5.1 5.2两点边值问题

第一章，边值问题的变分形式 1.1 二次函数的极值

定理1.1 设矩阵A对称正定，则下列两个问题等价： （1）求x0?R使

nJ(x0)?minJ(x)

x?Rn其中

J(x)?1(Ax,x)?(b,x). 2（2）求下列方程组的解： Ax?b 1.2 两点边值问题 1. 弦的平衡

用u?u(x)表示在荷载forcef(x)作用下弦的平衡位置。Balance position of string根据力的平衡条件，u?u(x)满足微分方程

?Tu?f(x),其边值条件为

u(0)?0,其中T为弦的张力。tension

''0?x?l （2）

u(l)?0, （4）

另一方面，由力学的“极小位能原理”，弦的平衡位置u*?u*(x)是在满足（4）的一切可能位置中，使位置能量取得最小者。应变能为strain

1W内 ??T(u')2dx;

20外力f(x)所做的功为work

llW外 ???f?udx,

0从而总位能为

J(u)?W内 ?W外 1??[Tu'2?2uf]dx; 201根据极小位能原理，u*?u*(x)是下列变分问题的解：

J(u*)?minJ(u)

2. 极小位能原理principle of minimum potential energy 变分Variation 问题精确地叙述为：求u*?H0使

1J(u*)?minJ(u) 1u?H0引进微分算子

d2uLu??T2

dx则

ll11d2u1duW内 ?(Lu,u)??(?T2)?udx??T()2dx

220dx20dxlW外 ??(f,u)???fudx

0于是

1J(u)?(Lu,u)?(f,u)

2例如，对于两点边值问题：

Lu??ddu(p)?qu?f,x?(a,b), （10.1） dxdxu'(b)?0 （10.2）

u(a)?0,10其中p?C(I)，p(x)?minp(x)?pmin?0，q?C(I)，q?0，f?H(I)。类似地，

构造泛函

11ddu1J(u)?(Lu,u)?(f,u)???(p)udx??qu2dx??fudx

22adxdx2aa利用分部积分integration by parts，并由（10.2），得到

bbbddududu2du2??(p)udx??pu|b?p()dx?p()dx a??dxdxdxdxdxaaa令

bbbba(u,v)??[padudv?quv]dx （12） dxdx得到

1J(u)?a(u,u)?(f,u)

2问题（10）的变分问题：求u*?HE使

1J(u*)?minJ(u)。 1u?HE可以验证（12）定义的a(u,v)具有两个性质：bilinear form （1）对称性：a(u,v)?a(v,u) symmetry

（2）正定性：a(u,v)??u1 positive definite 对任意u?HE

令

21?(?)?J(u*??v)1 a(u*??v,u*??v)?(f，u*??v)21??2=a(u*,u*)?[a(u*,v)?a(v,u*)]?a(u*,v)?(f,u*)??(f,v)222?从而

u??a[u( ?(?)?J(*)*v,?)f(v,?)]22?2a , ) （14） *u ( v变分原理：设f?C(I)，u*?C是边值问题（10）的解，则u*使J(u)达到极小值；

21反之，若u*?C?HE使J(u)达到极小值，则u*是边值问题（10）的解。

21证明：注意当u*?C?HE时，

a(u*,v)?(f,v)b??[padu*dv?qu*v?fv]dxdxdxb （16） du*bdu*d?pva??[?(p)?qu*?f]vdxdxdxdxab'??[Lu*?f]vdx?p(b)u*(b)v(b)a'如果u*是边值问题（10）的解，则Lu*?f?0,u*(b)?0，从而

'1 ?(0)?a(u*,v)?(f,v)?0， 对任意v?HE

由（14），有

J(u*??v)?J(u*)??22a(v,v)?J(u*)

这说明u*使J(u)达到极小值。

反之，若u*使J(u)达到极小值，则由（14）及（16），得

b

?(0)?a(u*,v)?(f,v)??[Lu*?f]vdx?p(b)u*'(b)v(b)?0, 对任意v?H1E （18）

'a?取v?C0(I)，则

b

?v?C(I) ， 对任意[Lu?f]vdx?00?*a根据变分法基本原理，u*满足方程 Lu*?f?0， 所以，（18）化为

'1 p(b)u*(b)v(b)?0 对任意v?HE

注意p(b)?0，取v(x)?x?a，则v?HE，且v(b)?0，从而u*必须满足右边边值条件

' u*(b)?0

13. 虚功原理principle of virtual work

以v乘以方程（10.1）的两端，再积分，得到

bb [Lu?f]vdx?a??a?[ddu （20） p(v)?quv?fvdx]? 0dxdx利用分部积分，得到

ddudududvdudv ??(p)vdx??pv|b?pdx?pdx a??dxdxdxdxdxdxdxaaa代到（20），得到

bbbb [pa?dudv?quv?fv]dx?0 dxdx即

a(u,v)?(f,v)?0 （22） 这是方程（10）的变分形式。

211对u*?C?HE，v?HE，由（16），得到

b a(u,v)?(f,v?)?a[L?uf]v?dx1'(p)bu( )b(v)b11u满足u?HE假如u是边值问题（10）的解，则对任意v?HE，（22）；反之，若对任意v?HE，

