固体物理第一二章习题解答

第一章习题

1.画出下列晶体的惯用原胞和布拉菲格子，指明各晶体的结构以及惯用原胞、初基原胞中的原子个数和

配位数。

(1)氯化钾；（2）氯化钛；（3）硅；（4）砷化镓；（5）碳化硅（6）钽酸锂；（7）铍；（8）钼；（9）铂。解：

名称分子式结构惯用元胞

布拉菲

格子初基元胞

中原子数

~

惯用元胞

中原子数

配位数

氯化钾KCl NaCl结构fcc286

（

氯化钛

TiCl CsCl结构sc228硅Si

{

金刚石

fcc284砷化镓GaAs闪锌矿

*

fcc

284

碳化硅SiC闪锌矿fcc2#

8

4

钽酸锂

LiTaO 3

钙钛矿

sc

5

5

2、6、12

#

O 、Ta 、Li

铍

Be

hcp

简单

六角

2

6

12

}

钼

Mo

bcc

bcc

1

2

8

铂 Pt

…

fcc

fcc

1

4

12

2. 试证明：理想六角密堆积结构的

1

2

8 1.6333c a ??== ???。如果实际的c

a

值比这个数值大得多，可以把晶体视为由原子密排平面所组成，这些面是疏松堆垛的。

证明：如右图所示，六角层内最近邻原子间距为a ，而相邻两层的最近邻原子间距为：2

1

2

243???? ??+=c a d 。

当d =a 时构成理想密堆积结构，此时有：2

1

2

2

43???

? ??+=c a a ，

由此解出：633.1382

1

=?

?

?

??=a c 。

[

若

633.1>a

c

时，则表示原子平面的层间距较理想结构的层间距大， 因此层间堆积不够紧密。

3. 画出立方晶系中的下列晶向和晶面：[101]、[110]、[112]、[121]、（110）、（211）、（111）、（112）。 解：

4. 考虑指数为（100）和（001）的面，其晶格属于面心立方，且指数指的是立方惯用原胞。若采用初基

原胞基矢坐标系为轴，这些面的指数是多少

解：如右图所示：在立方惯用原胞中的（100）晶面，在初基原胞基矢坐标 系中，在1a 、2a 、3a 三个基矢坐标上的截距为()

2,,2∞，则晶面 指数为（101）。同理，（001）晶面在初基原胞基矢坐标系1a 、2a 、

3a 上的截距为()

∞,2,2，则晶面指数为（110）。 5. 试求面心立方结构（100）、（110）、（111）晶面族的原子数面密度和面间距，并比较大小；说明垂直

于上述各晶面的轴线是什么对称轴

~

解：

晶面指数

原子数面密度 面间距 对称轴 （100） 2

2a a C 4 （110） |

24

.1a

a 22 C 2 （111） 23.2a a 33 C 3

6. 对于二维六角密积结构，初基原胞基矢为：132a a i j →→??=+ ???，232a a i j →→→??=-+ ???

，k c c =。求其倒格子基矢，并判断倒格子也是六方结构。

解：由倒格基失的定义，可计算得：Ω?=→→→3

212a a b π=a π2)31(→→+j i ， →→→→→+-=Ω?=j i a a a b )31(22132ππ，→→→→=Ω?=k c a a b ππ22213（未在图中画出） '

正空间二维初基原胞如图（A ）所示，倒空间初基原胞如图（B ）所示

（1）由→

→21b b 、组成的倒初基原胞构成倒空间点阵，具有C 6操作对称性，而C 6对称性是六角晶系的特征。

（2）由→→21a a 、构成的二维正初基原胞，与由→

→21b b 、构成的倒初基原胞为相似平行四边形，故正空间为六角结构，倒空间也必为六角结构。

（3）倒空间初基原胞基矢与正格子初基原胞基矢形式相同，所以也为六方结构。 7. 用倒格矢的性质证明，立方晶系的[hkl ]晶向与（hkl ）晶面垂直。 证明：由倒格矢的性质，倒格矢→→→→++=321b l b k b h G hkl 垂直于晶面（hkl ）。由晶向指数（hkl ），晶向可用

