基础物理电磁学第二章

第二章静电场中的导体和电介质 物质的电结构内层电子价电子

第二章静电场中的导体和电介质§2-1静电场中的导体§2-2电容和电容器§2-3电介质的极化§2-4有电介质时的静电场§2-5带电体系的静电能1

单个原子的电结构

原子内部壳层的电子

受外层电子的屏蔽一般都填满每一个壳层

在原子中结合得比较紧

填充在最外层的电子与核的结合较弱，容易摆脱原子核的束缚——称为价电子——自由电子2

第二章静电场中的导体和电介质 物质具有电结构 电场对物质的作用是电场对物质中带电粒子的作用 当物质处于静电场中 -场对物质的作用：对物质中的带电粒子作用 -物质对场的响应：物质中带电粒子对电场力作用的响应 导体、半导体和电介质有不同的固有电结构 -导体：存在着大量自由电子(n~1022个/cm3)

§2-1静电场中的导体

§2-1静电场中的导体一.导体的静电平衡 静电感应

E0 E

不带电的导体放入静电场 E0

电子宏观定向运动,感应电荷, (导体内)感应电荷产生 E ' E0 E E0 E ' 0静电平衡状态：导体内部和表面都没有电荷的宏观定向移动.

-电介质：(绝缘体)自由电子非常稀少--极化 -半导体:参与导电粒子数介于两者之间(n 1012~19个/cm3)3

二.导体的静电平衡条件

导体内任一点的电场强度都为0,即 E内 0

4

§2-1静电场中的导体

§2-1静电场中的导体 2.场强分布 E内 0 E表 表面 1Φ E E dS

三.导体静电平衡时的性质1.电势特点导体静电平衡时，导体各点电势相等，即导体是等势体，表面是等势面： U c证：在导体上任取两点a和b b

E表

0

?

dlUa Uba

( x, y, z )导体表面电荷面密度b

n

Ua Ub

a

E dl

0

导体内部E=0

上底

e S 0 S内 0 S E dS E dS E dS E S

q

SE内= 0

i

下底

侧面

导体等势是导体体内电场强度处处为零的必然结果。

静电平衡条件的另一种表述.5

E S

=0

但不能认为E紧邻处仅由 产生,由所有电荷产生!6

§2-1静电场中的导体 3.电荷分布 (1)导体体内处处不带电证明：在导体内任取体积元 dV

§2-1静电场中的导体 (2)导体表面电荷面密度与电场强度

E表 n 0

0

n 0:外法线方向

E dS 0S

由高斯定理

q dV 0i i V

(3)孤立带电导体表面电荷分布一般情况较复杂.对于孤立导体有

体积元任取

0

表面 表面曲率孤立带电

导体球

导体带电只能分布在表面！对空腔导体，腔内无其他带电体时，电荷只分布在外表面上.7

尖端放电

孤立导体

C8

§2-1静电场中的导体例:两导体球(R, r, R>r),细导线相连,带电,电势为U,求面电荷密度之比 R

§2-1静电场中的导体

四.尖端放电在尖端附近 大 E大 残存离子加速

rQ, R

q,r

解:连接后等价于一个导体,电势相等U Q q q Q R r 4 0 R 4 0 r

异吸,中和 碰撞分子,电离 同斥,离子风 放电 和空气条件有关,存在阈值( 空气击穿). ( ) 应用:避雷针,起电机，电离层与雷电 物体相对运动摩擦碰撞 (H+) (气流、海洋、物体)+外来离子(宇宙射线、太阳等) (OH )6-7km, 20 C 3-4km, 0 C 10 C

Q q而 R , r 4 R 2 4 r 2

Qr 2 r R 2 R r qR

接地：若R为地球,对接地小球有 R r,小球仍有电荷且 r R,但这时 Q q R r 半径越小, 越大,电荷集中在尖锐处,尖锐处E大.9

2 107 V 108 V

(为什么正高负低,机制不清)

地面

底部电场约1V/km 10

§2-1静电场中的导体

§2-1静电场中的导体 2.空腔内部有带电体q 导体内表面上所带电荷与腔内电荷的代数和为零 证明：作Gauss面如图

五.导体空腔1.空腔内无带电体 包围导体空腔的导体壳内表面上处处没有电荷,电荷只能分布在导体外表面，空腔内处处E=0,空腔内处处电势相等. 证明：作Gauss面如图必然会有电力线起始于内表面上正电荷处，内表面不是等势面—导体也不是等势体,矛盾.

