北师大版七年级数学下册几何常见模型练习题(有答案)

全等三角形判定的三种类型

已知一边一角型

一次全等型

1．已知，如图△ABC中，BD＝DC，∠1＝∠2，求证：AD平分∠BAC．

2．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，连接AD，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F，且BE＝CF．求证：AD是△ABC的中线．

两次全等型

3．如图，已知，在四边形ABCD中，E是AC上一点，∠DAC＝∠BAC，∠DCA＝∠BCA．求证：∠DEC ＝∠BEC．

4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为AC的中点，AE⊥BD于F交BC于E．（1）求证：∠ABD＝∠CAE．

（2）求证：∠ADB＝∠CDE．

（3）直接写出BD、AE、ED之间满足的数量关系．

已知两边型

一次全等型

5．如图，点B，F，C，E在直线l上（点F，点C之间不能直接测量），点A，D在l异侧，测得AB＝DE，AC＝DF，BF＝EC．

（1）求证：△ABC≌△DEF；

（2）指出图中所有平行的线段，并说明理由．

两次全等型

6．如图所示，AB＝CB，AD＝CD，E是BD上任意一点，求证：AE＝CE．

7．如图：已知AE交BD于点C，∠DAC＝∠EBC＝∠BAC，AB＝AC．试说明：DC与BE有怎样的数量关系．

已知两角型

一次全等型

8．如图，已知∠BDC＝∠CEB＝90°，BE、CD交于点O，且AO平分∠BAC，求证：OB＝OC．

三角形中的四种常见说理类型

说明相等关系

1．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且AE＝AF，求证：DE＝DF．

说明位置关系

说明平行关系

2．已知△ABC为等边三角形，点P在AB上，以CP为边长作等边三角形△PCE．求证：AE∥BC．

说明垂直关系

3．如图，△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，且BD＝CF，BE＝CD，G是EF的中点，求证：DG⊥EF．

说明倍分关系

说明角的倍分关系

4．如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D．猜想：∠DBC与∠BAC之间的数量关系，并予以证明．

说明线段的倍分关系

5．如图，△ABC中，AB＝AC，AD和BE是高，它们相交于H，且AE＝BE．（1）求∠C的度数．

（2）求证：AH＝2BD．

说明和、差关系

6．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD平分∠BAC，求证：AB+BD＝AC．

线段垂直平分线与角平分线的应用类型

典例

例1．已知：如图，△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，∠BCA的平分线与AB边的垂直平分线相交于点D，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别是E、F．

（1）求证：AE＝BF；

（2）求线段DG的长．

利用线段垂直平分线的性质求线段的长

1．如图，已知AB比AC长3cm，BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，△ACD的周长是14cm，求AB和AC的长．

利用线段垂直平分线的性质求角的度数

2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交BC于D，连接AD．

（1）若△ADC的周长为16，AB＝12，求△ABC的周长；

（2）若AD将∠CAB分成两个角，且∠CAD：∠DAB＝2：5，求∠ADC的度数．

利用线段垂直平分线的性质解决实际问题

3．某一个城市在一块空地新建了三个居民小区，它们分别为A、B、C，且三个小区不在同一直线上，要想规划一所中学，使这所中学到三个小区的距离相等．请问同学们这所中学建在哪个位置？你怎么确定这个位置呢？

利用线段垂直平分线的性质说明线段的数量关系

4．如图，已知∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角尺的直角顶点P放在射线OM上，两直角边分别与OA，OB交于点C，D．

（1）证明：PC＝PD．

（2）若OP＝4，求OC+OD的长度．

利用线段垂直平分线的性质说明线段的位置关系

5．如图所示，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F，EF交AD于点M，求证：AM ⊥EF．