满足（22），则可按前边变分原理的证明，推出u是边值问题（10）的解。

定理 设u?C是边值问题（10）的解的充要条件是：u?HE且满足变分方程

21a(u,v)?(f,v)?0。

5.3 二阶椭圆边值问题 1. 变分原理

考虑Poisson方程的第一边值问题：

? ????u??2u?2u?x2??y2?f(x,y),(x,y)?G, ??u|??0作泛函functional J(u)?12(??u,u)?(f,u)?12?(??u)udxdy??f?udxdy GG利用Green公式，我们得到

??u)vdxdy?G?(?(?u?v?u?G?x?x?v?y?y)dxdy???u?vds ??n若u,v满足边值条件，则

(??u)vdxdy?G??(?u?v?uG?x?x??v?y?y)dxdy 定义双线性形式

a(u,v)?(u?v?u?G???x?x?v?y?y)dxdy 则

J(u)?12a(u,u)?(f,u) 变分问题：求u1*?H0(G)，使 J(u*)?minJ(u)

u?H10(G)双线性形式a(u,v)具有如下性质：

（1）

（1） 对称性： a(u,v)?a(v,u) symmetry （2） 正定性：对u?H0(G)有

1a(u,v)??u1

对u*,u?H0(G)，令

12u) ?(?)?J(*??u

易算出

?(?)?J(u*)??[a(u*,u)?(f,u)]?21进一步，假设u*?C(G)?H0(G)，则

?22a(u,u)

a(u*,u)?(f,u)?(??u*,?f,u)

若u是问题（1）的解，则

1?'(0)?a(u*,u)?(f,u)?(??u*?f,u)?0 ， 对任意 u?H0(G)

从而

J(u*??u)?J(u*)??221(G) a(u,u)?J(u*)， 对任意 u?H0即u*使J(u)达到极小。总结成下面的极小位能原理。

2 定理1 设u*?C(G)是边值问题（1）的解，则u*使J(u)达到极小值；反之，若1u*?C2(G)?H0(G)使J(u)达到极小值，则u*是边值问题（1）的解。

2. 虚功原理principle of virtual work

考虑混合边值问题。在?1上满足 u|?1?0 在?2上满足

?u??u|?2?0,?n??0

以v乘（1.1）两端multiply by，得到

G?[(??u)v?fv]dxdy?0 （6）

利用边值条件，得到

?u?v?u?v?u??uv??uv(??u)vdxd?y(?)dx?dy?vds(?)?dxdy ??????x?x?y?y?n??xx??yyGG?G?2定义双线性形式：

auvdsa(u,v)??(G?u?v?u?v?)dxdy??auvds ?x?x?y?y?2则（6）可写成

a(u,v)?(f,v)?0。

定理2 设u?C(G)是上述边值问题的解的充要条件是：u?HE且满足变分方程

1a(u,v)?(f,v)?0。 对任意 v?HE

215.3 Ritz-Galerkin方法

思想：有穷空间维近似代替无穷维空间。

变分原理：求u*?U，使

J(u*)?minJ(u) （8）

u?U其中U为某类内积空间。

虚功原理：u?U满足变分方程

a(u,v)?(f,v)?0。 对任意 v?U （9）

这和Ritz法导出的方程组（14）一致，因此，习惯上称之为Ritz-Galerkin方法。

Galerkin法还可进一步推广。在U中取两个子空间Un和Vn，其基底分别为?1,?2,及?1,?2,,?n,?n，在Un中求形如

un??c?ii?1n i使其满足

a(un,vn)?(f,vn),即

对任意vn?Vn （16）

?a(?,?)ciji?1ni?(f,?j),j?1,2,,n

当Un?Vn时，就是Galerkin法。（16）成为广义Galerkin法，其中Un试探函数空间trial space，

Vn称为检验函数空间Test space。

对于Ritz-Galerkin方程（14），其系数矩阵

?a(?1,?1)a(?2,?1)?a(?,?)a(?,?)1222 A?????a(?1,?n)a(?2,?n)显然，矩阵A对称symmetrical，且

a(?n,?1)?a(?n,?2)??

??a(?n,?n)?ni,j?1?a(?,?)ccijinj?a(?ci?i,?cj?j)?a(un,un)?0

i?1j?1n从而矩阵A正定，Ritz-Galerkin方程（14）惟一可解。

定理3 设u是变分原理（7）或虚功原理（8）的解，un是Ritz-Galerkin方程（14）的解，则有与u与n无关的常数??0，满足

u?un?1??infu?v1

v?Un如果??i?1于U完全，即??i?1的一切可能的线性组合于U稠密，则进一步得到 limu?unn??1??0

例 利用Ritz-Galerkin方法求解边值问题：

?u''?u??x,0?x?1, ?

