第10章排列组合二项测试题

排列、组合、二项式

一、选择题： 2．为了让人们感知丢弃塑料袋对环境造成的影响，某班环保小组的六名同学记录了自己家中一周内丢的塑料袋的数量，

结果如下(单位：个)：33、25、28、26、25、31．如果该班有45名学生，那么根据提供的数据估计本周全班同学各家共丢弃塑料袋 （ ） A．900个 B．1080个 C．1260个 D．1800个

3．假定有一排蜂房，形状如图，一只蜜蜂在左下角的蜂房中，由于受了点伤，只能爬，不能飞，而且只能永远向右方(包括右上，右下)爬行，从一间蜂房爬到与之相邻的右方蜂房中去，从最初位置爬到4号蜂房中，则不同的爬法有 （ ） A．4种 B．6种 C．8种 D．10种

34．A2n?1与An的大小关系是 3 A．A2n?1 > An

3B．A2n?1 < An

（ ）

3C．A2n?1 = An D．大小关系不定

5．（文）某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人),其中甲和乙不同去,则不同的选派方案共

有 种 A．1320 B．288 C．1530 D．670 6．（文）已知(2a3+

1n

)的展开式的常数项是第7项，则正整数n的值为 aB．8 C．9

D．10

（ ）

A．7

8． (文)已知两组数据x1，x2，…，xn与y1，y2，…，yn，它们的平均数分别是x和y，则新的一组数据2x1-3y1+1，2x2-3y2+1，…，

2xn-3yn+1的平均数是

（ ）

A．2x-3y B．2x-3y+1 C．4x-9y D．4x-9y+1 9．(x?110)的展开式中含x的正整数指数幂的项数是 3xA．0 B．2 C．4

D．6

（ ）

11．设集合I??1,2,3,4,5?。选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方

法共有

（ ）

A．50种 B．49种 C．48种 D．47种 二、填空题

13．二项式(1+sinx)n的展开式中，末尾两项的系数之和为7，且二项式系数最大的一项的值为

5，则x在(0，2?)内的2值为___________．

15．某幢楼从二楼到三楼的楼梯共11级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用7步走完，

则上楼梯的方法有___________种． 16．关于二项式(x-1)2005有下列命题：

①该二项展开式中非常数项的系数和是1：

1999

②该二项展开式中第六项为C6； 2005x

③该二项展开式中系数最大的项是第1002项： ④当x=2006时，(x-1)2005除以2006的余数是2005．

其中正确命题的序号是__________．(注：把你认为正确的命题序号都填上)

1

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．(本小题满分12分)某人手中有5张扑克牌，其中2张为不同花色的2，3张为不同花色的A，他有5次出牌机会，

每次只能出一种点数的牌，但张数不限，此人有多少种不同的出牌方法?

18．(本小题满分12分)求二项式(3x-

2x)15的展开式中：

（1）常数项；

（2）有几个有理项； （3）有几个整式项．

20．(本小题满分12分)袋中装有m个红球和n个白球，m≥n≥2，这些红球和白球除了颜色不同以外，其余都相同．从

袋中同时取出2个球．

（1）若取出是2个红球的概率等于取出的是一红一白的2个球的概率的整数倍，试证：m 必为奇数； （2）在肌n的数组中，若取出的球是同色的概率等于不同色的概率，试求m+n≤40的所有数组(m，n)．

22．(本小题满分14分)规定Am其中x∈R，m为正整数，且A0这是排列数Amm是正整数，x=x(x-1)…(x-m+1)，x=1，n(n，

且m≤n)的一种推广． （1）求A3?15的值；

m?1mm?1mm （2）排列数的两个性质：①Am=nA，②A+mA=A(其中m，n是正整数)．是否都能推广到AR，mnn?1nnn?1x(x∈

是正整数)的情形?若能推广，写出推广的形式并给予证明；若不能，则说明理由；

（3）确定函数A3x的单调区间．

2

参考答案

2．C 由已知抽样数据可得平均数为

33?25?28?26?25?31=28个，据此可以估计本周全班同学各家共丢弃塑料

6袋的数量约为28×45=l260个．

3．C 路线为134；124；1234；0134；0124；01234；024；0234.

