上海重点高中函数综合题

【16】f(x)+f(1-x)

=a^x/(a^x+√a)+a^(1-x)/(a^(1-x)+√a)

=a^x[a^(1-x)+√a]+a^(1-x)(a^x+√a)/(a^x+√a)(a^(1-x)+√a)

=[a+a^x√a+a+a^(1-x)√a]/[a+a^x√a+a^(1-x)√a+a) =1

已知函数f(x)=(x的1/3次方-x的-1/3次方）/5,g(X)=(x的1/3次方+x的-1/3次方）/5

（1）证明：f(x)是奇函数,并求f(x)的单调区间

（2）分别计算f（4）-5f(2)g(2),f(9)-5f(3)g(3)的值,由此解概括出涉及函数f(x)和g(x)的对所有不等于零的实数x都成立的一个不等式,并加以证明.

【】1.F(-X)=(x的-1/3次方-x的1/3次方）/5=-(x的1/3次方-x的-1/3次方）/5=-F(X) 所以F(X)是奇函数.对F(x)求导得F'(X)=(X的-2/3+X的-4/3）/15 令F'(X)=0得x=0 列表

所以F(X)在（-无穷,0）上单调递减 在（0,+无穷）上单调递增

2.首先,F(X)G(X)=)=(x的2/3次方-x的-2/3次方）/25 所以 f（4）-5f(2)g(2)

=（4的1/3次方-4的-1/3次方）-5*（2的2/3次方-2的-2/3次方）/25）

=（2的2/3次方-2的-2/3次方）/5-（2的2/3次方-2的-2/3次方）/5 =0

f（9）-5f(3)g(3)

=（9的1/3次方-9的-1/3次方）-5*（3的2/3次方-3的-2/3次方）/25） =（3的2/3次方-3的-2/3次方）/5-（3的2/3次方-3的-2/3次方）/5 =0

推论：F(X的2次方）-5*F(X)G(X)=0

证明：由上得F(X)G(x)=(x的2/3次方-x的-2/3次方）/25 故5*F(X)G(x)=（x的2/3次方-x的-2/3次方）/5

同时,F(X的2次方）=（x的2/3次方-x的-2/3次方）/5 所以有F(X的2次方）-5*F(X)G(X)=0

【15】已知函数，

（1） 证明：f（x）是奇函数，并求f（x）的单调区间；

，

（2）分别计算f（4）- 5f（2）g（2）和f（9）-5f（3）g（3）的值，由此概括出涉及函数f（x）和g（x）所有不等于零的实数x都成立一个等式，并加以证明。

解：由已知中函数∴f（4）-5f（2）g（2） =f（22）-5f（2）g（2）

，

=-5??

==0

-

f（9）-5f（3）g（3） =f（32）-5f（3）g（3）

=-5??

==0

-

由此可推断f（x2）-5f（x）g（x）=0 故答案为：f（x2）-5f（x）g（x）=0 【15】

【14】

已知函数Y=(x)=1-2a^x-a^2x(a>0且a不等于1) 1:求函数f(x)的值域;

2:若x属于[-2,1]时,函数f(x)的最小值为-7,求a的值和函数f(x)的最大值. 解

（1）设a^x=t,则t＞0,y=-t2-2t+1=-(t+1)2+2. 当t=0时,y=1,故值域(-∞,1).

（2）若x∈[-2,1],则1/a2≤a^x≤a, 即1/a2≤t≤a,

当t=a即x=1时,最小值-a2-2a+1=-7,解得 a=2,故y=-t2-2t+1,(t=2^x)

当2^x=1/4即x=-2时,最大值=7/16.

2、f(x)=ax+1/a（1-x)=[(a2-1)x/a]+（1/a）,

当a＞1时,函数递增,最小值是x=0时1/a,此时最小值1/a∈(0,1)； 当0＜a＜1时,函数递减,最小值是x=1时a.此时最小值a∈(0,1)； 当a=1时,f(x)=1.函数值恒等于1. 综上,最大值1. 解】（1）f（x）＝2－（1＋a^x）^2,

∵a^x>0,∴f（1）1,∴当x∈〔－2,1〕时,a^2≤a^x≤a,

∴2－（a＋1）^2≤f（x）≤2－（a^2＋1）^2, ∴2－（a＋1）^2＝－7,得a＝2．

此时,f（x）的最大值为2－（2^2＋1）^2＝ 7/16．

【14】已知函数f（x）=-a-2a+1（a＞1）

2x

x

（1）求函数f（x）的值域；

（2）若x∈[-2，1]时，函数f（x）的最小值为-7，求a的值． 1） 令t=ax＞0，∴f（x）=g（t）=-t2-2t+1=-（t+1）2+2

∵t＞0，∴函数在（0，+∞）上单调减

∴g（t）＜1

∴函数f（x）的值域为（-∞，1）

（2）∵a＞1，∴x∈[-2，1]时，t=ax∈[a-2，a]， ∵f（x）=g（t）=-t2-2t+1=-（t+1）2+2 ∴函数f（x）在[a-2，a]上单调减 ∴x=a时，函数f（x）取得最小值

∵x∈[-2，1]时，函数f（x）的最小值为-7， ∴-（a+1）2+2=-7 ∴（a+1）2=9

∴a=2或-4（舍去） 所以a=2．

函数y=2^｜x｜的图像

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