第10章排列组合二项测试题
更新时间:2024-04-09 13:52:01 阅读量: 综合文库 文档下载
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排列、组合、二项式
一、选择题: 2.为了让人们感知丢弃塑料袋对环境造成的影响,某班环保小组的六名同学记录了自己家中一周内丢的塑料袋的数量,
结果如下(单位:个):33、25、28、26、25、31.如果该班有45名学生,那么根据提供的数据估计本周全班同学各家共丢弃塑料袋 ( ) A.900个 B.1080个 C.1260个 D.1800个
3.假定有一排蜂房,形状如图,一只蜜蜂在左下角的蜂房中,由于受了点伤,只能爬,不能飞,而且只能永远向右方(包括右上,右下)爬行,从一间蜂房爬到与之相邻的右方蜂房中去,从最初位置爬到4号蜂房中,则不同的爬法有 ( ) A.4种 B.6种 C.8种 D.10种
34.A2n?1与An的大小关系是 3 A.A2n?1 > An
3B.A2n?1 < An
( )
3C.A2n?1 = An D.大小关系不定
5.(文)某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人),其中甲和乙不同去,则不同的选派方案共
有 种 A.1320 B.288 C.1530 D.670 6.(文)已知(2a3+
1n
)的展开式的常数项是第7项,则正整数n的值为 aB.8 C.9
D.10
( )
A.7
8. (文)已知两组数据x1,x2,…,xn与y1,y2,…,yn,它们的平均数分别是x和y,则新的一组数据2x1-3y1+1,2x2-3y2+1,…,
2xn-3yn+1的平均数是
( )
A.2x-3y B.2x-3y+1 C.4x-9y D.4x-9y+1 9.(x?110)的展开式中含x的正整数指数幂的项数是 3xA.0 B.2 C.4
D.6
( )
11.设集合I??1,2,3,4,5?。选择I的两个非空子集A和B,要使B中最小的数大于A中最大的数,则不同的选择方
法共有
( )
A.50种 B.49种 C.48种 D.47种 二、填空题
13.二项式(1+sinx)n的展开式中,末尾两项的系数之和为7,且二项式系数最大的一项的值为
5,则x在(0,2?)内的2值为___________.
15.某幢楼从二楼到三楼的楼梯共11级,上楼可以一步上一级,也可以一步上两级,若规定从二楼到三楼用7步走完,
则上楼梯的方法有___________种. 16.关于二项式(x-1)2005有下列命题:
①该二项展开式中非常数项的系数和是1:
1999
②该二项展开式中第六项为C6; 2005x
③该二项展开式中系数最大的项是第1002项: ④当x=2006时,(x-1)2005除以2006的余数是2005.
其中正确命题的序号是__________.(注:把你认为正确的命题序号都填上)
1
三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)某人手中有5张扑克牌,其中2张为不同花色的2,3张为不同花色的A,他有5次出牌机会,
每次只能出一种点数的牌,但张数不限,此人有多少种不同的出牌方法?
18.(本小题满分12分)求二项式(3x-
2x)15的展开式中:
(1)常数项;
(2)有几个有理项; (3)有几个整式项.
20.(本小题满分12分)袋中装有m个红球和n个白球,m≥n≥2,这些红球和白球除了颜色不同以外,其余都相同.从
袋中同时取出2个球.
(1)若取出是2个红球的概率等于取出的是一红一白的2个球的概率的整数倍,试证:m 必为奇数; (2)在肌n的数组中,若取出的球是同色的概率等于不同色的概率,试求m+n≤40的所有数组(m,n).
22.(本小题满分14分)规定Am其中x∈R,m为正整数,且A0这是排列数Amm是正整数,x=x(x-1)…(x-m+1),x=1,n(n,
且m≤n)的一种推广. (1)求A3?15的值;
m?1mm?1mm (2)排列数的两个性质:①Am=nA,②A+mA=A(其中m,n是正整数).是否都能推广到AR,mnn?1nnn?1x(x∈
是正整数)的情形?若能推广,写出推广的形式并给予证明;若不能,则说明理由;
(3)确定函数A3x的单调区间.