2323232

4．D 当n≥3时，得An?1-An=(n+1)n-n(n-1)(n-2)=-n(n-4n+1)，当n=3时,An?1-An=6>0，得An?1>An；当n≥4时，

232323-<0，得<. 即与AnAAAAA?1nn?1nn?1n的关系不定．故应选D．

log2f(3)log24n5．(理)A ∵f(m)=?mC，∴f(3)=?3C=(1+3)=4，f(1)= ?1C=(1+1)=2. ==2,故应选nlogf(1)log2i?0i?0i?022niinniinn

n

niinnn

A.

(文)A 用间接法求解简单 A8?1?1?C6A4?1320；也可直接法分3类求解； 6．(理)D 令x=l得，各项系数和为(3-i)6=26×(

4243166

-i)=-2=-64． 2266n-63n-24

(文)B T7=Cn(2a3)n-6·a-6=Cn·2·a，当3n-24=O时，此项为常数项，即n=8时第7项是常数． 4

8．(理)B 4枚硬币正好出现2枚正面向上，2枚反面向上的概率为P=C2·()=40 由此可得P(?=0)=C3·(1-

335313)=()，P(?=1)=C3·888522533327P(?=3)=C3·()=3，由此可得E?=0×()3+1×3888813，

283225331352．(1-)2=3，P(?=2)=C3·()2．(1-)=3，

88888135279+2×3+3×3=．故应选B．

888 (文)B (2x1-3yl+1+2x2-3y2+l+…+2xn-3yn+1)／n=2(x1+x2+…+xn)／n-3(y1+y2+…+yn)／n+1=2x-3y+l，故应选B．

r9．B 展开式通项为Tr?1?C10?x?10?r10?3r?1?r?1?2，若展开式中含x的正整数指数幂，即????C10???x?3x??3?rr35?r?N*,且0?r?10,r?N所以r?0,2，选（B）

211．B 显然A?B??，设A?B?C，则C是I的非空子集，且C中元素不少于2个（当然，也不多于5个）.另一方

面，对I的任何一个k（2?k?5）元子集C，我们可以将C中元素从小到大排列.排好后，相邻数据间共有k?1个空档。在任意一个空挡间插入一个隔板，隔板前的元素组成集合A，隔板后元素组成集合B。这样的A、B一定

21314151符合条件，且集合对{A，B}无重复.综合以上分析，所求为：C5C1?C5C2?C5C3?C5C4?49.选B.

13．或

?65?51n?1n3 由已知可得Cn+Cn=n+1=7，即得n=6，二项式系数最大的一项为C6·sin3x=20sm3x=，解得sinx=，622?5?又x∈(0，2?)，∴x=或．

663

15．35

184 从二楼到三楼用7步走完，共走11级，则必有4步每步走两级，其余3步每步1级，因此共有C7=3535种方法． 16．①④ 二项式(x-1)2005所有项的系数和为O，其常数项为-l，非常数项的系数和是1，即得①正确；二项展开式的第

5六项为C2005x2000，即得②错误；二项展开式中系数绝对值最大的项为C2005?12=20051002，-CC20052005?12=-20051003，得系数最C200510021003

大的项是第1003项C2005·x，即③错误；当x=2006时，(x-1)2005除以2 006的余数是2006-l=2005，即④正确．故

应填①④．

17．由于张数不限，2张2，3张A可以一起出，亦可分几次出，故考虑按此分类． (2分) 出牌的方法可分为以下几类：

(1)5张牌全部分开出，有A55种方法； (3分)

