2016-2017学年高中数学苏教版选修2-1模块综合测评 Word版含解析

模块综合测评

(时间120分钟，满分160分)

一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中的横线上)

1．若空间三点A(1,5，－2)，B(2,4,1)，C(p,3，q＋2)共线，则p＋q＝________. p－1→→→→【解析】 易得AB＝(1，－1,3)，AC＝(p－1，－2，q＋4)．∵AB∥AC，∴1－2q＋4＝＝，∴p＝3，q＝2，p＋q＝5.

3－1

【答案】 5

2．设命题p：|4x－3|≤1；命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0.若非p是非q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________. 【导学号：09390093】

【解析】 先列出命题非p和非q：|4x－3|>1和x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)>0，11

分别解得非p：x>1或x<2；非q：x>a＋1或x

【答案】 0≤a≤2

x2y2

3．已知双曲线64－36＝1上一点P到它的右焦点的距离为8，那么点P到它的右准线的距离是________．

8532

【解析】 设到右准线的距离为d，则d＝4，所以d＝5. 32

【答案】 5

1

4．设a∈R，则a＞1是a＜1的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分也不必要”)

1－a11

【解析】 由a＜1，得a＜0，即a＜0或a＞1，所以a＞1是a＜1的充分不必要条件．

【答案】 充分不必要

y2

5．抛物线y＝4x的焦点到双曲线x－3＝1的渐近线的距离是________.

2

2

【导学号：09390094】

【解析】 由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0)， 双曲线的渐近线方程为3x－y＝0或3x＋y＝0， 则焦点到渐近线的距离d1＝3

【答案】 2 6．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ＝________.

【解析】 由题意得c＝ta＋μb＝t(2，－1,3)＋μ(－1,4，－2)＝(2t－μ，－t＋4μ，3t－2μ)，即(7,5，λ)＝(2t－μ，－t＋4μ，3t－2μ)，

|3×1＋0|33

＝或d＝＝. 2222222?3?＋?－1??3?＋1|3×1－0|

?

∴?5＝－t＋4μ，?λ＝3t－2μ，

65

【答案】 7

7＝2t－μ，

??17解得?μ＝7，65?λ＝?7.33t＝7，

7．已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，下列条件中能确定点M与点A，B，C一定共面的是________(填序号)．

→→→→→→→→→→1→1→①OM＝OA＋OB＋OC；②OM＝2OA－OB－OC；③OM＝OA＋2OB＋3OC；→1→1→1→→→→→④OM＝3OA＋3OB＋3OC；⑤ OM＝5OA－3OB－OC.

→

【解析】 对空间任一点O和不共线的三点A，B，C，若满足向量关系式OM→→→

＝xOA＋yOB＋zOC(其中x＋y＋z＝1)，则四点M，A，B，C共面．所以④⑤满足题意．

【答案】 ④⑤

x2y2

8．双曲线4＋k＝1的离心率e∈(1,2)，则k的取值范围是________．

x2y2

【解析】 因为方程4＋k＝1表示双曲线，所以k<0，所以a2＝4，b2＝－k，4－k

c2＝4－k，因为e∈(1,2)，所以4∈(1,4)，解得k∈(－12,0)．

【答案】 (－12,0)

9．如图1所示，正方体ABCD-A′B′C′D′中，M是AB的中点，则sin→→

〈DB′，CM〉＝________.

图1

【解析】 设正方体的棱长为1，以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD′所在直线为z轴建系．易得B′(1,1,1)，B(1,1,0)，1?→?1?→?

C(0,1,0)，A(1,0,0)，故M?1，2，0?，CM＝?1，－2，0?，DB′＝(1,1,1)，得cos

????15→→

〈DB′，CM〉＝15，

210→→

所以sin〈DB′，CM〉＝15. 【答案】

21015

10．已知点M(－3,0)，N(3,0)，B(1,0)，动圆C与直线MN切于点B，过M，N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程是________．

【解析】 如图所示，设直线MP与直线NP分别与动圆C切于点E，F，则PE＝PF，ME＝MB，NF＝NB.从而PM－PN＝ME－NF＝MB－NB＝4－2＝2

能在x轴上，所以点P的轨迹是以M，N为焦点，实轴长为2的双曲线的右支并除去与x轴的交点．

x2y2

设对应的双曲线方程为a2－b2＝1，则a＝1，c＝3，b2＝8.故P点的轨迹方程y2

为x－8＝1(x>1)．

2

y2

【答案】 x－8＝1(x>1)

