攀枝花市高2012级高三理第一次统考 2011

攀枝花市高2012级高三第一次统考 2011.11

数学（理工类）试题卷

本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分，共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将答题卡交回．

注意事项：

1. 答题前，务必将自己的姓名、考号填写在答题卡规定的位置上．并用2B铅笔将答题卡考号对应数字

标号涂黑．

2. 答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，

再选涂其它答案标号．

第一部分（选择题 共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．） 1、设全集U?R，集合A?{x|x??1或x?4}，B?{x|x?2?0}，则(eUA)?B?（ ） x?3A．{x|?1?x?2} B．{x|?3?x??1} C．{x|2?x?4} D．{x|x??3或x?4} 2、已知等差数列{an}中，a2?a3?a4?12，则{an}的前5项的和S5的值为（ ）

A．5 B．10 C．20 D．40 3、已知角?的终边经过点P(?4,3)，则tan(?? A．??4)的值等于（ ）

1134 B． C． D． 77774、如图是某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的图像，由于目前线

路亏损，公司领导决定：支出不变，适当提高票价。能够说明该决定的函数 图像是（ ）（注：虚线表示原始关系，实线表示新决定产生的关系）

x5、设f(x)为定义在R上的奇函数，当x?0时，f(x)?2?x?a（a为常数），则f(?1)?（ ）

A．?2 B．?3 C．3 D．2

高三第一次统考 数学试卷（理工类） 第 1 页 共 10 页

6、已知函数y?Asin(?x??)?B（A?0,??0,|?|??2）的

一部分图象如图所示，则（ ）

A．A?4 B．B?4

C．??1 D．??7、已知等比数列{an}的前4项和为S4?5，且4a1,?6

3a2,a2成等差数列，则an?（ ） 2n2n?1A．

3

B．3?2n?1

C．3?2

D．3?21?n

8、已知命题p：关于x的不等式|3x?1|?a?2的解集为R，命题q：f(x)=(2a?1)x为R上的减函数，

则p是q的（ ）条件

A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 9、函数f(x)?4x?5?2x?1?1的值域是（ ）

A．[?9,??) B．[1,??) C．(1,??) D．[0,1] 1610、如图所示为函数f(x)?x3?bx2?cx?d的导函数f?(x)的图象，则函数g(x)?log1(x?222cbx?)的单调减区间为（ ） 3312A．(??,) B．(,??) C．(??,?2) D．(3,??)

12x)；③当x???1,1?时，11、已知函数f(x)满足：①定义域为R；②对任意x?R，有f(x?2)?2f(f(x)??|x|?1．则方程f(x)?log4|x|在区间??8,8?内的解的个数是（ ）

A．14

12、已知函数f(x)?2?1，对于满足0?x1?x2?2的任意x1,x2，给出下列结论： ①(x2?x1)?f(x2)?f(x1)??0；②x2f(x1)?x1f(x2)；③f(x2)?f(x1)?x2?x1；④

x B．10 C．9 D．8

f(x1)?f(x2)x?x ?f(12)，

22其中正确的结论有（ ）个

A．4 B．3 C．2 D．1

高三第一次统考 数学试卷（理工类） 第 2 页 共 10 页

第二部分（非选择题 共90分）

注意事项：试卷中横线及框内有“▲”的地方，是需要你在答题卡上作答的内容或问题．

二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把正确的答案填在横线上．）

ln(2?5x?3x2)13、函数f(x)?的定义域是 ▲ ．

x?114、在数列{an}中，an?(?1)15、已知sin(n(2n?1)(n?N?)，则a1?a2?a3???a2012? ▲ ．

?6??)?2?3?2?)? ▲ ． ，则cos(3316、定义在R上的偶函数f(x)满足f(x?1)??f(x)，且在??1,0?上是增函数，给出如下关于f(x)的命题：①f(2)?f(0)；②f(x)的图像关于直线x?k(k?Z)对称；③f(x)的图像关于点P(k?称；④f(x)在[2k,2k?1](k?Z)上是增函数．

