人教版数学必修二：与柱体、锥体、台体、球有关的性质

本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn 柱体、锥体、台体、球有关的性质

【知识网络】

1、柱体、锥体、台体、球的有关性质；

2、展开图及内接、外接问题；

3、不规则的图形的有关计算。 【典型例题】

例1：（1）一个棱柱是正四棱柱的条件是 （ ）A、底面是正方形，有两个侧面是矩形 B、底面是正方形，有两个侧面垂直于底面

C、底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直 D、每个侧面都是全等矩形的四棱柱

答案：D。解析：正四棱柱的条件是底面为正方形的直棱柱。

（2）底面是正三角形，且每个侧面是等腰三角形的三棱锥是 （ ） A、一定是正三棱锥 B、一定是正四面体 C、不是斜三棱锥 D、可能是斜三棱锥 答案：D。解析：只须考察一个正三角形绕其一边抬起后所构成的三棱锥就知道 （3）在棱长为1的正方体ABCD——A1B1C1D1中，若G、E分别为BB1，C1D1的中点，点F是正方形ADD1A1的中心，则四边形BGEF在正方体六个面上的射影图形面积的最大值为________。

答案：。解析：考察在三组对面上的投影即可。

83（4）棱锥的高为16cm,底面积为512cm2，平行于底面的截面积为50cm2，则截面与底 面的距离为 答案： 11cm

50?h?,?h?5,?h??16?5?11cm。解析：???512?16?2。

（5）把半径为r的四只小球全部放入一个大球内，则大球半径的最小值为__________。 答案：(

R?r(1?63)63?1)r 。解析：四只小球的球心组成正四面体形状，∴2R?2r?263r，即

。

132例2：已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形,两条侧棱长为长的取值范围．

答案：: 如图, 四面体ABCD中,AB=BC=CA=1, DA=DC=

132A, 试求第三条侧棱

DCBD, 只有棱DB的长x是可变的． 在三角形

CACD中, M为AC的中点,

B?13??1?23A??．由MF-MB

?2???2???2?2MMD=

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得:

32?BD?332.

例3：如图在三棱锥A—BCD中,平面ABC和平面BCD都是边长为2a的等边三角形,且AD?22a,若从AB的中点M沿着三棱锥表面到达CD的中点N,求最短路线.

AMBDN

C解析: 有四种侧面展开形式:(1)以等边?ABC为主,剪开AB、BC、CD、AD,得正?ABC和等腰Rt?ACD构成的平面图.此时相对短的路线是线段MN.

延长DC,与过M且与AC平行的直线相交于点P,PM与BC相交于Q点.∵M为AB的中点,∴Q为BC的中点,MQ在Rt?QCP中,?QCP在Rt?ACD中,

?120AC?a,QC?a.

00?90?60?30,CP?32a,PQ?12a.

AD?22a,CD?2a,CN?a.

在Rt?MPN中,MP?MQ?QP??3?a,PN?PC?CN??1?a???22??3.

于是MN?MP?PN22?4?3a.

(2)以侧面ABD为主,沿BD把两个面ABD和BDC展成一个平面图形.与(1)类似可以推得

MN?4?3a.

(3)以侧面ABC为主,沿BC把两个面ABC和BDC展成一个平面图形,构成菱形ABDC, MN∥BD,MN=BD,

MN?2a. ∵4?3?4,∴4?3a?2a.

(4)以侧面ACD为主,沿AD把两个等腰直角三角形ACD

和ABD展成一个平面图形,构成正方形ABDC,此时MN?2a. 总之,从M到N的最短路线为2a.

