2018年高考数学理人教A版一轮复习习题：第八章 立体几何 考点规

考点规范练44 立体几何中的向量方法

基础巩固

1.直线l的方向向量s=(-1,1,1),平面α的法向量为n=(2,x+x,-x),若直线l∥平面α,则

2

x的值为( )

A.-2

B.-

C.

D.±

2.已知平面α的一个法向量为n=(1,-,0),则y轴与平面α所成的角的大小为( )

A. 3.

B. C. D.

如图,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直,以CD,CB,CE所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,AB=,AF=1,M在EF上,且AM∥平面BDE,则M点的坐标为( )

A.(1,1,1) B.

C. D.

4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,点M在AC1上,且,N为B1B的中点,则

||为( )

A.5.

a B.a C.a D.a

如图,过正方形ABCD的顶点A,作PA⊥平面ABCD.若PA=BA,则平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小是( ) A.30° C.60°

B.45° D.90°

6.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1,则AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为( )

A. B. C. D.

7.如图,在正四棱锥S-ABCD中,O为顶点在底面上的射影,P为侧棱SD的中点,且SO=OD,则直线BC与平面PAC所成的角为 . 8.已知点

P是平行四边形ABCD所在的平面外一点,且

=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1).对于结论:

是平面ABCD的法向量;④①AP⊥AB;②AP⊥AD;③是 .(填序号) 9.

.其中正确的

如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为正三角形,底面ABCD为正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,M为底面ABCD内的一个动点,且满足MP=MC,则点M在正方形ABCD内的轨迹为 .(填序号)

10.

(2016全国乙卷,理18)如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF=2FD,∠AFD=90°,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60°. (1)证明:平面ABEF⊥平面EFDC; (2)求二面角E-BC-A的余弦值.

?导学号37270484?

能力提升

11.

如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在A1D,AC上,且A1E=A1D,AF=AC,则( ) A.EF至多与A1D,AC之一垂直 B.EF⊥A1D,EF⊥AC C.EF与BD1相交 D.EF与BD1异面 12.

如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点O为线段BD的中点.设点P在线段CC1上,直线OP与平面

A1BD所成的角为α,则sin α的取值范围是( )

A.

B.

C.

D.13.

?导学号37270486?

如图,等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB,二面角C-AB-D的余弦值为,M,N分别是AC,BC的中点,则EM,AN所成角的余弦值等于 . ? 14.

?导学号37270487

如图,AB是半圆O的直径,C是半圆O上除A,B外的一个动点,DC垂直于半圆O所在的平面,DC∥EB,DC=EB,AB=4,tan∠EAB=. (1)证明:平面ADE⊥平面ACD;

(2)当三棱锥C-ADE体积最大时,求二面角D-AE-B的余弦值.

?导学号37270488?

高考预测

15.

如图,在四棱锥A-EFCB中,△AEF为等边三角形,平面AEF⊥平面EFCB,EF∥BC,BC=4,EF=2a,∠EBC=∠FCB=60°,O为EF的中点. (1)求证:AO⊥BE;

(2)求二面角F-AE-B的余弦值; (3)若BE⊥平面AOC,求a的值.

?导学号37270489?

参考答案

考点规范练44 立体几何中

的向量方法

1.D 解析 当线面平行时,直线的方向向量垂直于平面的法向量,故

-1×2+1×(x2+x)+1×(-x)=0,解得x=±

2.B 解析 可知y轴的方向向量为m=(0,1,0),设y轴与平面α所成的角为θ,

则sin θ=|cos|,

∵cos==-,

∴sin θ=,

∴θ=

,0),B(0,

,0),D(

,0,0),E(0,0,1),则

3.C 解析 设M(x,x,1).由已知得A(

=(x-,x-,1),=(,-,0),=(0,-,1).

设平面BDE的一个法向量为n=(a,b,c),

则

解得

令b=1,则n=(1,1,

).

又AM∥平面BDE,所以n=0,

即2(x-)+=0,得x=

所以M

4.A 解析 以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,

则A(a,0,0),C1(0,a,a),N设M(x,y,z),

∵点M在AC1上,且,

∴(x-a,y,z)=(-x,a-y,a-z).

∴x=a,y=,z=,

得M∴|

|=

=a.

5.B 解析 (方法一)建立如图①所示的空间直角坐标系,不难求出平面APB与平面PCD的法向量分别为n1=(0,1,0),n2=(0,1,1),故平面ABP与平面CDP所成二面角的余弦值为

,故所求的二面角的大小是45°.

图①

图②

(方法二)将其补成正方体.如图②,不难发现平面ABP和平面CDP所成的二面角就是平面

ABQP和平面CDPQ所成的二面角,其大小为45°.

6.C 解析 取B1C1的中点D1,以A1为原点,A1D1,A1A所在直线为x轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,设AB=2,则C1(为n=(1,0,0).

,1,0),A(0,0,2),

=(,1,-2),平面BB1C1C的一个法向量

所以AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为

7.30° 解析 如图所示,以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.

设OD=SO=OA=OB=OC=a,

则A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),P

则=(2a,0,0),=(a,a,0).

设平面PAC的法向量为n,可求得n=(0,1,1),

则cos<∴<,n>=,n>=60°,

∴直线BC与平面PAC所成的角为90°-60°=30°. 8.①②③ 解析 因为

又所以因为所以

=0,=0,所以AB⊥AP,AD⊥AP,则①②正确.

不平行,

是平面ABCD的法向量,则③正确.

=(2,3,4),

不平行,故④错误.