其中正确命题的序号为 ▲ .（将你认为正确的命题序号都填上）

三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17、（本小题满分12分）某中学选派10名学生参加“暑期红色之旅”爱国主义教育活动，分别参观三个红色旅游景点，名额分配如下： 延安 5人 井冈山 3人 西柏坡 2人 1,0)(k?Z)对2（Ⅰ）从参加活动的10名学生中任选2名，求他们参观的恰好是同一景点的概率；

（Ⅱ）如果该中学可以再安排3名教师选择参观上述3个景点（假设每名教师选择参观各景点是等可能的， 且每位教师的选择是相互独立的），记在安排参观上述3个景点的3名教师中，选择参观延安景点的教师人 数为?，求随机变量?的分布列和数学期望.

▲ 18、（本小题满分12分）设函数f(x)?(3sin?x?cos?x)cos?x?为2?.

（Ⅰ）求f(x)的解析式及单调递增区间；

（Ⅱ）在?ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足(2a?c)cosB?bcosC,求f(A)的取值范围．

▲ 19、（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，直角梯形ABCD中，AD∥

1（??0），若f(x)的最小正周期2BC，?BAD?90?，PA?16，AB?AD?BC?1.

22高三第一次统考 数学试卷（理工类） 第 3 页 共 10 页

（Ⅰ）求证：AD?PB；

（Ⅱ）求异面直线AD与PC所成角的正切值； （Ⅲ）求直线PA与平面PBD所成的角．

▲ 20、（本小题满分12分）已知函数f?x??称，又f()?1 （x?0），且函数f?x?与g?x?的图像关于直线y?x对2ax?b122 ，g?1??0． 3（Ⅰ）判断函数f?x?的单调性，并求f?x?的值域；

2（Ⅱ）设命题p:fm?m?f?3m?4?和命题q:g(??m?12，是否存在实数m，使得命题“p且q”)?42为真命题？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由． ▲ 21、（本小题满分12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn?2an?n（n?N）．数列{bn}是等差数列， 且b1?a2，b5?a4．

（Ⅰ）求数列{an}及{bn}的通项公式；

*bnn2?12n?41（Ⅱ）设数列{}的前n项和为Tn，若不等式Tn???6对一切n?N*恒成立，求正整

an?1an?1?12m数m的最大值．

▲

??x3?x2?bx?c,(x?1)22、（本小题满分14分）已知函数f(x)??的图象过坐标原点O,且在点(?1,f(?1))?alnx,(x?1)处的切线的斜率是?5． （Ⅰ）求实数b、c的值；

（Ⅱ）求函数f(x)在区间[?1,2]上的最小值；

（Ⅲ）若函数y?f(x)图象上存在两点P、Q，使得对任意给定的正实数a都满足?POQ 是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上，求点P的横坐标的取值范围．

▲

高三第一次统考 数学试卷（理工类） 第 4 页 共 10 页

攀枝花市2012级高三第一次统考数学试题（理科）

参考答案

一、选择题：（每小题5分，共60分）

（1~5）ACBCA （6~10）DABCD （11~12）CB

二、填空题：（每小题4分，共16分） 13、{x|1?x?2} 14、 2012 15、?1 16、 ①②③ 3

三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。） 17. （本小题满分12分） 解：（Ⅰ）设从参加活动的学生中任选2人，他们恰好参观的是同一景点的事件为A

222C5+C3+C214则P(A)= =2C1045（Ⅱ）?的所有取值为0，1，2，3.

由题意可知，每位教师参观延安景点的概率均为所以P???0??C3()()?01 310233312P???2??C32()2()1?33812411122?; ; P???1??C3()()?273327962131320?; P???3??C3()()?; 2793327故随机变量?的分布列为：

? P 0 1 2 3 42 998421?1??2??3??1 解法1：所以E??0?279927解法2：由题意可知，每位教师参观延安景点的概率均为所以E??np?3?8 271 2711，则随机变量?~B(3,)， 331?1 31 2