例4：如图，正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是BC的中点，AB=a． （Ⅰ）求证：直线A1D⊥B1C1；

（Ⅱ）求点D到平面ACC1的距离；

（Ⅲ）判断A1B与平面ADC的位置关系， 并证明你的结论．

答案：（Ⅰ）证法一：∵点D是正△ABC中BC边的中点，∴AD⊥BC， 又A1A⊥底面ABC，∴A1D⊥BC ，∵BC∥B1C1，∴A1D⊥B1C1．

证法二：连结A1C1，则A1C=A1B． ∵点D是正△A1CB的底边中BC的中点， ∴A1D⊥BC ，∵BC∥B1C1，∴A1D⊥B1C1．

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（Ⅱ）解法一：作DE⊥AC于E， ∵平面ACC1⊥平面ABC，

∴DE⊥平面ACC1于E，即DE的长为点D到平面ACC1的 距离． 在Rt△ADC中， AC=2CD=a,AD?32?a.

34a.

∴所求的距离DECD?ADAC?解法二：设点D到平面ACC1的距离为x， ∵体积VC?x?341?ACD1?VD?ACC1 ?1?3a2?CC1?1?1a?CC1?x.

3832a,即点

D到平面ACC1的距离为

34a．

（Ⅲ）答：直线A1B//平面ADC1，证明如下：

证法一：连结A1C交AC1于F，则F为A1C的中点，∵D是BC的中点，∴DF∥A1B， 又DF? 平面ADC1，A1B?平面ADC1，∴A1B∥平面ADC1． 证法二：取C1B1的中点D1，则AD∥A1D1，C1D∥D1B， ∴AD∥平面A1D1B，且C1D∥平面A1D1B，

∴平面ADC1∥平面A1D1B，∵A1B?平面A1D1B，∴A1B∥平面ADC1．

【课内练习】

1．关于“斜二测”直观图的画法，如下说法正确的是 （ ） A．等腰三角形的直观图仍为等腰三角形 B．梯形的直观图可能不是梯形

C．正方形的直观图为平行四边形 D．正三角形的直观图一定为等腰三角形 答案：C。解析：根据斜二测的定义进行判断。

2．空间四边形中，互相垂直的边最多有 （ ） A、1对 B、2对 C、3对 D、4对

答案：D。解析：以长方体一个角为例。

3．一个圆锥的底面圆半径为3，高为4，则这个圆锥的侧面积为 （ ）

15?A． B．10? C．15? D．20?

2答案：C。解析：S?12?2?r?5?15?。

4．平面α与正四棱柱的四条侧棱AA1、BB1、CC1、DD1分别交于E、F、G、H.若AE=3，BF=4，CG=5，则DH等于 。

答案： 4。解析：AE+CG=BF+DH，∴DH=4。

5．自半径为R的球面上一点P引球的两两垂直的弦PA、PB、PC,则

PA2?PB2?PC2=__ ___。

答案： 4R2。解析：可将PA,PB,PC看成是球内接长方体的三边。 6. 有两个相同的直三棱柱，高为

2a，底面三角形的三边长分别为3a，4a,5a(a>0)，用

它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则a的取值范围是 。

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答案：0?a?153。解析：有四种情况：①边长为5a的边重合，表面积为24a2?28；

②边长为4a的边重合，表面积为24a2?32；③边长为3a的边重合，表面积为24a2?36；④两个相同的直三棱柱竖直放在一起，表面积为12a2?48。∴12a2?48?24a2?28，

∴0?a?153。

7．如图所示，把边长为6?2的正方形剪去图中阴影部分，沿图中的线折成一个正三棱锥，求出此棱锥的底面积，侧面积和高.

DFCE B答案：如图⑴所示，∵△DEF是正三角形，又由对称性知，∠FDC=15°，又FD=FC（都是底边），∴△FDC是底角为15°的等腰三角形。 B取DC中心M，连MF，则MF⊥DC， 在Rt△FDM中，

DF?DMcos15?DFC?6?2cos152??2，

EBEOD∴底面积为：

S?DEF?12DF?DE?sin?FDE?12?2?2?32?3。 ⑴ ⑵ F∵∠FCD=15°，∠FCB=75°，取FC中点N，连结BN，则BN⊥FC。在Rt△BNC中，