E内=0 E E dS 0 S内

E

E dS 0S内

0 q q x x q

S面内 q 0

内表面电荷代数和为零?内表面无净余电荷 q 0

e内 011 12

§2-1静电场中的导体 3.静电屏蔽的装置---接地导体空腔任何空心导体内的物体不会受到外电场的影响；而一个接地的空心导体内的带电体的电场也不会影响腔外的物体.静电屏蔽：腔内、腔外的场互不影响腔内场：只与内部带电量、内部几何条件及介质有关腔外场：只由外部带电量、外部几何条件及介质决定

§2-1静电场中的导体应用:抗干扰、环保、屏蔽室、高压带电操作等

13

14

§2-1静电场中的导体

§2-1静电场中的导体

六.有导体时的静电场分析与计算依据: 1.静电平衡的条件

E内 0

或

U c

2.基本性质方程 2基本性质方程

E ds s

qi

i

0

L

E dl 0

3.电荷守恒定律

Qi

i

const .16

15

§2-1静电场中的导体

例1无限大带电平面 的场中平行放置一无限大金属平板.求：金属板两面电荷面密度.解:设金属板面电荷密度 1, 2由对称性和电量守恒，得

§2-1静电场中的导体 0 - 0/2 0 0 0 0/2

1

2

思考：如果导体

2 0 P

板接地，结果正确吗？

2 2 0

1 2 0x

1 2导体内任一点P场强为零

接地：意味着“导体电势为零”,不意味着“电荷一定全跑光”. 正确结果: 0 - 00

1 1 2

1 2 0 2 0 2 0 2 0

2 17

1 2

18

§2-1静电场中的导体例:如图,接地金属球(半径R),相距r处有一点电荷q,求球上感应电荷的电量 q'和球内的感应电场 E内解： 接地 R O

§2-2电容和电容器

§2-2电容和电容器r q' q

一.孤立导体的电容孤立导体的电势：U Q定义： C

∴U球面 0

UO 0

UO U q' Uq

1 q' 1 q 4 0 R 4 0 r

q'

R q r

Q U

即使接地，外表面也不是无电荷分布!

物理意义：使导体每升高单位电势所需的电量.表征储存电荷能力的物理量.单位：库仑/伏特---法拉(F)电容只与几何因素和介质有关.

由 E内 0,在球内空间有: Eq内 Eq 内 0 q 0 E内 Eq 内 Eq内 r 4 0 r 2 其中r 0为q至场点的单位矢量,对球内任意点成立.19

1 F 10 6 F 1pF 10 12 F20

表征固有的容电本领.

§2-2电容和电容器例求真空中孤立导体球的电容(如图)解：设导体球带电为Q

§2-2电容和电容器

二.导体组(电容器)及其电容1.电容器(capacitor)储存电荷和电能(电势能)的容器R

U 0导体球电势:

构成:两非常靠近的金属极板,其间充以电介质.电场局限在两极板之间,不受外界影响.

U

Q4 0 R介质

指标：电容量符号:

耐压

导体球电容:

Q C 4 0 R U21

固定

微调

可调平行板

电解

典型的电容器：球形

柱形

22

§2-2电容和电容器 2.电容(量) (capacity) (1)定义：电容器带电量与其电压之比例2:同心球形电容器

§2-2电容和电容器例1:平行板电容器(阅读课本内容，p.59-60)

C

Q U

电容决定于电容器本身的结构(极板的形状、尺寸及极板间的电介质情况),与所带电量无关.单位：法拉(F) (2)电容的计算设Q E U AB

解：由高斯定理，两球导体之间的电场强度： q E 4 0 r 2沿径向 R2 q q 1 1 U12 dr R1 4 r 2 4 0 R1 R2 0 q R2 R1 4 0 R1 R2

R1

R2

C

Q U23

C

4 0 R1 R2 q U12 R2 R1

----与两球面半径有关24

§2-2电容和电容器例3:求柱形电容器的电容(长为 L)

§2-2电

容和电容器

三.电容器的串并联1.串联柱形特点：各极板上电量大小相等.n 1 1 1 1 1 C C1 C 2 C n i 1 C i

解：L R2 R1两端边缘效应可以忽略,把圆柱体看成是无限长的。 0由高斯定理 E r 2 0 r

U

R2

R1

2 rdr 2 0

ln0

R2 R1

R ln 2 2 0 L R1

q

E

r

R1

等效电容R2

总电容C比每个电容器的电容都小(但耐压能力提高).

