西安工程大学高数试卷

----------------------------------------------------------------------成绩 开 试题 课程名称 高等数学 考试时间 2011 年 1 月 6 日 8 时 00 分至 10 时 00 分 教 研 室 数学系 开卷 闭卷 适用专业班级 高等数学（A）理工 提前 期末 --------------------装班 级 姓名 学号 2010级高等数学试题 一、选择题（毎小题3分，共36分） --------------------订1与11．当x??时，若ax2?bx?cx?1为等价无穷小，则a,b,c之值一定为（ ） (A)a?0,b?1,c?1 (B)a?0,b?1,c为任意常数 线------------------------------------------------------------- (C)a?0,b、c为任意常数 (D)a、b、c均为任意常数 lim12．极限x??1?ex的结果是（ ） （A）0 （B）1 （C）? （D）不存在但也不是? limsin?x?1?arctan(cos?x)3．x?1x2?x?1?( ) 1?? (A) 0 (B)4 (C) 1 (D) 不存在 考生注意：舞弊万莫做，那样要退学，自爱当守诺，最怕错上错，若真不及格，努力下次过。

试 题 共 页 第 1 页 ?f(x),?F(x)??x?0,?4．设x?0x?0，其中f(x)在x?0处可导，且 f(0)?0,f?(0)?0，则x?0是F(x)的（ ） （A）连续点 （B）第一类间断点 （C）第二类间断点 （D）不能由此确定是连续点还是间断点 x5．设f(x)?(1?x)，则f?(1)?（ ） （A）?1 （B）1 （C）2ln2?1 （D）2ln2 6．若函数y?f(x)在点x?x0处取得极大值，则必有( ). (A) (C) 1f?(x0)?0且f??(x0)?0f?(x0)?03 (B) f?(x0)?0且f??(x0)?0 (D) xcosx1?x2f?(x0)?0或f?(x0)不存在7．?1?(x21?x?)dx?（ ） 82442（A）0 （B）9 （C）9 （D）9 8．若f(x)的导函数为sinx，则f(x)有一个原函数为（ ） （A）1?sinx （B）1?sinx （C）1?cosx （D）1?cosx 9．由曲线y?x及直线y?0,x?1所围平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积是( ). 2 (A) ??xdx014 (B) ??xdx012 (C) ??ydy01 (D) ??(1?y)dy01 1]上满足罗尔定理条件的函数是( ). 10．区间[?1，sinx22(A) x3 (B) (x?1) (C) x (D) x?1 211．函数y?xe?x在区间（ ）内是单调减少的并且其图形是凸的。 （A）[2,??) （B）(??,1] （C）[1,2] （D）[1,??) 12．下列反常积分收敛的是（ ） ??（A）?1dx1x （B）0?dxx3?? （C）???1?xx??2dx （D）?xe0?xdx 二、填空题（每小题4分，共32分） ?x????1?f(x)???a?2?e?1．当a=__________时，函数x1?x?,?,x?0x?0在x?0连续。 n2． 函数y?2的n阶麦克劳林展开式中含x项的系数是____________________。 2?x?2tet?1dy?23dxy?t?3ty?y(x)?3．设由方程组 确定，则?x?1 。 y?1?x(x?3)的拐点是 。 24．曲线??x????y??5．曲线?t2?ulnudu1t2?u1lnudu在t?1处的切线方程 为__________________ 。 f(x)?xtanx的可去间断点为___________________。 26．函数7．由曲线y?x与y?4所围图形的面积是 。 ?8．cos sin4x22x?4dx? 。 三、解答题（共32分） lim1?tanx?1?sinxxsinx21．（7分） 求极限x?0。 22．（7分）计算定积分0??1,x?0??1?xf(x)???1,x?0f(x?1)dxx??1?e，其中。 223．（6分）求由方程cos(xy)?xy所确定的函数y的微分。 xf(x)?4．（6分）求函数 ?(2?t)edt.0?t在[0,??)的最大值。 1?x)?25．（6分）证明：当x?0时，1?xln(x?1?x2。

命题负责人： 教研室主任：

2010级高等数学标准答案及评分标准

一、填空题（每小题3分，共36分）

1 B 2 D 3 B 4 B 5 C 6 D 7 B 8 A 9 B 10 D 11 C 12 D 二、选择题（毎小题4分，共32分）

a?(1)

12 (2)

(ln2)n!n3 (3)2 (4)

(6,2927 (5)

)y?1214x

2x?0,x?k??(6)可去间断点：三、解答题（共32分）

?322（7）3 （8）

?ln(cos2x?4)?C

lim1.（7分）原式=

tanx?sinx(1?tanx?1=2x?01?sinx)xsin1?12x …………………………（2分）

1=2lim1tanx?sinxxsin22x?0x?1limx?0cosxxsinx

=22lim1?cosxxcosx14 …………………………（7分）

x?02.（7分）

?0f(x?1)dx?0??1f(t)dt …………………………（2分）

1=?10?1?e1tdt?t?1?tdt011 …………………………（4分）

=?1?1?e?e1?ettdt?t0?1?1?tdt01

1?t?ln(1?e)?=

3.（6分）

??ln(1?t)?0?ln(e?1) …………………………（7分）

22方程两端同时微分得：dcos(xy)?d(xy)，

故?sin(xy)(ydx?xdy)?xd(y)?yd(x)， …………………………（3分） 即?sin(xy)(ydx?xdy)?2xydy?2xydx

222222dy?整理得：

2xy22?ysinxy?2xy?xsinxy??yxdx …………………………（6分）

?x?f(x)?(2?x)e4.（6分），驻点为x?2。

?x?2f??(x)?(x?3)e，f??(2)??e?0

所以函数在x?2处取得极大值，又f(x)在[0,??)内连续且有唯一的极大值，故f(2)也是最大值。 …………………………（3分）

22?t?t2?tf(2)??(2?t)edt?0?t20?2edt??tedt0?t200

=??2e???(t?1)e?

5.（6分）令f(x)?1?xln(x??e2?2?1。 …………………………（6分）

21?x)?1?x， …………………………（1分）

则f(x)在(0,??)连续、可导且f(0)?0。

1?f?(x)?ln(x?1?x)?xx?2x1?x1?x22?x1?x2?ln(x?1?x)，

2可得f?(0)?0。 …………………………（3分）

1?f??(x)?x?x1?x1?x22?11?x2，显然有f??(x)?0，

所以f?(x)单增，即当x?0时，f?(x)?f?(0)?0，

所以f(x)在(0,??)单增，故当x?0时，f(x)?f(0)?0，

结论成立。 …………………………（6分）

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