上海市浦东区2012届高三第二次模拟数学文科试题

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数学试卷（文科）答案要点及评分标准

一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.

1．抛物线x y 42=的焦点坐标是_____________.)0,1( 2．复数i

z +=

11（其中i 是虚数单位），则z =_____

11i 2

2

+

3．123

lim

32

n

n

n n

n +→∞

+=-

1

3 . 4.向量(3,4)a = 在向量(1,0)b =

方向上的投影为

______.3

5．若集合2

{560}A x x x =-+≤，集合},02{Z a ax x B ∈=-=，且A B ?，则a =__0或1_. 6. 已知三个球的表面积之比是3:2:1，则这三个球的体积之比为______1: 7.在△ABC 中，若1=b ,3=

c , 3

2π=

∠C ,则______=?ABC S .

4

3

8.已知实数x 、y 满足不等式组526

00

x y x y x y

+≤??

+≤??≥??≥?，则34

z x y =+的最大

值是_____. 20

9．甲、乙两位旅行者体验城市生活，从某地铁站同时搭上同一列车，

分别从前方10个地铁站中随机选择一个地铁站下车，则甲、乙两人不在同一站下车的概率是________.

10

9

10．执行右面的程序框图，如果输入的n 是4，则输出的P=____.3 11．直线y x m =+与曲线y =m 的取值范围是___．1m ≤<

12．已知数列{}*

(N )n a n ∈，首项156

a =

，若二次方程2

110n n a x a x +--=的根α、β满足

1ααββ-+=，则数列{}n a 的前n 项和____________=n S .2

142

3

n n

-

+

13．已知函数()f x 的定义域为R ，若存在常数0m >，对任意x R ∈，有()f x m x ≤，则称函

数()f x 为F -函数.给出下列函数：①2

()f x x =；②2

()1

x f x x =

+；③()2x

f x =；④

()s i n 2f x x =.其中是F -函数的序号为 .（答案：②④）

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对应的图像，其中(2,2)A ，如图所示.在作曲线段AB 时，该学生想把函

数1

2,[0,2]y x x =∈的图像做适当变换，得到该段函数曲线.请写出曲线段

AB 在[23]x ∈，上对应的函数解析式________.1

2

22y x =-+）

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.

15．已知非零向量a 、b ，“函数2

()()f x ax b =+

为偶函数”是“a b ⊥ ”的 （ C ）

A. 充分非必要条件

B. 必要非充分条件

C. 充要条件

D. 既非充分也非必要条件

16．设1z 、2z 为复数，下列命题一定成立的是（ ）D

A.如果0222

1=+z z ，那么021==z z B. 如果21z z =，那么21z z ±=

C. 如果a z ≤1，a 是正实数，那么a z a ≤≤-1

D. 如果a z =1，a 是正实数，那么

2

11a z z =?

17．若双曲线221112

2

1

1

:

1(0,0)x

y

C a b a b -

=>>和双曲线222222

2

2

2

:

1(0,0)x

y

C a b a b -

=>>的焦点相

同，且12a a >给出下列四个结论：

①2222

1221a a b b -=-； ②

122

1

a b a b >

；

③12b b <； ④2121b b a a +>+；

其中所有正确的结论序号是（ ）B A. ①② B, ①③ C. ②③ D. ①④

18．已知函数12,02

()122,1

2

x x f x x x ?

≤≤??=??-<≤??，且1()()f x f x =，21()(())f x f f x =.则满足方程

2()f x x =的根的个数为（ ）C

A 、0个

B 、2个

C 、4个

D 、6个

三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号规定的区域内写出必要的步骤.

19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1

小题满分6分，第2小题满分6分. 已知函数x x x x f 2

cos 2cos sin 2)(+=， （1）求函数)(x f 的单调递增区间；

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zy 395ba0836529647d2728525c （2）将函数)(x f y =图像向右平移

4π个单位后，得到函数)(x g y =的图像，求方程1)(=x g 的解.

【解答】（1）1)42sin(2)(++=

πx x f ， 由)(224222Z k k x k ∈+≤+≤-πππ

π

π得：

)(x f 的单调递增区间是?????

