四川省遂宁市2019届高三第二次诊断考试数学（理）试题(2)

遂宁市高中2019届二诊考试

数学（理科）试题

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。总分150分。考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，满分50分）

注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。 2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 3．考试结束后，将答题卡收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的. 1．设集合A?{x|?x2?2x?3?0}，B?{x|则AIB?

A．(0,3) B．(0,2) C．(1,3) D．(1,??)

11?()x?1}， 42i32．已知i是虚数单位，若复数z满足z?，则z的共轭复数z为

1?iA．

1?i1?i?1?i?1?i

B． C． D． 2222

223．下列有关命题的说法正确的是

，则x?1”的否命题为：“若x?1，则x?1”； A．命题“若x?1B．“m?1”是“直线x?my?0和直线x?my?0互相垂直”的充要条件

C．命题“?x0?R，使得x02?x0?1?0”的否定是：“?x?R，均有x?x?1?0”； D．命题“已知A、B为一个三角形的两内角，若A=B，则sinA?sinB”的逆命题为真命题. 4．要得到函数y?sinA．向右平移

21x的图象，只要将函数y?cos2x的图象 2?个单位长度，再将各点的横坐标伸长为原来的4倍， 4纵坐标不变 B. 向左平移

?1个单位长度，再将各点的横坐标缩短为原来的倍， 44·1·

纵坐标不变

?个单位长度，再将各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变 4?1D. 向右平移个单位长度，再将各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变

44C. 向左平移

5．一个几何体的三视图如图所示，其中 正视图为矩形，侧视图为等腰直角三 角形，俯视图为直角梯形，则这个几 何体的体积是

A．144 B．120 C．80 D．72

6．各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的7个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生填报专业志愿的方法有 种。

A．180 B．200 C．204 D．210 7．执行如图所示的程序框图，

则输出的S为 A．2 B．C．?1 31 D．?3 2?3x?y?8?0?8．若P(x,y)在不等式组?x?2y?1?0所表示的平面区域内，

?2x?y?2?0?则2x?y?3的最小值为

A．2 B．

10 C．5 D．4 29．设B、C是定点，且均不在平面?上,动点A在平面?上, 且sin?ABC?1，则点A的轨迹为 2A．圆或椭圆 B．抛物线或双曲线 C．椭圆或双曲线 D．以上均有可能

·2·

10．已知定义域为R的偶函数f(x)满足对任意的x?R，

有

f(x?2)?f(x)?f(1)，且当x?[2,3]时，f(x)。若??(x?22)?1函数

11)在(0,??)上恰有三个零点，则实数a的取值范围是 121144A．(,3) B．(,) C．(3,12) D．(,12)

3333y?f(x)?a(x?

第Ⅱ卷（非选择题，满分100分）

注意事项： 1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。 2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。

二、填空题:本大题共5题,每小题5分,共25分．

11．若(x?)的二项展开式中所有项的二项式系数和为64，则常数项为 ▲ （用数字作答）

1xn?f(x?3),x?0?12．已知函数f(x)??x， 1?2x?1e?log2[8?()],x?0??4)? ▲ 则f(201613．海轮“和谐号”从A处以每小时21海里的速度出发，海轮“奋斗号”在A处北偏东45的方向，且

与A相距10海里的C处，沿北偏东105的方向以每小时9海里的速度行驶，则海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为 ▲ 小时

??x2y2??1的短轴为直径的圆在第一象限内的一点，过点M作该圆的切线交14．若点M是以椭圆98椭圆E于P，Q两点，椭圆E的右焦点为F2，则△PF2Q的周长是 ▲

uuruuur15．如图，B是AC的中点，BE?2OB，P是矩形

uuuruuuruur点，且OP?xOA+yOB(x,y?R)。有以下结

BCDE内（含边界）的一

论：①当x?0时，

·3·

15y?[2,3]；②当P是线段CE的中点时，x??,y?；③若x?y为定值，则在平面直角坐标

22系中，点P的轨迹是一条线段；④x?y的最大值为－1；其中你认为正确的所有结论的序号为 ▲ 。

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）

在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知a?c?b?ac，且2b?3c。 （1）求角A的大小；