矢量表示，则：→→→++=321a l a k a h 。

倒格子基矢的定义：Ω?=

→→→)(2321a a b π；Ω?=→→→)(2132a a b π；Ω?=→

→→)(2213a a b π 在立方晶系中，可取→→→321a a a 、、31a a a ==，则可得知1b b b ，　，

1b b b ==m a b i i

=（为常值，且有量纲，即不为纯数），

》

则 A m a l a k a h m G hkl ）＝321(++=→→→，即hkl G 与A 平行。 8. 考虑晶格中的一个晶面（hkl ），证明：(a ) 倒格矢123h G hb kb lb =++垂直于这个晶面；(b ) 晶格中相邻两个平行晶面的间距为2hkl h d G π=；(c ) 对于简单立方晶格有()22

222a d h k l =++。 证明：（a ）晶面（hkl ）在基矢321a a a 、　、　上的截距为l

a k a h a 321、　、　。作矢量： k a h a m 211-=，l a k a m 322-=，h

a l a m 133-= 显然这三个矢量互不平行，均落在（hkl ）晶面上（如右图），且

()()()()022232121321133213221321211=???????????+???+???????? ??-=++????? ??-=?a a a a a l a a a a a k a a a a a h k a h a b l b k b h k a h a G m h πππ　　　　

同理，有02=?h G m ，03=?h G m

所以，倒格矢()hkl G h ⊥晶面。

（b ）晶面族（hkl ）的面间距为：

h h h h hkl G G b l b k b h h a G G h a d π232111=++?=?=

·

（c ）对于简单立方晶格： ()212222l k h a G h ++??? ??=π

2222

2

l k h a d ++= 9. 用X 光衍射对Al 作结构分析时，测得从(111)面反射的波长为?，反射角为=，求面间距d 111。 解：由布拉格反射模型，认为入射角＝反射角，由布拉格公式：2dsin =，可得

θ

λsin 2n d =

（对主极大取n =1） )(34.22.19sin 254.10 A d =?= 10. 试证明：劳厄方程与布拉格公式是等效的。

证明：由劳厄方程：πμ2)(0=-?k k R l 与正倒格矢关系：πμ2=?h l G R 比较可知：

若0k k G h -=成立，即入射波矢0k ，衍射波矢k 之差为任意倒格矢h G ，则k 方向产生衍射光，

0k k G h -=式称为倒空间劳厄方程又称衍射三角形。

`

现由倒空间劳厄方程出发，推导Blagg 公式。

对弹性散射：0k k =。由倒格子性质，倒格矢h G 垂直于该 晶面族。所以，h G 的垂直平分面必与该晶面族平行。 由右图可知：θλ

π

θsin 4sin 2=

=k G h (A)

又若'h

G 为该方向的最短倒格矢，由倒格矢性质有：d

G h

π

2'=

；若h G 不是该方向最短倒格失，由倒格子周期性： n d

G n G h h π

2'

=

= （B ） 比较（A ）、（B ）二式可得： 2dSin ＝n 即为Blagg 公式。 11. 求金刚石的几何结构因子，并讨论衍射面指数与衍射强度的关系。 解：每个惯用元胞中有八个同类原子，其坐标为： ()??

?

????? ????? ????? ????? ????? ?????

??434341434143414343414141212102102102121000，　，　，　，　，　，　，　 结构因子：()

∑=++=

m

i

j lw kv hu i j

hkl j

j j e

f S πα2

#

()()()

()()()()??

????++++++=+++++++++++l k h i l k h i l k h i l k h i l h i l k i k h i e e e e e e e f 33233233221πππππππα

前四项为fcc 的结构因子，用F f 表示从后四项提出因子)(2

l k h i e

++π

[]()

()??

????

+=+=++++=+++++++++l k h i f l k h i

f f

l k i l h i k h i l k h i f hkl e F e

F F

e

e

e

e

f F S 22

)

()

()

()(112

π

π

πππαπ

因为衍射强度2

hkl S

I ∝，

[

][]

()()??

????++=++=++-++++-++l k h i l k h i f

l k h i l k h i f

hkl

e e F e

e

F S

22

2)()(22

21·12

2

π

πππ

用尤拉公式整理后：??

?

??

