（复习必做）新高三数学上学期第二次月考试题 理(3) - 图文

赣州四中2016—2017学年上学期第二次月考高三年级数学（理科）试

卷

本卷满分150分，考试时间120分钟

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知集合A??2,0,1,4?，B={k|k?R，k2?2?A，k?2?A}，则集合B中所有元素之和为（ ）

A．2 B．-2 C．0 D．2 2．已知cos(?3?x)?，则sin2x?（ ） 45187716 B． C．? D．? 2525252513．设命题p：函数y?在定义域上为减函数；命题q：?a,b?(0,??),当a?b?1时，

x1?1?3，以下说法正确的是（ ） abA．

A．p?q为真 B．p?q为真 C．p真q假D．p、q均假

0BC中，4．在?A若b?2,A?120，三角形的面积S?3，则三角形外接圆的半径为（ ）

A．3 B．2 C．23 D．4 5．已知{an}为等比数列，下面结论中正确的是（ ）

A．a1＋a3≥2a2 B.a1＋a3≥2a2 C．若a1＝a3，则a1＝a2 6.函数y＝x的图像大致是( ) 3－1

2

2

2

D．若a3>a1，则a4>a2

x3

rrrrrrrrr7．已知向量a、b是单位向量，a?b?0若向量c满足a?b?c?1，则|c|的最大值为

( )

A.2－1 B.2 C.2＋1 D.2＋2

- 1 -

122

8．直线l：y＝kx＋1与圆O：x＋y＝1相交于A，B两点，则“k＝1”是“△OAB的面积为”

2的( )

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

9． 设P，Q分别为圆x＋(y－6)＝2和椭圆＋y＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是

10( )

A．52 B.46＋2 C．7＋2 D．62

x10．设方程2?x?2?0和方程log2x?x?2?0的根分别为p和q，设函数

2

2

x2

2

f?x???x?p??x?q??2，则（ ）

A．f?2??f?0??f?3? B．f?0??f?2??f?3? C．f?3??f?0??f?2? D．f?0??f?3??f?2?

11．如图所示，等边△ABC的边长为2，D为AC中点，且△ADE也是等边三角形，让△ADE以

uuuruur点A为中心转动到稳定位置的过程中，则BD?CE的取值范围是（ ）

14151311A．[,] B．[,] C． [,] D． [,]

22322343

12．某同学在研究函数f(x)＝x＋1＋x－6x＋10的性质时，受到两点间距离公式的启

发，将f(x) 变形为f(x)＝

22(x－0)2＋(0－1)2＋

(x－3)2＋(0＋1)2，则f(x)表示PA?PB（如左图），则

①f(x)的图像是中心对称图形；②f(x)的图像是轴对称图

形；③函数f(x)的值域为[13,??)；④函数f(x)在区间(??,3)上单调递减；⑤方程

f[f(x)]?1?10有两个解．上述关于函数f(x)的描述正确的个数为（ ）

A．1 B．.2 C．3 D．4 二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题5分，共20分）．

x2y213．设F1,F2是双曲线C:2?2?1(a?0,b?0)的两个焦点，P是C上一点，若

abPF1?PF2?6a,且?PF1F2的最小内角为30，则C的离心率为________．

- 2 -

1*

14．数列{an}满足an＋an＋1＝ (n∈N)，a2＝2，Sn是数列{an}的前n项和，则S21＝________．

2

15．如图，已知?ABC中，?ABC?90?，延长AC到点D，连接BD，

若?CBD?30?且AB?CD?1，则AC? ． 16．已知lga?lgb?0，则满足不等式 ?的最小值是 ．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共70分). 17.（本小题满分10分）

已知函数f(x)?x?a?x?2,

（1）当a??3时，求不等式f(x)?3的解集;

（2）若f(x)?x?4的解集包含[1,2]，求a的取值范围.

