2008年全国中考数学压轴题精选1--6

2008年全国中考数学压轴题精选1

1.（08福建莆田）26．（14分）如图：抛物线经过A（-3，0）、B（0，4）、C（4，0）三点.

（1） 求抛物线的解析式.

（2）已知AD = AB（D在线段AC上），有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动，经过t 秒的移动，线段PQ被BD垂直平分，求t的值；

（3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ+MC的值最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。 （注：抛物线y?ax2?bx?c的对称轴为x??b） 2a

（08福建莆田26题解析）26（1）解法一：设抛物线的解析式为y = a (x +3 )(x - 4) 因为B（0，4）在抛物线上，所以4 = a ( 0 + 3 ) ( 0 - 4 )解得a= -1/3 所以抛物线解析式为y??111(x?3)(x?4)??x2?x?4 333解法二：设抛物线的解析式为y?ax2?bx?c(a?0)，

1?a????9a?3b?4?0?3

依题意得：c=4且? 解得??16a?4b?4?0?b?1??3 所以 所求的抛物线的解析式为y??

（2）连接DQ，在Rt△AOB中，AB?121x?x?4 33AO2?BO2?32?42?5

所以AD=AB= 5，AC=AD+CD=3 + 4 = 7，CD = AC - AD = 7 – 5 = 2

1

因为BD垂直平分PQ，所以PD=QD，PQ⊥BD，所以∠PDB=∠QDB 因为AD=AB，所以∠ABD=∠ADB，∠ABD=∠QDB，所以DQ∥AB 所以∠CQD=∠CBA。∠CDQ=∠CAB，所以△CDQ∽ △CAB

DQCDDQ210??,DQ? 即ABCA57710252525?1? 所以AP=AD – DP = AD – DQ=5 –= ，t?777725所以t的值是

7（3）答对称轴上存在一点M，使MQ+MC的值最小 理由：因为抛物线的对称轴为x??b1? 2a21对称 2所以A（- 3，0），C（4，0）两点关于直线x?连接AQ交直线x?1于点M，则MQ+MC的值最小 2过点Q作QE⊥x轴，于E，所以∠QED=∠BOA=900 DQ∥AB，∠ BAO=∠QDE， △DQE ∽△ABO

10QEDEQEDQDE?7??? 即 453BOABAO86620208所以QE=，DE=，所以OE = OD + DE=2+=，所以Q（，）

777777设直线AQ的解析式为y?kx?m(k?0)

8?20?k?m?则?77 由此得 ???3k?m?08?k???41 ??m?24??41?1x??824?2x? 联立?所以直线AQ的解析式为y?

8244141?y?x???4141?1x??128?2) 由此得? 所以M(,824241?y?x???4141则：在对称轴上存在点M(

2

128,)，使MQ+MC的值最小。 241

2.（08甘肃白银等9市）28．（12分）如图20，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（4，3）．平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M、N，直线m运动的．．时间为t（秒）．

(1) 点A的坐标是__________，点C的坐标是

__________； (2) 当t= 秒或 秒时，MN=

1AC； 2(3) 设△OMN的面积为S，求S与t的函数关系式； (4) 探求(3)中得到的函数S有没有最大值？若有，求出最大值；若没有，要说明理由．

（08甘肃白银等9市28题解析）28． 本小题满分12分

图20

解：(1)（4，0），（0，3）； ························································································· 2分 (2) 2，6； ··················································································································· 4分 (3) 当0＜t≤4时，OM=t． 由△OMN∽△OAC，得∴ ON=

OMON?， OAOC33t，S=t2． ······································· 6分 48当4＜t＜8时，

如图，∵ OD=t，∴ AD= t-4． 方法一：

33(t?4)，∴ BM=6-t． ······························· 7分 444由△BMN∽△BAC，可得BN=BM=8-t，∴ CN=t-4． ······································ 8分

3由△DAM∽△AOC，可得AM=

S=矩形OABC的面积-Rt△OAM的面积- Rt△MBN的面积- Rt△NCO的面积

3133(t?4)-（8-t）（6-t）-(t?4) 222432=?t?3t． ··································································································· 10分

8=12-方法二：

易知四边形ADNC是平行四边形，∴ CN=AD=t-4，BN=8-t． ····································· 7分 由△BMN∽△BAC，可得BM=

333BN=6-t，∴ AM=(t?4)． ······ 8分 4443

以下同方法一． (4) 有最大值． 方法一： 当0＜t≤4时，

32t的开口向上，在对称轴t=0的右边， S随t的增大而增大， 83∴ 当t=4时，S可取到最大值?42=6； ··············· 11分

8∵ 抛物线S=当4＜t＜8时， ∵ 抛物线S=?32，∴ S＜6． t?3t的开口向下，它的顶点是（4，6）

8综上，当t=4时，S有最大值6． ············································································· 12分 方法二：

?32t，0?t≤4??8∵ S=?

3??t2?3t，4?t?8??8∴ 当0＜t＜8时，画出S与t的函数关系图像，如图所示． ································ 11分 显然，当t=4时，S有最大值6． ········································································· 12分 说明：只有当第（3）问解答正确时，第（4）问只回答“有最大值”无其它步骤，可给

1分；否则，不给分．

3.（08广东广州）25、（2008广州）（14分）如图11，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=2cm，BC=4cm，在等腰△PQR中，∠QPR=120°，底边QR=6cm，点B、C、Q、R在同一直线l上，且C、Q两点重合，如果等腰△PQR以1cm/秒的速度沿直线l箭头所示方向匀速运动，t秒时梯形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积记为S平方厘米 （1）当t=4时，求S的值

（2）当4?t???，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值

图11

4

（08广东广州25题解析）25．（1）t＝4时,Q与B重合，P与D重合， 重合部分是?BDC＝

1?2?23?23 2

4.（08广东深圳）22．如图9，在平面直角坐标系中，二次函数y?ax2?bx?c(a?0)的

图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），

OB＝OC ，tan∠ACO＝

1． 3（1）求这个二次函数的表达式．

（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度．

5

（4）如图10，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.

yy

AOBxAOBEx

GCC

DD

图 9图 10

（08广东深圳22题解析）22．（1）方法一：由已知得：C（0，－3），A（－1，0） ?1分

?a?b?c?0?将A、B、C三点的坐标代入得?9a?3b?c?0 ????????2分

?c??3??a?1?解得：?b??2 ????????3分

?c??3?所以这个二次函数的表达式为：y?x2?2x?3 ????????3分

方法二：由已知得：C（0，－3），A（－1，0） ?????????1分 设该表达式为：y?a(x?1)(x?3) ????????2分 将C点的坐标代入得：a?1 ????????3分 所以这个二次函数的表达式为：y?x2?2x?3 ????????3分

（注：表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分）

（2）方法一：存在，F点的坐标为（2，－3） ????????4分 理由：易得D（1，－4），所以直线CD的解析式为：y??x?3

∴E点的坐标为（－3，0） ????????4分 由A、C、E、F四点的坐标得：AE＝CF＝2，AE∥CF ∴以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形

∴存在点F，坐标为（2，－3） ????????5分 方法二：易得D（1，－4），所以直线CD的解析式为：y??x?3

6

∴E点的坐标为（－3，0） ?????????4分 ∵以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形