全等三角形判定的三种类型

1．证明：如右图所示，

∵BD＝DC，∴∠3＝∠4，又∵∠1＝∠2，∴∠1+∠3＝∠2+∠4，即∠ABC＝∠ACB，∴△ABC是等腰三角形，∴AB＝AC，

在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD（SAS），

∴∠BAD＝∠CAD，∴AD平分∠BAC．

2．证明：∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BED＝∠F＝90°，

在△BED和△CFD中，，∴△BED≌△CFD，∴BD＝CD，

∴AD是△ABC的中线．

3．证明：在△ACD和△ACB中，，∴△ACD≌△ACB，（ASA）∴BC＝CD，

在△DCE和△BCE中，，∴△DCE≌△BCE（ASA），∴∠DEC＝∠BEC．

4．（1）证明：∵AE⊥BD，∴∠AFB＝∠BAC＝90°，

∴∠ABD+∠BAF＝90°，∠BAF+∠CAE＝90°，∴∠ABD＝∠CAE．

（2）证明：过C作CM⊥AC，交AE的延长线于M，则∠ACM＝90°＝∠BAC，

∴CM∥AB，∴∠MCE＝∠ABC＝∠ACB，

∵∠BAF＝∠ADB，∠ADB+∠F AD＝90°，∠ABD+∠BAF＝90°，∴∠ABD＝∠CAM，在△ABD和△CAM中，，∴△ABD≌△CAM（ASA），

∴∠ADB＝∠M，AD＝CM，BD＝AM，∵D为AC中点，∴AD＝DC＝CM，

在△CDE和△CME中，，∴△CDE≌△CME（SAS），

∴∠M＝∠CDE，∴∠ADB＝∠CDE．

（3）解：结论：BD＝AE+DE．

理由：∵△CDE≌△CME，∴ME＝DE，∵AM＝AE+ME＝AE+DE，

∵BD＝AM，∴BD＝AE+DE．

5．（1）证明：∵BF＝CE，∴BF+FC＝FC+CE，即BC＝EF，

在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS）；

（2）解：结论：AB∥DE，AC∥DF．

理由：∵△ABC≌△DEF，∴∠ABC＝∠DEF，∠ACB＝∠DFE，∴AB∥DE，AC∥DF．6．证明：在△ABD与△CBD中，∴△ABD≌△CBD（SSS），∴∠ABD＝∠CBD，

在△ABE与△CBE中，△ABE≌△CBE（SAS），∴AE＝CE．

7．解：DC＝BE，

∵∠EBC＝∠BAC，∠ACD＝∠BAC+∠ABC，∠ABE＝∠EBC+∠ABC，

∴∠ACD＝∠ABE，

在△ACD和△ABE中，，∴△ACD≌△ABE（ASA），∴DC＝BE．

8．证明：∵∠BDC＝∠CEB＝90°，∴CD⊥AB，BE⊥AC，

∵AO平分∠BAC，∴OD＝OE，

在△BDO和△CEO中∴△BDO≌△CEO（ASA），∴OB＝OC．

三角形中的四种常见说理类型

1．证明：连接AD，

∵AB＝AC，D是BC的中点，∴∠EAD＝∠F AD，

在△AED和△AFD中，，∴△AED≌△AFD（SAS），∴DE＝DF．

2、证明：∵△ABC与△PCE为等边三角形，

∴AC＝BC，EC＝PC，∠BCA＝∠PCE＝60°，∴∠BCP＝∠ACE，在△BCP和△ACE中，，∴△CBP≌△CAE（SAS），

∴∠CAE＝∠B＝60゜＝∠ACB，∴AE∥BC．

3．证明：连ED，DF，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，

在△BED和△CDF中，，∴△BDE≌△CFD（SAS），∴DE＝DF，∵G是EF的中点，∴DG⊥EF．

4．解：∠DBC＝∠BAC．设∠C＝β，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝β，∴∠BAC＝180°﹣2β，∠BAD＝∠ABC+∠C＝2β，