?+-8,83ππππk k )(Z k ∈； （2）由已知，142sin 2)(+??? ?

?-=πx x g ， 由1)(=x g ，得042sin 2=??? ?

?-πx ， 82π

π

+=∴k x ，)(Z k ∈.

20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PD 底面ABCD ，底面

ABCD 为正方形，A D PD =，E ，F 分别是AB ，PB 的中点．

（1）求异面直线EF 与PD 所成角的大小；

（2）当2=EF 时，求在四棱锥ABCD F -的体积.

【解答】⑴ ∵E ，F 分别是AB ，PB 的中点，

∴AP EF //. ∴A P D ∠为异面直线E F 与P D 所成的角或补角.

∵⊥PD 底面ABCD ，DA PD =

∴ADP ?是等腰直角三角形，

∴45APD ∠= ，

∴异面直线E F 与P D 所成角的大小为45 .

⑵ 解：由⑴知，AP EF 21

=，且2=EF ，∴22=AP .

又由题意知，PAD ?为等腰直角三角形，∴2==AD PD .

又 点F 为PB 的中点，∴点F 到底面ABCD 的距离为

121=PD . ∴四棱锥ABCD F -的体积为34

12231

=???.

21．（本大题满分14分）本大题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满5分，第3小题满5分.

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已知椭圆

)0(12

22

2>>=+

b a b

y a

x 的左、右焦点分别为1F 、2F ，长轴的一个端点与短轴两

个端点组成等边三角形的三个顶点，直线l 经过点2F ，倾斜角为?45，与椭圆交于A 、B 两点. （1）若22|21=F F ｜，求椭圆方程； （2）对（1）中椭圆，求1ABF ?的面积；

（3）M 是椭圆上任意一点，若存在实数μλ,，使得OB OA OM μλ+=，试确定μλ,的关系式.

【解答】（1）由已知，可得2=

c ，b a 3=，

∵222

c b a +=，∴3=a ，1

=b ，

∴

13

2

2

=+y x

.

（2）设),(11y x A ，),(22y x B ，直线

:l y x =-

代入椭圆方程得

2430x x -+=，122

x x +=

，1234

x

x =

，

12||2

x x -=1212||||2

y y x x -=-=

，

∴12

2

S

?=

?=

（3）由已知椭圆方程为22233x y b +=

①，

右焦点F 的坐标为,0)，

直线AB 所在直线方程为y x

=-

②，

由①②得：22430x b -+=，

设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122

x x +=

，2

1234

b x x =

，

设(,)M x y ，由O M O A O B λμ=+

得，

12x x x λμ=+，12y y y λμ=+，

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M ∴2221212()3()3x x y y b λμλμ+++=，

整理得：222

2222

11

221212(3)(3)2(3)3x y x y x x y y b λμλμ+++++=，

2

12121211

2

33(2)(

2)43

2()

60

x x y y x x b b b x x b +=

+=

++= ③， 又点,A B 在椭圆上，故2221133x y b += ④，222

2233x y b += ⑤，

由③④⑤式得221λμ+=.

22．（本大题满分16分）本大题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满6分，第3小题满6分.

记数列{}n a 的前n

项和为n S ．已知向量c o s s i n ,133

n n a π

π??=+

??

?

*

(N )n ∈和,cos sin 33n n n b a ππ??=- ???

*

(N )n ∈满足//a b

.

（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求30S ；

（3）设n n b na =，求数列{}n b 的前n 项的和为n T ．

【解答】（1）∵//a b

∴n a =cos sin 3

3n n ππ?

?+ ??

?cos sin 3

3n n ππ??- ???

=2

2

cos sin

3

3

n n π

π-

=2cos

3n π ∴2cos

3

n n a π

=；

（2）数列

{}111

1:,,1,

,,1,2

222

n a -

-

-- 为周期为3的周期数列且

()32

31

30N .

k k k a a a k *

--++

=∈ 故300S =. （3）2cos

3

n n n b na n π==．

当()3n k k N *=∈时，

∵ ()()323131132313122k k k b b b k k k --?