2 (2)2张2一起出，3张A一起出，有A5种方法； (4分) 4 (3)2张2一起出，3张A分开出，有A5种方法； (5分) 23 (4)2张2一起出，3张A分两次出，有C3A5种方法； (7分)

(5)2张2分开出，3张A一起出，有A35种方法； (8分)

24 (6)2张2分开出，3张A分两次出，有C3A5种方法； (10分)

2423324 因此共有不同的出牌方法A55+ A5+ A5+C3A5+ A5+C3A5=860种． (12分)

18．展开式的通项为：Tr+1=(?1)C(x)rr31515?r(2) =(?1)2Cxxrrrr1530?5r6

630?5r6C15 (1)设Tr+1项为常数项，则=0，得r=6，即常数项为T7=2； (4分)

630?5r5 (2)设Tr+1项为有理项，则=5-r为整数，∴r为6的倍数，又∵0≤r≤15，∴r可取0，6，12三个数，故共

66有3个有理项． (8分) (3) 5-

5r为非负整数，得r=0或6，∴有两个整式项． (12分) 620．(1)设取出2个球是红球的概率是取出的球是一红一白2个球的概率的k倍(k为整数)，

211CmCm?Cn 则有2?k (2分) 2Cm?nCm?n∴

m(m?1)-kmn=2kn+1． (4分) 2∵k∈Z，n∈Z，∴m=2kn+1为奇数． (6分)

2211m(m?1)CmCnCm?Cn(2)由题意,有2?2?，∴=mn, 22Cm?nCm?nCm?n∴m2-m+n2-n-2mn=0即(m-n)2=m+n，1． (8分)

4

∴m≥n≥2，所以m+n≥4，∴2≤m-n≤40<7，

∴m-n的取值只可能是2，3，4，5，6，相应的m+n的取值分别是4，9，16，25，36， 即??m?n?4或??m?n?2?m?n?9或??m?n?3?m?n?16或??m?n?4?m?n?25或?m?n?36?m?n?5??m?n?6

解得??

m?3?m?6?m?10?n?1或?或?n?3?或m?15?m?21??n?6?或?n?10??n?15 (10分)

注意到m≥n≥2．

∴(m，n)的数组值为(6，3)，(10，6)，(15，10)，(21，15)． (12分)

22．(1)A3?15=(-15)(-16)(-17)=4080； (3分)

(2)性质①、②均可推广，推广的形式分别是

①Am?xAm?1mm?1mxx?1，②Ax?mAx?Ax?1(x∈R，m∈N+) 事实上，在①中，当m=1时，左边=A1x，右边=xA0x=x?1=x，等式成立； (4分) 当m≥2时，左边=x(x-1)(x-2)…(x-m+1)=x{(x-1)(x-2)…[(x-1)-(m-1)+1]}=xAm?1x?1， 因此，①Am?xAm?1xx?1成立； (5分) 在②中，当m=l时，左边=A101x+Ax=x+l=Ax?1=右边，等式成立；

当m≥2时，左边=x(x-1)(x-2)…(x-m+1)+mx(x-1)(x-2)…(x-n+2) =x(x-1)(x-2)…(x-m+2)[(x-m+1)+m]

=(x+1)x(x-1)(x-2)…[(x+1)-m+1]=Amx?1=右边， (6分) 因此②Am?mAm?1m+xx?Ax?1(x∈R，m∈N)成立． (8分) (3)先求导数，得(A3/3x)=3x2-6x+2．令3x2-6x+2>0，解得x<3?3或x>3?33 因此，当x∈(-∞，3?33)时，函数为增函数，当x∈(3?33，+∞)时，函数也为增函数．令3x2-6x+2≤0, 解得3?3≤x≤3?3，因此,当x∈[3?3333,3?33]时,函数为减函数． ∴函数A333?33?x的增区间为(-∞，3?3),(3，+∞)；减区间为[33?33,3]．

5

(11分) (12分)

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