广东2012届高考仿真试题文科数学（五）

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模拟仿真试题·广东(五)

文科数学

2012届高考

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)

1.复数2＋i＝( D )

A．2＋i B．－1 C．2－i D．3

解析：因为2＋i2012＝2＋(i4)503＝3，所以选D.

2.设集合P＝{3，log2a}，Q＝{a，b}，若P∩Q＝{0}，则P∪Q＝( B ) A．{3,0} B．{3,0,1} C．{3,0,2} D．{3,0,1,2}

解析：因为P∩Q＝{0}，所以0∈P,0∈Q，所以log2a＝0，所以a＝1，b＝0，所以P∪Q＝{3,0,1}，故选B.

3.PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，下图是据北京某日早7点至晚8点甲、乙两个PM2.5监测点统计的数据(单位：毫克/立方米)列出的茎叶图，则甲、乙两地浓度的中位数较低的是( B )

甲 1 2 9 3 6 3 1 3 3 1 6 4 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 乙 6 1 2 3 6 9 2 9 9 8 9 2 9 2012

7 0.09 A.甲 B．乙 C．甲乙相等 D．无法确定 解析：甲、乙两地浓度的中位数分别为0.066,0.062，故乙地浓度的中位数较低． 4.某程序框图如下图所示，则输出的结果是( C )

A．43 B．44 C．45 D．46

解析：由图可知输出的i为满足i≥2012的最小整数值，故为45.

x2y2

5.已知方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是( C )

2－k2k－111

A．(，2) B．(1，＋∞) C．(1,2) D．(，1)

22

2

??2k－1>2－k

解析：?，所以k∈(1,2)．

?2－k>0?

1

6.若某一几何体的正视图与侧视图均为边长是1的正方形，且其体积为，则该几何体

2的俯视图可以是( C )

ππ

解析：若该几何体的俯视图分别为A，B，D时，其几何体的体积分别为1，，不符合

44题意，而C满足题设，故选择C.

7.下列命题中，正确的是( A )

A．直线l⊥平面α，平面β∥直线l，则α⊥β B．平面α⊥β，直线m⊥β，则m∥α

C．直线l是平面α的一条斜线，且l?β，则α与β必不垂直

D．一个平面内的两条直线与另一个平面内的两条直线分别平行，则这两个平面平行

?x－2y＋5≥0?

8.设m为实数，若{(x，y)|?3－x≥0

??mx＋y≥0

最大值是( B )

3432

A. B. C. D. 4323

，x、y∈R}?{(x，y)|x＋y≤25}，则m的

22

解析：作出不等式组所表示的区域如图所示，当点D在圆周上时，m值最大，此时满足4

32＋(－3m)2＝25，m>0，所以m＝. 3

9.设a＝(1,2)，b＝(1,1)，且a与a＋λb的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是( A ) 55

A．(－，0)∪(0，＋∞) B．(－，＋∞)

3355

C．[－，0)∪(0，＋∞) D．(－，0)

33

a·?a＋λb?

解析：a＋λb＝(1＋λ，2＋λ)，设a与a＋λb的夹角为θ，则cosθ＝，

|a||a＋λb|故a·(a＋λb)>0且ta≠(a＋λb)，t>0，

5

故λ>－且λ≠0，故选择A.

3

10.定义域为[a，b]的函数y＝f(x)图象的两个端点为A、B，M(x，y)是f(x)图象上任意一→→→→

点，其中x＝λa＋(1－λ)b，λ∈[0,1]．已知向量ON＝λOA＋(1－λ)OB，若不等式|MN|≤k恒成1

立，则称函数f(x)在[a，b]上“k阶线性近似”．若函数y＝x－在[1,2]上“k阶线性近似”，

x则实数k的取值范围为( D )

A．[0，＋∞) B．[

133

，＋∞) C．[＋2，＋∞) D．[－2，＋∞) 1222

→→→

解析：由ON＝λOA＋(1－λ)OB知，N是线段AB的中点． 33

设A(1,0)，B(2，)，则lAB：y＝(x－1)．

223

设M(x0，y0)，x0∈[1,2]，则N(x0，(x0－1))，

213113

故k≥|MN|＝|(x0－)－(x0－1)|＝|x0＋－|. x022x02

1133

当x0∈[1,2]时，|x0＋－|的最大值为－2(当且仅当x＝2时，取等号)，

2x0223

故k≥－3.