∴F点的坐标为（2，－3）或（―2，―3）或（－4，3） 代入抛物线的表达式检验，只有（2，－3）符合

∴存在点F，坐标为（2，－3） ?????????5分 （3）如图，①当直线MN在x轴上方时，设圆的半径为R（R>0），则N（R+1，R）， 代入抛物线的表达式，解得R?1?17 ????6分 2My1RRN②当直线MN在x轴下方时，设圆的半径为r（r>0）， 则N（r+1，－r）， 代入抛物线的表达式，解得r?1?17 ???7分 ?2AMO1rrNBx1?17?1?17∴圆的半径为或． ?????7分 22（4）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，

易得G（2，－3），直线AG为y??x?1．?????8分 设P（x，x22，则Q（x，－x－1），PQ??x?x?2． ?2x?3）

D1S?APG?S?APQ?S?GPQ?(?x2?x?2)?3 ????????9分

21当x?时，△APG的面积最大

2此时P点的坐标为??115?S的最大值为27． ????????10分 ,??，?APG8?24?

5.（08贵州贵阳）25．（本题满分12分）(本题暂无答案) 某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用． 设每个房间每天的定价增加x元．求：

（1）房间每天的入住量y（间）关于x（元）的函数关系式．（3分） （2）该宾馆每天的房间收费z（元）关于x（元）的函数关系式．（3分）

（3）该宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，w有最大值？最大值是多少？（6分）

6.（08湖北恩施）六、(本大题满分12分)

24. 如图11，在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公

共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若?ABC固定不动，?AFG绕点A旋转，

7

AF、AG与边BC的交点分别为D、E(点D不与点B重合,点E不与点C重合),设BE=m，CD=n.

（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明. （2）求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围.

（3）以?ABC的斜边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为y轴，建立平面

直角坐标系(如图12).在边BC上找一点D，使BD=CE，求出D点的坐标，并通过计算验

证BD＋CE=DE.

（4）在旋转过程中,(3)中的等量关系BD＋CE=DE是否始终成立,若成立,请证明,若

不成立,请说明理由. y 222222 A A

C E B B D O E C D G G F F

图11 图12

（08湖北恩施24题解析）六、(本大题满分12分)

24. 解:(1)?ABE∽?DAE, ?ABE∽?DCA 1分 ∵∠BAE=∠BAD+45°,∠CDA=∠BAD+45° ∴∠BAE=∠CDA 又∠B=∠C=45°

∴?ABE∽?DCA 3分 (2)∵?ABE∽?DCA

∴

x BEBA? CACD2

由依题意可知CA=BA= ∴

m2 ?n22 5分 n2 n2

8

∴m=

自变量n的取值范围为1

∴m=n=

∵OB=OC=∴OE=OD=∴D(1－

1BC=1 22－1

2, 0) 7分

2－1)=2－2=CE, DE=BC－2BD=2-2(2－2)=22－2

2∴BD=OB－OD=1-(

22∵BD＋CE=2 BD=2(2－

2222)2=12－82, DE2=(22－2)2= 12－82

∴BD＋CE=DE 8分 (4)成立 9分 证明:如图,将?ACE绕点A顺时针旋转90°至?ABH的位置,则CE=HB,AE=AH, ∠ABH=∠C=45°,旋转角∠EAH=90°.

A

H

B 连接HD,在?EAD和?HAD中

∵AE=AH, ∠HAD=∠EAH-∠FAG=45°=∠EAD, AD=AD. ∴?EAD≌?HAD ∴DH=DE

又∠HBD=∠ABH+∠ABD=90° ∴BD+HB=DH

即BD＋CE=DE 12分

7.（08湖北荆门）28．（本小题满分12分）

2

已知抛物线y=ax+bx+c的顶点A在x轴上，与y轴的交点为B（0，1），且b=－4ac． (1) 求抛物线的解析式；

(2) 在抛物线上是否存在一点C，使以BC为直径的圆经过抛物线的顶点A？若不存在说明

理由；若存在，求出点C的坐标，并求出此时圆的圆心点P的坐标；

(3) 根据(2)小题的结论，你发现B、P、C三点的横坐标之间、纵坐标之间分别有何关系?

y y C P B P B A x O D x O P2 A P1

第28题图 第28题图

（08湖北荆门28题解析）28．解：(1)由抛物线过B(0,1) 得c=1．

9

222222D E G C F

又b=-4ac, 顶点A(- ∴-

b,0), 2ab4ac==2c=2．∴A(2,0)． ???????????????2分 2a2a 将A点坐标代入抛物线解析式，得4a+2b+1=0 ，

∴ ?1?b??4a, 解得a =,b =-1.

4?4a?2b?1?0.1x2-x+1． ???????????????4分 42

故抛物线的解析式为y=

另解: 由抛物线过B(0,1) 得c=1．又b-4ac=0, b=-4ac，∴b=-1． ???2分 ∴a=

112,故y=x-x+1． ?????????????????4分 44 (2)假设符合题意的点C存在，其坐标为C(x，y),

作CD⊥x轴于D ,连接AB、AC．

∵A在以BC为直径的圆上,∴∠BAC=90°． ∴ △AOB∽△CDA． ∴OB·CD=OA·AD．

即1·y=2(x-2)， ∴y=2x-4． ????????6分

?y?2x?4, 由? 解得x1=10,x2=2． ?12y?x?x?1.?4?

∴符合题意的点C存在，且坐标为 (10,16)，或(2,0)． ?????????8分

∵P为圆心，∴P为BC中点．

当点C坐标为 (10,16)时，取OD中点P1 ，连PP1 , 则PP1为梯形OBCD中位线．

∴PP1=

11717(OB+CD)=．∵D (10,0), ∴P1 (5,0), ∴P (5, )． 222 当点C坐标为 (2,0)时, 取OA中点P2 ，连PP2 , 则PP2为△OAB的中位线．

1OB=1．∵A (2,0), ∴P2(1,0), ∴P (1,1)．

22217故点P坐标为(5, ),或(1,1)． ??????????????10分

22∴PP2=

(3)设B、P、C三点的坐标为B(x1,y1), P(x2,y2), C(x3,y3)，由(2)可知： x2?x1?x3y?y,y2?13. ???????????????12分 228.（08湖北荆州25题解析）（本题答案暂缺）25．（本题12分）如图，等腰直角三角形纸

片ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90o，直角边AC在x轴上，B点在第二象限，A（1，0），AB交y轴于E，将纸片过E点折叠使BE与EA所在直线重合，得到折痕EF（F在x轴上），再展开还原沿EF剪开得到四边形BCFE，然后把四边形BCFE从E点开始沿射线EA平移，至B点到达A点停止.设平移时间为t（s），移动速度为每秒1个单位长度，平移中四边形BCFE与△AEF重叠的面积为S.