BC?6?122，∠BCN=75°，∴BN3)?6?33?BC?sin75??(6?2)?6?42?2?3。

∴S侧=3??2(2?。

如图⑵所示，过B作BO⊥面EFD于O，则O是△EFD的中心，连EO，在Rt△EOB中，

BE?6?2,EO?23?32?EF?33?2?233。

23∴BO?BE2?EO2??6?2?2?23???3?????2?15?93。

8．如图，已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD于 A，PC⊥平面AEFG，且分别交PB、PC、PD于E、F、G，

（1），求证：面PAB⊥面PAD； （2）求证：A、E、F、G四点共圆。

答案：（1），∵AD⊥AB，AD⊥PA，且PA?AB=A，∴AD⊥面PAB， 又AD?面PAD，∴面PAB⊥面PAD， （2）易知CD⊥面PAD， ∴AG⊥CD，

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又已知PC⊥面AEFG，∴AG⊥PC，且CD ?PC=C ，

∴AG⊥面PCD，又FG ?面PCD，∴AG⊥FG，

即∠AGF=900，同理∠AEF=900，四边形AEFG对角线互补， ∴四边形AEFG内接于圆，即A、E、F、G四点共圆。

9．如图，在三棱锥S—ABC中，SA?平面ABC，AB?AC?1，SA?2，D为BC的中点．

（1）判断AD与SB能否垂直，并说明理由； （2）若三棱锥S—ABC的体积为

36，且?BAC为

钝角，求二面角S—BC—A的平面角的正切值；

（3）在（Ⅱ）的条件下，求点A到平面SBC的距离．

答案：（1）因为SB在底面ABC上的射影AB与AD不垂直，否则与AB=AC且D为BC的

中点矛盾，所以AD与SB不垂直； （2）设?BAC??，则V?解得 sin???SA?13?12?1?2?sin??236

32，所以??600（舍），??1200．

平面ABC，AB=AC，D为BC的中点 AD?BC,SD?BC，

SAAD则?SDA是二面角S—BC—A的平面角． 在Rt?SDA中，tan?SDA??4,

故二面角的正切值为４、

（3）由（2）知，BC?平面SDA，所以平面SBC?平面SDA，过点A作AE?SD，则AE?平面SBC，于是点A到平面SBC的距离为AE, 从而AE?ADsin?SDA?10．已知三视图：

2171721717即A到平面SBC的距离为．

正视图112侧视图俯视图222（1）画出该几何体的直观图； （2）求该几何体的表面积．

答案：解：（1）

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zPD'A'DAO'QOyC'B'CxB

（2）由题意可知，该几何体是由正四棱柱ABCD?A'B'C'D'与正四棱锥

P?A'B'C'D'构成的简单几何体．

由图易得：

PQ?P'O?2AB?2AD?2,A'?A1,P?O'，取A'B'中点

Q，连接

PQ，从而

'OQ?12?12?，所以该几何体表面积 2AB?AD?42?12.S?12?A'B'?B'C'?C'D'?D'A'?PQ??A'B'?B'C'?C'D'?D'A'?AA'?A组

【作业本】

1．下列命题中错误的是 （ ） A．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个 B．圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个 C．圆台的所有平行于底面的截面是圆 D．圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形

答案：B。解析：只有当顶角为90°时，面积才为最大。

2、设M为正四面体ABCD高线AH上一点，连结MB，MC，若∠BMC=90°，则

AMMH

的值为 （ ）

A、

5?12 B、5?12 C、2 D、1

2

2

2

2

答案：D。解析：设四面体的棱长为a，MH=x，则MC=MB=MH+BH=x2在Rt△BMC中，由MB2+MC2=BC2得2(x2即

AMMH?1。

?13a)?a22?13a2， AH，

，解得x?66a，∴AM=MH=

123．如果球的内接正方体的表面积为24，那么球的体积等于 （ ） A．43? B．23? C．323? D．

82?3

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答案：A。解析：6a2?24,?a?2,?2R?23，即R?3,?V?433?R?43?。

4．四面体的一条棱长为x，其它各棱长为1，若把四面体的体积V表示成x的函数f(x)，则f(x)的增区间为 ，减区间为 。

答案：（0，

62?