2

二、填空题(本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．) (一)必做题(11～13题)

11.某校高三有1000个学生，高二有1200个学生，高一有1500个学生，现按年级分层抽样，调查学生的视力情况，若高一抽取了75人，则全校共抽取了 185 人．

75x

解析：设全校共抽取了x人，则有＝，解之可得x＝185.

15001000＋1200＋15001

12.设f(x)＝x3－x2－2x＋5，当x∈[－1,2]时，f(x)

2(7，＋∞) .

22

解析：当x∈[－1,2]时，f′(x)＝3(x＋)(x－1)，故函数(－1，－)，(1,2)上单调递增；在

3322157

区间(－，1)上单调递减，故函数在区间[－1,2]上的最大值为{f(－)，f(2)}max＝{，7}max

3327＝7，故m∈(7，＋∞)．

11111311111

13.给出下列不等式：1＋＋>1,1＋＋＋?＋>，1＋＋＋?＋>2,1＋＋＋?

232372231523＋

n＋115111

>，?，则按此规律可猜想第n个不等式为 1＋＋＋?＋n＋1> . 312232－12(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)

14.以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴并取相同的长度单位建立极坐

??x＝2＋3cosαπ

标系，若直线ρcos(θ－)＝2与曲线C：?(α是参数)相交于A，B两点，则线段

4?y＝2＋3sinα?

AB的长为 27 .

??x＝2＋3cosαπ

解析：将直线ρcos(θ－)＝2与曲线C：?(α是参数)化为直角坐标系下的

4??y＝2＋3sinα

方程分别为：x＋y＝2及(x－2)2＋(y－2)2＝9，利用弦长公式可得l＝2

|2＋2－2|2

332－??＝27. 2r2－d2＝

15.如右图所示，圆O的直径AB为8，C为圆周上一点，BC＝4，过C作圆的切线l，过A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，则线段AE的长为 4 . 解析：连接OC，OE，则BC＝4＝OB＝OC，故∠COB＝60°，AD⊥l，OC⊥l，所以∠DAB＝60°，因为OA＝OE，所以AE＝OA＝4.

三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)

16.(本小题满分12分)

1

已知向量m＝(sinA，)与n＝(3，sinA＋3cosA)共线，其中A是△ABC的内角．

2(1)求角A的大小；

(2)若BC＝2，求△ABC面积S的最大值．

3

解：(1)因为m∥n，所以sinA·(sinA＋3cosA)－＝0，(2分)

2所以即

1－cos2A33

＋sin2A－＝0，(4分) 222

31π

sin2A－cos2A＝1，所以sin(2A－)＝1.(5分) 226

ππ11ππππ因为A∈(0，π)，所以2A－∈(－，)，所以2A－＝，A＝.(7分)

666623(2)因为BC＝2，由余弦定理可得b＋c－bc＝4.(8分)

又b2＋c2≥2bc，所以bc≤4(当且仅当b＝c时，取等号)．(10分)

133从而S△ABC＝bcsinA＝bc≤×4＝3，即S△ABC的最大值为3.(12分)

244

17.(本小题满分13分)

哈尔滨冰雪大世界每年冬天都会吸引大批游客，现准备在景区内开设经营热饮等食品的店铺若干．根据以往对500名40岁(含40岁)以下人员和500名40岁以上人员的统计调查，有如下一系列数据：40岁(含40岁)以下人员购买热饮等食品的有260人，不购买热饮食品的有240人；40岁以上人员购买热饮等食品的有220人，不购买热饮等食品的有280人，请根据以上数据作出2×2列联表，并运用独立性检验思想，判断购买热饮等食品与年龄(按上述统计中的年龄分类方式)是否有关系？(注：要求达到99.9%的把握才能认定为有关系)

n?ad－bc?2

附：K＝

?a＋b??c＋d??a＋c??b＋d?2

2

2

P(K2≥k)

0.500 0.400 0.100 0.010 0.001

k 0.455 解：由题得2×2列联表：

40岁(含40岁)以下 40岁以上 总计

(6分)

0.708 2.706 6.635 10.828 总计 500 500 1000 购买热饮等食品 260 220 480 不购买热饮等食品 240 280 520 1000?260×280－220×240?K＝≈6.410<10.825.(12分)

500×500×480×520

2

2

所以没有99.9%的把握认定为有关系．(13分)

18.(本小题满分13分)

如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC.E是PC的中点．证明：

(1)PA∥平面EDB；

(2)DE⊥平面PBC.

