高中数学两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3 - 1 - 2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式知识巧解学案

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

疱工巧解牛

知识?巧学

一、两角和的余弦公式

1.比较cos(α-β)与cos(α+β)，根据α+β与α-β之间的联系：α+β=α-(-β)，则由两角差的公式得cos(α+β)=cos［α-(-β)］=cosαcos(-β)+sinαsin(-β)=cosαcosβ-sinαsinβ,即cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.

学法一得 这种以-β代β的变换角的方式在三角函数的恒等变形中有着重要应用，同时也启发我们要辩证地看待和角与差角.在公式C(α-β)中，因为角α、β是任意角，所以在C(α+β)中，角α、β也是任意角.

2.用两点间的距离公式推导C(α+β).

图3-1-5

如图3-1-5，在直角坐标系xOy内作单位圆O，以O为顶点，以x轴的非负半轴为始边，作出角α、-β，使角α、-β的终边分别交单位圆于点P2、P4，再以OP2为始边，作角β，使它的终边交单位圆于点P3，这样就出现了α、β、α+β这样的角，设角α、-β的始边交单位圆于点P1，则P1(1，0).设P2(x，y)，根据任意角的三角函数的定义，有sinα=y，cosα=x，即P2(cosα，sinα)；同理,可得P3(cos(α+β)，sin(α+β))，P4(cos(-β)，sin(-β)).

由整个作图过程可知△P3OP1≌△P2OP4，所以|P1P3|=|P2P4|.

22

|P1P3|=|P2P4|，

2222

即［cos(α+β)-1］+sin(α+β)=［cos(-β)-cosα］+［sin(-β)-sinα］.

根据同角三角函数的基本关系,整理得2-2cos(α+β)=2-2(cosαcosβ-sinαsinβ)， 即cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ. 3.利用向量的数量积推导C(α+β).

图3-1-6

如图3-1-6，在平面直角坐标系xOy内作单位圆，以Ox为始边作角α、-β，它们与单位圆的交点分别为A、B.

显然，OA=(cosα,sinα),OB=(cos(-β),sin(-β)).根据向量数量积的定义，有

OA·

OB=

(cosα,sinα)·(cos(-β),sin(-β))=cosαcos(-β)+sinαsin(-β)=cosαcosβ-sinαsinβ.

于是cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.

学法一得 ①在处理问题的过程中，把有待解决或难解决的问题，通过某种转化，归结为一类已经解决或比较容易解决的问题，最终求得原问题的解，这种思想方法叫做化归思想. ②以任意角的三角函数的定义为载体，我们推导了同角的三角函数的基本关系式、诱导公式和两角和的余弦公式.熟记公式中角、函数的排列顺序及式中的正负号是正确使用公式的关键.

记忆要诀 公式右端的两部分为同名三角函数之积，连接符号与左边的连接符号相反. 二、两角和与差的正弦 1.公式的推导

?-(α-β)］=cos［(2??=cos(-α)cosβ-sin(-α)sinβ=sinαcosβ-cosαsinβ.

22sin(α-β)=cos

［

?2-α)+β］

在上面的公式中，以-β代β，即可得到sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ. 2.和差公式是诱导公式的推广，诱导公式是和差公式的特例.如

sin(2π-α)=sin2πcosα-cos2πsinα=0×cosα-1×sinα=-sinα. 当α或β中有一个角是

?的整数倍时，通常使用诱导公式较为方便；上面公式中的α、2β均为任意角.

误区警示 公式对分配律不成立，即sin(α±β)≠sinα±sinβ，学习时一定要注意这一点.

学法一得 公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，如化简sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ，不要将sin(α+β)和cos(α+β)展开，而应当整体考察，进行如下变形：sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ=sin［(α+β)-β］=sinα，这也体现了数学中的整体原则.

记忆要诀 记忆时要与两角和与差的余弦公式区别开来，两角和与差的正弦公式的右端的两部分为异名三角函数之积，连接符号与左边的连接符号相同. 三、两角和与差的正切 1.公式的推导

利用两角和的正弦、余弦公式，可以推导出两角和的正切公式： tan(α+β)=

sin(???)sin?cos??cos?sin??，当cosαcosβ≠0时，我们可以将上

cos(???)cos?cos??sin?sin?式的分子、分母同时除以cosαcosβ， 即得用tanα和tanβ表示的公式： tan(α+β)=

tan??tan?，在上面的公式中，以-β代β，可得两角差的正切公式：

1?tan?tan?tan??tan?.

1?tan?tan?tan(α-β)=

2.公式成立的条件

要能应用公式，首先要使公式本身有意义，即tanα、tanβ存在.并且1+tanαtanβ的值不为零，所以可得α、β需满足的条件：α≠kπ+α-β≠kπ+

???,β≠kπ+，α+β≠kπ+或222?，以上k∈Z.当tanα、tanβ、tan(α±β)不存在时，可以改用诱导公式2或其他方法解决.