10

（1）求折痕EF的长； （2）是否存在某一时刻t使平移中直角顶点C

经过抛物线

B B1 y y?x2?4x?3的顶点？若

存在，求出t值；若不存在，请说明理

由；

（3）直接写出．．．．S与t的函数关系式及自变量t

E E1 的取值范围. A x F O C 9.（08湖北天门）（本题答案暂缺）24．(本小题

C1 F1 满分12分)如图①，在平面直角坐标系中，A点坐标为(3，0)，B点坐标为(0，4)．动点M从点O出发，沿OA方向以每秒1个单位长度的速度向终点A运动；同时，动点N从点

A出发沿AB方向以每秒5个单位长度的速度向终点B运动．设运动了x秒．

3(1)点N的坐标为(________________，________________)；(用含x的代数式表示) (2)当x为何值时，△AMN为等腰三角形？ (3)如图②，连结ON得△OMN，△OMN可能为正三角形吗？若不能，点M的运动速度不变，试改变点N的运动速度，使△OMN为正三角形，并求出点N的运动速度和此时x的值．

y B B y N N O M 图① A x O MA 图② x (第24题图)

10.（08湖北武汉）（本题答案暂缺）25.（本题 12分）如图 1，抛物线y=ax2-3ax+b经过A（-1,0），C（3,2）两点，与y轴交于点D，与x轴交于另一点B.（1）求此抛物线的解析式；（2）若直线y=kx-1（k≠0）将 四 边 形ABCD面积二等分，求k的值；（3）如图2，过点 E（1，-1）作EF⊥x轴于点F，将△AEF绕平面内某点旋转 180°后得△MNQ（点M，N，Q分别与 点 A，E，F对应），使点M，N在抛物线上，求点M，N的坐标.

11

（08湖北武汉25题解析）25.⑴y??1234x?x?2；⑵k?；⑶M（3，2），N（1，3） 223

11.（08湖北咸宁）24．（本题(1)～(3)小题满分12分，(4)小题为附加题另外附加2分） 如图①，正方形 ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限．动点P在正方形 ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴上运动，当P点到D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．

(1) 当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图

象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度； (2) 求正方形边长及顶点C的坐标；

(3) 在(1)中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标． (1) 附加题：（如果有时间，还可以继续 yD解答下面问题，祝你成功！）

xC如果点P、Q保持原速度速度不

11PA变，当点P沿A→B→C→D匀

速运动时，OP与PQ能否相等，

B若能，写出所有符合条件的t的 1O值；若不能，请说明理由． 10t Qx O（第24题图②） (第24题图①)

（08湖北咸宁24题解析）24．解：（1）Q(1,0) -----------------------------1分 点P运动速度每秒钟1个单位长度．-------------------------------3分 (2) 过点B作BF⊥y轴于点F，BE⊥x轴于点E，则BF＝8，OF?BE?4. ∴AF?10?4?6.

在Rt△AFB中，AB?82?62?10.----------------------------5分 过点C作CG⊥x轴于点G,与FB的延长线交于点H.

∵?ABC?90?,AB?BC ∴△ABF≌△BCH. ∴BH?AF?6,CH?BF?8. ∴OG?FH?8?6?14,CG?8?4?12.

∴所求C点的坐标为（14，12）.------------7分

(3) 过点P作PM⊥y轴于点M，PN⊥x轴于点N，

则△APM∽△ABF.

AMFONQPHGxyDCBE ∴

APAMMPtAMMP. ??. ???1068ABAFBF3434 ∴AM?t,PM?t. ∴PN?OM?10?t,ON?PM?t.

5555设△OPQ的面积为S(平方单位)

13473∴S??(10?t)(1?t)?5?t?t2(0≤t≤10) ------------------10分

251010 说明:未注明自变量的取值范围不扣分.

12

∵a??473<0 ∴当t???时, △OPQ的面积最大.------------11分

3102?(?)6109453，) . ---------------------------------12分 15104710 此时P的坐标为(

5295 (4) 当 t?或t?时, OP与PQ相等.---------------------------14分

313 对一个加1分,不需写求解过程.

12.（08湖南长沙）26.如图，六边形ABCDEF内接于半径为r（常数）的⊙O，其中AD为直

径，且AB=CD=DE=FA.

（1）当∠BAD=75?时，求⌒BC的长； C B （2）求证：BC∥AD∥FE；

（3）设AB=x，求六边形ABCDEF的周长L关于x的函数

· D A 关系式，并指出x为何值时，L取得最大值. O

F E

（08湖南长沙26题解析）26．(1)连结OB、OC，由∠BAD=75?，OA=OB知∠AOB=30?，（1分）

∵AB=CD，∴∠COD=∠AOB=30?，∴∠BOC=120?，········································· （2分）

⌒的长为2?r． 故BC··································································································· （3分）

3(2)连结BD，∵AB=CD，∴∠ADB=∠CBD，∴BC∥AD， ································· （5分） 同理EF∥AD，从而BC∥AD∥FE． ····································································· （6分） (3)过点B作BM⊥AD于M，由(2)知四边形ABCD为等腰梯形， 从而BC=AD-2AM=2r-2AM． ················································································· （7分） ∵AD为直径，∴∠ABD=90?，易得△BAM∽△DAB

2222∴AM=AB=x，∴BC=2r-x，同理EF=2r-x ··············································· （8分）

2rrr22∴L=4x+2(2r-x)=?2x2?4x?4r=?2?x?r??6r，其中0＜x＜2r ··········· （9分）

rrr∴当x=r时，L取得最大值6r．············································································ （10分）

13（08湖南益阳）七、(本题12分)

24.我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线.

如图12，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为(0，-3)，AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为(1,0)，半圆半径为2.

(1) 请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围；

13

AD

(2)你能求出经过点C的“蛋圆”切线的解析式吗？试试看；

(3)开动脑筋想一想，相信你能求出经过点D的“蛋圆”切线的解析式.

y

C A M O D 图12 （08湖南益阳24题解析）七、(本题12分)

24．解：(1)解法1：根据题意可得：A(-1,0)，B(3,0)；

则设抛物线的解析式为y?a(x?1)(x?3)(a≠0)

B x 又点D(0，-3)在抛物线上，∴a(0+1)(0-3)=-3，解之得：a=1

2

∴y=x-2x-3 ·············································································································· 3分 自变量范围：-1≤x≤3 ··························································································· 4分

解法2：设抛物线的解析式为y?ax2?bx?c(a≠0)

根据题意可知，A(-1,0)，B(3,0)，D(0，-3)三点都在抛物线上

?a?b?c?0?a?1??∴?9a?3b?c?0，解之得：?b??2 ?c??3?c??3??∴y=x-2x-3 ·············································································································· 3分

自变量范围：-1≤x≤3··································································· 4分

(2)设经过点C“蛋圆”的切线CE交x轴于点E，连结CM， 在Rt△MOC中，∵OM=1，CM=2，∴∠CMO=60°,OC=3 在Rt△MCE中，∵OC=2，∠CMO=60°，∴ME=4

∴点C、E的坐标分别为(0，3)，(-3,0) ······················································ 6分

2

∴切线CE的解析式为y?3······························································· 8分 x?3·

3 (3)设过点D(0，-3)，“蛋圆”切线的解析式为：y=kx-3(k≠0) ···························· 9分

??y?kx?3 由题意可知方程组?只有一组解 2?y?x?2x?3?