（2）设函数f(x)?1?cos(2x?B)?cos2x，求函数f(x)的单调递增区间

▲

17．（本小题满分12分）

经调查发现，人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类会引起汞中毒，其中罗非鱼体内汞含量比其它鱼偏高．现从一批数量很大的罗非鱼中随机地抽出15条作样本，经检测得各条鱼的汞含量的茎叶图（以小数点前的数字为茎，小数点后一位数字为叶）如下：

罗非鱼的汞含量（ppm）

2220 1235567889 35567

1

《中华人民共和国环境保护法》规定食品的汞含量不得超过1.0ppm．

（1）检查人员从这15条鱼中，随机抽出3条，求3条中恰有1条汞含量超标的概率；

（2）若从这批数量很大的鱼中任选3条鱼，记?表示抽到的汞含量超标的鱼的条数．以此15条．．．．．．．．鱼的样本数据来估计这批数量很大的鱼的总体数据，求?的分布列及数学期望E?． ．．．▲

18．（本小题满分12分）

如图，多面体ABCDPE的底面ABCD是平行四边形，AD?AB?2，AB?AD?0，PD?平面ABCD，EC∥PD， 且PD=2EC=2

（1） 若棱AP的中点为H，证明： HE∥平面ABCD

·4·

（2）求二面角A?PB?E的大小

▲ 19．（本小题满分12分）

已知等比数列{an}、等差数列{bn}，满足

a1?0,b1?a1?1,b2?a2,b3?a3且数列{an}唯一。

（1）求数列{an}，{bn}的通项公式； （2）求数列{an?bn}的前n项和

▲

20．（本小题满分13分）

已知点F(0,1)为抛物线x2?2py的焦点。 （1）求抛物线C的方程；

（2）点A、B、C是抛物线上三点且FA?FB?FC?0,求?ABC面积的最大值

▲

21．(本小题满分14分)

已知函数f(x)?mex?x?1.（其中e为自然对数的底数,）

（1）若曲线y?f(x)过点P(0,1)，,求曲线y?f(x)在点P(0,1)处的切线方程。 （2）若f(x)的两个零点为x1,x2且x1?x2, 求y?(e2?e1)(xx1?m)的值域。 x2x1e?em?1（3）若f(x)?0恒成立，试比较e

与me?1的大小，并说明理由。

▲ ·5·

遂宁市高中2019届二诊考试

数学（理科）试题参考答案及评分意见

一、选择题（5×10=50分）

题号 答案 1 B 2 C 3 D 4 A 5 B 6 A 7 D 8 C 9 D 10 B 二、填空题（5?5=26分）

11．－20 12．8 13．

2 14．6 15．②③④ 3?y?kx?m?14.根据题意作出图形如图所示，设直线PQ的方程为y?kx?m(k?0,m?0)，由?x2得y2?1??8?9(8?9k2)x2?18kmx?9m2?72?0??(18km)2?4(8?9k2)(9m2?72)?288(9k2?m2?8)?0

设

，有

P(x1,y1)，

Q(x2,y2)，则

?18kmx1?x2?8?9k22，

9m2?72x1x2?8?9k2，∴

PQ?1?kx1?x222?1?k2(x1?x2)?4x1x2?1?k2?18km29m2?72()?4?8?9k28?9k2?1?k4?9?8(9k2?m2?8)m22PQ。∵直线与圆相切，∴?22，即x?y?8222(8?9k)1?k，

∴

m?8(1?k2)221PQ??6km8?9k2，∵

xxx12PF2?(x1?2)?y?(x1?1)?8(1?)?(1?3)2，0?x1?3，∴PF2?3?1，

3392同理QF2?3?x2x?x26km6km6km?6???6 ?，∴PF2?QF2?PQ?6?1222338?9k8?9k8?9k因此，△PF2Q的周长是定值6.

·6·

法二：设

P(x1,y1)，

Q(x2,y2)，则

x12y12??198，

xxx12PF2?(x1?2)?y?(x1?1)?8(1?)?(1?3)2，0?x1?3，∴PF2?3?1，

3392212又M是

2圆

2O的切

21点，

21连接OP，OM，，

∴∴

PM?OP?OM?x?y?821x12x?8(1?)?89?

