离散数学课后习题答案 - （左孝凌版）

1-1，1-2 （1） 解：

a) 是命题，真值为T。 b) 不是命题。

c) 是命题，真值要根据具体情况确定。 d) 不是命题。

e) 是命题，真值为T。 f) 是命题，真值为T。 g) 是命题，真值为F。 h) 不是命题。 i) 不是命题。 （2） 解：

原子命题：我爱北京天安门。

复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。 （3） 解：

a) (┓P ∧R)→Q b) Q→R c) ┓P d) P→┓Q （4） 解：

a)设Q:我将去参加舞会。R:我有时间。P:天下雨。

Q? (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。 b)设R:我在看电视。Q:我在吃苹果。 R∧Q:我在看电视边吃苹果。

c) 设Q:一个数是奇数。R:一个数不能被2除。

（Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。 (5) 解：

a) 设P：王强身体很好。Q：王强成绩很好。P∧Q b) 设P：小李看书。Q：小李听音乐。P∧Q c) 设P：气候很好。Q：气候很热。P∨Q

d) 设P： a和b是偶数。Q：a+b是偶数。P→Q

e) 设P：四边形ABCD是平行四边形。Q ：四边形ABCD的对边平行。P?Q f) 设P：语法错误。Q：程序错误。R：停机。（P∨ Q）→ R (6) 解：

a) P:天气炎热。Q:正在下雨。 P∧Q b) P:天气炎热。R:湿度较低。 P∧R c) R:天正在下雨。S:湿度很高。 R∨S d) A:刘英上山。B:李进上山。 A∧B

e) M:老王是革新者。N:小李是革新者。 M∨N f) L:你看电影。M:我看电影。 ┓L→┓M

g) P:我不看电视。Q:我不外出。 R:我在睡觉。 P∧Q∧R

h) P:控制台打字机作输入设备。Q:控制台打字机作输出设备。P∧Q 1-3

（1）解：

a) 不是合式公式，没有规定运算符次序（若规定运算符次序后亦可作为合式

公式） b) 是合式公式

c) 不是合式公式（括弧不配对）

d) 不是合式公式（R和S之间缺少联结词） e) 是合式公式。 （2）解：

a） A是合式公式，(A∨B)是合式公式，(A→(A∨B)) 是合式公式。这个过程

可以简记为：

A；(A∨B)；(A→(A∨B)) 同理可记

b） A；┓A ；(┓A∧B) ；((┓A∧B)∧A)

c） A；┓A ；B；(┓A→B) ；(B→A) ；((┓A→B)→(B→A)) d） A；B；(A→B) ；(B→A) ；((A→B)∨(B→A)) （3）解：

a） ((((A→C)→((B∧C)→A))→((B∧C)→A))→(A→C)) b） ((B→A)∨(A→B))。 （4）解：

a) 是由c) 式进行代换得到，在c) 中用Q代换P, (P→P)代换Q. d) 是由a) 式进行代换得到，在a) 中用 P→(Q→P)代换Q.

e) 是由b) 式进行代换得到，用R代换P, S代换Q, Q代换R, P代换S. （5）解：

a) P: 你没有给我写信。 R: 信在途中丢失了。 P Q b) P: 张三不去。Q: 李四不去。R: 他就去。 (P∧Q)→R c) P: 我们能划船。 Q: 我们能跑步。 ┓(P∧Q) ∨ d) P: 你来了。Q: 他唱歌。R: 你伴奏。 P→(Q?R) （6）解：

P:它占据空间。 Q:它有质量。 R:它不断变化。 S:它是物质。 这个人起初主张：(P∧Q∧R) ? S 后来主张：(P∧Q?S)∧(S→R)

这个人开头主张与后来主张的不同点在于：后来认为有P∧Q必同时有R，开头时没有这样的主张。 （7）解：

a) P: 上午下雨。 Q:我去看电影。 R:我在家里读书。 S:我在家里看报。(┓P→Q)∧(P→(R∨S))

b) P: 我今天进城。Q:天下雨。┓Q→P c) P: 你走了。 Q:我留下。Q→P 1-4

（4）解：a)