C

2 0 L q U ln R2 R125 26

§2-2电容和电容器 2.并联特点：各电容器上的电压一样

§2-3电介质的极化

§2-3电介质的极化一.电介质对电容的影响电容C0中插入电介质N

等效电容 C C1 C 2 C n C ii 1

极间电压减小: U U 0 r 电容变大: C r C 0其中 r称为相对介电常数,恒>1,与物质有关

电容器并联时，总电容等于各电容器电容之和(电容增加，耐压值不变).

定义:介电常数

r 0相对介电常数真空介电常数

由C0 0 有电介质时用 代替 0

例如:大平板电容器: C 27

q S;点电荷场强: 4 r 2 d

28

§2-3电介质的极化

§2-3电介质的极化 2.电介质的极化

二.电介质的极化1.电介质的电结构

无极分子,如: H 2, CH 4, He有极分子,如: HCl, H 2O, NH 3

无外场时：微观：

无极分子：当外电场不存在时，分子的正负电荷“中心”是重合的.有极分子：外电场不存在时，分子的正负电荷“中心”不重合，等量的正负电荷“中心”互相错开，形成一定的电偶极矩--分子的固有电矩.

无极: p i 0 有极: p i 0,取向随机无极分子有极分子

热运动---紊乱宏观：中性不带电29

p V

i

030

§2-3电介质的极化有电场时：介质表面出现正负电荷，这些电荷不能离开电介质，也不能在电介质中自由移动--极化电荷或束缚电荷.在外电场作用下，电介质中出现极化电荷的现象叫做电介质的极化.宏观：极化, q′、E′有外电场时 3.电介质极化的微观机制 1)无极分子——位移极化

§2-3电介质的极化

在场力作用下，每一正负电荷“中心”错开，形成一个电偶极子，偶极矩沿外电场方向.这种在外电场作用下产生的电偶极矩称为感生电矩.

p V

i

0

对于均匀电介质，内部各处仍是电中性的，在和外电场垂直的两个端面上出现正负电荷,即束缚电荷.在外场作用下，主要是电子发生位移.无极分子的极化机制----电子位移极化.31 32

无极:正负电中心分离, pi 0 微观： 有极: pi转动,取向趋同

§2-3电介质的极化 2)有极分子--取向极化在外电场中，每个分子的固有电矩受

到力矩作用，使分子电矩方向转向外电场方向.对整个电介质，在垂直于电场方向的两端面上产生极化电荷.

§2-3电介质的极化电子位移极化效应在任何电介质中都存在.分子取向极化只在有极分子构成的电介质中存在.在有极分子电介质中，取向极化效应比位移极化强得多，取向极化是主要的；在无极分子构成的电介质中，位移极化是唯一的极化机制.比较电介质：极化电荷导体：感应电荷

共同:起着削弱外电场，增大电容的作用.区别:导体上出现的感应电荷,是其中自由电荷重新分布的结果,而介质上出现的极化电荷,则是其中束缚电荷的微小移动造成的宏观效果.33 34

§2-3电介质的极化 4.退极化场E′极化电荷产生的附加电场外场

§2-3电介质的极化

三.极化强度矢量 (Polarization vector)量度电介质极化状态(极化的程度极化电荷产生的场 V

E E0 E '

和方向)的物理量.1.定义

单位体积内分子电偶极矩的矢量和： pi pi每个分子的 P lim i电偶极矩 V 在电介质内部：附加场与外电场方向相反，削弱外场 在电介质外部：附加场与外电场方向相同，加强外场 平衡时，总场决定了介质的极化程度35

宏观上无限小、限微观上无限大的体积元 V

单位: C/m2

36

§2-3电介质的极化 2.电介质的极化规律 ( P与 E的关系) 实验: P 该点的 E, E不太强时,有:

§2-3电介质的极化

P e 0 E

四.极化强度和极化电荷的关系 P d S q ' P ' S内 S

P n Pn

e ----介质的电极化率

对各向同性介质， e是标量,且 P 0 ( r 1) E即 e r 1在各向异性介质中 e是张量.

