20100414期望和方差

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第四章 随机变量的数字特征随机变量的概率分布：能完整地描述随机变量的统计规律性。 但在许多情况下，只须知道从不同角度反映随机变量取值特征 的若干个数字就够了，这些数字就称为随机变量的数字特征. 如：评价某地区粮食产量水平——平均产量 评价某批棉花质量——纤维的平均长度、 各纤维长度与平均长度之间的偏离程度

本章将讨论随机变量的 数学期望、方差 协方差及相关系数 方差、协方差 数学期望 方差 协方差 相关系数

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4.1 数学期望一、离散型随机变量的数学期望

(mathematical expectation)

某商场计划与五一节在户外搞一次促销 活动，统计资料表明，如果商场内搞促销可获得经 济效益3万元；在商场外搞促销，如果不下雨可获经 济效益12万元，如果下雨则带来经济损失5万元；若 天气预报称当天有雨的概率为40%,则商场如何选择 促销方式？

引例

定义1 设离散型随机变量 X 的分布律为 x1 x2 L xk L X

P则称

E ( X ) = ∑ xk pk (要求此级数绝对收敛)k =1

∞

p1

p2 L pk L

为 X 的数学期望(或均值).

如果级数是条件收敛的，则 它的和与级数中各项的求和 顺序有关.为了避免这种混 乱的局面出现，因此我们规 定只有当级数绝对收敛时， 随机变量的数学期望才存在 ，否则，E(X)不存在.

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例美国赌场中经常用的轮盘上有38个数字，每 一个数字被选中的几率都是相等的。赌注一般压 在其中某一个数字上，如果轮盘的输出值和这个 数字相等，那么下赌者可以将相当于赌注35倍的 奖金和原赌注拿回(总共是原赌注的36倍),若 输出值和下压数字不同，则赌注就输掉了。 因此，如果赌注是1美元的话，这场赌博 的期望值是：(-1 × 37/38 ) + (35 ×1/38 ), 结果是-0.0526。也就是说，平均起来每赌一次就 会输掉5美分。

**数学期望，它的形式定义是从离散型开始的，也就是加 权平均，以概率为权对随机变量的值进行平均，而连续型 的定义则是离散型引入极限后得出的，本质上是一样的。

∑ x f ( x ) x ,令 xi i i i

i

→0

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二、连续型随机变量的数学期望定义2 设连续型随机变量 X 的概率密度为 f ( x ) , 则称

E( X ) = ∫

+∞ ∞

xf ( x)dx

(要求此积分绝对收敛)

为X 的数学期望(或均值).

注意：并非所有的随机变量都有数学期望 并非所有的随机变量都有数学期望思考题 是否任何一个随机变量都存在数学期望？请研究随机变量 X ,其概率密度为

1 f (x) = , ∞ < x < +∞ 2 π 1+ x**一个随机变量的期望值是变量的输出值乘以其机率的总和， 换句话说，期望值是该变量输出值的平均数。期望值并不一定 包含于变量的输出值集合里

1

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几点说

明： 随机变量的数学期望是一个数，它刻划了该随机变量的 平均值. 随机变量的数学期望由该随机变量的分布律唯一确定. 并非所有的随机变量都有数学期望，如果级数或积分不 是绝对收敛，则E(X)不存在.如果一个随机变量只取有 限个值，则E(X) 必存在.