P Q R Q∧R P∧(Q∧R) P∧Q (P∧Q)∧R T T T T T T T T T F F F T F T F T F F F F T F F F F F F F T T T F F F F T F F F F F F F T F F F F F F F F F F F 所以，P∧(Q∧R) ? (P∧Q)∧R b)

P Q R Q∨R P∨(Q∨R) P∨Q (P∨Q)∨R T T T Ｔ Ｔ Ｔ Ｔ T T F Ｔ Ｔ Ｔ Ｔ T F T Ｔ Ｔ Ｔ Ｔ T F F Ｆ Ｔ Ｔ Ｔ F T T Ｔ Ｔ Ｔ Ｔ F T F Ｔ Ｔ Ｔ Ｔ F F T Ｔ Ｔ Ｆ Ｔ F F F Ｆ Ｆ Ｆ Ｆ 所以，P∨(Q∨R) ? (P∨Q)∨R ｃ）

Ｐ Ｑ Ｑ∨Ｒ Ｒ Ｐ∧（Ｑ∨Ｒ） Ｐ∧Ｑ Ｐ∧Ｒ （Ｐ∧Ｑ）∨（Ｐ∧Ｒ） Ｔ Ｔ Ｔ Ｔ Ｔ Ｆ Ｔ Ｆ Ｔ Ｔ Ｔ Ｔ Ｔ Ｔ Ｔ Ｔ Ｔ Ｆ Ｔ Ｔ Ｆ Ｔ Ｔ Ｆ Ｔ Ｔ Ｆ Ｆ Ｆ Ｆ Ｆ Ｆ Ｆ Ｔ Ｔ Ｆ Ｆ Ｆ Ｆ Ｔ Ｔ Ｆ Ｆ Ｆ Ｆ Ｆ Ｔ Ｔ Ｆ Ｆ Ｆ Ｆ Ｆ Ｆ Ｆ Ｆ Ｆ Ｆ Ｆ Ｆ Ｔ Ｆ Ｆ Ｆ 所以，P∧(Q∨R) ? (P∧Q)∨(P∧R) ｄ）

P Q ┓P ┓Q ┓P∨┓┓(P∧QQ ) ┓P∧┓Q ┓(P∨Q) T T F F F F F F T F F T T T F F F T T F T T F F F F T T T T T T 所以，┓(P∧Q) ?┓P∨┓Q, ┓(P∨Q) ?┓P∧┓Q

（5）解：如表，对问好所填的地方，可得公式F1～F6，可表达为

P Q R F1 F2 F3 F4 F5 F6 T T T T F T T F F T T F F F T F F F T F T T F F T T F T F F F T F T T F F T T T F F T T F F T F T F F F T F F F T T F T T T F F F F F T F T T T F1:(Q→P)→R

F2:(P∧┓Q∧┓R)∨(┓P∧┓Q∧┓R) F3:(P←→Q)∧(Q∨R)

F4:(┓P∨┓Q∨R)∧(P∨┓Q∨R) F5:(┓P∨┓Q∨R)∧(┓P∨┓Q∨┓R) F6:┓(P∨Q∨R)

(6)

P Q 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 F F F T F T F T F T F T F T F T F T F T F F T T F F T T F F T T F F T T T F F F F F T T T T F F F F T T T T T T F F F F F F F F T T T T T T T T 解：由上表可得有关公式为 1.F 2.┓(P∨Q) 3.┓(Q→P) 4.┓P

5.┓(P→Q) 6.┓Q 7.┓(P?Q) 8.┓(P∧Q) 9.P∧Q 10.P?Q 11.Q 12.P→Q 13.P 14.Q→P 15.P∨Q 16.T

(7) 证明：

a) A→(B→A)? ┐A∨(┐B∨A)

? A∨(┐A∨┐B) ? A∨(A→┐B) ?┐A→(A→┐B)

b) ┐(A?B) ?┐((A∧B)∨(┐A∧┐B))

?┐((A∧B)∨┐(A∨B)) ?(A∨B)∧┐(A∧B)

或 ┐(A?B) ?┐((A→B)∧(B→A))

?┐((┐A∨B)∧(┐B∨A))