2

11．在四面体O-ABC中，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC的中点，→1→x→x→

若OG＝3OA＋4OB＋4OC，则使G与M，N共线的x的值为________．

→→

【解析】 若G，M，N共线，则存在实数λ使MG＝λMN， →→→→即OG－OM＝λ(ON－OM)，

2?1－λ?→λ→λ2→1→→→→→

∴OG＝(1－λ)OM＋λON＝(1－λ)·OA＋λ·(OB＋OC)＝

323OA＋2OB＋2→

OC，

2?1－λ?1??3＝3，∴?xλ??4＝2，【答案】 1

12．动圆的圆心在抛物线y2＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则动圆必过定点________．

【解析】 抛物线y2＝8x，p＝4，其准线方程为x＝－2，焦点为F(2,0)，设动圆圆心为P，由已知点P到准线x＋2＝0的距离为其半径r，且点P在抛物线上，∴点P到焦点F的距离也为r，

∴动圆必过定点F(2,0)． 【答案】 (2,0)

x2y2

13．如果椭圆36＋9＝1的弦被点(4,2)平分，则这条弦所在的直线方程是________．

2

【解析】 设弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程，得9x21＋36y12＝9×36,9x2＋36y22＝9×36 ，两式相减，得9(x1＋x2)(x1－x2)＋36(y1＋y2)(y1－y2)

∴x＝1.

＝0，由中点坐标公式

x1＋x2y1＋y2y1－y21

＝4，＝2，所以k＝＝－222，所以所求直x1－x2

1

线方程为y－2＝－2(x－4)，即x＋2y－8＝0.

【答案】 x＋2y－8＝0

14．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点P(－1,0)的直线l交抛物线C于A，B两点，点Q为线段AB的中点，若FQ＝2，则直线的斜率等于________．

?y＝k?x＋1?，

【解析】 设直线l的方程为y＝k(x＋1)，联立?2消去y得k2x2

?y＝4x，2k2－4xA＋xB2

＋(2k－4)x＋k＝0，由根与系数的关系，xA＋xB＝－k2，于是xQ＝2＝k22

2

2

－1，把xQ带入y＝k(x＋1)，得到yQ＝k，根据FQ＝k＝±1.

【答案】 ±1

?2?2?2?2

?k2－2?＋?k?＝2，解得????

二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15．(本小题满分14分)已知p：－2≤x≤10；q：x2－2x＋1≤m2(m＞0)．若非p是非q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

【解】 由x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，得1－m≤x≤1＋m，

∴非q：A＝{x|x＜1－m或x＞1＋m}，非p：B＝{x|x＜－2或x＞10}， ∵非p是非q的必要不充分条件，且m＞0，∴A?B，

?m＞0，①

∴?1－m≤－2，②?1＋m≥10，③

，即m≥9，注意到当m＝9时，③中等号成立，而②

中等号不成立，∴m的取值范围是m≥9.

16．(本小题满分14分)在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD.

(1)证明：AB⊥平面VAD；

(2)求二面角A-VD-B的平面角的余弦值．

【解】 取AD的中点O作为坐标原点，由题意知，VO⊥底面ABCD，则可建立如图所示的空间直角坐标系．

设AD＝2，则A(1,0,0)，D(－1，0,0)，B(1,2,0)，V(0,0，3)．

→→

(1)证明：易得AB＝(0,2,0)，VA＝(1,0，－3)．

→→∵AB·VA＝(0,2,0)·(1,0，－3)＝0， →→

∴AB⊥VA，即AB⊥VA.

又AB⊥AD，AD∩VA＝A，∴AB⊥平面VAD.

→?13?

(2)易得DV＝(1,0，3)．设E为DV的中点，连结EA，EB，则E?－，0，?，

2??2→?33?→?33?

∴EA＝?，0，－?，EB＝?，2，－?.

2?2??2?2

→→?33?

∵EB·DV＝?，2，－?·(1,0，3)＝0，

2??2→→

∴EB⊥DV，即EB⊥DV.

同理得EA⊥DV，∴∠AEB为所求二面角的平面角， →→EA·EB21→→

∴cos〈EA，EB〉＝＝7.

→→|EA||EB|21

故所求二面角的平面角的余弦值为7.

x2y2

17．(本小题满分14分)椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，一条直

43线l经过点F1与椭圆交于A，B两点．

(1)求△ABF2的周长；

π

(2)若l的倾斜角为4，求△ABF2的面积. 【导学号：09390095】

【解】 (1)由椭圆的定义，得AF1＋AF2＝2a，BF1＋BF2＝2a，又AF1＋BF1＝AB，

所以，△ABF2的周长＝AB＋AF2＋BF2＝4a. 又因为a2＝4，所以a＝2，故△ABF2的周长为8.

π

(2)由条件，得F1(－1,0)，因为AB的倾斜角为4，所以AB的斜率为1， 故直线AB的方程为y＝x＋1. y＝x＋1，??