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三、随机变量的函数的数学期望定理1 设随机变量 Y 是随机变量 X 的函数Y=g(X ) (1)若X为离散型, 且分布律为 pk = P{X = xk }, k =1, 2,L∞

E (Y ) = E[ g ( X )] =

∑ g ( xk ) pk .k =1+∞ ∞

(2)若X为连续型，其密度为f ( x ),则

E (Y ) = E[ g ( X )] = ∫

g ( x ) f ( x ) dx

**定理的重要性在于：求 E[g(X)] 时，不必知道 g(X) 的分布， 只需知道 X 的分布即可。这给求随机变量函数的数学期望带来 很大方便。

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定理2 设随机变量 Z 是 X、Y 的函数Z=g (X, Y) (1)若(X, Y)为二维离散型随机变量，联合分布律为

pij = P{ X = xi , Y = y j }, i, j = 1, 2,L则

E ( Z ) = E[ g ( X , Y )] = ∑∑ g ( xi , y j ) pijj =1 i =1

∞

∞

(2)若( X, Y )为二维连续型随机变量，联合密度为f (x, y),则

E(Z ) = E[ g( X ,Y )] = ∫

+∞ ∞

∫ ∞ g(x, y) f (x, y)dxdy

+∞

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例 设 X 的概率密度为

求 E (Y ) 、 (Z ) . E 解

π π 1 cos x , < x < , f ( x) = 2 2 2 0, 其它 E (Y ) = E (sin X ) = ∫π2+∞ ∞

Y = sinX , Z = cosX

sin xf ( x)dx

1 = ∫ π sin x cos xdx = 0 . 2 2E ( Z ) = E (cos X ) = ∫ =∫ =∫ =π2 +∞ ∞

cos xf ( x)dx

1 cos x cos xdx π 2 2π2 0

π4

1 + cos 2 x dx 2

.

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例 设( X, Y )的联合密度为

1 求 E( Y )、 E( ). XY

3 3 2, f ( x, y ) = 2 x y 0,

1 < y < x, x > 1 x 其它

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四、数学期望的性质(设 E ( X ) 、E (Y ) 存在)性质1 设 C 为常数，则有E (C ) = C . 性质2 E ( CX ) = CE ( X ). 性质3 E ( X ± Y ) = E ( X ) ± E (Y ) . 性质4 若X、Y 相互独立，则 E( XY ) = E( X ) E( Y ) . 证 只对连续型加以证明.设 ( X, Y ) 的联合密度为 f ( x, y ), 关于

X、Y 的边缘密度分别为 f X ( x ) 、 f Y( y ) . 据独立性则有f ( x, y ) = f X ( x ) f Y( y ) ,于是

E( XY ) = ∫ =∫ =∫

+∞ ∞

∫ ∞ xyf (x, y)dxdy ∫ ∞ xyfX (x) fY ( y)dxdyxf X ( x)dx∫+∞ ∞ +∞

+∞

+∞ ∞

+∞ ∞

yfY ( y)dy

= E( X ) E(Y ) .

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2 x, 0 < x < 1, 例 设 X 与 Y 独立， f X ( x ) = 其它. 0,

e ( y 2 ) , y > 2, fY ( y) = 求 E ( XY ) . 其它, 0,解

E ( XY ) = E ( X ) E (Y )

=∫

+∞ ∞ 1

xf X ( x)dx ∫+∞ 2

+∞ ∞

yf Y ( y )dy

= ∫ x 2 xdx ∫0

ye ( y 2) dy

= 2.

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数学期望的应用问题保险方面的应用。 例 保险方面的应用。据统计：65岁的人在10年内正常死亡的概 率为0.98,因意外死亡的概率为0.02,保险公司开办老人意外事故 死亡保险，参

保者仅需交纳保险费1000元。若10年内因意外事故死 亡，公司赔偿a元。问： (1)如何确定赔偿额度a,才能使保险公司期望获益？ (2)若有10000人投保，公司期望总获益是多少？

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物流管理方面的应用。 例 物流管理方面的应用。市场上对某种产品每年的需求量 为 X(吨),它服从[2000,4000]上的均匀分布。已知每吨产 品出售可赚3万元；若售不出去，则每吨需付仓库保管费1万 元。试问每年应进该产品多少吨，才能使销售商获得的平均 收益最大？并求最大平均收益。

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4.2 方 差

(variance)