?┐((┐A∧┐B)∨(┐A∧A)∨(B∧┐B)∨(B∧A)) ?┐((┐A∧┐B)∨(B∧A)) ?┐(┐(A∨B))∨(A∧B) ?(A∨B)∧┐(A∧B)

c) ┐(A→B) ? ┐(┐A∨B) ?A∧┐B d) ┐(A?B)?┐((A→B)∧(B→A))

?┐((┐A∨B)∧(┐B∨A)) ?(A∧┐B)∨(┐A∧B)

e) (((A∧B∧C)→D)∧(C→(A∨B∨D)))

?(┐(A∧B∧C)∨D)∧(┐C∨(A∨B∨D)) ?(┐(A∧B∧C)∨D)∧(┐(┐A∧┐B∧C)∨D) ? (┐(A∧B∧C)∧┐(┐A∧┐B∧C))∨D ?((A∧B∧C)∨(┐A∧┐B∧C))→D ? (((A∧B)∨(┐A∧┐B))∧C)→D ? ((C∧(A?B))→D)

f) A→(B∨C) ? ┐A∨(B∨C)

? (┐A∨B)∨C ?┐(A∧┐B)∨C ? (A∧┐B)→C

g) (A→D)∧(B→D)?(┐A∨D)∧(┐B∨D)

?(┐A∧┐B)∨D ? ┐(A∨B)∨D ? (A∨B)→D

h) ((A∧B)→C)∧(B→(D∨C))

?(┐(A∧B)∨C)∧(┐B∨(D∨C)) ? (┐(A∧B)∧(┐B∨D))∨C ?(┐(A∧B) ∧┐(┐D∧B))∨C ?┐((A∧B)∨(┐D∧B))∨C ? ((A∨┐D)∧B)→C ? (B∧(D→A))→C （8）解：

a) ((A→B) ? (┐B→┐A))∧C

? ((┐A∨B) ? (B∨┐A))∧C ? ((┐A∨B) ? (┐A∨B))∧C ?T∧C ?C

b) A∨(┐A∨(B∧┐B)) ? (A∨┐A)∨(B∧┐B) ?T∨F ?T c) (A∧B∧C)∨(┐A∧B∧C)

? (A∨┐A) ∧(B∧C) ?T∧(B∧C) ?B∧C

（9）解：1）设C为T，A为T，B为F，则满足A∨C?B∨C，但A?B不成立。 2）设C为F，A为T，B为F，则满足A∧C?B∧C，但A?B不成立。 3）由题意知┐A和┐B的真值相同，所以A和B的真值也相同。 习题 1-5

（1） 证明：

a) (P∧(P→Q))→Q

? (P∧(┐P∨Q))→Q ?(P∧┐P)∨(P∧Q)→Q ?(P∧Q)→Q ?┐(P∧Q)∨Q ?┐P∨┐Q∨Q ?┐P∨T ?T

b) ┐P→(P→Q)

?P∨(┐P∨Q) ? (P∨┐P)∨Q ?T∨Q ?T

c) ((P→Q)∧(Q→R))→(P→R)

因为(P→Q)∧(Q→R)?(P→R) 所以 (P→Q)∧(Q→R)为重言式。

d) ((a∧b)∨(b∧c) ∨(c∧a))?(a∨b)∧(b∨c)∧(c∨a)

因为((a∧b)∨(b∧c)∨(c∧a)) ?((a∨c)∧b)∨(c∧a)

?((a∨c)∨(c∧a))∧(b∨(c∧a)) ?(a∨c)∧(b∨c)∧(b∨a)

所以((a∧b)∨(b∧c) ∨(c∧a))?(a∨b)∧(b∨c)∧(c∨a) 为重言式。（2） 证明：

a)(P→Q)?P→(P∧Q) 解法1： 设P→Q为T

（1）若P为T，则Q为T，所以P∧Q为T，故P→(P∧Q)为T （2）若P为F，则Q为F，所以P∧Q为F，P→(P∧Q)为T 命题得证 解法2：

设P→(P∧Q)为F ，则P为T，(P∧Q)为F ，故必有P为T，Q为F ，所以P→Q为F。 解法3：

(P→Q) →(P→(P∧Q))

?┐(┐P∨Q)∨(┐P∨(P∧Q))