=(-1,2,-1),

9.① 解析 以D为原点,DA,DC所在直线分别为x轴,y轴建立空间直角坐标系如图.

设M(x,y,0),设正方形边长为a,

则P则MC=

,C(0,a,0),

,

MP=

由MP=MC,得x=2y,所以点M在正方形ABCD内的轨迹为直线y=10.(1)证明 由已知可得AF⊥DF,AF⊥FE,

所以AF⊥平面EFDC. 又AF?平面ABEF, 故平面ABEF⊥平面EFDC. (2)解 过D作DG⊥EF,垂足为G,

由(1)知DG⊥平面ABEF.

x的一部分.

以G为坐标原点,间直角坐标系Gxyz.

由(1)知∠DFE为二面角D-AF-E的平面角,故∠DFE=60°,则DF=2,DG=可得A(1,4,0),B(-3,4,0),E(-3,0,0),D(0,0,由已知,AB∥EF, 所以AB∥平面EFDC. 又平面ABCD∩平面EFDC=CD, 故AB∥CD,CD∥EF.

由BE∥AF,可得BE⊥平面EFDC,

所以∠CEF为二面角C-BE-F的平面角,∠CEF=60°. 从而可得C(-2,0,所

).

以

).

,

的方向为x轴正方向,||为单位长,建立如图所示的空

=(1,0,

0),

),=(0,4,0),=(-3,-4,),=(-4,0,

设n=(x,y,z)是平面BCE的法向量,则所以可取n=(3,0,-).

设m是平面ABCD的法向量,

则

同理可取m=(0,

,4),

则cos==-

故二面角E-BC-A的余弦值为-

11.B 解析 以D点为坐标原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图所示.设正方体棱长为1,

则

A1(1,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),E,F,B(1,1,0),D1(0,

0,1),=(-1,0,-1),=(-1,1,0),=(-1,-1,1),

=-=0,从而EF∥BD1,EF⊥A1D,EF⊥AC.故选B.

12.B 解析 以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图所示.

不妨设DC=DA=DD1=1,

则D(0,0,0),B(1,1,0),A1(1,0,1),O,并设点P(0,1,t)且0≤t≤1.

则=(-1,0,-1),=(0,1,-1).

设平面A1BD的法向量为n=(x0,y0,z0),则有

即

取x0=1,y0=-1,z0=-1, ∴n=(1,-1,-1). ∴sin α=|cos<,n>|

=(0≤t≤1),

∴sinα=2

,0≤t≤1.

令f(t)=,0≤t≤1,

则f'(t)=

=-,

可知当t时,f'(t)>0;

当t时,f'(t)≤0.

又f(0)=,f=1,f(1)=,

∴f(t)max=f=1,

f(t)min=f(0)=

∴sin α的最大值为1,最小值为

∴sin α的取值范围为

13 解析 过C点作CO⊥平面ABDE,垂足为O,取AB中点F,连接CF,OF,则∠CFO为二面角

C-AB-D的平面角,

设AB=1,则CF=,OF=CF·cos ∠CFO=,OC=,

则O为正方形ABDE的中心,

建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz,

则E,M,

A,N,

,

,

cos<>=

14.(1)证明 因为AB是直径,所以BC⊥AC.

因为CD⊥平面ABC, 所以CD⊥BC. 因为CD∩AC=C, 所以BC⊥平面ACD. 因为CD∥BE,CD=BE,

所以四边形BCDE是平行四边形, 所以BC∥DE, 所以DE⊥平面ACD. 因为DE?平面ADE, 所以平面ADE⊥平面ACD.

(2)解 依题意,EB=AB×tan∠EAB=4

=1,

由

(1)

VC-ADE=VE-ACD=S△ACD×DE=AC×CD×DE=AC×BCC2)=AB2=,当且仅当AC=BC=2时等号成立. 如

图

所

示

,

建

立

空

间

直

角

坐

标

D(0,0,1),E(0,2,1),A(2,0,0),B(0,2,0),

则

知

(AC2

+B系

,

则

=(-2=(2

,2,0,-1),

,0),=(0,0,1),=(0,2,0),

设平面DAE的法向量为n1=(x1,y1,z1),

即

∴n1=(1,0,2

).

设平面ABE的法向量为n2=(x2,y2,z2),∴n2=(1,1,0),

∴cos=

=

可以判断与二面角D-AE-B的平面角互补,∴二面角D-AE-B的余弦值为-15.(1)证明 因为△AEF是等边三角形,O为EF的中点,所以AO⊥EF.

又因为平面AEF⊥平面EFCB,AO?平面AEF, 所以AO⊥平面EFCB, 所以AO⊥BE.

(2)解 取BC中点G,连接OG.

由题设知EFCB是等腰梯形, 所以OG⊥EF.

由(1)知AO⊥平面EFCB, 又OG?平面EFCB,所以OA⊥OG. 如图建立空间直角坐标系Oxyz,

则E(a,0,0),A(0,0,

a), =(-a,0,

a),

=(a-2,

(a-2),0).

B(2,(2-a),0),

设平面AEB的法向量为n=(x,y,z),

则

即

令z=1,则x=于是n=(

,y=-1. ,-1,1).

平面AEF的一个法向量为p=(0,1,0).

所以cos ==-

由题知二面角F-AE-B为钝角,所以它的余弦值为-(3)解 因为BE⊥平面AOC,

所以BE⊥OC, 即因为所以由

=0. =(a-2,

(a-2),0),

=(-2,(2-a),0),

=-2(a-2)-3(a-2)2. =0及0

解得a=

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/u6ga.html