证明*:设介质极化时每一个分子中的正、负电荷中心相距l,用q代表正、负电荷的电量,则一个分子的电偶极矩代表、负电荷的电量则个分子的电偶极矩 p分子 ql

设单位体积内有N个分子——有N个电偶极子 P Np分子 Nql37 38

§2-3电介质的极化

§2-3电介质的极化 根据电荷守恒定律，穿出S的极化电荷等于S面内净余的等量异号极化电荷- q P d S q ' S S内

在介质内部任取一面元矢量dS,因为极化而穿过dS的极化电荷为： Nq V NqldS cos Nql dS P dS

P dS ' dV S V

P在dS上的通量 在介质内任取一闭合曲面S 以曲面的外法线方向n为正 极化强度矢量P经整个闭合面S的通量

由矢量分析的高斯定理： P d S

PdV S V

P '

介质中任意一点的极化强度矢量的散度等于该点的极化电荷体密度的负值. 均匀极化的电介质内部39

等于因极化穿出该闭合面的极化电荷总量 q

P 常数， '=0

40

§2-3电介质的极化极化强度和极化电荷面密度的关系 可证: P n Pn

§2-3电介质的极化 铁电体的极化特征：

n0

E - '

(1)自动给出极化电荷的符号 90 , ' P n Pn 0出现正电荷 90 , ' P n Pn 0出现负电荷

' P E0

n0 Pn

–极化状态不仅决定于电场，还与极化历史有关，其性质类似于铁磁体–电滞回线：铁电体极化过程中极化强度矢量P随外场的变化曲线是非线性的，类似于铁磁体的磁滞回线(如图)

铁电体是一类特殊的电介质，其电容率的特点是： 数值大、非线性效应强； 有显著的温度依赖性和频率依赖性；

(2)若均匀电介质体内无自由电荷，则不管电场是否均匀，极化后电介质内部都无净余的极化电荷.但非均匀电介质极化后，除极化面电荷外，还可能有极化体电荷.41

有很强的压电效应和电致伸缩效应.

作为重要的功能材料,应用于 绝缘和储能方面； 换能、热电探测、电光调制； 非线性光学、光信息存储和实时处理等.42

§2-3电介质的极化铁电体极化的微观机制: 铁电体内部有自发极化的小区域——电畴 每个电畴内极化均匀、方向相同，形成一固有电矩 电畴是不能任意取向的，只能沿着晶体的几个特定的晶向取向，即取决于铁电晶体原型结构的对称性

§2-4有介质时的静电场

§2-4有介质时的静电场一.有电介质时的电场分析有介质时，场和真空中的场有何异、同？库仑定律+叠加原理仍成立

静电场性质(有源、无旋)?——不变为什么?因为极化电荷也是静电荷(只是不能动) E0 P q '( ', ') P, ', E ', E 互相影响、互相制约 P e 0 E E E ' E0 44

钛酸钡 (BaTiO3)晶片，自发极化方向可以与三个结晶轴的任一个同方向.43

§2-4有介质时的静电场

§2-4有介质时的静电场

二.静电场的基本规律 1.高斯定理电位移矢量 D (electric displacement vector)

D dS q S S

0

---有介质时的高斯定理

高斯定理在有介质存在时仍成立，但在计算总电场通量时，应计及高斯面内所有电荷：

通过电介质中任一闭合曲面的电位移通量等于该面所包围的自由电荷的代数和.

1 E dS S

0

q0

q ' S S内

P dS q ' S S内

1)描述场的性质，有源场. 2) D线起于正 q0 (或 )指向负 q0 (或 )

( 0 E P) dS q0S

D 0E P

引入辅助性物理量----电位移矢量 D45

3) D与 q0和 q '均有关 4) D是辅助量，单位： C m 246

§2-4有介质时的静电场

§2-4有介质时的静电场 2.环路定理

D E P间关系 D 0E P各向同性线性介质： P 0 r 1 E D 0 r E

与电荷关系

D dS qS S

0

真空中： E dl 0 在有介质空间中： E E0 E ' E0 dl 0, E ' dl 0

P dS q S

(E

0

E ') dl 0

即： E dl 0a b

P n '

同样定义：U ab U a U b

E dl

Ae W

47

48

§2-4有介质时的静电场

§2-4有介质时的静电场解: (1)由D-GT,取GS如图，有 D S S D i E0 D E i

三.有介质时的静电场计算 D在具有某种对称性的情况下，可先由高斯定理出发解出

A n10 d S

B 0 n2 - x

P 0 ( r 1) E Pn P 思路: r和q0的对称性 D E D-G.T.

