八年级培优提升专题(六)_特殊的平行四边形

培优提升专题（六）特殊的平行四边形

一．基础知识回顾

1．平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定

2．常考知识点：⑴矩形：对角线相等且互相平分；⑵菱形：对角线互相垂直平分；⑶正方形：四边相等、对角线相等且互相垂直平分、对称性； 二．典例分析

A

DC

1．已知，如图，矩形

ABCD中，对角线AC,BD相交于O，AE BD于E，

例1题图

B

若 DAE: BAE 3:1，则 EAC=

2．如图，已知矩形ABCD中，将 BCD沿对角线BD折叠，记点C的对应点为E， 若 ADE

A

例3题图D

DC

20 ，则 BDC=

AB

E

例3题图1

AB

例3题图B

例4题图

3．如图①是长方形纸带， DEF 20，将纸带沿EF折叠成图②， 再沿BF折叠成图③，则图③中的 CFE的度数是

C

4．如图，在 ABC中， ACB 90，BC的垂直平分线DE交BC于点D，交（1）求证：四边形

AB于点E，点F在DE上，且AF CE。

DA

例5题图

B（2）当 B的大小满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？ ACEF是平行四边形；

（3）四边形ACEF有可能是正方形吗，为什么？ 5．如图，菱形ABCD的边长为2，BD且满足

2,E、F分别是边AD,CD上的两个动点，

AE CF 2。⑴判断 BEF的形状，并说明理由；⑵设 BEF的面积为S，求S的取值范围。

6．有一个边长为5的正方形纸片

ABCD，要将其剪拼成边长分别为a,b的两个小正方形，使得a2 b2 52。⑴a,b的值可以

是 （写出一组即可）；⑵请你设计一种具有一般性的裁剪方法，在图中画出裁剪线，并拼接成两个小正方形，同时说明该裁剪方法 具有一般性。

7．如图，边长为1的菱形ABCD中， DAB 60，连接对角线使 D1AC 60 ，连接

AC，以AC为边作第二个菱形ACC1D1，

AC1，再以AC1为边作第三个菱形AC1C2D2，使 D2AC1 60 ；…，按此规律所作的第

n个菱形的边长为

8．如图，在Rt ABC中， ACB 90， B 60，BC

2。点O是AC的中点，过点O的直线l从与

AC重合的位置开始，绕点O作逆时针旋转，交AB边于点D。过点C作CE AB交直线l于点El的

旋转角为 。⑴当 = 时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为 ； ⑵当 = 时，四边形EDBC是直角梯形，，此时⑶当

EAD的长为 ；

A

90

时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由。

9．已知正方形连接PA,

ABCD，如图，P是其内部一点，PC PD，

AB

D例8题图

D例10题图2

例9题图

DAB

AB

例10题图2

PB，若 PCD 15 ，求证： PAB为正三角形。

10．已知矩形ABCD和点P。

⑴当点P在图①的位置时，则有结论：S PBC

例10题图1

S PAC S PCD，请证明⑵当点P在图②、图③中的位置时，S PBC,S PAC,S PCD又有怎样的数

M

M

量关系？请你写出对上述两种情况的猜想，并选择其中一种情况的猜想给予证明。 11．⑴如图①，已知正方形ABCD和正方形CGEF

CG BC ，

B,C,G在同一条直线上，M为线段AE的中点，探究：线段MD,MF的关系；

⑵若将正方形CGEF绕点C顺指针旋转45 ，使得正方形CGEF的对角线CE在正方形

ABCD的边BC的延长线上，M为AE的中点。

试问：⑴中探究的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。 三．随堂练习 1．如图，P是正方形

'

ABCD内一点，将 PAB绕点B顺时针方

'

B

P

C

第1题图

2

S3

3

S4

向旋转能与 CBP重合，若PB 3，则PP= 。

2．如图，在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放着的三个正方形的面积分别是 1、2、3，正放着的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1 S2

第2题图

E

C

S3 S4=

3．如图，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以对角线AC为边作第二个正方形再以对角线

ACEF，

DN B第3题图

AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去…，则第n个正方形边长为 。

4．如图，将边长为8㎝的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边中点E处， A

点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长为 。

F

E

A

O

B

第5题图

C 5．如图，已知 ABCD中，对角线AC,BD交于点O，E是BD延长线上的点，

B

且 ACE是等边三角形。⑴求证：四边形⑵若 AED 2 EAD，求证：四边形四.课后作业

ABCD是菱形； ABCD是正方形。

ABCD的对角线BD上，

E第4题图

1．如图，将三角板PMN的直角顶点P放在正方形绕P点转动三角板，三角板的两条直角边PM

,PN分别交AB于E，交BC于F。

⑴求证：PE PF；⑵线段BE2．如图，E,

,BF与BP

F,

G,H分别为正方形

ABCD的边AB

,BC,CD,DA上的点，且AE

BF CG

DH

2

AB，则图中阴影部分的面积与正方形

ABCD的面积之比为 3

3．如图，BF平行于正方形ABCD的对角线AC，点E在BF上，且AE AC，CF AE，则 BCF。

H分别在正方形ABCD的边AB,CD,DA上，AH 2，连接CF。

4．如图，已知正方形的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E,G,⑴当DG

2时，求 FCG的面积；⑵设DG x，用含x的代数式表示 FCG的面积；

⑶判断 FCG的面积能否等于1，并说明理由。

AB上异于5．如图，扇形OAB的半径OA 3，圆心角 AOB 90，点C是

A,B

，且

的动点，过点

C作CD OA于点D

。 DG GH HE

，作

CE OB于点E

，连接

DE

AB上运动时，在CD,CG, ⑴求证：四边形OGCH是平行四边形；⑵当点C在

线段的长度； ⑶求证：CD2 3CH2是定值。 6．已知：正方形当 MAN绕点线段BM

DG中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该

ABCD中， MAN 45 ， MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB,DC（或它们的延长线）于点M,N。

，易证：BM DN MN；⑴当 MAN绕点A旋转到BM DN时（如图②），A旋转到BM DN时（如图①）

和

,DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明。⑵当 MAN绕点A旋转到如图③的位置时，线段BM,DN

MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想。

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