14

即kx?3?x2?2x?3有两个相等实根，∴k=-2 ················································· 11分 ∴过点D“蛋圆”切线的解析式y=-2x-3 ························································· 12分

y C A E O M B x D 解图12 15

2008年全国中考数学压轴题精选精析（二）

14.（08江苏常州）（本题答案暂缺）28.如图,抛物线y?x2?4x与x轴分别相交于点B、O,它的顶点为A,连接AB,把AB所的直线沿y轴向上平移,使它经过原点O,得到直线l,设P是直线l上一动点.

(1) 求点A的坐标; y5l(2) 以点A、B、O、P为顶点的四边形中,有菱形、等腰梯形、

4直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P的坐标;

3(3) 设以点A、B、O、P为顶点的四边形的面积为S,点P的横

21-4-3-2-1坐标为x,当4?62?S?6?82时,求x的取值范围.

12 -1 -2 -3 -4

(第28题）

13.（08江苏淮安）（本题答案暂缺）28．(本小题14分)

如图所示，在平面直角坐标系中．二次函数y=a(x-2)2-1图象的顶点为P，与x轴交点为 A、B，与y轴交点为C．连结BP并延长交y轴于点D. (1)写出点P的坐标；

(2)连结AP，如果△APB为等腰直角三角形，求a的值及点C、D的坐标； (3)在(2)的条件下，连结BC、AC、AD，点E(0，b)在线段CD(端点C、D除外)上,将△BCD绕点E逆时针方向旋转90°，得到一个新三角形．设该三角形与△ACD重叠部分的面积为S，根据不同情况，分别用含b的代数式表示S．选择其中一种情况给出解答过程，其它情况直接写出结果；判断当b为何值时,重叠部分的面积最大?写出最大值．

03x

14.（08江苏连云港）24．（本小题满分14分）

如图，现有两块全等的直角三角形纸板Ⅰ，Ⅱ，它们两直角边的长分别为1和2．将它们分别放置于平面直角坐标系中的△AOB，△COD处，直角边OB，OD在x轴上．一直尺从上方紧靠两纸板放置，让纸板Ⅰ沿直尺边缘平行移动．当纸板Ⅰ移动至△PEF处时，设PE，PF与OC分别交于点M，N，与x轴分别交于点G，H． （1）求直线AC所对应的函数关系式；

16

（2）当点P是线段AC（端点除外）上的动点时，试探究：

①点M到x轴的距离h与线段BH的长是否总相等？请说明理由；

②两块纸板重叠部分（图中的阴影部分）的面积S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及S取最大值时点P的坐标；若不存在，请说明理由． y A P I C N M II O G B H D x F E

（第24题图）

（08江苏连云港24题解析）24．解：（1）由直角三角形纸板的两直角边的长为1和2，

知A，C两点的坐标分别为(12)，，，(21)．

设直线AC所对应的函数关系式为y?kx?b． ··························································· 2分

有?，?k?b?2，?k??1解得? ．?b?3．?2k?b?1所以，直线AC所对应的函数关系式为y??x?3． ··················································· 4分 （2）①点M到x轴距离h与线段BH的长总相等． 因为点C的坐标为(21，)，

所以，直线OC所对应的函数关系式为y?又因为点P在直线AC上， 所以可设点P的坐标为(a，3?a)．

过点M作x轴的垂线，设垂足为点K，则有MK?h． 因为点M在直线OC上，所以有M(2h，h)． ·················· 6分 因为纸板为平行移动，故有EF∥OB，即EF∥GH．

又EF?PF，所以PH?GH．

法一：故Rt△MKG∽Rt△PHG∽Rt△PFE，

y 1x． 2A P I C N M II O G K B H F E （第24题答图）

x GKGHEF1???． MKPHPF21111得GK?MK?h，GH?PH?(3?a)．

2222从而有

17

13?2h?h?h．

2213又有OG?OH?GH?a?(3?a)?(a?1)． ······················································ 8分

2233所以h?(a?1)，得h?a?1，而BH?OH?OB?a?1，

22从而总有h?BH． ······································································································· 10分

GHEF1??． 法二：故Rt△PHG∽Rt△PFE，可得

PHPF211故GH?PH?(3?a)．

2213所以OG?OH?GH?a?(3?a)?(a?1)．

22所以OG?OK?GK故G点坐标为??3?(a?1)，0?． ?2?设直线PG所对应的函数关系式为y?cx?d，

?3?a?ca?d，?c?2?则有?解得? 3d?3?3a0?c(a?1)?d．???2所以，直线PG所对的函数关系式为y?2x?(3?3a)． ············································ 8分 将点M的坐标代入，可得h?4h?(3?3a)．解得h?a?1．

而BH?OH?OB?a?1，从而总有h?BH． ······················································· 10分 ②由①知，点M的坐标为(2a?2，a?1)，点N的坐标为?a，a?．

?1??2?111113a?3?(a?1) S?S△ONH?S△ONG?NH?OH?OG?h??a?a??2222221331?3?3···································································· 12分 ??a2?a????a???． ·

2242?2?8当a?233时，S有最大值，最大值为． 28?33?·S取最大值时点P的坐标为?，?． ········································································ 14分

22??

18

15.（08江苏连云港）25．（本小题满分12分）

我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如线段AB的最小覆盖圆就是以线段AB为直径的圆．

（1）请分别作出图1中两个三角形的最小覆盖圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不

A A 写作法）；

80?

B

C

B

100?

C

（第25题图1）

（2）探究三角形的最小覆盖圆有何规律？请写出你所得到的结论（不要求证明）； （3）某地有四个村庄E，F，G，H（其位置如图2所示），现拟建一个电视信号中转站，为了使这四个村庄的居民都能接收到电视信号，且使中转站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），此中转站应建在何处？请说明理由．

G

? 49.8? H 32.4 53.8?

50.0? 44.0? F ? 47.1

?? 47.8 35.1

E （第25题图2）

（08江苏连云港25题解析）25．解：（1）如图所示： ······················································ 4分 A A

?? 100 80

B C B C （第25题答图1）

（注：正确画出1个图得2分，无作图痕迹或痕迹不正确不得分） （2）若三角形为锐角三角形，则其最小覆盖圆为其外接圆； ······································ 6分 若三角形为直角或钝角三角形，则其最小覆盖圆是以三角形最长边（直角或钝角所对的边）为直径的圆． ·················································································································· 8分

（3）此中转站应建在△EFH的外接圆圆心处（线段EF的垂直平分线与线段EH的垂直平分线的交点处）． ························································· 10分

理由如下：

19

由?HEF??HEG??GEF?47.8??35.1??82.9?， H G M ?EHF?50.0，?EFH?47.1，

故△EFH是锐角三角形，

所以其最小覆盖圆为△EFH的外接圆，

设此外接圆为?O，直线EG与?O交于点E，M， 则?EMF??EHF?50.0???? 49.8?32.4 53.8? 50.0? 44.0? 47.1? F ? 47.8?35.1 ?53.8???EGF．

故点G在?O内，从而?O也是四边形EFGH的最小覆盖圆． E （第所以中转站建在△EFH的外接圆圆心处，能够符合题中要求． 25题答图2） ························································································· 12分