18．（本小题满分12分）

已知递增等比数列{an}的前n项和为Sn，a1?1，且S3?2S2?1. （1）求数列{an}的通项公式；

（2）若数列{bn}满足bn?2n?1?an(n?N*)，且{bn}的前n项和Tn．求证：Tn?2

19．（本小题满分12分）

已知函数f(x)?2sin?xcos?x?23sin2?x?3（??0）的最小正周期为?． （Ⅰ）求函数f(x)的单调增区间；

a?b??的实数

a2?1b2?1 - 3 -

（Ⅱ）将函数f(x)的图象向左平移

?个单位，再向上平移1个单位，得到函数y?g(x)的6图象．若y?g(x)在[0,b](b?0)上至少含有10个零点，求b的最小值．

20．（本小题满分12分）

已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f??＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，f(x)<0. (1)求f(1)的值； (2)判断f(x)的单调性；

(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值．

21．（本小题满分12分）已知数列?an?满足对任意的n?N，都有

*

?x1??x2?

a13?a23?L?an3?(a1?a2?L?an)2，且an?0.

（1）求数列?an?的通项公式； （2）设数列??11?S?loga(1?a)对任意的正整数n恒成S的前项和为，不等式n?nn3?an?an?2?立，求实数a的取值范围．

22. (本小题满分12分)

设函数f(x)?e?ln(x?1)?ax.

（Ⅰ）当a?2时，证明：函数f(x)在定义域内单调递增；

x - 4 -

（Ⅱ）当x?0时，f(x)?cosx恒成立，求实数a的取值范围．

- 5 -

高三月考数学（理科）试卷答案

一、选择题

题号 答案 1 B 2 C 3 D 4 B 5 B 6 C 7 C 8 A 9 D 110 A 11 A 12 B 8．A 由直线l与圆O相交，得圆心O到直线l的距离d＝当k＝1时，d＝

1

k2＋1

<1，解得k≠0.

11122

，|AB|＝2r－d＝2，则△OAB的面积为×2×＝；

2222

11

当k＝－1时，同理可得△OAB的面积为，则“k＝1”是“△OAB的面积为”的充分不22必要条件．

9．D 设圆心为点C，则圆x＋(y－6)＝2的圆心为C(0，6)，半径r＝2.设点Q(x0，

22

y0)是椭圆上任意一点，则＋y20＝1，即x0＝10－10y0，

2

2

x20

10

∴|CQ|＝10－10y＋（y0－6）＝－9y－12y0＋46＝2

当y0＝－时，|CQ|有最大值5

311

．

A

解

析

：

设

20

220

2??－9?y0＋?＋50， 3??

2＋r＝6 θ

，

所2. 以

2

2，则P，Q两点间的最大距离为5 ∠

BAD=

θ

,

则

∠

CAE=

BD?CE?AD?AB?AE?AC?AD?AE?AD?AC?AB?AE?AB?AC

=

????1???????1?2?cos?????1?2?cos?????2 2?3??3?5?513?2cos?，而0???，所以?2cos?∈[,]所以选A.

22232=

12． A．1 B．.2 C．3 D．4

B 解析：因为函数的最小值为AB?32??1?1??13,所以函数的值域?13,??,显然

2??③正确，由函数的值域知，函数图像不可能为中心对称图形，所以①错误，又因为直线AB与x轴交点的横坐标为

3，显然有23?3??3?所以函数的图像关于直线x=对称，f??x??f??x?，

2?2??2?所以②正确，由函数的几何意义知函数在区间???,?上单调递减，在区间?,???上单调

22??3???3??? - 6 -

递增，所以④错误，令t=f(x)，由f?t??1?10得t=0或t=3,由函数的值域可知不成立，所以方程无解，则⑤错误，综上可知选B. 13.【答案】 3【解析】 设P点在右支上，

?m?n?6am?|PF?m?4a,n?2a 1|,n?|PF2|,则??m?n?2a16a2?4c2?4a213ac3由题知，?PFF中，?PFF?30?.由余弦定理得:cos30???(?)?12122?8ac4ca2

?e?c?3 a15.【答案】【解析】32 解析：延长BC，作DE⊥BC的延长线于E，因为三角形ABC与三角

形DEC相似,设AC=x，则

x111?,DE? CE?1?2，又因为?CBD?30?，所1DExx以DE=BEtan30°，得

1?21?3??x?1?1??，解得x=32. ?2??x?x?37

二、填空题 13．3； 14．； 15．32； 16．1

2三、解答题

17（1）当a??3时，f(x)?3?x?3?x?2?3

??x?2x?3??2?x?3?或?或?