1x13

11PF2?PM?3?x1?x1?3，同理QF2?QM?3，∴PF2?QF2?PQ?3?3?6，因

33此，△PF2Q的周长是定值6.

三、解答题：本大题共6小题，共75分． 16．（本小题满分12分）

a2?c2?b21??，所以B?。…………2分 解：（1）在△ABC中，因为cosB?2ac23在△ABC中，因为2b?3c，由正弦定理可得2sinB?3sinC，

所以sinC?2?2??5?2???，0?C?，C?，故A?…………6分

3341224（2）由（1）得f(x)?1?cos(2x??3)?cos2x

13?1?cos2x?sin2x?cos2x

2231sin2x?cos2x 227??1?sin(2x?) ……………9分

6?1?·7·

7??5???2k??(k?Z)，得k???x?k??(k?Z)

262635??,k??](k?Z) ……………12分 即函数f(x)的单调递增区间为[k??63令2k????2x?17．（本小题满分12分）

解：（1）记“15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标”为事件A，则

12C5C45P(A)?310?，

C1591?15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标的概率为

45. ……………4分 9151?，………5分 153（2）依题意可知，这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率P(B)??可能取0，1，2，3. ……………6分 81?4?1?11? ，P(??1)?C3则P(??0)?C?1??????1???，

3?3?9?3?270332?1?P(??2)?C32????3?其分布列如下：

21?1?2，3?1?．……………10分 1??P(??3)?C?3?????3?9?3?273? 0 1 2 3 4281 9927278421?1??2??3??1. ……………12分 所以E??0?279927P 18．（本小题满分12分）

解：（1）∵底面ABCD是平行四边形，AD?AB?2，AB?AD?0，∴底面ABCD是边长为2

的正方形，取AD的中点G，连接HE，HG，GC，根据题意得HG=EC=1，且HG∥EC∥PD，则四边形EHGC是平行四边形 ……………3分

所以HE∥GC，HE?平面ABCD，GC?平面ABCD，故HE∥平面ABCD

……………5分

（2）法一：如图，取PB的中点M，连接AC，DB交于点F，连接ME，MF，作FK⊥PB于点

K，容易得到∠AKF是二面角A-PB-D的平面角 ……………7分

·8·

AF?16AC?2，Rt?PDB～Rt?FKB，易得FK?， 23AF??3，所以?AKF? ……………8分 KF31MF?EC，由于点M是PB的中点，所以MF是△PDB的中位线，MF∥PD，且MF?PD，

2从而tan?AKF?且MF∥EC，故四边形MFCE是平行四边形，则ME∥AC，又AC⊥平面PDB，则ME⊥平面PDB，ME?平面PBE，所以平面PBE⊥平面PDB，所以二面角A-PB-E的大小就是二面角A-PB-D的大小与直二面角D-PB-E的大小之和

……………11分

故二面角A?PB?E的大小为

?3??2?5? ……………12分 6法二：由（1）知，DA，DC，DP两两互相垂直，建立空间直角坐标系D?xyz如图所示，设PA的中点为N，连接DN，则D（0,0,0），A(2,0,0)，B（2,2,0），E（0,2,1），P（0,0,2），N（1,0,1），易知DN⊥PA，DN⊥AB，所以DN⊥平面PAB，所以平面PAB的一个法向量为

DN?n?(1,0,1) ……………7分

??m?BE?0设平面PBE的法向量为m?(x,y,z)，因为BE?(?2,01)，BP?(?2,?2,2)，由???m?BP?0?2x?z得?，取z?2，则x?1，y?1，所以m?(1,1,2)为平面PBE的一个法向?x?y?z量。 ……………9分 所以cos?m,n??m?nm?n?32?6?3 2从图形可知，二面角A-PB-E是钝角，所以二面角A-PB-E的大小为19．（本小题满分12分）