2
参考答案
2.C 由已知抽样数据可得平均数为
33?25?28?26?25?31=28个,据此可以估计本周全班同学各家共丢弃塑料
6袋的数量约为28×45=l260个.
3.C 路线为134;124;1234;0134;0124;01234;024;0234.
2323232
4.D 当n≥3时,得An?1-An=(n+1)n-n(n-1)(n-2)=-n(n-4n+1),当n=3时,An?1-An=6>0,得An?1>An;当n≥4时,
232323-<0,得<. 即与AnAAAAA?1nn?1nn?1n的关系不定.故应选D.
log2f(3)log24n5.(理)A ∵f(m)=?mC,∴f(3)=?3C=(1+3)=4,f(1)= ?1C=(1+1)=2. ==2,故应选nlogf(1)log2i?0i?0i?022niinniinn
n
niinnn
A.
(文)A 用间接法求解简单 A8?1?1?C6A4?1320;也可直接法分3类求解; 6.(理)D 令x=l得,各项系数和为(3-i)6=26×(
4243166
-i)=-2=-64. 2266n-63n-24
(文)B T7=Cn(2a3)n-6·a-6=Cn·2·a,当3n-24=O时,此项为常数项,即n=8时第7项是常数. 4
8.(理)B 4枚硬币正好出现2枚正面向上,2枚反面向上的概率为P=C2·()=40 由此可得P(?=0)=C3·(1-
335313)=(),P(?=1)=C3·888522533327P(?=3)=C3·()=3,由此可得E?=0×()3+1×3888813,
283225331352.(1-)2=3,P(?=2)=C3·()2.(1-)=3,
88888135279+2×3+3×3=.故应选B.
888 (文)B (2x1-3yl+1+2x2-3y2+l+…+2xn-3yn+1)/n=2(x1+x2+…+xn)/n-3(y1+y2+…+yn)/n+1=2x-3y+l,故应选B.
r9.B 展开式通项为Tr?1?C10?x?10?r10?3r?1?r?1?2,若展开式中含x的正整数指数幂,即????C10???x?3x??3?rr35?r?N*,且0?r?10,r?N所以r?0,2,选(B)
211.B 显然A?B??,设A?B?C,则C是I的非空子集,且C中元素不少于2个(当然,也不多于5个).另一方
面,对I的任何一个k(2?k?5)元子集C,我们可以将C中元素从小到大排列.排好后,相邻数据间共有k?1个空档。在任意一个空挡间插入一个隔板,隔板前的元素组成集合A,隔板后元素组成集合B。这样的A、B一定
21314151符合条件,且集合对{A,B}无重复.综合以上分析,所求为:C5C1?C5C2?C5C3?C5C4?49.选B.
13.或
?65?51n?1n3 由已知可得Cn+Cn=n+1=7,即得n=6,二项式系数最大的一项为C6·sin3x=20sm3x=,解得sinx=,622?5?又x∈(0,2?),∴x=或.
663
15.35
184 从二楼到三楼用7步走完,共走11级,则必有4步每步走两级,其余3步每步1级,因此共有C7=3535种方法. 16.①④ 二项式(x-1)2005所有项的系数和为O,其常数项为-l,非常数项的系数和是1,即得①正确;二项展开式的第
5六项为C2005x2000,即得②错误;二项展开式中系数绝对值最大的项为C2005?12=20051002,-CC20052005?12=-20051003,得系数最C200510021003
大的项是第1003项C2005·x,即③错误;当x=2006时,(x-1)2005除以2 006的余数是2006-l=2005,即④正确.故
应填①④.