0 r

0 r

r

r E

D E

U C

U E dl

(2) C q U AB; q S; U AB Ed

例:平板电容器,已知S, d, , r,求: (1)介质中的电场强度; (2) C; (3) '49

r C0 d r 1 (3) P 0 ( r 1) E i C Ed

S

0 r S

1 1 '1 P n10 P r ; '2 P n20 P r

r

r

r

50

§2-4有介质时的静电场例：如图，已知 Q,S1,S2,d, 1, 2,S1, S2>> d求： 1, 2, E1, E2,C Q 1 2 1 2 解： q0 D E E D d S2 Q 1 S1 2 S 2 (1) S1 Q U E d 等势体 E 1= E 2 (2) 如图作高斯面： D dS DS底 S

§2-4有介质时的静电场联立(1)(2)(3),得

1

1Q 1 S1 2 S 2Q

2

2Q 1 S1 2 S 2

E1 E 2

1 S1 2 S 2

又:

q SS

底

得： D1 1, D 2 2

C

Q 1 S1 2 S 2 C1 C 2 U d

E1

D1

1

1 1

E2

D2

2

2 2

(3)51

解二:看作两电容器并联(略)52

§2-4有介质时的静电场例:如图，已知: S, d 1, d 2 ( d 1, d 2 S ), 1,

2, 求: (1)各区内 D, E分布； (2) C A d1 d2 B解:作GS(S1)如图,有 I II D d S D1 S D2 S 0 1 2 D D E2 1 r1 S E1 1; E2 2或 S2 1 1 2 E1 2 r 2

§2-4有介质时的静电场

四.电介质的击穿 若电介质中的场强很大，电介质分子的正负电荷有可能被拉开而变成可自由移动的电荷.大量自由电荷的产生，使电介质的绝缘性能破坏而成为导体—电介质的击穿. 击穿场强(介电强度Em):电介质发生击穿时的临界场强,即电介质可承受的最大场强. 击穿电压Vm:电介质发生击穿时的临界电压 电容器上所加电压较大时，可能被击穿.可根据电介质的介电强度计算电容器的耐压.计算时注意选场强最大的地方.

E1 ; E 2 .

作GS(S2)如图,有

D1 D2方向：向右

d d q d d U AB E1d1 E2 d 2 1 2 1 2 1 2 S 1 2 q S C U AB d1 1 d 2 2

1

2

53

54

§2-4有介质时的静电场例：已知介质的 E击穿, r

§2-4有介质时的静电场例:球形电容器内外半径分别为R1与R2,其间充以相对介电常数分别为 1和 2的两层均匀介质，两介质界面半径为R.求： 1)电容器的电容； 2)若内外两层电介质的击穿场强分别为 E1和 E2,且 E1< E2,为合理使用材料，最好使两种介质内的电场强度同时达到其击穿值，求此时R的大小.解:求电容：D—E—U—C