?3?x?2?x?3?3?x?x?2?3?x?3?x?2?3 ?x?1或x?4

（2）原命题?f(x)?x?4在[1,2]上恒成立

?x?a?2?x?4?x在[1,2]上恒成立

??2?x?a?2?x在[1,2]上恒成立

??3?a?0

218解：（1）设公比为q，由题意：q>1, a1?1，则a2?q，a3?q，∵

s3?2s2?1，∴

2a1?a2?a3?2(a1?a2)?1，1?q?q?2(1?q)?1 解得： q?2或q??1则（舍去），

- 7 -

∴an?2n?1……………5分 （

Ⅱ

）

bn?2n?1?an?2n?1?2n?1……………6分

Tn??1?3?.....??2n?1???1?1?2?......2n?1 n[1?(2n?1)]1?2n???n2?2n?1……………10分

21?2又∵

??Tn?n2?2n?1 在

?1,??? 上是单调递增的∴

Tn?T1?2 ……12分

19．试题解析：（Ⅰ）由题意得f(x)?2sin?xcos?x?23sin

2?x?3 ?sin2?x?3cos2?x?2sin(2?x?) 由周期为?，得??1. 得

3?f?x??2sin(2x?) 由正弦函数的单调增区间得2k???2x??2k??，得

3232?5?k???x?k??,k?Z

1212?5?],k?Z. 所以函数f(x)的单调增区间是[k??,k??1212

????

20.(1)f(1)=0 (2)f(x)单减 （3） f(x)的最小值=-2 21．（1）由于a1?a2?则有a1?a2?3333?an3?(a1?a2??an)2————①

?an?13?(a1?a2??an?1)2————②，②－①得

- 8 -

an?13?(a1?a2??an?1)2?(a1?a2??an)2?an?1[2(a1?a2??an)?an?1————③

?an)?an?1]

由于an?0，所以an?12?2(a1?a2?同样有an2?2(a1?a2??an?1)?an(n?2)————④

③－④，得an?12?an2?an?an?1，所以an?1?an?1 由于a2?a1?1a2－a1＝1，即当n?1时都有an?1?an?1 所以数列?an?是首项为1，公差为1的等差数列，故an?n ． （2）由（2）知an?n，则?所

?1?1111??(?) ?aan(n?2)2nn?2?nn?2?以

Sn?1?(21??a1aaa?1anan?

3n?1?13∵Sn?1?Sn?11?0∴数列?Sn?单调递增，所以(Sn)min?S1?

3(n?1)(n?3)111loga(1?a)对任意正整数n恒成立，只要?loga(1?a) 3331?1?所以，实数a的取值范围是?0?． 2?2?要使不等式Sn?∵1?a?0?0?a?1，∴1?a?a，即0?a?（22）解：（Ⅰ）f(x)的定义域为(?1,??)

f?(x)?ex?x1?2………………………………………………………………………1分 x?111?2，则g?(x)?ex? x?1(x?1)2x记g(x)?e?当x?0时，e?1，

1?1，此时g?(x)?0………………………………………2分 2(x?1)1?1，此时g?(x?0………………………………………3分

(x?1)2- 9 -

当x?0时，e?1，

x

所以f?(x)在(?1,0)上递减，在(0,??)上递增，…………………………………………4分 故f?(x)?f?(0)?0，从而f(x)在(?1,??)上递增………………………………………5分 （Ⅱ）f?(x)?e?x1?a，由（Ⅰ）知f?(x)在(0,??)上递增， x?1所以当a?2时，f?(x)?f?(0)?2?a?0，所以f(x)在?0,???上递增……………6分 故f(x)?f(0)?1?cosx恒成立…………………………………………………………7分

x当a?2时，记?(x)?f(x)?cosx，则??(x)?e?1?a?sinx x?1记h(x)?e?x11?a?sinx，则h?(x)?ex??cosx 2x?1(x?1)当x?1时，h?(x)?e?1?1…………………………………………………………………8分 4显然0?x?1时，h?(x)?0，从而??(x)在?0,???上递增………………………………9分 又??(0)?2?a?0，则存在x0?(0,??)，使得??(x0)?0……………………………10分 所以?(x)在(0,x0)上递减，所以当x?(0,x0)时，?(x)??(x0)?0，

即f(x)?cosx，不符合题意………………………………………………………………11分 综上，实数a的取值范围是a?2…………………………………………………………12分

- 10 -

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