16（08江苏南京）28．（10分）一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x(h)，两车之间的距离为y(km)，图中的折线表示y与x．．．．．．．之间的函数关系．

根据图象进行以下探究： 信息读取

（1）甲、乙两地之间的距离为 km； （2）请解释图中点B的实际意义； 图象理解

（3）求慢车和快车的速度；

y/km A 900 C O B 4 （第28题）

D 12 x/h （4）求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； 问题解决

（5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇．求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时？

（08江苏南京28题解析）28．（本题10分）

解：（1）900； ·················································································································· 1分 （2）图中点B的实际意义是：当慢车行驶4h时，慢车和快车相遇． ························ 2分 （3）由图象可知，慢车12h行驶的路程为900km，

所以慢车的速度为

900?75(km/h)； ········································································· 3分 12当慢车行驶4h时，慢车和快车相遇，两车行驶的路程之和为900km，所以慢车和快车行驶的速度之和为

900?225(km/h)，所以快车的速度为150km/h． ····························· 4分 4900?6(h)到达乙地，此时（4）根据题意，快车行驶900km到达乙地，所以快车行驶150两车之间的距离为6?75?450(km)，所以点C的坐标为(6，450)．

设线段BC所表示的y与x之间的函数关系式为y?kx?b，把(4，0)，(6，450)代入得

20

?0?4k?b， ??450?6k?b.解得??k?225，

?b??900.所以，线段BC所表示的y与x之间的函数关系式为y?225x?900． ···················· 6分 自变量x的取值范围是4≤x≤6． ·············································································· 7分 （5）慢车与第一列快车相遇30分钟后与第二列快车相遇，此时，慢车的行驶时间是4.5h． 把x?4.5代入y?225x?900，得y?112.5．

此时，慢车与第一列快车之间的距离等于两列快车之间的距离是112.5km，所以两列快车出发的间隔时间是112.5?150?0.75(h)，即第二列快车比第一列快车晚出发0.75h．10分 17.（08江苏南通）（第28题14分）28．已知双曲线y?k1与直线y?x相交于A、B两点．第

4xk一象限上的点M（m，n）（在A点左侧）是双曲线y?上的动点．过点B作BD∥y

xk轴交x轴于点D．过N（0，－n）作NC∥x轴交双曲线y?于点E，交BD于点C．

x（1）若点D坐标是（－8，0），求A、B两点坐标及k的值．

（2）若B是CD的中点，四边形OBCE的面积为4，求直线CM的解析式．

（3）设直线AM、BM分别与y轴相交于P、Q两点，且MA=pMP，MB=qMQ，求p－

y q的值．

（08江苏南通28题解析）28．解：（1）∵D（－8，0），

·M A D B C E N O · x （第28题）

14∴B点坐标为（－8，－2）．而A、B两点关于原点对称，∴A（8，2）． 从而k?8?2?16．……………………3分

∴B点的横坐标为－8，代入y?x 中，得y=－2．

（2）∵N（0，－n），B是CD的中点，A、B、M、E四点均在双曲线上，

∴mn?k，B（－2m，－

n），C（－2m，－n），E（－m，－n）． ……4分 2 21

S矩形DCNO?2mn?2k，S△DBO=mn?k，S△OEN =mn?k， …………7分 ∴S四边形OBCE= S矩形DCNO－S△DBO－ S△OEN=k．∴k?4． ……………………8分

由直线y?x及双曲线y?12121212144，得A（4，1），B（－4，－1）， x∴C（－4，－2），M（2，2）．………………………………………………9分 设直线CM的解析式是y?ax?b，由C、M两点在这条直线上，得

??4a?b??2,2 解得a?b?． ?3?2a?b?2.∴直线CM的解析式是y?22x?．………………………………………11分 33（3）如图，分别作AA1⊥x轴，MM1⊥x轴，垂足分别为A1、M1． 设A点的横坐标为a，则B点的横坐标为－a．于是 y P Q M · A A1 x p?MAAMa?m?11?． MPM1OmMBm?a?同理q?，…………13分 MQm∴p?q?· O M1 B a?mm?a???2．……………14分 mm

18.（08江苏宿迁）27．（本题满分12分） 如图，⊙O的半径为1，正方形ABCD顶点B坐标为(5,0)，顶点D在⊙O上运动．

(1)当点D运动到与点A、O在同一条直线上时,试证明直线CD与⊙O相切；

(2)当直线CD与⊙O相切时，求CD所在直线对应的函数关系式；

(3)设点D的横坐标为x，正方形ABCD的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求出S的最大值与最小值．

（第28题） yCDOB5x1A第27题

22

（08江苏宿迁27题解析）27．解：(1) ∵四边形ABCD为正方形 ∴AD?CD ∵A、O、D在同一条直线上 ∴?ODC?90? ∴直线CD与⊙O相切； (2)直线CD与⊙O相切分两种情况: ①如图1, 设D1点在第二象限时,过D1作D1E1yC?x轴于点E1,设此时的正

D1E1O1B5x方形的边长为a,则(a?1)2得a?4或a??3(舍去)．

?a2?52,解

由Rt?BOA∽Rt?D1OE1 得

A第27题图1

OE1D1E1OD1 ??OABAOB∴OE13434?,D1E1? ∴D1(?,)， 55554x； 3yC故直线OD的函数关系式为y?? ②如图2, 设D2点在第四象限时,过

D2作D2E2?x轴于点E2,设此时的正方

形的边长为b,则

OE21D2A第27题图2

B5x(b?1)2?b2?52,解得

b?3或b??4(舍去)．

由Rt?BOA∽Rt?D2OE2 得

OE2D2E2OD2 ??OABAOB∴OE243433?,D2E2? ∴D2(,?)，故直线OD的函数关系式为y??x. 55554??1?x2,由B(5,0)得

(3)设D(x,y0),则y0DB?(5?x)2?(1?x2)?26?10x

23

∴S11?BD2?(26?10x)?13?5x 22∵?1?x?1

，S∴S最大值?13?5?18

最小值?13?5?8.

19.（08江苏泰州）29．已知二次函数y10），（0，?（1，0），（-3，?ax2?bx?c(a?0)的图象经过三点

3）。 22?(x?0)图像与二次函数y1?ax2?bx?c(a?0)的图像在xk?(k?0,x?0)的图像与二次函数y1?ax2?bx?c(a?0)x（1）求二次函数的解析式，并在给定的直角坐标系中作出这个函数的图像；（5分） （2）若反比例函数y2第一象限内交于点A（x0,y0）, x0落在两个相邻的正整数之间。请你观察图像，写出这两个相邻的正整数；（4分）