?+++=)(2cos

122

2l k h F S f hkl π

讨论：1、当h 、k 、l 为奇异性数（奇偶混杂）时，0=f F ，所以02=hkl S ；

2、当h 、k 、l 为全奇数时，222232)4(22ααf f F S f l k h =?==??；

3、当h 、k 、l 全为偶数，且n l k h 4=++（n 为任意整数）时，

2222..64164)11(2ααf f F S f l k h =?=+=

当h 、k 、l 全为偶数，但n l k h 4≠++，则()122+=++n l k h 时，

0)11(222..=-=αF S l k h

12. '

13. 证明第一布里渊区的体积为()c V 32π，其中V c 是正格子初基原胞的体积。

证明：根据正、倒格子之间的关系：

Ω?=→→→

)(2321a a b π，Ω?=→→→)(2132a a b π；Ω?=→

→→)(2213a a b π V c 是正格子初基原胞的体积，第一布里渊区的体积为就为倒格子原胞的体积，即

(

)()[]

()[]()[]()c c c c V V a a a a a a V a a V 3123123321133233

222)()(2πππ=???????? ??=????????? ??=??=　　

第二章 习 题

1、已知某晶体两相邻原子间的互作用能可表示成：n m r

b r a r U +-=)(，求： ⑴ 晶体平衡时两原子间的距离；⑵ 平衡时的二原子间的互作用能；

⑶ 若取m =2，n =10，两原子间的平衡距离为3?，仅考虑二原子间互作用则离解能为4eV ，计算a 及b 的值；

⑷ 若把互作用势中排斥项n b r 改用玻恩－梅叶表达式exp r p λ??- ???

，并认为在平衡时对互作用势能具有相同的贡献，求n 和p 间的关系。

解：(1) 由n m r

b r a r U +-=)(，平衡时：0)(10100=-=??----n m r bnr amr r r U ， 得： am bn r m

n =-0 ，化简后得：m n am

bn r -=1)(0。 (2) 平衡时把r 0表示式代入U (r )中： m n m n m n m n n m m

n b am n a bn m am

bn b am bn a r U m

n n m n m -----??? ??+??? ??-=+-=--)()()(0。 （3）由r 0表示式得： 81)5(10310a

b =?- 若理解为互作用势能为二原子平衡时系统所具有的能量，由能量最小原理，平衡时系统能量具有极小值，且为负值；离解能和结合能为要把二原子拉开，外力所作的功，为正值，所以，离解能＝结合能＝－互作用势能，由U (r )式的负值，得：

101021019)

103()103(106.14---?-?+=??b a 化简为：8010103

9104.6-?-+=?b a 略去第二项计算可得： 21152381045.910

2.7m J b m J a ??=??=--，　 (4) 由题意得：n p r br e =-0λ *

00ln ln ln r n b p r -=-λ，λb p r r n ln ln 00+=，则： 00ln ln r b p r n λ+=

又解：*式两边对r 0求导，得：10---=n p r bnr e p λ

，与*式比较得：p

r n 10= 可解得：np r =0

2、N 对离子组成的Nacl 晶体相互作用势能为：??????-=R e R B N R U n 024)(πεα。 ⑴ 证明平衡原子间距为：n e B R n 2

0104απε=-； ⑵ 证明平衡时的互作用势能为：)11(4)(0020n

R Ne R U --=πεα； ⑶ 若试验试验测得Nacl 晶体的结合能为765kJ/mol ，晶格常数为10-10m ，计算Nacl 晶体的排斥能的幂指数n ，已知Nacl 晶体的马德隆常数是＝。

证明：（1）由：???

? ??+-=R e R B N R U n 024)(πεα

得：???

? ??-=??????---=+---120220214)1(4)()(n n R Bn R e N R e R n B N dR R dU πεαπεα

令： 0)(0==R R R

R dU ，即 04102002=???? ??-+n R Bn R e N πεα 得：2

0104e Bn R n απε=-。 （2）把以上结果代入U (R )式，并把R 取为R 0，则：

??? ??--=???

?????-=--n R e N e B N R U n n e Bn e Bn e Bn 114)(4)()(0024024401120112020

πεαπεααπεαπεαπε 若认为结合能与互作用能符号相反，则上式乘“－”。

（3）由（2）之结论整理可得：)

(400022

R U R e N e N n πεαα+= 式中：23100.6?=N N ，19106.1-?=e 库仑，1201085.8-?=ε法/米

若题中R 0为异种原子的间矩，则：m R 1001063.55.0-??=；

mol J R U /1065.7)(50?-=U （平衡时互作用势能取极小值，且为负，而结合能为正值）

马德隆常数：75.1=α，将这些一致数据代入n 的表达式中，则：

8.81056.275.1100.61065.71082.21085.814.3411

)(41138

235

101220

00≈???????????-

=-=

---e N R U R n απε 3、如果把晶体的体积写成：V ＝N R 3，式中N 是晶体中的粒子数；R 是最近邻粒子间距；是结构因子，试求下列结构的值：⑴fcc ；⑵bcc ；⑶NaCl ；⑷金刚石。 解：取一个惯用元胞来考虑：

