《线性代数》教学教案—02矩阵

第2章 矩阵

授课序号01 a ??

，有时为了强调矩阵的行数和列数，也记为()n a ??.

12n n nn a a a ??

11212212

000n n nn a a a a a a ?? ? ???与上三角矩阵00nn a ??2000n λλ??????，n 阶对角矩阵也常记为12diag(,,,)Λ=λλλ.

0000a a a ??????

，简记为10

001

01? ??)?ij m n a ，若当>i j 时，恒有行数增大而增多，则称该矩阵为上梯形矩阵；若当，而关于主对角线对称的元素互为相反数

授课序号02 ()a =A 122

m m m mn mn b a b a b ?+++?矩阵，则

mn n

a x ++经过线性计算得到了m 线性变换的系数a

sj b ???第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数,两个矩阵的乘法才有意义，即应有A B C =次多项式.

1

2m m mn a a a ??12n n mn a a a ??

A 的转置矩阵,记作T A . 2．矩阵的转置满足的运算规律：设以下运算都有意义(1)()T T A A =； (2)(A +12m m A A A =?为非奇异矩阵，否则称为奇异矩阵. 12n n

nn A A A ?????

n a ??计算矩阵乘积AB 与其中2A ?=

044110

001166

A

??

= ?

??

，其中第i个列向量就是第i个点的坐标.

数乘矩阵kA对应的图形就是把图2.3放大k倍.

如果我们想得到字母L的斜体，可以通过矩阵的乘法来实现. 例如，令矩阵

10.25

01

P

??

= ?

??

，则有

10.25044110

01001166

PA

????

=?

? ?

????

04 4.25 1.25 2.5 1.5

001166

??

= ?

??

矩阵PA所对应的字体变为斜体，如图2.4所示.

图2.3 图2.4

若记12

p p

P

p

??

= ?

??

，则p的取值可以用来调整字母的大小，而12

p的取值用来控制字母的倾斜度.

例9.设矩阵A与B为同阶对称矩阵，证明：AB为对称矩阵的充要条件为=

AB BA.

例10．设A,B和C为4阶方阵,2

A=, 3

B=-,3

C=,求2AB,T

AB和3T

AB C

-.

例11.设n阶方阵*A是n阶方阵A的伴随矩阵，试证：**

AA=A A A E

=

例12.设A为3阶方阵，||3

=

A，*A为A的伴随矩阵，若交换A的第一行和第二行得矩阵B，求||*

BA.

授课序号03

授课序号04

??

??

E ，其中矩阵A可逆.

0???n a

(-≠ad bc

授课序号05

1122(000rr rn a a a a ???????212?

??的秩.

授课序号06

1

2

???s s st A A A 1

2

??????

s s st B B B ,)t 的行数和列数也相同，则

1

22

?

±±±??

s s s st st B A B A B 1

2

???s s st A A A 1112

112

??

???

t s s st A A A A A A λλλλλ分块矩阵的乘法

()=a 、()=ij B b ，且对的列分块方法与对B 的行分块方法相同，即1

2

???s s st A A A 1

2

??????

t t tr B B B 2,

,it A 的列数分别等于矩阵B 的第j 列的各子块12,,j j B B 12

?=???

s s sr C C C AB C C C tj B (1,2,

,;1,2,,==i s j r 1

2

?

??s s st A A A A 12????

???

T

T T T T

T t

t

st A A A A A A 阶方阵，若它的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块且都是方阵块，其余子块均为零

???r A 是分块对角矩阵，也称为准对角矩阵???r A ???r B 是同阶的子块，则有：

r O A A B ?±r A λ?????； r r O A B ??m r O A ?????，其中T r O A ?????；r A ；

1-??

r

A )(

++r

是分块矩阵，即

?

?

=

A

O

?

?

?

??

O

O 032

?

?

?

??

a

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