（3）若反比例函数y2的图像在第一象限内的交点为A，点A的横坐标为x0满足2

（08江苏泰州29题解析）九、（本题满分14分）29（1）设抛物线解析式为y=a(x-1)(x+3)??????????1分

（只要设出解析式正确，不管是什么形式给1分）

31）代入，解得a=. 2231∴抛物线解析式为y=x2+x- ?????????????3分

22将（0，—

（无论解析式是什么形式只要正确都得分）

画图（略）。（没有列表不扣分）?????????????5分 （2）正确的画出反比例函数在第一象限内的图像?????7分

由图像可知，交点的横坐标x0 落在1和2之间，从而得出这两个相邻的正整数为1与2。???????????????????9分

（3）由函数图像或函数性质可知：当2＜x＜3时，

对y1=

k123x+x-, y1随着x增大而增大，对y2= （k＞0），

2x2y2随着X的增大而减小。因为A（X0，Y0）为二次函数图像与反比例函数图像的交点，

所心当X0=2时，由反比例函数图象在二次函数上方得y2＞y1，

即

k123＞×2+2-，解得K＞5。?????????????11分 222123k×3+3—＞，解得K＜18。?????????????13 22324

同理，当X0=3时，由二次函数数图象在反比例上方得y1＞y2， 即

所以K的取值范围为5 ＜K＜18???????????????14分

20.（08江苏无锡）27．（本小题满分10分）

如图，已知点A从(10)，出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向正方向运动，以O，A为顶点作菱形OABC，使点B，C在第一象限内，且?AOC?60；以P(03，)为圆心，PC为半径作圆．设点A运动了t秒，求：

（1）点C的坐标（用含t的代数式表示）；

（2）当点A在运动过程中，所有使?P与菱形OABC的边所在直线相切的t的值．

?

（08江苏无锡27题解析）27．解：（1）过C作CD?x轴于D， ?OA?1?t，?OC?1?t，

?OD?OCcos60??1?t3(1?t)，DC?OCsin60??， 22y P C B x ?1?t3(1?t)?O D A ?点C的坐标为?········ （2分）

?2，2??． ·图1 ??（2）①当?P与OC相切时（如图1），切点为C，此时PC?OC，

3?OC?OPcos30?，?1?t?3?，

233·············· （4分） ?t??1． ·

2②当?过P作PE?OC于E，则OE?y C P O E A x B 图2 P与OA，即与x轴相切时（如图2），则切点为O，PC?OP，

1OC， ···························································· （5分） 21?t33，?t?33?1． ····················································· （7分） ??OPcos30??22

25

③当?P与AB所在直线相切时（如图3），设切点为F，PF交OC于G，

则PF?OC，?FG?CD?3(1?t)， 2?PC?PF?OPsin30??过C作CH23(1?t)． ································································ （8分） 2?y轴于H，则PH2?CH2?PC2，

223(1?t)??1?t??3(1?t)??3， ????3???????????22??2????2化简，得(t?1)解得t?1?92y H C B x ?183(t?1)?27?0，

P G O A F 3?66，

图3 ?t?93?66?1?0， ?t?93?66?1．

?所求t的值是

33····································· （10分） ?1，33?1和93?66?1． ·

2

21.（08江苏无锡）28．（本小题满分8分）

一种电讯信号转发装置的发射直径为31km．现要求：在一边长为30km的正方形城区选择若干个安装点，每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市．问： （1）能否找到这样的4个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？ （2）至少需要选择多少个安装点，才能使这些点安装了这种转发装置后达到预设的要求？ 答题要求：请你在解答时，画出必要的示意图，并用必要的计算、推理和文字来说明你的理由．（下面给出了几个边长为30km的正方形城区示意图，供解题时选用）

图1 图2 图3 图4

26

（08江苏无锡28题解析）28．解：（1）将图1中的正方形等分成如图的四个小正方形，将这4个转发装置安装在这4个小正方形对角线的交点处，此时，每个小正方形的对角线长为

1?302?152?31，每个转发装置都能完全覆盖一个小正方形区域，故安装4个这种2装置可以达到预设的要求．

·································································································· （3分）（图案设计不唯一） （2）将原正方形分割成如图2中的3个矩形，使得BE?DG?CG．将每个装置安装在这些矩形的对角线交点处，设AE?x，则ED?30?x，DH?15．

由BE?DG，得x2?302?152?(30?x)2，

222515?15??x??，?BE????302?30.2?31，

604?4?即如此安装3个这种转发装置，也能达到预设要求． ··········································· （6分）

或：将原正方形分割成如图2中的3个矩形，使得BE?31，H是CD的中点，将每个装置安装在这些矩形的对角线交点处，则

AE?312?302?61，DE?30?61，

?DE?(30?61)2?152≈26.8?31，即如此安装三个这个转发装置，能达到预设要

求． ································································································································· （6分）

要用两个圆覆盖一个正方形，则一个圆至少要经过正方形相邻两个顶点．如图3，用一个直径为31的?O去覆盖边长为30的正方形ABCD，设?O经过A，B，?O与AD交

1312?302?61?15?AD，这说明用两个直径都为31的圆

2不能完全覆盖正方形ABCD．

于E，连BE，则AE?所以，至少要安装3个这种转发装置，才能达到预设要求． ······························· （8分） 评分说明：示意图（图1、图2、图3）每个图1分．

E A D A E D A D H O O B B C C F B F 图1 图2 图3

22.（08江苏徐州）（本题答案暂缺）28.如图1，一副直角三角板满足AB＝BC，AC＝DE，∠ABC＝∠DEF＝90°，∠EDF＝30°

【操作】将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板．．．．DEF．．．绕点旋转，并使边DE与边AB交于点P，边EF与边BC于点Q ．．E．．．

【探究一】在旋转过程中， （1） 如图2，当

CE＝1时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并给出证明. EA 27

（2） 如图3，当

CE＝2时EP与EQ满足怎样的数量关系？，并说明理由. EACE＝m时，EP与EQ满足的数量关系EA（3） 根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当

式为_________,其中m的取值范围是_______(直接写出结论，不必证明)

【探究二】若，AC＝30cm，连续PQ，设△EPQ的面积为S(cm2)，在旋转过程中： （1） S是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，说明理由. （2） 随着S取不同的值，对应△EPQ的个数有哪些变化？不出相应S值的取值范围.

A AA(D) PFE

DP

B BQCBC(E) FD

23.（08江苏盐城）（本题答案暂缺）28．（本题满分12分）

如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF． 解答下列问题：

（1）如果AB=AC，∠BAC=90o．

①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为 ▲ ，数量关系为 ▲ ． ②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？ F

E AAAFF

CBBBDCD DECE 图甲 图乙 图丙 第28题图

（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90o，点D在线段BC上运动．

试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法） （3）若AC＝4EQCF2，BC=3，在（2）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF

相交于点P，求线段CP长的最大值．

28

24.（08江苏扬州）（本题答案暂缺）26．（本题满分14分）

已知：矩形ABCD中，AB=1，点M在对角线AC上，直线l过点M且与AC垂直，与AD相交于点E。

（1）如果直线l与边BC相交于点H（如图1），AM=

1AC且AD=A，求AE的长；（用3含a的代数式表示）

（2）在（1）中，又直线l 把矩形分成的两部分面积比为2：5，求a的值；

1AC，且直线l经过点B（如图2），求AD的长； 41（4）如果直线l分别与边AD、AB相交于点E、F，AM=AC。设AD长为x，△AEF

4（3）若AM=

的面积为y，求y与x的函数关系式，并指出x的取值范围。（求x的取值范围可不写过程）

29

2008年全国中考数学压轴题精选精析（三）

25.（08江西南昌）24．如图，抛物线

?19?y1??ax2?ax?1经过点P??，?，且与抛物线y2?ax2?ax?1相交于A，B两点．

?28?（1）求a值； （2）设

y1??ax2?ax?1与x轴分别交于M，N两点（点M在点N的左边），

y2?ax2?ax?1与x轴分别交于E，F两点（点E在点F的左边），观察M，N，E，F四

点的坐标，写出一条正确的结论，并通过计算说明； （3）设

A，B两点的横坐标分别记为xA，xB，若在x轴上有一动点Q(x，0)，且

xA≤x≤xB，过Q作一条垂直于x轴的直线，与两条抛物线分别交于C，D两点，试问当x为何值时，线段CD有最大值？其最大值为多少？

A O B x y P ?点P??（08江西南昌24题解析）24．解：（1）

?19?在抛物线y??ax2?ax?1上，

，?1?28?119??a?a?1?， ··································································································· 2分

4281解得a?． ···················································································································· 3分

21121121（2）由（1）知a?，?抛物线y1??x?x?1，y2?x?x?1． ········ 5分

22222121y 当?x?x?1?0时，解得x1??2，x2?1． 22P ?点M在点N的左边，?xM??2，xN?1． ············· 6分 当

A M E O N F B x 121x?x?1?0时，解得x3??1，x4?2． 22?点E在点F的左边，?xE??1，xF?2． ····························································· 7分

30

?xM?xF?0，xN?xE?0，

?点M与点F对称，点N与点E对称． ····································································· 8分

1y （3）?a??0．

2P ?抛物线y1开口向下，抛物线y2开口向上． ·················· 9分

根据题意，得CD?y1?y2

A C O Q D x B 11?1??1?·················································· 11分 ???x2?x?1???x2?x?1???x2?2． ·

22?2??2?·················································· 12分 ?xA≤x≤xB，?当x?0时，CD有最大值2． ·

说明：第（2）问中，结论写成“M，N，或“MN?EF”E，F四点横坐标的代数和为0”

均得1分．

26.（08江西南昌）25．如图1，正方形ABCD和正三角形EFG的边长都为1，点E，F分别在线段AB，AD上滑动，设点G到CD的距离为x，到BC的距离为y，记?HEF为?（当点E，F分别与B，A重合时，记?（1）当?． ?0?）

，求x； ?0?时（如图2所示），y的值（结果保留根号）

（2）当?为何值时，点G落在对角形AC上？请说出你的理由，并求出此时x，y的值（结果保留根号）；

（3）请你补充完成下表（精确到0.01）：

? x y 0? 15? 0.03 0.29 30? 0 0.13 45? 60? 75? 0.29 0.03 90? （4）若将“点E，F分别在线段AB，AD上滑动”改为“点E，F分别在正方形ABCD边上滑动”．当滑动一周时，请使用（3）的结果，在图4中描出部分点后，勾画出点G运动所形成的大致图形．

31

（参考数据：

H A

E B F 3≈1.732，sin15??6?26?2） ≈0.259，sin75??≈0.966．

44H A

D

H D A(F) G C B(E) 图2

H D A G C B D

图1

C 图3

B

图4

C

（08江西南昌25题解析）25．解：（1）过G作MN?AB于M交CD于N，GK于K．

?BC??ABG?60?，BG?1，

?MG?13，BM?． ····························································································· 2分

2213，y?． ································································································· 3分

22············································ 4分 ?45?时，点G在对角线AC上，其理由是： ·

H A(F) M B(E) D G N K C ?x?1?（2）当?过G作IQ∥BC交AB，CD于I，Q， 过G作JP∥AB交AD，BC于J，P．

?AC平分?BCD，?GP?GQ，?GI?GJ．

?GE?GF，?Rt△GEI≌Rt△GFJ，??GEI??GFJ．

??GEF??GFE?60?，??AEF??AFE． ??EAF?90?，??AEF??AFE?45?．

即?····································································· 6分 ?45?时，点G落在对角线AC上． ·

H A E I B F J D

（以下给出两种求x，y的解法） 方法一：??AEG?45??60??105?，??GEI?75?．

?6?2在Rt△GEI中，GI?GE?， sin75?4G Q P C 32

?GQ?IQ?GI?1?6?2． ················································································· 7分 4?x?y?1?6?2． ································································································ 8分 4方法二：当点G在对角线AC上时，有

13·································································································· 7分 ??2x?2， ·

22解得x?1?6?2 46?2． ································································································ 8分 415?

0.03 0.

0.

0 0.

?x?y?1?（3）

?

x

0

0.13

?30?

45? 0.03

0.

13

60? 0.

29 0

75? 0.

50 0.

90?0.0.

50 29 13 03 03 13

······································································ 10分 （4）由点G所得到的大致图形如图所示： H A

D

y

B

C ··································································································· 12分

说明：1．第（2）问回答正确的得1分，证明正确的得2分，求出x ，y的值各得1分；2．第（3）问表格数据，每填对其中4空得1分；

3．第（4）问图形画得大致正确的得2分，只画出图形一部分的得1分． 27.（08山东滨州）23、（1）探究新知：如图1，已知△ABC与△ABD的面积相等，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由.

33

CDAB

（2）结论应用：①如图2，点M、N在反比例函数y=

k(k?0)的图象上，过点M作MEx⊥y轴，过点N作NF⊥x轴，垂足分别为E，F. 试应用（1）中得到的结论证明：MN∥EF.

yEMNOFx

②若①中的其他条件不变，只改变点M，N的位置如图3所示，请判断MN与E是否

平行.

yMOxN （08山东滨州23题解析）23．（1）证明：分别过点C、D作CG?AB、DH垂足为G、H，则?CGA??DHB?90.

0?AB.

34

?CG?DH??ABC与?ABD的面积相等 ?CG=DH?四边形CGHD为平行四边形?AB?CD.（2）①证明：连结MF，NE

设点M的坐标为(x1,y1)，点N的坐标为(x2,y2)， ∵点M，N在反比例函数y?∴x1y1?k，x2y2k?k?0?的图象上， x?k

?ME?y轴，NF?x轴

?OE=y1,OF?x211?S?EFM?x1y1?k2211S?EFN?x2y2?k

22?S?EFM?S?EFN由（1）中的结论可知：MN∥EF。 ②MN∥EF。

28.（08山东滨州）24．（本题满分12分）

如图（1），已知在?ABC中，AB=AC=10，AD为底边BC上的高，且AD=6。将?ACD沿箭头所示的方向平移，得到?ACD。如图（2），AD交AB于E，AC分别交AB、AD于G、F。以D//////D为直径作?O，设BD/的长为x，?O的面积为y。

（1）求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围； （2）连结EF，求EF与?O相切时x的值；

35

（3）设四边形ED/DF的面积为S，试求S关于x的函数表达式，并求x为何值时，S的

值最大，最大值是多少？

（08山东滨州24题解析）24．

(1)?AB?10,AD?6,?ADB?900?BD?CD?8?DD/?BD?BD/?8?x

2?y????8?x??2???y??4?8?x?2?0?x?8?.?2???BD/E??CDF?ED/?DF?ED/?DF,?FDD/?900?四边形ED/DF是矩形?EF?DD/若DF与?O相切，则ED/=1D/2D??ED/B=?AOB=900,?B??B??BED/??BADED/BD/ED/?AD?BD,即x6?8?ED/?34x?34x?8?x2解得x?165因此，当x?165时，EF与?O相切。