学法一得 两角和与差的正切同样不仅可以正用，而且可以逆用、变形用，逆用和变形用都是化简三角恒等式的重要手段，如tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)就可以解决诸如tan15°+tan30°+tan15°tan30°的问题.所以在处理问题时要注意考察式子的特征，巧妙运用公式或其变形，使变换过程简单明了. 典题?热题

知识点一 所求角可表示成两个特殊角的和、差 例1 求sin75°,tan15°的值.

解：sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30° =

23216?2； ????22224tan15°=tan(60°-45°)=

tan60??tan45?3?1??2?3，

1?tan60?tan45?1?31?3tan45??tan30?3?2?3. ?或tan15°=tan(45°-30°)=

1?tan45?tan30?31?3例2 求

sin7??cos15?sin8?的值.

cos7??sin15?sin8?思路分析：观察被求式的函数名称的特点和角的特点，其中7°=15°-8°，15°=8°+7°，8°=15°-7°.无论采取哪种代换方式，都可减少角的个数.利用和角或差角公式展开，进行约分、化简、求值.若用7°=15°-8°代换，分子、分母是二次齐次式；若用15°=8°+7°或8°=15°-7°代换，分子、分母将会出现三次式，显然选择后者更好，不妨比较一下. 答案：原式=

sin7??cos(7??8?)sin8?

cos7??sin(7??8?)sin8?sin7??cos7?cos8?sin8??sin7??sin28?sin7?(1?sin28?)?cos7?cos8?sin8? ??22cos7??sin7?cos8?sin8??cos7??sin8?cos7?(1?sin8?)?sin7?cos8?sin8?sin7??cos28??cos7?cos8?sin8?sin7?cos8??cos7?sin8??? 2cos7??cos8??sin7?cos8?sin8?cos7?cos8??sin7?sin8??sin15??tan15??2?3.

cos15?巧解提示:原式=

sin(15??8?)?cos15??sin8?

cos(15??8?)?sin15??sin8?sin15??cos8??cos15??sin8??cos15??sin8?

cos15??cos8??sin15??sin8??sin15??sin8?sin15??cos8??=tan15°=tan(45°-30°) cos15??cos8??3tan45??tan30?3?2?3. ??1?tan45??tan30?31?31?方法归纳 三角函数式的结构一般由角、三角函数符号及运算符号三部分组成.因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式，这是三角恒等变换的重要特点.无论是化简、求值，还是证明，其结果应遵循以下几个原则：①能求值的要求值；②三角函数的种类尽可能少；③角的种类尽可能少；④次数尽可能低；⑤尽可能不含根号和分母.

知识点二 已知α、β的三角函数值，求α±β的三角函数值 例3 已知sinα=思路分析：因为

1?，求cos(+α)的值. 33?是个特殊角，所以根据C(α+β)的展开式，只需求出cosα的值即可.由于31条件只告诉了sinα=，没有明确角α所在的象限，所以应分类讨论，先求cosα的值，

3?再代入展开式确定cos(+α)的值.

31解：∵sinα=>0，∴α位于第一、二象限.

3当α是第一象限角时，cosα=1?()?13222， 3∴cos(

???1223122?3???+α)=coscosα-sinsinα=?;

3332323622， 3同理，当α是第二象限角时，cosα=?∴cos(

?23?3+α)=?. 36方法归纳 解这类给值求值问题的关键是先分清S(α±β)、C(α±β)、T(α±β)的展开式中所需要

的条件，结合题设，明确谁是已知的，谁是待求的.其中在利用同角三角函数的基本关系求值时，应先解决与已知具有平方关系的三角函数值.但是，对于cos(π+α)、cos(

?+α)2这样的函数求值，由于它们的角与利用诱导公式可能更简单. 例4 已知cos(α-的值.

思路分析：观察给出的角

?的整数倍有关，所以无需按它们的展开式求值，直接2?1?2?????os)=?，sin(-β)=，并且＜α＜π，0＜β＜，求c9322222???2?(???2)?(?2??)，结合公式C(α-β)展开式的特点，只

??)、cos(-β)的值即可. 22???????解：∵＜α＜π，0＜β＜，∴＜＜，0＜＜.

2242422?????∴＜α-＜π，-＜-β＜. 44222?1??又∵cos(α-)=?＜0，∴??????.

9222需利用同角三角函数的基本关系计算出sin(α-∴sin(???2)?1?sin2(???145. )?1?(?)2?299同理，∵sin(

?2??-β)=>0，∴0????.

3222∴cos(故cos?2??)?1?sin2(?cos[(???25. ??)?1?()2?233???2?2)?(?2??)]

=cos(α-

????)cos(-β)+sin(α-)sin(-β) 22221545275??????.

939327例5 在△ABC中，sinA=

35,cosB=，求cosC. 513思路分析：本题主要考查三角形中的三角函数问题.若不注意“△ABC”这个条件，就会产生

多解，所以解这类问题时一定要注意尽量压缩角的范围，避开分类讨论，同时要注意结论是否符合题意. 解： ∵cosB=

??1252?,∴B∈(,)且sinB=.

1342132?3?32?,∴A∈(0,)∪(,π).

4452∵sinA=

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