解：(1)连接AC，与BD交于O，连接OE， 由O、E分别为AC、CP中点，所以OE∥PA.(2分) 又OE?平面EDB，PA?平面EDB， 所以PA∥平面EDB.(5分)

(2)由PD⊥平面ABCD，所以PD⊥BC， 又CD⊥BC，PD∩CD＝D，(7分)

所以BC⊥平面PCD，DE⊥BC.(9分)

由PD＝DC，E为PC中点，故DE⊥PC，又PC∩BC＝C，(11分) 所以DE⊥平面PBC.(13分) 19.(本小题满分14分)

1

已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋4，g(x)＝mx3－6mx2＋2(m≠0)，f(x)在(1，f(1))处的切线方

3

程为y＝－3x＋

10. 3

(1)求实数a，b的值；

(2)是否总存在实数m，使得对任意的x1∈[0,3]，总存在x2∈[－1,2]，使得f(x1)

f′?1?＝－3??2

解：(1)f′(x)＝x＋2ax＋b，由已知得?， 1

f?1?＝??3

???1＋2a＋b＝－3?a＝0

?即，解得?.(4分) ?a＋b＋4＝0???b＝－4

(2)要使对任意的x1∈[0,3]，总存在x2∈[－1,2]，使得f(x1)

1

由(1)知f(x)＝x3－4x＋4，f′(x)＝x2－4.

3

4

令f′(x)＝0，得x＝2，又f(0)＝4，f(2)＝－，f(3)＝1，

3故当x∈[0,3]时，[f(x)]max＝4.(7分)

g′(x)＝3mx－12mx＝3mx(x－4)，令g′(x)＝0，得x＝0.(8分) 又g(－1)＝2－7m，g(0)＝2，g(2)＝2－16m. 当m>0时，[g(x)]max＝g(0)＝2<4，不合题意；(10分)

1

当m<0时，[g(x)]max＝g(2)＝2－16m，由2－16m>4，得m<－.(12分)

81

故实数m的取值范围为(－∞，－)．(14分)

8 20.(本小题满分14分)

已知椭圆M的中心为坐标原点，且焦点在x轴上，若M的一个顶点恰好是抛物线y2＝1

8x的焦点，M的离心率e＝，过M的右焦点F作不与坐标轴垂直的直线l，交M于A，B

2两点．

(1)求椭圆M的标准方程；

→→→

(2)设点N(t,0)是一个动点，且(NA＋NB)⊥AB，求实数t的取值范围． x2y2

解：(1)椭圆M的标准方程：＋＝1.(4分)

43

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，设l：x＝my＋1(m∈R，m≠0)， x＝my＋1??22

22

?xy?(3m＋4)y＋6my－9＝0. ??4＋3＝1

6m由韦达定理得y1＋y2＝－2 ①(6分)

3m＋4→→→22(NA＋NB)⊥AB?|NA|＝|NB|?(x1－t)2＋y21＝(x2－t)＋y2

2

?(x1－x2)(x1＋x2－2t)＋(y1－y2)＝0.(9分)

将x1＝my1＋1，x2＝my2＋1代入上式整理得 (y1－y2)[(m2＋1)(y1＋y2)＋m(2－2t)]＝0，

2

由y1≠y2知，(m＋1)(y1＋y2)＋m(2－2t)＝0，(10分) 1

将①代入得t＝2.(12分)

3m＋41

所以实数t∈(0，)．(14分)

4 21.(本小题满分14分)

已知数列{an}中，a1＝1且点P(an，an＋1)(n∈N*)在直线x－y＋1＝0上． (1)求数列{an}的通项公式；

1111

(2)若函数f(n)＝＋＋＋?＋(n∈N，且n≥2)，求函数f(n)的最小值．

n＋a1n＋a2n＋a3n＋an

解：(1)由点P(an，an＋1)在直线x－y＋1＝0上， 即an＋1－an＝1，且a1＝1.(3分)

所以数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列． 故an＝1＋(n－1)×1＝n.(6分) 111

(2)f(n)＝＋＋?＋，(8分)

n＋1n＋22n

11111

f(n＋1)＝＋＋＋?＋＋，

n＋2n＋3n＋42n＋12n＋2

111111

f(n＋1)－f(n)＝＋－>＋－＝0.(13分)

2n＋12n＋2n＋12n＋22n＋2n＋17

所以f(n)是单调递增，故f(n)的最小值是f(2)＝.(14分)

12

22

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/u7f.html