36

?3?S?ED/?D/D?3x?8?x?43??x2?6x 432???x?4??124?x?4时，满足0?x?8，S的值最大，最大值是12。

29.（08山东德州东营菏泽）24．(本题满分12分)

在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN．令AM＝x．

（1）用含x的代数式表示△ＭNP的面积S； （2）当x为何值时，⊙O与直线BC相切？

（3）在动点M的运动过程中，记△ＭNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？ A

N M O

P C B 图 1

A M N O

C B D

图 2 A O N M

C B

P

图 3

（08山东德州东营菏泽23题解析）23．(本题满分12分) 解：（1）∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM＝∠C．

A ∴ △AMN ∽ △ABC．

x∴ AM?AN，即

4ABAC?AN． 3B

M O P N C 图 1

37

∴ AN＝∴

3x． ……………2分 4133（0＜x＜4） ………………3分 S=S?MNP?S?AMN??x?x?x2．

2481MN． 2（2）如图2，设直线BC与⊙O相切于点D，连结AO，OD，则AO =OD =在Rt△ABC中，BC ＝AB?AC=5． 由（1）知 △AMN ∽ △ABC．

M O B

Q D 图 2

22A N x∴ AM?MN，即

4ABBC∴

?MN． 5C 5MN?x，

45∴ OD?x． …………………5分

8过M点作MQ⊥BC 于Q，则MQ?OD?5x． 8在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角， ∴ △BMQ∽△BCA． ∴ BM?QM．

BCAC55?x258?x，AB?BM?MA?25x?x?4． ∴ BM?3242496． 4996∴ 当x＝时，⊙O与直线BC相切．…………………………………………7分

49∴ x＝

（3）随点M的运动，当P点落在直线BC上时，连结AP，则O点为AP的中点．

A ∵ MN∥BC，∴ ∠AMN=∠B，∠AOM＝∠APC． ∴ △AMO ∽ △ABP．

∴ AM?AO?1． AM＝MB＝2．

ABAP2故以下分两种情况讨论：

3① 当0＜x≤2时，y?SΔPMN?x2．

8∴ 当x＝2时，y最大M O B P 图 3

N C 33??22?. …………………………………………8分 82② 当2＜x＜4时，设PM，PN分别交BC于E，F．

A ∵ 四边形AMPN是矩形，

∴ PN∥AM，PN＝AM＝x． 又∵ MN∥BC， O M ∴ 四边形MBFN是平行四边形． ∴ FN＝BM＝4－x．

B E F P N C 38

图 4

∴

PF?x??4?x??2x?4．

2又△PEF ∽ △ACB．

?PF?S?PEF?∴ ?． ??AB?S?ABC∴

3?x?2?2． ……………………………………………………… 9分 23392y?S?MNP?S?PEF＝x2??x?2???x2?6x?6．……………………10分

828S?PEF?2929?8?当2＜x＜4时，y??x?6x?6???x???2．

88?3?8时，满足2＜x＜4，y最大?2． ……………………………11分 38综上所述，当x?时，y值最大，最大值是2． ……………………………12分

3∴ 当x?

30.（08山东临沂）25．（本小题满分11分） 已知∠MAN，AC平分∠MAN。

⑴在图1中，若∠MAN＝120°，∠ABC＝∠ADC＝90°，求证：AB＋AD＝AC;

⑵在图2中，若∠MAN＝120°，∠ABC＋∠ADC＝180°，则⑴中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明;若不成立，请说明理由; ⑶在图3中：

①若∠MAN＝60°，∠ABC＋∠ADC＝180°，则AB＋AD＝____AC; ②若∠MAN＝α（0°＜α＜180°），∠ABC＋∠ADC＝180°，则AB＋AD＝____AC（用含α的三角函数表示），并给出证明。 MMM CCC DDD

第25题图 ABNABABNN

（08山东临沂25题解析）25．解:⑴证明:∵AC平分∠MAN，∠MAN＝120°， ∴∠CAB＝∠CAD＝60°， ∵∠ABC＝∠ADC＝90°，

∴∠ACB＝∠ACD＝30°，????1分

1∴AB＝AD＝AC，????????2分

2MCE

∴AB＋AD＝AC。????????3分 AF BG N⑵成立。???????????r?4分

证法一：如图，过点C分别作AM、AN的垂线，垂足分别为E、F。 ∵AC平分∠MAN，∴CE＝CF.

∵∠ABC＋∠ADC＝180°,∠ADC＋∠CDE＝180°,

∴∠CDE＝∠ABC,????????????????????????5分

39

D

∵∠CED＝∠CFB＝90°，∴△CED≌△CFB,∴ED＝FB,????????6分 ∴AB＋AD＝AF＋BF＋AE－ED＝AF＋AE,由⑴知AF＋AE＝AC,

∴AB＋AD＝AC??????????????????????????7分 证法二：如图，在AN上截取AG＝AC，连接CG.

∵∠CAB＝60°,AG＝AC,∴∠AGC＝60°,CG＝AC＝AG,????5分 ∵∠ABC＋∠ADC＝180°,∠ABC＋∠CBG＝180°,

∴∠CBG＝∠ADC,∴△CBG≌△CDA,??????????????6分 ∴BG＝AD,

∴AB＋AD＝AB＋BG＝AG＝AC，????????????????7分 ⑶①

3;???????????????????????????8分

②2cos?2.???????????????????????????9分

证明：由⑵知，ED＝BF,AE＝AF， 在Rt△AFC中，cos?CAF∴AF??ACcos,????????????????????????10分

2?ACcos，????11分

2?AF?AF,即cos?, AC2AC∴AB＋AD＝AF＋BF＋AE－ED＝AF＋AE＝2AF?31（08山东临沂）26．（本小题满分13分）

如图，已知抛物线与x轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）。 ⑴求抛物线的解析式；

⑵设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在yD点P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P

C的坐标;若不存在，请说明理由; M⑶若点M是抛物线上一点，以B、C、D、M为顶点的四边形是

P直角梯形，试求出点M的坐标。

（08山东临沂26题解析）26．⑴∵抛物线与y轴交于点C（0，3）， ∴设抛物线解析式为y?ax2AOB第26题图 x?bx?3(a?0)???1分

?a?b?3?0,?a??1,根据题意，得?，解得?

9a?3b?3?0,b?2.??∴抛物线的解析式为y??x2?2x?3???????????????2分

⑵存在。????????????????????????????3分 由y??x2，对称轴为x＝1。????4分 ?2x?3得，D点坐标为（1，4）

①若以CD为底边，则PD＝PC，设P点坐标为(x,y)，根据勾股定理， 得x2?(3?y)2?(x?1)2?(4?y)2，即y＝4－x。??????????5分

2又P点(x,y)在抛物线上，∴4?x??x

?2x?3，即x2?3x?1?0????6分

40

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