数学期望是对随机变量的取值水平的综合评价，而随机变量取值的稳 定性是判断随机现象的另一个重要指标。研究随机变量与其均值的偏 离程度 E { l X-E(X) l },因为带绝对值计算不方便，故引入方差。 -

一、方差的定义 定义3 设X为随机变量，若E{ [X-E(X)]2 }存在，则 D(X)=E{ [X-E(X)]2 } [X-各变量值与其均值离差平方的平均数

称为随机变量 X 的方差.称 D ( X ) 为 X 的标准差，标 准差和变量的计算单位相同，比方差清楚。

例 奥运射击队员射击目标靶的稳定效果。若 取值比较集中，方差较 小，即比较稳定。

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二、方差的计算公式 1.设 X 为离散型随机变量，分布律为

X

x1p1∞ k =1

x2 L xk Lp2 L pk L

P则

D ( X ) = ∑ [ x k E ( X )] 2 p k+∞ ∞

2.设 X 为连续型随机变量，概率密度为f (x), 则

D( X ) = ∫

[ x E ( X )]2 f ( x)dx .

3. D ( X ) = E ( X 2 ) [ E ( X )]2运用数学期望的性质，证明如下：

D( X ) = E[ X E( X )]2 = E{X 2 2 XE( X ) + [ E( X )]2 } = E( X 2 ) E[2 XE( X )] + E[ E( X )]2 = E( X 2 ) 2E( X ) E( X ) + [ E( X )]2 = E( X 2 ) [ E( X )]2 .

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三、方差的性质性质1 设 C 为常数，则 D(C ) = 0.且D(X+C)=0 证 D ( C ) = E [ C E ( C )] 2 = E (C C ) 2 = E ( 0 ) = 0 . 性质2 D (CX ) = C 2 D ( X ).2 2 2 2 证 D(CX ) = E[CX E (CX )] = E{C [ X E ( X )] } = C D( X )

.

性质3 设 X 与 Y 相互独立，则有 D ( X ± Y ) = D( X ) + D (Y )2 证 D( X ± Y ) = E{[ X E ( X )] ± [Y E (Y )]}

= E{[ X E ( X )]2 ± 2[ X E ( X )][Y E (Y )] + [Y E (Y )]2. } = D ( X ) + D (Y ) ± 2[ E ( X ) E ( X )][ E (Y ) E (Y )] = D ( X ) + D (Y ) .

= E[ X E ( X )]2 + E [Y E (Y )]2 ± 2 E{[ X E ( X )][Y E (Y )]}

性质4 D(X ) = 0 的充要条件是 X 以概率1取常数值。其实此时X 也就不是随机变量了。

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4.3 常用分布的数学期望和方差1 设 X 服从参数为 p 的 (0-1)分布，求 X 的数学期望E(X)和方差D(X). 解 X 的分布律为X P 0 1-p 1 p .

E ( X ) = 0 × (1 p ) + 1 × p = p E ( X 2 ) = 0 2 × (1 p ) + 12 × p = p,

D ( X ) = E ( X 2 ) [ E ( X )]2 = p p 2 = p (1 p ) .2 设 X ~ B( n, p),求

E ( X ), D ( X . )

解 X

表示n重伯努里试验中成功的次数，由n个相互独立的0-1分布变量之和组成，在每次试验中A发生的概率为p

X = X1 + X 2 + L + X n

1, 第i次试验时A发生, Xi = 0, 第i次试验时A未发生.都是0-1分布的n倍

D ( X ) = D ( X 1 ) + D ( X 2 ) + L + D ( X n ) = np (1 p )

E ( X ) = E ( X 1 ) + E ( X 2 ) + L + E ( X n ) = np

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3

设随机变量满足泊松分布 X~ P(λ) ( λ>0 ),求E(X), D(X)

解 pk = P{X = k} =

λkk!

e λλk e λ

k = 0, 1, 2,L

E( X ) = λ

E( X ) = ∑kk =0

∞

λk e λk!