∵BD⊥AC，∴∠ABD＝90°﹣2β，∴∠DBC＝90°﹣β，∴∠DBC＝∠BAC．5．（1）解：∵AE＝BE，BE⊥AC，∴∠BAE＝45°，

又∵AB＝AC，∴∠C＝（180°﹣∠BAE）＝（180°﹣45°）＝67.5°；

（2）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BC＝2BD，∠1+∠C＝90°，

∵BE⊥AC，∴∠2+∠C＝90°，∴∠1＝∠2，

在△AEH和△BEC中，，∴△AEH≌△BEC（ASA），

∴AH＝BC，∴AH＝2BD．

6．证明：如图，在AC上截取AE＝AB，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD，在△ABD和△AED中，，∴△ABD≌△AED（SAS），

∴DE＝BD，∠AED＝∠ABC，

∵∠AED＝∠C+∠CDE，∠ABC＝2∠C，∴∠CDE＝∠C，∴CE＝DE，

∵AE+CE＝AC，∴AB+BD＝AC．

线段垂直平分线与角平分线的应用类型

例1．（1）证明：连接AD、BD，

∵AD是∠BCA的平分线，DE⊥AC，DF⊥BC，∴DE＝DF，

∵DG是AB边的垂直平分线，∴AD＝DB，

在Rt△AED和Rt△DFB中，，∴Rt△AED≌Rt△BFD（HL），∴AE＝BF；

（2）由（1）得：CE＝CF＝＝7，∴AE＝EC﹣AC＝1，

∵∠ECD＝∠EDC＝45°，∴DE＝CE＝7，

由题意可得：AG＝BG＝5，∴AD2＝AE2+DE2＝50，∴DG2＝AD2﹣AG2＝25，∴DG＝5．

1．解：∵DE是BC的垂直平分线，∴CD＝BD，

∴△ACD的周长＝AC+AD+CD＝AC+BD+AD＝AC+AB，

由题意得，，解得．

∴AB和AC的长分别为8.5cm，5.5cm．

2．解：（1）∵DE是AB的垂直平分线，∴AD＝BD，

又∵△ADC的周长为16，∴AD+CD+AC＝16，

即BD+CD+AC＝BC+AC＝16，又AB＝12，∴AB+BC+AC＝16+12＝28，

则△ABC的周长为28；

（2）∵AD＝BD，∴∠BAD＝∠ABD，

∵∠CAD：∠DAB＝2：5，设一份为x，即∠CAD＝2x，∠DAB＝∠ABD＝5x，

又∠C＝90°，∴∠ABD+∠BAC＝90°，即2x+5x+5x＝90°，

解得：x＝7.5°，

∵∠ADC为△ABD的外角，∴∠ADC＝∠DAB+∠ABD＝5x+5x＝10x＝75°．

3．解：如图，这所中学建在P点位置（点P为△ABC的外心）．

连结AB、BC、AC，作AB和BC的垂直平分线，两垂直平分线相交于点P，则点P到点A、B、C的距离相等．

4．证明：（1）如图，过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，

∴∠PEC＝∠PFD＝90°．

∵OM是∠AOB的平分线，∴PE＝PF，

∵∠AOB＝90°，∠CPD＝90°，∴∠PCE+∠PDO＝360°﹣90°﹣90°＝180°．

而∠PDO+∠PDF＝180°，

∴∠PCE＝∠PDF

在△PCE和△PDF中∴△PCE≌△PDF（AAS）

∴PC＝PD；

（2）∵∠AOB＝90°，OM平分∠AOB，∴△POE与△POF为等腰直角三角形，

∴OE＝PE＝PF＝OF，

∵OP＝4，∴OE＝2，

由（1）知△PCE≌△PDF ∴CE＝DF ∴OC+OD＝OE+OF＝2OE＝4．

5．证明：∵DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F，

∴∠AED＝∠AFD＝90°，

∵AD为三角形ABC的角平分线，

∴∠EAD＝∠F AD，而AD＝AD，

∴△AED≌△AFD

∴ED＝DF，AE＝AF

∴△AEF为等腰三角形，AM为∠BAC的平分线∴AM是△AEF的高，即AM⊥EF．

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