北京工业大学2008高数工-2期末考试-A卷工 -

北京工业大学07级第二学期期末考试

北京工业大学2007─2008学年第二学期

“高等数学(工)”期末试卷 (A)

学号 姓名 成绩

题 号 分 数 得 分

一 20 二 20 三 54 四 6 成绩 核分 复查 得分 一、单项选择题：本大题共5小题，每小题4分，共20 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 请将正确结果的字母写在括号内。

1． 对函数f(x,y)?x2?xy，原点 (0,0) 【 B 】 （A）不是驻点. （B）是驻点却不是极值点. （C）是极大值点. （D）是极小值点. 2． 微分方程y??1?0 【 D 】 x（A） 不是可分离变量的微分方程 （B）是齐次微分方程

（C）是一阶线性齐次微分方程 （D）是一阶线性非齐次微分方程

???1?n1???3．级数??的敛散情况是 【 C 】

??nnn?1???（A） 条件收敛 （B）绝对收敛 （C）发散 （D）敛散性不能确定 4．设?为球面x?y?z?a的表面,则

2222 ??zdS= 【 A 】

?（A）0 （B）2?a （C） 4?a （D） 1 5．将二次积分I?（A）

22?dy?0y11y3 1?x3dx交换积分次序后得 【 B 】

1x2?10dx?101x21?xdy (B) ?dx?001x1?x3dy 1?x3dy

（C）

?dx?01?x3dy （D）?dx?01高等数学（工）-2期末考试试卷-A 第 1 页 共 6页

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得 分 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中的横线上.

6．曲线x?tcost,y?sint,z?2t在点P(0,1,?,)处的切线方程为

x??2?y?1z??， ?02法平面方程为??2x?2z?2??0或?x?4z?4??0.

7．试写出求解下列条件极值问题的拉格朗日函数：分解已知正数a为三个正数x,y,z之和，使x,y,z的倒数之和最小L?x,y,z??111?????x?y?z?a?. xyz8．函数f(x)?xln?1?x?的麦克劳林级数的收敛域为x???1,1?， f?5?(0)? -30 . 9．设函数f?x????10?x??,S(x)是f?x?的以2?为周期的傅立叶级数的和函

??x???x?01??1 ，S(?)? . 22数，则S(?)?

1210．xyz?x2?y2?z2?2确定了隐函数z?z(x,y)，则z?z(x,y)在点?1,0,?1?处

的全微分为 dz?dx?2dy.

三、计算下列各题：本大题共6小题，每小题9分，共54分. 解答应写出主要过程或演算步骤.

得 分 ?z?2z11．设函数z?fy?x,e，其中f具有二阶连续偏导数，求，．

?y?x?y?22y?解

?z?2yf1'?f2?ey ?y?2z??2y?f12??ey ??2xf11?x?y??

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12．计算三重积分I?2222?，其中为旋转抛物面与平面 z?x?y(x?y)dv???得 分 ? z?1所围成的区域.

解： 利用柱面坐标： I????(x2?y2)dv??2?d??1?d??12?2dz ?00??2??1?3?1??20?d?

?2??10(?3??5)d?

??6

得 分 13．利用高斯公式计算曲面积分 I???x3dydz?y3dzdx?z3dxdy2 ?x?y2?z2,其中?是球面x2?y2?z2?a2的内侧.

解：将球面方程x2?y2?z2?a2代入I，得： 3 I???xdydz?y3dzdx?z3dxdy?x2?y2?z2?1a??x3dydz?y3dzdx?z3dxdy ? 利用高斯公式，P?x3,Q?y3,R?z3，设球面?所围闭区域为?，

I??1a????3x2?3y2?3z2?dxdydz ? ??32??a22a?0d??0d??0rrsin?dr

6?a5 ??a5??d???12?a40sin?5.

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得 分 14．计算I???xL2?2ydx?3x?yeydy,其中L是由直线x?2y?2上从点

???2 A?2,0?到点B?0,1?上的一段及圆弧x??1?y上从B?0,1?到C??1,0?的一

段连接而成的有向曲线.

解：补线CA:y?0,x:?1?2，则AB?弧BC?CA围成封闭曲线，其所围闭区域为D，在其上使用格林公式，P?x2?2y,Q?3x?yey，?Q?P?x?3,?y??2

I???x2?2y?dx??3x?yey?dyL???x2?2y?dx??3x?yey?dy??x2?2y?dx??3x?yey?dy

AB?弧BC?CACA????????Q?P?D??x??y???dxdy??2?1x2dx 25dxdy?x3????5??1?????5? D3?1?4?3?2?4

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?得 分 15． 求（1）幂级数??1?n2n?1的收敛域；

（2）幂级数

???1?n2n?1的和

?xx n?12n?1?n?12n?1函数.

解：（1）求收敛域

u1limn?1(x)x2n?2n?1n??u?lim2n?1?x2 n(xn??2n?1x 则该级数在??1,1?内收敛.

? x?1时，级数为

???1?nn?12n?1，收敛

?n x??1时，级数为????1?，收敛，该级数的收敛域为n?12n?1??1,1?.

（2）求和函数 ?n 设s(x)????1?x2n?1

n?12n?1 两边同时对x求导，得

?ns?(x)??????1??2n?1???n2n?2??1 ??n?12n?1x????(?1)xn?11?x2 两边同时对x积分，得 s(x)?s(0)???x101?x2dx??arctanx

由于s(0)?0,

所以s(x)??arctanx,x???1,1?

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得 分 t16．设函数y(x)满足y??x??1??te?y?t?dt，且y?0??1,， 求y(x).

0x??解：两边求导得y???x??xex?y?x?，即：y???x??y?x??xex

这是二阶常系数非齐次线性方程，且y?0??1,y??0??1

（1） 先解对应的齐次方程

特征方程为r2?1?0,特征根为r??i

对应齐次方程的通解为Y?C1cosx?C2sinx

（2） 再求非齐次方程的一个特解 设特解为y*??Ax?B?ex

求y,y A?*?*?，代入方程y???x??y?x??xex化简得

11,B?? 22* 则所求特解为y??（3） 求原方程的特解

1??1x??ex

2??21?x?1?ex 2 原方程的通解为y?Y?y?C1cosx?C2sinx? 将初始条件y?0??1,y??0??1代入得C1? 则y?

四、 证明题: 本题共1题，6分.

*3,C2?1 231cosx?sinx??x?1?ex 22得分 17. 证明：

ln?1?y?dxdy?1,D:1?x?2,1?y?2. ??ln?1?x?D证明：

ln?1?y?dxdy ??ln?1?x?D?1?ln?1?y?ln?1?x???dxdy???dxdy?1 ????2D?ln?1?x?ln?1?y??D1?ln?1?y?ln?1?x??ln2?1?y??ln2?1?x??1 其中用到了????2?ln?1?x?ln?1?y??2ln?1?x?ln?1?y?

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