由?x2y2

＋＝1，??43

消去x，得7y2－6y－9＝0，

3＋623－62

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，解得y1＝7，y2＝7， 11122122

所以S△ABF2＝2F1F2·|y1－y2|＝2×2×7＝7. 18．(本小题满分16分)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，E为BB1的中点．

图2

(1)证明：AC⊥D1E；

(2)求DE与平面AD1E所成角的正弦值．

【解】 (1)证明：连结BD，∵ABCD-A1B1C1D1是长方体， ∴D1D⊥平面ABCD, 又AC?平面ABCD，∴D1D⊥AC， 在长方形ABCD中，AB＝BC，∴BD⊥AC，又BD∩D1D＝D， ∴AC⊥平面BB1D1D, 而D1E?平面BB1D1D，∴AC⊥D1E. (2)如图，建立空间直角坐标系D-xyz，

→→→则A(1,0,0)，D1(0,0,2)，E(1,1,1)，B(1,1,0)，AE＝(0,1,1)，AD1＝(－1,0,2)，DE＝(1,1,1)．

设平面AD1E的法向量为n＝(x，y，z)，

→?n·AD1＝0，则?→?n·AE＝0，

?－x＋2z＝0，

∴?令z＝1， y＋z＝0，?

则n＝(2，－1,1)，

→n·DE2－1＋12→

cos〈n，DE〉＝＝＝3，

→3×6|n||DE|2

所以DE与平面AD1E所成角的正弦值为3.

19．(本小题满分16分)如图3，已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，M，N分别是CC1，BC的中点，点P在直线A1B1上，且A1P＝λA1B1.

图3

(1)证明：无论λ取何值，总有AM⊥PN；

(2)当λ取何值时，直线PN与平面ABC所成的角θ最大？并求该角取最大值时的正切值．

(3)是否存在点P，使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为30°？若存在，试确定点P的位置；若不存在，请说明理由．

【解】 以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐1???11?标系，则A1(0,0,1)，B1(1,0,1)，M?0，1，2?，N?2，2，0?.

????

→→

∵A1P＝λA1B1＝λ(1,0,0)＝(λ，0,0)，∴P(λ，0,1)， 1→?1?→?111?∴PN＝?2－λ，2，－1?，NM＝?－2，2，2?.

????

1?11→?→→

0，1，??(1)证明：∵AM＝PN＝0＋2－2＝0， 2?，∴AM·?→→

∴AM⊥PN，∴无论λ取何值，总有AM⊥PN. (2)∵m＝(0，0，1)是平面ABC的一个法向量，

→

∴sin θ＝|cos〈m·PN〉|＝

|0＋0－1|

＝11??

?2－λ?2＋＋1??4π??

，又θ∈?0，2?，

???1?25

?λ－2?＋??41

4

cos θ＝5，

15，

1

∴当λ＝2时，sin θ取得最大值，即θ取得最大值，此时sin θ＝∴tan θ＝2.

(3)假设存在点P满足题意，设n＝(x，y，z)是平面PMN的法向量，由→?n·NM＝0，?→?n·PN＝0，

得?

?1?1

－λ?x＋y－z＝0，????2?2

111－??2x＋2y＋2z＝0，

令x＝3，得y＝1＋2λ，z＝2－2λ，

∴n＝(3,1＋2λ，2－2λ)，由(2)知平面ABC的一个法向量为m＝(0,0,1)， ∴|cos〈m，n〉|＝

|2－2λ|32

＝，化简得4λ＋10λ＋13＝0(*)， 2229＋?1＋2λ?＋?2－2λ?

∵Δ＝100－4×4×13＝－108<0， ∴方程(*)无解，

∴不存在点P使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为30°.

x2y22

20．(本小题满分16分)已知椭圆C：a2＋b2＝1(a＞b＞0)的离心率为2，且2

过点A(2，1)．直线y＝2x＋m交椭圆C于B，D (不与点A重合)两点．

(1)求椭圆C的方程；

(2)△ABD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

2c21

【解】 (1)∵e＝2＝a，a2＋b2＝1，a2＝b2＋c2， x2y2

∴a＝2，b＝2，c＝2，∴椭圆的方程为4＋2＝1. (2)设B(x1，y1)，D(x2，y2)，

2?y＝?2x＋m，由?22

xy??4＋2＝1

?x2＋2mx＋m2－2＝0，

∴Δ＝8－2m2＞0?－2＜m＜2，x1＋x2＝－2m，x1x2＝m2－2. ∵BD＝

1＋??2?

?2 |x61－x2|＝2?2?

28－2m，

设d为点A到直线BD：y＝2|2m|2x＋m的距离，∴d＝6 ，∴2

2?4－m2?m2≤2.

当且仅当m＝±2∈(－2,2)时，等号成立， ∴当m＝±2时，△ABD的面积最大，最大值为2. S＝1

△ABD2BD·d

＝

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/u6e7.html