解：（1）设{an}的公比为q，则由2b2?b1?b3有

5?……12分 62a1q?a1?1?a1q2?a1q2?2a1q?a1?1?0 ??4a12?4a1(a1?1)?4a1?0

故方程有两个不同的实根，由{an}唯一可知方程必有一根为0，代入方程得a1?1

·9·

…………3分

从而q?2

?an?2n?1，b1?a1?1?0,b2?a2?2?bn?0?(n?1)?2?2n?2………6分

（2）由（1）知anbn?(2n?2)2n?1?(n?1)2n则

Tn?a1b1?a2b2?a3b3?L?anbn

?0?21?1?22?2?23?L(n-1)?2n

2Tn?0?22?1?23?2?24?L?(n?2)2n?(n?1)?2n?1??Tn?2?2?2?L?2?(n?1)2234nn?14(1?2n?1)??(n?1)2n?1?(2?n)2n?1?4

1?2?Tn?(n?2)2n?1?4 ……………12分

20．（本小题满分13分） 解（1）由题意知

p?1?p?2?x2?4y ……………4分 222x3x12x2（2）令A(x1,),B(x2,),C(x3,)，不妨设直线AB与y轴交于点D(0,yD)

4442x2x12x12?yD?444?y??x1x2 ??Dx2?x10?x14又因为FA?FB?FC?0

22x3x12x2??x1?x2?x3444?1 ??0,33从而x1?x2??x3,x1?x2?12?x3

222?2x1x2?(x1?x2)2?(x12?x2)?2x3?12?x1x2?x3?6

2221S?ABC?3S?ABF?3?1?yDx2?x1

29x1x222922222S??(1?)(x?x?2xx)?(4?x3?6)2(12?x3?2x3?12) ABC12124464·10·

?9227222(x3?2)2(24?3x3)?(x3?2)2(8?x3) 64642令t?x3?0

y?27(t?2)2(8?t) 6427[2(t?2)(8?t)?(t?2)2]64 ………10分 令y'?0?t1?2,t2?6y'?当t?(0,2)时函数单调递减，当t?(2,6)时函数单调递增，t?（6，+?）时函数单调递减且当t=0时y?

?ymax?2727,当t?6时y? 2227 2S?ABCmax?36 …………13分 221．（本小题满分14分）

解：（1）当x?0时，f(0)?m?1?1?m?2

f/(x)?2ex?1，f/(0)?2?1?1，∴所求切线方程y?x?1，即x?y?1?0

…………3分

（2）由题意，me1?x1?1?0，me2?x2?1?0。 …………4分

xxex2?ex1ex2?x1?1ex2?ex1x2x1?(x2?x1)?x2?x1?(x2?x1) y?x2?m(e?e)?x2x1x1e?ee?1e?e令x2?x1?t(t?0)

et?1g(t)?t?t(t?0)

e?1?e2t?1又g(t)?t?0 2(e?1)/∴g(t)在(0,??)上单调递减

·11·

∴g(t)?g(0)?0 ∴g(t)?(??,0)

1?m)的值域为(??,0) …………8分 x2x1e?ex?1x（3）由f(x)?0得me?x?1?0，即有m?x

ex?1?x/令u(x)?x，则u(x)?x，令u/(x)?0?x?0，u/(x)?0?x?0

ee∴y?(e2?e1)(xx∴u(x)在(??,0)上单调递增，在(0,??)上单调递减。

∴u(x)max?u(0)?1，∴m?1 …………10分 又令h(m)?(e?1)lnm?m?1，则h(m)?/e?1e?1?m?1?。 mm//令h(m)?0?m?e?1，h(m)?0?m?e?1，又m?1

∴h(m)在(1,e?1)上单调递增，在(e?1,??)上单调递减 又h(1)??1?1?0，h(e)?e?1?e?1?0

∴当1?m?e时，h(m)?0?(e?1)lnm?m?1?0，即(e?1)lnm?m?1 ∴em?1?me?1

m?1同理，当m?e时，e?me?1，当m?e时，em?1?me?1。

m?1?me?1 综上，当1?m?e时，e当m?e时，e当m?e时，e

m?1?me?1，

?me?1。 …………14分

m?1【注：若有其它解法，请酌情给分】

欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org ·12·

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/u6f6.html