?┐(┐P∨Q)∨((┐P∨P)∧(┐P∨Q)) ?T

所以(P→Q)?P→(P∧Q) b)(P→Q)→Q?P∨Q

设P∨Q为F，则P为F，且Q为F， 故P→Q为T，(P→Q)→Q为F， 所以(P→Q)→Q?P∨Q。

c)(Q→(P∧┐P))→(R→(R→(P∧┐P)))?R→Q

设R→Q为F，则R为T，且Q为F，又P∧┐P为F 所以Q→(P∧┐P)为T，R→(P∧┐P)为F

所以R→(R→(P∧┐P))为F，所以(Q→(P∧┐P))→(R→(R→(P∧┐P)))为F

即(Q→(P∧┐P))→(R→(R→(P∧┐P)))?R→Q成立。 （3） 解：

a) P→Q表示命题“如果8是偶数，那么糖果是甜的”。

b) a)的逆换式Q→P表示命题“如果糖果是甜的，那么8是偶数”。

c) a)的反换式┐P→┐Q表示命题“如果8不是偶数，那么糖果不是甜的”。 d) a)的逆反式┐Q→┐P表示命题“如果糖果不是甜的，那么8不是偶数”。 （4） 解：

a) 如果天下雨，我不去。

设P：天下雨。Q：我不去。P→Q

逆换式Q→P表示命题:如果我不去，则天下雨。 逆反式┐Q→┐P表示命题:如果我去，则天不下雨 b) 仅当你走我将留下。

设S：你走了。R：我将留下。R→S

逆换式S→R表示命题：如果你走了则我将留下。

逆反式┐S→┐R表示命题：如果你不走，则我不留下。 c) 如果我不能获得更多帮助，我不能完成个任务。

设E：我不能获得更多帮助。H：我不能完成这个任务。E→H

逆换式H→E表示命题：我不能完成这个任务，则我不能获得更多帮助。 逆反式┐H→┐E表示命题：我完成这个任务，则我能获得更多帮助 （5） 试证明P?Q，Q逻辑蕴含P。 证明：解法1：

本题要求证明(P?Q) ∧Q?P,

设(P?Q) ∧Q为T，则(P?Q)为T，Q为T，故由?的定义，必有P为T。 所以(P?Q) ∧Q?P 解法2：

由体题可知，即证((P?Q)∧Q)→P是永真式。

((P?Q)∧Q)→P ? (((P∧Q) ∨(┐P∧┐Q)) ∧Q)→P ? (┐((P∧Q) ∨(┐P∧┐Q)) ∨┐Q) ∨P

? (((┐P∨┐Q) ∧(P∨Q)) ∨┐Q) ∨P

? ((┐Q∨┐P∨┐Q) ∧(┐Q∨P∨Q)) ∨P ? ((┐Q∨┐P) ∧T) ∨P ?┐Q∨┐P∨P ?┐Q∨T ?T （6） 解：

P：我学习 Q：我数学不及格 R：我热衷于玩扑克。 如果我学习，那么我数学不会不及格： P→┐Q 如果我不热衷于玩扑克，那么我将学习: ┐R→P 但我数学不及格: Q 因此我热衷于玩扑克。 R 即本题符号化为：(P→┐Q)∧(┐R→P)∧Q?R 证：

证法1：((P→┐Q)∧(┐R→P)∧Q)→R ? ┐((┐P∨┐Q)∧(R∨P)∧Q) ∨R ? (P∧Q)∨(┐R∧┐P)∨┐Q∨R

? ((┐Q∨P)∧(┐Q∨Q))∨((R∨┐R)∧(R∨┐P)) ? ┐Q∨P∨R∨┐P ? T

所以，论证有效。

证法2：设(P→┐Q)∧(┐R→P)∧Q为T， 则因Q为T，(P→┐Q) 为T，可得P为F， 由(┐R→P)为T，得到R为T。 故本题论证有效。 （7） 解：

P：6是偶数 Q：7被2除尽 R：5是素数 如果6是偶数，则7被2除不尽 P→┐Q 或5不是素数，或7被2除尽 ┐R∨Q 5是素数 R 所以6是奇数 ┐P 即本题符号化为：（P→┐Q）∧（┐R∨Q）∧R ?┐P 证：

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