圆轨道，斜面与圆轨道相切。整个装置处于场强为E 、方向水平向右的匀强电场中。现有一质量为m 的带正电，电量为E mg q 33=

小球，要使小球能安全通过圆轨道，在O 点的初速度应为多大？

运动特点：小球先在斜面上运动，受重力、电场力、支持力，然后在圆轨道上运动，受图11

. B E R 300 mg qE g m ' N R 300 图3-1 O 图3-3 g m ' R 300 O

到重力、电场力，轨道作用力，且要求能安全通过圆轨道。

对应联想：在重力场中，小球先在水平面上运动，重力不作功，后在圆轨道上运动的模

型：过山车。

等效分析：如图3-2所示，对小球受电场力和重力，将电场力与重力合成视为等效重力

g m '，大小332)()(22mg mg qE g m =+='，3

3==mg qE tg θ，得?=30θ，于是重效重力方向为垂直斜面向下，得到小球在斜面上运动，等效重力不做功，小球运动可类比为重力场中过山车模型。

规律应用：分析重力中过山车运动，要过圆轨道存在一个最高点，在最高点满足重力当

好提供向心力，只要过最高点点就能安全通过圆轨道。如果将斜面顺时针转过300，

就成了如图3-3所示的过山车模型，最高点应为等效重力方向上直径对应的点B ，

则B 点应满足“重力”当好提供向心力即：R

mv g m B 2=' 假设以最小初速度v 0运动，小球在斜面上作匀速直线运动，进入圆轨道后只有重力作功，则根据动能定理：20221212mv mv R g m B -=

'- 解得：3

3100gR v =

如图1-1所示，ab 是半径为R 的圆的一条直径，该圆处于匀强电场中，匀强电场与圆周在同一平面内。现在该平面内，将一带正电的粒子从a 点以相同的动能抛出，抛出方向不同时，粒子会经过圆周上不同的点，在这些所有的点中，到达c 点时粒子的动能最大。已知∠cab=30°，若不计重力和空气阻力，试求：

（1）电场方向与ac 间的夹角θ。

（2）若小球在a 点时初速度方向与电场方向垂直，则小球恰好能落在c 点，那么初动能为多大？

运动特点：小球只受恒定电场力作用下的运动

对应联想：重力场中存在的类似的问题，如图1-2所示，在竖直平面内，从圆周的d 点以相同

的动能抛出小球，抛出方向不同时，小球会经过圆周上不同的点，在这些所有

的点中，可知到达圆周最低点e 时小球的动能最大，且“最低点”

e 的特点：

重力方向上过圆心的直径上的点。

等效分析：重力场的问题中，存在一个“最低点”对应的速度最大。同理恒定电场中也

是对应的“最低点”时速度最大，且“最低点”就是c 点。

c 图1-1 图1-2 图1-3

规律应用：

电场力方向即为如图1-3

所示过圆心作一条过

c点的直径方向，由于粒子带正电，电场方向应为斜向上，可得θ=30°。

解析：（1）对这道例题不少同学感到无从下手，其实在重力场中有一个我们非常熟悉的事实：如图1所示，在竖直平面内，从圆周的a点以相同的动能抛出小球，抛出方向不同时，小球会经过圆周上不同的点，在这些所有的点中，到达圆周最低点d时小球的动能最大，最低点是过圆心的竖直直径的一点，根据这一事实，我们将电场等效为重力场，那么小球也应该是在“最低点”时速度最大，所以过圆心作一条过c点的直径，这就是电场的方向，如图2所示，所以θ=30°。

图1 图2

（2）小球做类似平抛运动，由平抛运动知识可知

x v t y at

EQt

m

===

2

2

1

22

，，

而x R y x

==

cos/tan

θθ

，，

解得E mv REQ

k

==

1

2

1

8

2。

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