1)制成平行板电容器，耐压值为多少 2)制成 R1, R2的柱状电容器，耐压值为多少解：1)U Ed, U击穿 E击穿 d

2)当 r R1

E 2 r

在 R1附近场强最大: E R1 U

2 R1

E击穿

r R1 R1 r R R r R255

DA 0, E A 0 DB DC Q Q, EB 4 r 2 4 0 1r 2 Q Q, EC 4 r 2 4 0 2 r 256

2

ln

R2 R R1 E击穿 ln 2 R1 R1

§2-4有介质时的静电场

§2-4有介质时的静电场求 R:要求两种介质内的电场强度同时达到其击穿值，且

R2 R2 R U12 E dl EB dl EC dlR1 R1 R

Q 1 1 1 1 1 1 4 0 1 R1 R 2 R R2 Q R1R2 ( 1 2 ) ( 2 R2 1R1 ) R 4 0 1 2 R1R2 R

E1< E2;由于r越小E越大，所以内层最先达到击穿值，取r=R1处的场强为该层介质的击穿场强E1,

E1 EB|r R1

Q 4 0 1 R 21 Q 4 0 2 R 2

对于外层介质，当r=R处场强达到E2,则击穿

C

4 0 1 2 R1R2 R Q U12 R1R2 ( 1 2 ) ( 2 R2 1R1 ) R

E2 EC|r R

R2

1 R12 E1 1 E1 R R 2 E2 2 E2 158

57

静电场的边界条件

静电场的边界条件 设分界面上无自由电荷 由高斯定理可得: D法向连续介质1

静电场的边界条件要点： 界面上介质的性质有一突变，这将导致静电场也会有

n

S

D dS S

突变 须考虑用新的形式给出边界上各物理量的关系即给须考虑用新的形式给出边界上各物理量的关系，即给

底1

介质2 D dS+ D dS+ D dS=0

D1n S

底2

D2n S

侧面

出边界条件 电场的高斯定理、环路定理的积分形式在边界上依然

( D2 D1 ) n 0或 D1n D2 n 电位移矢量的法向分量连续 D 0 r E, r1E1 n r 2 E2 n E1n E2 n60

成立，可把不同介质的场量用积分方程联系起来 实际上,边界条件就是把积分方程放到边界突变处得到

的结果59

§2-5带电体系的静电能 由环路定理可得: E切向连续

§2-5带电体系的静电能4

a b q2 r q1

4 2 E dl E dl E1t l E2t l1 3

L E dl 1 E dl 2 E dl 3 E dl 4 E dl

2

3

1

一.带电体系的静电势能a) q1: a,不受力, A1 0n

介质1介质2

0E1t E2t 或 n ( E 2 E1 ) 0

l

b) q2: b,与a相距r,受q1作用力 qq qq A2 q2 U 2 U q2U 2 1 2 We A1 A2 1 2 4 0 r 4 0 r a)和b)可颠倒顺序:A2 ' 0 A1 ' q1U1 q1q2 4 0 r We A1 ' A2 ' q1q2 4 0 r

电场强度的切向分量连续

相互作用能: We 1 q1U1 1 q2U 2 2 261 62

§2-5带电体系的静电能

§2-5带电体系的静电能类推：n个电荷系统的相互作用能:

q1 q2 c) q3: c:有 A3 q3U 3 q3 4 0 r13 4 0 r23 qq qq qq We A1 A2 A3 0 1 2 2 3 3 1 4 0 r12 4 0 r23 4 0 r13又, q1, q2, q3三点电荷带电体系共存空间 q3 q3 q2 q1 U2 U1 4 0 r32 4 0 r12 4 0 r21 4 0 r31 a q1 q2 U3 r12或r21 q1 4 0 r13 4 0 r23 b r12 r21, r23 r32, r13 r31则： r13或r31 q

We d)连续分布:

1 n qiU i 2 i 1

We

1 U (r )dq 2 Q

其中U是dq处的电势,积分遍及所有电荷分布区域

1 3 1 1 1 We q1U1 q2U 2 q3U 3 qiU i 2 i 1 2 2 2

2

r23或r32 q3

c63 64

§2-5带电体系的静电能

§2-5带电体系的静电能 3.电容器储存的电能

二.电容器储存的静电能1.实验事实如图, K=1时,充电; K=2时,灯泡瞬时发光

C可以储存电能. 2.物理解释充电:电源E把正电荷从与其负极相连的极板上搬运到另一极板上,使C的两极板上有电荷 q 电势差放电:正电荷在电场力作用下,经过灯泡与负极板的负电荷中和.类比水位变化:充电前充电后放电65

1 E

2 K C

dt时间内dq从B到 A,电源作功

R

q dA外 dq(U A U B ) dq C充电后，当极板带电量为时，电源作功：充电后当极板带电量为 Q时电源作功：

q dq E

A

( q dq )