18. （本小题满分12分）

解：（Ⅰ）f(x)?3sin?xcos?x?cos?x?2高三第一次统考 数学试卷（理工类） 第 5 页 共 10 页

?31sin2?x?cos2?x?122

?sin(2?x?)?16∵T?由2k???2?1??2? ∴?? ∴f(x)?sin(x?)?1 2?62?2?x??6?2k???2，得f(x)的单调递增区间为[2k??2??,2k??](k?Z) 33（Ⅱ）∵(2a?c)cosB?bcosC 由正弦定理得(2sinA?sinC)cosB?sinBcosC

?2sinAcosB?sinBcosC?cosBsinC?sin(B?C)?sinA

∵A?(0,?) ∴sinA?0 ∴cosB? ∵0?A?1?，从而B? 232???5?1? ∴?A????sin(A?)?1 366626?3∴f(A)?sin(A?)?1?(,2]

62

19. （本小题满分12分）

解法1：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD， AD?平面ABCD， ∴PA?AD ∵AB?AD，且PA?AB?A ∴AD?面PAB

∵PB?平面PAB， ∴AD?PB．（注：也可使用“三垂线定理”证明） （Ⅱ）∵AD∥BC ∴?PCB是异面直线AD与PC所成角或其补角 由（Ⅰ）知AD?PB ∴BC?PB 在Rt?PAB中，PB?PA2?AB2?10 2PB10∵BC?2 ∴在Rt?PBC中，tan?PCB? ?BC4故异面直线AD与PC所成角的正切值为10 4（Ⅲ）取BD中点E，连接AE、PE ∵AB?AD?1 ∴BD?AE

∵PA⊥平面ABCD， BD?平面ABCD， ∴PA?BD 又∵PA?AE?A ∴BD?平面PAE

∵BD?平面PBD ∴平面PAE?平面PBD ∴直线PA与平面PBD所成的角为?APE 在Rt?PAE中 ，PA?∴?APE?

解法2：以A为原点，AB、AD、AP所在直线为坐标轴建立坐标系如图，则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),

632，AE? ∴tan?APE? 232?6，即直线PA与平面PBD所成的角为

? 6高三第一次统考 数学试卷（理工类） 第 6 页 共 10 页

D(0,1,0),P(0,0,6) 2????????????????6（Ⅰ）∵AD?(0,1,0)，BP?(?1,0,) ∴ AD?BP?0

2 故AD?PB

z????????6（Ⅱ）∵AD?(0,1,0)，PC?(1,2,?)

2????????????????AD?PC|28， ∴cos?AD,PC??|??????????13|AD|?|PC|132yx(O)????????故sin?AD,PC??????????51010,故异面直线AD与PC所成角的正切值为 ?tan?AD,PC??1344??????6???6???6（Ⅲ）∵DP?(0,?1,),BP?(?1,0,),AP?(0,0,)，

222?z?0??x??2设平面PDB的法向量为n?(x,y,z)，则有?，令z?6，则x?y?3

??y?6z?0??2?6??????AP?n??|?∴n?(3,3,6)，设直线PA与平面PDB所成的角为? ∴sin??|???|AP|?|n|36?262?1 2∴???6，所以直线PA与平面PDB所成的角为

? 6

20. （本小题满分12分）

解：（Ⅰ）f?x?与g?x?互为反函数，由g?1??0得f?0??1

1?f0??1???1b? （x?0） ，得a?2,b?1， 所以f?x??212?12x?1??f(2)?1a?b3??4 故f?x?在?0,???上是减函数，从而 0?f(x)?f?0??1 ∴f(x)的值域为?0,1? （Ⅱ）由（Ⅰ）知f?x?是?0,??? 上的减函数， ∴g?x?是?0,1?上的减函数，

设f(t)?m?12m?11111212)??g()?g() ，从而g(?2=?t= ?g()?424222t?12222高三第一次统考 数学试卷（理工类） 第 7 页 共 10 页

2?m4??m?3m?4?0故 ? 解得 ?m?3且m?2 m?110???13?42?4∴m的取值范围为[,2)?(2,3)

3

21. （本小题满分12分） 解:（Ⅰ）当n?1时，a1??1，

当n?2时，an?Sn?Sn?1?2an?2an?1?1 ∴an?2an?1?1 ∴

an?1?2， ∴数列{an?1}是首项为?2，公比为2的等比数列．

an?1?1故an?1??2?2n?1??2n， 从而 an??2n?1 又∵b1?a2??3,b5?a4??15，则数列{bn}的公差d?（Ⅱ）由（Ⅰ）知

?15?(?3)??3， ∴bn??3n

5?1bn3n?n， an?123?13?23?33?n?2?3???n， 222213?13?23?(n?1)3?n?????n?1 从而Tn?222232n23n?6由错位相减法得Tn?6?