?6?x2?。解析： f(x)?3?x，利用不等式或导数即可判断。，3??42??5．设P是平面α外一点，且P到平面α内的四边形的四条边的距离都相等，则四边形

是 。

答案：圆外切四边形。解析：P在α内的射影到各边的距离相等。 6．已知一个圆锥的底面半径为R，高为H，在其中有一个高为x的内接圆柱， （1）求圆柱的侧面积；

（2）x为何值时，圆柱的侧面积最大？

答案：解：（1）过圆锥及内接的圆柱的轴作截面，如图： 因为

rR?H?xH，所以r?R?R从而S圆柱侧面?2?rx?2?Rx?（2）因为?2?RHH2?RHx， x．

2Hrx?H22?R4?RH?0，所以当x??b2a?时，S侧最大，

R从而当x?H2即圆柱的高为圆锥高的一半时，圆柱的侧面积最大．

7．一块边长为10cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器,试建立容器的容积V与x的函数关系式,并求出函数的定义域.

答案：解:如图,设所截等腰三角形的底边边长为xcm. 在Rt?EOF中, EF?5cm,OF?1412xcm,

105xADOBCFE 所以EO?25?x, 于是V?213x225?14x

2依题意函数的定义域为{x|0?x?10}

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8. 从边长为2a的正方形铁片的四个角各截去一个边长为x的正方形（如图），再将四 边向上折起，做成一个无盖的长方体铁盒，要求长方体的高度x与底面正方形的边长的比值不超过常数t。

（1）把铁盒的容积V表示成x的函数，并指出其定义域； （2）x值何值时，容积V有最大值？

答案：（1）V=(2a-2x)2x=4x(a-x)2,由

（2）由 V ? x ( a ? a ? x ) ? 2 ? ( ) 3 ? a 3，等号成立的条件是2x=a-x,即x2 ? 2x )(3272a16?a3x2a?2x?t得0?x?2at1?2t

①当 ?3a2at1?2t即t?14时，x可取得a3,此时Vmax?1627a；

3

2ata1②当 ? 即 t ? 时，上式中等号不成立，此时，取V=4x(a-x)2,

2at2at0 , ]上是增函数，∴当 x ? 时，V有最大值。 在 (

1?2t1?2t1?2t34

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B组

1、下列三个命题，其中正确的有 （ ） （1）、用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台 （2）、两个底面平行且相似，其余各面是梯形的多面体是棱台 （3）、有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

答案：A。解析：A中截面是否平行于底面不确定，B、C中没有侧棱交于同一点这一条件。

2．一个平面多边形的斜二侧图形的面积是S，则这个多边形的面积是 （ ）

A．

2S B．2S C．22S D．4S

答案：C。解析：取特殊例子进行分析。

3．若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积的值是 （ ） A、

11121412116 B、 C、 D、以上都有可能

答案：D。解析：分别为下列三种情况：有一个边长为1的正三角形，则将其作为底面，考虑其侧棱长，共有四种情况：两边为1，一边为2；一边为1，两边长为2；三边全为2。显然只有最后一种是可能的。如果这些三角形中，不存在边长为1的正三角形，则只有两种可能情况：四面体的6条棱中，只有一组相对棱的长度为1，其余棱长全为2；只有一条棱长为1，其余棱长全为2。

4．点P在直径为2的球面上，过P作两两垂直的三条弦，若其中一条弦长是另一条弦长的2倍，则这三条弦长之和为最大值是

答案：

270545。解析：设三边长为x,2x,y，则5x245?y?42，

令x?cos?,y?2sin?,?3x?y?3cos??2sin??2570。

5．在底面边长为6㎝、高为14㎝的正三棱柱内放入相同的n个球，使球半径尽量大，则n＝ 。

答案：4。解析：r?3,?1423?4。

6．如图，正三棱锥S?ABC的侧面是边长为a的正三角形，D是SA的中点，E是BC的中点，求SDE绕SE旋转一周所得旋转体的体积．

答案：解：如图，连接AE，由题意得SE?AE，又D是SA的中点，所以DE?SA，又SE?SB?BE22SDAB2CE?32a,DE?SE?SD2?22a．

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作DF?SE，垂足为F，则DF?SE?DE?SD，所以

aDF?DE?SDSE?2?2232a?a66a，则所求旋转体的体积：

SDAFCEBV?113?????1a??SF???3?6?622?6?A??EF??6???2?6????a??SE??3?6??336

?a.3

7．如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面BEFG所截而得到的。其中AB=4，BC=1，AE=3，DF=4。