B

A外

Q

0

1 Q2 q dq 2C C

等于电容器储存的电能,即We

1 Q2 1 1 CU 2 QU 2 2 C 2

66

§2-5带电体系的静电能

§2-5带电体系的静电能引入电场能密度:空间某一点，单位体积内场的能量

三.电场的能量带电系统的建立,需外力作功,用于建立电场,能量储存在电场中,即W可以和E相联系.静电场----物质的一种形态属性：能量，电能是定域在电场中的以平板电容器为例,由 U AB Ed和 C S d有

1 1 we E 2 E D ----普遍 2 2

各向同性介质We

场空间

w dV e

场空间

1 E DdV 2

1 1 1 We CU 2 E2 Sd E 2V 2 2 2

该结果对其它系统也成立,恒大于0.思考：同样的E,电介质中的电能密度比真空中大, Why?67 68

§2-5带电体系的静电能例半径为R的导体球，带电Q>0,求导体球的电场能. Q 0解： E r r R 4 0 r 2 1 Q2 we 0 E 2 2 32 2 0 r 4

§2-5带电体系的静电能例：两电容器C1,C2分别充电至U1,U2,然后“+”接“+”,“ ”接“ ”并联,求联接前后的电能. 1 1 2解: We前 C1U12 C2U 2 2 2电荷守恒: Q前 C1U1 C2U 2 Q后并联: C C1 C2;U '1 U '2

E

rQ2

+C1

+C2

We

场空间

we dV

32 2 r 4 4 r dr2 R 0

Q2

We

8 0 R

We后

2 Q后

方法二：用孤立导体电容公式C 4 0 R We

2C

(C1U1 C2U 2 ) 2 2(C1 C2 )

Q2 1 Q2 2 C 8 0 R69

We前 We后

C1C2 (U1 U 2 )2 0,能量哪去了? 2(C1 C2 )70

§2-5带电体系的静电能 "+"接" "," "接"+"并联,又如何?

§2-5带电体系的静电能例:如图,正方形平行板电容器边长为 a,充电至U0后断电.求把介质缓慢抽出过程中外力所作的功AF和介质块所受电力Fe.解:略边缘效应,热损耗.断电后Q不变.抽介质: C0

r

C C1 C2;Q后 Q1 Q2 C1U1 C2U 2 We后 (C U C2U 2 ) 2 1 1 2C 2(C1 C2 ) C C (U U 2 )2 1 2 1 0 2(C1 C2 )2 Q后

d

+ C1

+ C2

0 r a 2

We前 We后

能量损失更大.71

d d Q Q U C0 C 2 CU 2 C0U 0 0 r ( r 1)a 2 2 AF We U0 2 2 2d U0

C

0a

2

AF> 0,外力作功,克服电力72

§2-5带电体系的静电能 2.缓慢

§2-5带电体系的静电能 若不断电,则 U 0 U;但 Q0 Q,

Fe F外W e Q 2/ ( 2 C ),断电,Q不变

x x dx: F外dx dWe

We

F外

dWe Q 2 d 1 dx 2 dx C

2 2 CU 0 C0U 0 0 2 2

外力作负功?介质自动推出?电源作功+外力作功=电场能增量电源作功:2 A Q U 0 (C C0 )U 0 0 (送回电荷给电源)

而 Q C0U 0 0 r a 2U 0 d;

C C1 C2 代入上式,得: Fe F外

0 ax 0 r a(a x)d d

0 r2 ( r 1)a 3 U 0i 2d[ r a ( r 1) x]273

外力作功:

AF We A

( 0 ) 2 U0 0 2d74

§2-5带电体系的静电能例：如图,已知: L, R1, R2, ( L R2 R1 ), r,设极板A带电Q.求电容器储能和电容C.解:由D -G.L.和 Q L有： Q 0 D Q, r D r; E 0 r 2 rL对称 1 Q2 D we DE 2 2 8 0 r r 2 L2 E we We

§2-5带电体系的静电能 B接地时, r R2区域内E 0

R2

BA

R1

We外 0 B不接地时,

r

r R2区域内E 0

R2 S

B

R1

S

L

We外 0

A

r

L

求We的思路:

电容:

We we dV V

Q2 8 2 0 r L2

R

R21

2 rLdr Q2 R ln 2 2 4 0 r L R1 r

场:

求q, C, U中任意两个 求D, E,对we的整个区域积分

C

2 0 r L Q2 2We ln( R2 R1 )75

带电系统: We

1 1 U i qi 2 Udq 2 i76

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/u8fm.html