2n∴Tn??n2?6n?8?(n?2)(n?4)1n2?12n?41??则不等式Tn?， ??6，即为n?1n?1222man?1?12m?(n?2)(n?4)，可知f(2)?f(4)?0,f(3)?0,f(1)?0，且当n?5时，f(n)?0

2n?1111?∴f(n)max?f(3)? ∴ ∵m?0 ∴m?8,故正整数m的最大值为7.

16162m设f(n)?

22.（本小题满分14分）

32/2解：（Ⅰ）当x?1时，f(x)??x?x?bx?c， ∴f(x)??3x?2x?b /2依题意f(?1)??5 ∴?3(?1)?2(?1)?b??5 ∴b?0

又f(0)?0有c?0 ∴b?0，c?0

32/2（Ⅱ）当x?1时，f(x)??x?x，f(x)??3x?2x， 2/令f(x)?0有?3x?2x?0，∴x?0，x?

2 3

高三第一次统考 数学试卷（理工类） 第 8 页 共 10 页

x f/(x) （-1，-1 0） 0 （0，2） 3+ 2 3（231 ，1） — 0 0 — f(x)2 ∵f(?1)?2 ，f(0)?0，f()?↘ 0 ↗ 4 27↘ 0 234，f(1)?0. ∴当x?[?1,1)时，f(x)最小值为0 27而x??1,2?时，当a?0时，f(x)?alnx是增函数，f(x)min?f(1)?0

当a?0时，f(x)?0， ∴当a?0时f(x)min?0；

当a?0时，f(x)?alnx是减函数，则f(x)min?f(2)?aln2?0 ∴在[?1,2]上，f(x)min??(a?0)?0

?aln2(a?0)（Ⅲ）设P（x1，f(x1)），因为PQ中点在y轴上，所以Q（-x1，f(?x1)） ∵OP?OQ ∴

f(x1)f(?x1)???1 ① x1?x1（ⅰ）当x1?1时，f(x1)?0；当x1??1时，f(?x1)?0 ∴①不成立 （ⅱ）当?1?x1?1时，f(x1)??x1?x1，f(?x1)?x1?x1，

3232?x13?x12x13?x12代入①得???1 ∴(?x12?x1)(x12?x1)?1?x14?x12?1?0，无解

x1?x1（ⅲ）当x1?1时，f(x1)?alnx1，f(?x1)?x1?x1

321alnx1x13?x12代入①得???1， ∴?(x1?1)lnx1 ②

ax1?x1设g(x1)?(x1?1)lnx1（x1?1） ∴g(x1)?lnx1?/x1?1?0，则g(x1)是增函数 x1∵g(1)?0 ∴g(x1)值域是(0,??)， ∴对任意给定的正实数a，②恒有解，满足条件

3（ⅳ）由P,Q横坐标的对称性同理可得，当x1??1时，f(x1)??x1?x12，f(?x1)?aln(?x1)

高三第一次统考 数学试卷（理工类） 第 9 页 共 10 页

1?x13?x21aln(?x1)代入①得???1， ∴?(?x1?1)ln(?x1) ③

ax1?x1设h(x1)?(?x1?1)ln(?x1)（x1??1） ∴h(x1)??ln(?x1)?/x1?1?0，则h(x1)是减函数 x1∵h(?1)?0 ∴h(x1)值域是(0,??)， ∴对任意给定的正实数a，③恒有解，满足条件 综上所述，满足条件的点P的横坐标的取值范围为(??,?1)?(1,??) 高三第一次统考 数学试卷（理工类） 第 10 页 共 10 页

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