⑴求异面直线EF与BC所成的角；

⑵求截面与底面所成二面角的正切值；

F E D G C A B

答案：（1）过E作EH//AD交DF于H点，?BC//AD，?EH//AD，又EH=BC=1=FH，

??FEH?45，即EF与BC所成的角为45。

（2）由已知得EFGB为平行四边形，?BG?2,GC?1，延长FG、DC相交于N，连结BN。过C作CM?BN于M，连结GM，则?GMC为所求二面角的平面角。

1CN14?GC//DF,??,?CN?

4CN?44300F H

G E

D C M B

N 11S?BC?CN??BN?CM 在?BCN中，?BCN22?CM?,?tan?GMC?? 4455415A 8．如图所示，已知BB1，CC1是Rt△ABC所在平面同侧的两条相等的斜线段，它们与平面ABC所成的角均为60°，且BB1//CC1，线段BB1的端点B1在平面ABC上的射影M恰是BC的中点，已知BC=2cm，∠ACB=90°.

⑴求异面直线AB1与BC1所成的角；

⑵若二面角A—B1B—C为30°，求三棱锥C1—ABC的体积； （3）求直线AB1与平面BCC1B1所成角的正切值.

B1C1A CBM答案：⑴∵B1M⊥平面ABC，∴B1M⊥AC。又∵AC⊥BC，∴AC⊥平面BB1C1C。∴AC⊥BC1，∠

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B1BM为BB1与平面ABC所成的角∠B1BM=60°，BM=1，∴B1B=2，四边形B1BCC1为菱形，∴B1C⊥BC1，∴BC1⊥平面B1CA。∴BC1⊥AB1，即异面直线AB1与BC1所成的角为90°。

⑵取BB1的中点D，连结CD，则CD⊥BB1，

∵AC⊥平面BCC1B1，连结AD，由三垂线定理知AD⊥BB1，∴∠ADC即为二面角A—BB1—C的平面角。∴∠ADC=30°，在Rt△ACD中，CD=BC·sin60°=3，∴AC=1，

13?3?3??AC???2?2??1??2?323??11∴V33C1?ABC?VA?ABC?1S?BCC，故三棱锥C1—ABC的体积

1为

cm3。

⑶∵AC⊥平面BCC1B1，∴∠AB1C即为直线AB1与平面BCC1B1所成的角。 在Rt△ABC中，tan?AB1C?

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ACB1C?12，∴AB1与平面BCC1B1所成角的正切值为。

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B1BM为BB1与平面ABC所成的角∠B1BM=60°，BM=1，∴B1B=2，四边形B1BCC1为菱形，∴B1C⊥BC1，∴BC1⊥平面B1CA。∴BC1⊥AB1，即异面直线AB1与BC1所成的角为90°。

⑵取BB1的中点D，连结CD，则CD⊥BB1，

∵AC⊥平面BCC1B1，连结AD，由三垂线定理知AD⊥BB1，∴∠ADC即为二面角A—BB1—C的平面角。∴∠ADC=30°，在Rt△ACD中，CD=BC·sin60°=3，∴AC=1，

13?3?3??AC???2?2??1??2?323??11∴V33C1?ABC?VA?ABC?1S?BCC，故三棱锥C1—ABC的体积

1为

cm3。

⑶∵AC⊥平面BCC1B1，∴∠AB1C即为直线AB1与平面BCC1B1所成的角。 在Rt△ABC中，tan?AB1C?

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ACB1C?12，∴AB1与平面BCC1B1所成角的正切值为。

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