结构 V 0 N 0 R 0

fcc

a 3

4

a 22

2

2 bcc a

3 2

a 2

3 2

33

4

NaCl a 3 8 2a 1

金刚石

a 3

8

a 4

3 2

33

8

4、证明：由两种离子组成的间距为R 0的一维晶格的马德隆常数2ln 2α=。[已知()

1

1

1ln 21n n n

-∞

==

-∑] 证明：由马德隆常数的定义：∑±

=

j

j

a 1

α，其中同号离子取“－”，异号离子取“＋”。 若以一正离子为参考点，则：

??

?

??++++-??? ?

?+-+

+++=......21......6141212......121 (5)

13112n n α (A) 又由已知()

1

1

1

ln 21n n n

-∞

==

-∑，代入（A ）式，则：2ln 2=α 5、假定由2N 个交替带电荷为q ±的离子排布成一条线，其最近邻之间的排斥势为

n b

r

，试证明在平衡间距下有：()20002ln 2114Nq U R R n πε??

=-- ???。

证明：由???

?

??+-=R q R B N R U n 024)(πεα，得：

???

? ??-=??????---=+---120220214)1(4)()(n n R Bn R q N R q R n B N dR R dU πεαπεα

令： 0)(0==R R R

R dU ，即 04102002=???? ??-+n R Bn R q N πεα 得：2

0104q Bn R n απε=-。把该式代入U (R )式，并把R 取为R 0，则： ??? ??--=???

?????-=--n R q N q B N R U n n q Bn q Bn q Bn 114)(4)()(0024024401120112020πεαπεααπεαπεαπε (A) 由马德隆常数的定义：∑±

=j j

a 1α，其中同号离子取“－”，异号离子取“＋”。 若以一正离子为参考点，则：

??

? ??++++-??? ??+-+

+++=......21......6141212......121......513112n n α (B) 又由已知()

111ln 21n n n

-∞==-∑，代入（B ）式，则：2ln 2=α。将α代入(A) 式，得： ()20002ln 2114Nq U R R n πε??=-- ???

。 6、试说明为什么当正、负离子半径比37.1/>+-r r 时不能形成氯化铯结构；当41.2/>+-r r 时不能形成氯化钠结构。当41.2/>+-r r 时将形成什么结构已知RbCl 、AgBr 及BeS 中正、负离子半径分别为：

晶 体

r +/nm r -/nm RbCl

AgBr

BeS

若把它们看成是典型的离子晶体，试问它们具有什么晶体结构若近似地把正、负离子都看成是硬小球，请计算这些晶体的晶格常数。

解：通常+->r r ，当组成晶体时，可以认为正、负离子球相互密接。

对氯化铯结构，如图（a ）所示，8个正离子组成立方体，负离子处在立方体的中心，所以立方体的对角线+-+=r r d 22，立方体的边长为：

()+-+==r r d

a 32

3

为了能构成氯化铯结构晶体，负离子的直径-r 2必须小于立方体的边长a ，即 ()

+--+=

<

r r a r 3

22

，由此可得：37.11

31/=-<

+

-r r 。

即为了能构成氯化铯结构晶体，+-r r /必须小于。

（a ） （b ） （c ）

对于氯化钠结构，如图（b ）所示为氯化钠结构的一个惯用原胞（100）面的离子分布情况，这里设正离子处在顶角，由图可见，

()-+-+=

21/=-<

+-r r 。

所以，构成氯化钠结构+-r r /必须小于。

对于闪锌矿结构，如图（c ）所示为闪锌矿结构的一个惯用原胞（110）面的离子分布，这里设负离子处在面心立方位置，由图可见，

a r r 4

3

=

++-，a r 24=-，-=r a 22 -+-?==

+r a r r 224

343， 则：41.245.4/>=+-r r 所以，构成氯化钠结构+-r r /必须大于。 晶 体 r +/nm r -/nm +-r r /

晶体结构 晶格常数a /nm

RbCl AgBr BeS

氯化铯 氯化钠 闪锌矿

《

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