=∑k =1

∞

(k 1)!

= λe ∑ λ t =0

∞

λtt!

= λe λ eλ = λ

D( X ) = E ( X 2 ) [ E ( X )]2 = E[ X ( X 1)] + E ( X ) [ E ( X )]2 = E[ X ( X 1)] + λ λ2 E[ X ( X 1)] = ∑ k (k 1)k =0 ∞

λk e λk!

= λ2e λ ∑k =2

∞

λk 2(k 2)!

= λ2e λ eλ = λ2 ,

D( X ) = λ2 + λ λ2 = λ .泊松分布的期望和方差都是λ

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4 设 X 在 [ a,b ]上服从均匀分布，求 E ( X ), D(X). 解 X 的概率密度为E( X ) = ∫2

1 , a ≤ x ≤ b, f ( x) = b a 0, 其它. b a

+∞ ∞

xf ( x)dx = ∫ x

1 a 2 + ab + b 2 E ( X ) = ∫ x f ( x ) dx = ∫ x dx = , ∞ a b a 3 (b a) 2 2 2 D( X ) = E ( X ) [ E ( X )] = . 12+∞ 2 b 2

1 a+b dx = b a 2

5 设 X 服从参数为 λ的指数分布，求 E ( X ), D ( X ). λe λx , x > 0 解 X 的概率密度为 f ( x) = x≤0 0, +∞ +∞ 1 E ( X ) = ∫ xf ( x )dx = ∫ xλe λx dx = ∞ 0 λ +∞ +∞ 2 2 2 E ( X ) = ∫ x f ( x )dx = ∫ x 2λe λx dx = 2 ∞ 0 λ 1 D ( X ) = E ( X 2 ) [ E ( X )]2 = 2 . λ

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6 设 X ~ N ( µ , σ 2 ). 求E ( X ), D(X). 解f ( x) = 1 e 2π σ+∞ ∞

( x µ )2 2σ 2

, ∞ < x < +∞+∞ ∞

E( X ) = ∫令 x µ

xf ( x )dx = ∫ 1 2π+∞ ∞

x e 2π σ t2 2

( x µ )2 2σ 2

dx

σ

= t

** t 称为 x 的标准化变量

∫

+∞ ∞

(σt + µ )e dt+∞ ∞

=

σ 2π

∫

te dt + µ ∫+∞ ∞

t2 2

1 e dt = µ . 2π 1 e 2π σ ( x µ ) 2σ 2

t2 2

D( X ) = E[ X E ( X )]2 = ∫令 x µ

( x µ )2 t2 2

dx

σ

= t

σ

2

2πσ

∫ ∞

+∞ 2

t e

d t =σ2

标准正态分布的E(X)=0, D(X)=1,一般正态分布两个参数是期望和标准差。 本题也可先求标准正态变量 Z = x µ 的数学期望和方差，再根据性质

E ( X ) = E ( µ + σZ ) = µ D ( X ) = D ( µ + σ Z ) = D ( µ ) + D (σ Z ) = σ 2 D ( Z ) = σ 2

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例

设 X 与 Y 相互独立， ( X ) = 2 , ~ B(10, 0.2) ,求 D(3 X 5Y ). Y D 解

D(3 X 5Y ) = 32 D( X ) + 5 2 D(Y )= 9 × 2 + 25 × 10 × 0.2 × 0.8 = 58 .

例

Z 设 X ,Y,Z 相互独立，且已知 X ~ N (2, 4) , Y ~ E ( ) , ~ U ( 1, 2)

1 2

(1)设W = 2 X + 3 XYZ Z + 5, 求E (W ) (2)设U = 3 X 2Y + Z 4, 求 D (U )

例 设 X 与 Y 的联合分布在点(0,

1),(1,0),(1,1)为顶点的三角形区域上服 从均匀分布，试求随机变量Z=X+Y的期望和方差。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/u6f4.html