???

++=--

+--+? ? ?

????

=32． ∴ 3332

232

n k n n

T T k ==

=

?=； 当()31n k k N *=-∈时，

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中国校长网资源频道 zy 395ba0836529647d2728525c 313333

3113122232

n k k k n n T T T b k k k -++==-=-?=-=-?=-； 当()32n k k N *=-∈时，

()32333131331133122222n k k k k k T T T b b k k k k ---??==--=----=-+=- ???

； 故()()()(),

3,21,31,.21,32.2n n

n k n T n k k N n k *?=??+?=-=-∈??

?-=-??

23、（本大题满分18分）本大题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满6分，第3小题满8分.

已知函数D x x f y ∈=),(，如果对于定义域D 内的任意实数x ，对于给定的非零常数m ，总存在非零常数T ，恒有)()(x f m T x f ?>+成立，则称函数)(x f 是D 上的m 级类增周期函数，周期为T .若恒有)()(x f m T x f ?=+成立，则称函数)(x f 是D 上的m 级类周期函数，周期为T .

（1）试判断函数)1(log

)(21-=x x f 是否为()∞+,3上的周期为1的2级类增周期函数？并说明

理由； （2）已知函数ax x x f +-=2)(是[)∞+,3上的周期为1的2级类增周期函数，求实数a 的取值范围；

（3）下面两个问题可以任选一个问题作答，问题（Ⅰ）6分，问题（Ⅱ）8分，如果你选做了两个，我们将按照问题（Ⅰ）给你记分.

（Ⅰ）已知1=T ，)(x f y =是[)∞+,0上m 级类周期函数，且)(x f y =是[)∞+,0上的单调递增函数，当[)1,0∈x 时，x

x f 2)(=，求实数m 的取值范围. （Ⅱ）已知当[]4,0∈x 时，函数x x x f 4)(2

-=，若)(x f 是[)∞+,0上周期为4的m 级类周期函数，且)(x f y =的值域为一个闭区间，求实数m 的取值范围.

【解答】

（1）∵0)13()1()11(22<+--=---+x x x x ，即2)1()11(-<-+x x

∴221)1(log )11(log 21

->-+x x ，即 )1(log 2)11(log 2121->-+x x

即 )(2)1(x f x f >+对一切()∞+∈,3x 恒成立，

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中国校长网资源频道 zy 395ba0836529647d2728525c 故 )1(log )(21

-=x x f 是∞+,3上的周期为1的2级类增周期函数.

（2）由题意可知： )(2)1(x f x f >+，

即 )(2)1()1(22ax x x a x +->+++-对一切[)∞+,3恒成立，

()1212--<-x x a

x ， ∵3x ≥ ∴11

22---

---=x x ()12

1---=x x ，

令t x =-1，则[)∞+∈,2t ，

t t t g 2

)(-=在[)∞+,2上单调递增，

所以1)2()(min ==g t g ，

所以1

（3）问题（Ⅰ）∵[)1,0∈x 时，x x f 2)(=，

∴当[)2,1∈x 时，12)1()(-?=-=x m x mf x f ，

当[)1,+∈n n x 时，)()2()1()(2n x f m x f m x mf x f n -==-=-= n x n m -?=2， 即[)1,+∈n n x 时，n x n m x f -?=2)(，*N n ∈

，

∵)(x f 在[)∞+,0上单调递增，

∴0>m 且()1122----?≥?n n n n n n m m ， 即2≥m .

问题（Ⅱ）：∵当[]4,0∈x 时，[]0,4-∈y ，且有)()4(x mf x f =+， ∴当[]4,44,x n n n Z ∈+∈时，

)4()4()(n x f m x mf x f n -==-= =()()[]

n x n x m n 4442---， 当10≤

当01<<-m 时，[]m x f 4,4)(--∈；

当1-=m 时，[]4,4)(-∈x f ；

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中国校长网资源频道 zy 395ba0836529647d2728525c 当1>m 时，(]0,)(∞-∈x f ；

当1-

综上可知：01<≤-m 或10≤

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/u8de.html