17.由于张数不限,2张2,3张A可以一起出,亦可分几次出,故考虑按此分类. (2分) 出牌的方法可分为以下几类:
(1)5张牌全部分开出,有A55种方法; (3分)
2 (2)2张2一起出,3张A一起出,有A5种方法; (4分) 4 (3)2张2一起出,3张A分开出,有A5种方法; (5分) 23 (4)2张2一起出,3张A分两次出,有C3A5种方法; (7分)
(5)2张2分开出,3张A一起出,有A35种方法; (8分)
24 (6)2张2分开出,3张A分两次出,有C3A5种方法; (10分)
2423324 因此共有不同的出牌方法A55+ A5+ A5+C3A5+ A5+C3A5=860种. (12分)
18.展开式的通项为:Tr+1=(?1)C(x)rr31515?r(2) =(?1)2Cxxrrrr1530?5r6
630?5r6C15 (1)设Tr+1项为常数项,则=0,得r=6,即常数项为T7=2; (4分)
630?5r5 (2)设Tr+1项为有理项,则=5-r为整数,∴r为6的倍数,又∵0≤r≤15,∴r可取0,6,12三个数,故共
66有3个有理项. (8分) (3) 5-
5r为非负整数,得r=0或6,∴有两个整式项. (12分) 620.(1)设取出2个球是红球的概率是取出的球是一红一白2个球的概率的k倍(k为整数),
211CmCm?Cn 则有2?k (2分) 2Cm?nCm?n∴
m(m?1)-kmn=2kn+1. (4分) 2∵k∈Z,n∈Z,∴m=2kn+1为奇数. (6分)
2211m(m?1)CmCnCm?Cn(2)由题意,有2?2?,∴=mn, 22Cm?nCm?nCm?n∴m2-m+n2-n-2mn=0即(m-n)2=m+n,1. (8分)
4
∴m≥n≥2,所以m+n≥4,∴2≤m-n≤40<7,
∴m-n的取值只可能是2,3,4,5,6,相应的m+n的取值分别是4,9,16,25,36, 即??m?n?4或??m?n?2?m?n?9或??m?n?3?m?n?16或??m?n?4?m?n?25或?m?n?36?m?n?5??m?n?6
解得??
m?3?m?6?m?10?n?1或?或?n?3?或m?15?m?21??n?6?或?n?10??n?15 (10分)
注意到m≥n≥2.
∴(m,n)的数组值为(6,3),(10,6),(15,10),(21,15). (12分)
22.(1)A3?15=(-15)(-16)(-17)=4080; (3分)
(2)性质①、②均可推广,推广的形式分别是
①Am?xAm?1mm?1mxx?1,②Ax?mAx?Ax?1(x∈R,m∈N+) 事实上,在①中,当m=1时,左边=A1x,右边=xA0x=x?1=x,等式成立; (4分) 当m≥2时,左边=x(x-1)(x-2)…(x-m+1)=x{(x-1)(x-2)…[(x-1)-(m-1)+1]}=xAm?1x?1, 因此,①Am?xAm?1xx?1成立; (5分) 在②中,当m=l时,左边=A101x+Ax=x+l=Ax?1=右边,等式成立;
当m≥2时,左边=x(x-1)(x-2)…(x-m+1)+mx(x-1)(x-2)…(x-n+2) =x(x-1)(x-2)…(x-m+2)[(x-m+1)+m]
=(x+1)x(x-1)(x-2)…[(x+1)-m+1]=Amx?1=右边, (6分) 因此②Am?mAm?1m+xx?Ax?1(x∈R,m∈N)成立. (8分) (3)先求导数,得(A3/3x)=3x2-6x+2.令3x2-6x+2>0,解得x<3?3或x>3?33 因此,当x∈(-∞,3?33)时,函数为增函数,当x∈(3?33,+∞)时,函数也为增函数.令3x2-6x+2≤0, 解得3?3≤x≤3?3,因此,当x∈[3?3333,3?33]时,函数为减函数. ∴函数A333?33?x的增区间为(-∞,3?3),(3,+∞);减区间为[33?33,3].
5
(11分) (12分)
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