?u(0)?u(1)?0本问题有精确解： u*(x)?sinx?x sin1),?i1,2 ,Ritz-Galerkin方法通常选取的子空间有两种，一种其基底选为

i?(x ?i(x)?sin另外一种基底选为

i?1 ?i(x)??(x)x,?i1,2 ,为使?i(x)满足边值条件，取 ?(x)?x(?1x )将un(x)表成 un(x)??c?(x)?x(1?x)(c?cx?ii12i?1ncnxn?1)

n?1：u1(x)?c1x(1?x)，c1满足方程

11'' c1(?1??1)?1dx??x(1?x)dx

00??2从而得到 c1?5,18u1?5x(1?x) 18，得到Ritz-Galerkin方程： n?2：u2?c1?1?c2?2，f??x代到方程（14）

31?3?c?c??,??10120212 ? ??3c??13c??112?10520?20解得c1?717,c2?，故 36941717?x) 36941u1(x) 0.052 0.069 0.052 u2?x(1?x)( 表1 计算结果比较 x u*(x) 0.044 0.070 0.060 u2(x) 0.044 0.069 0.060 1 41 23 4

5.3 二阶椭圆边值问题 1. 变分原理

考虑Poisson方程的第一边值问题：

??2u?2u???u?2?2?f(x,y),(x,y)?G, ? （1） ?x?y?u|?0??作泛函functional J(u)?11(??u,u)?(f,u)??(??u)udxdy??f?udxdy 22GG利用Green公式，我们得到

G?(??u)vdxdy??(G?u?v?u?v?u?)dxdy???vds ?x?x?y?y?n?若u,v满足边值条件，则

G?(??u)vdxdy??(G?u?v?u?v?)dxdy ?x?x?y?y定义双线性形式

a(u,v)?(G??u?v?u?v?)dxdy ?x?x?y?y则

J(u)?1a(u,u)?(f,u) 21变分问题：求u*?H0(G)，使 J(u*)?minJ(u)

1u?H0(G)双线性形式a(u,v)具有如下性质： （1） 对称性： a(u,v)?a(v,u) symmetry （2） 正定性：对u?H0(G)有

1a(u,u)??u1

对u*,u?H0(G)，令

12u) ?(?)?J(*??u

易算出

?(?)?J(u*)??[a(u*,u)?(f,u)]?21进一步，假设u*?C(G)?H0(G)，则

?22a(u,u)

a(u*,u)?(f,u)?(??u*?f,u)

若u是问题（1）的解，则

1?'(0)?a(u*,u)?(f,u)?(??u*?f,u)?0 ， 对任意 u?H0(G)

从而

J(u*??u)?J(u*)??221(G) a(u,u)?J(u*)， 对任意 u?H0即u*使J(u)达到极小。总结成下面的极小位能原理。

2 定理1 设u*?C(G)是边值问题（1）的解，则u*使J(u)达到极小值；反之，若1u*?C2(G)?H0(G)使J(u)达到极小值，则u*是边值问题（1）的解。

2. 虚功原理principle of virtual work

考虑混合边值问题。在?1上满足 u|?1?0 在?2上满足

?u??u|?2?0,?n??0

以v乘（1.1）两端multiply by，得到

G?[(??u)v?fv]dxdy?0 （6）

利用边值条件，得到

?u?v?u?v?u??uv??uv(??u)vdxd?y(?)dx?dy?vds(?)?dxdy ??????x?x?y?y?n??xx??yy?2GG?G定义双线性形式：

auvdsa(u,v)??(G?u?v?u?v?)dxdy??auvds ?x?x?y?y?2则（6）可写成

a(u,v)?(f,v)?0。

定理2 设u?C(G)是上述边值问题的解的充要条件是：u?HE且满足变分方程

1 a(u,v)?(f,v)?0。 对任意 v?HE215.3 Ritz-Galerkin方法

思想：有穷空间维近似代替无穷维空间。

变分原理：求u*?U，使

J(u*)?minJ(u) （8）

u?U其中U为某类内积空间。

虚功原理：u?U满足变分方程

a(u,v)?(f,v)?0。 对任意 v?U （9）

这和Ritz法导出的方程组（14）一致，因此，习惯上称之为Ritz-Galerkin方法。

Galerkin法还可进一步推广。在U中取两个子空间Un和Vn，其基底分别为?1,?2,及?1,?2,,?n,?n，在Un中求形如

un?使其满足

?c?ii?1n i a(un,vn)?(f,vn),即

对任意vn?Vn （16）

?a(?,?ii?1nj)ci?(f,?j),j?1,2,,n

当Un?Vn时，就是Galerkin法。（16）成为广义Galerkin法，其中Un试探函数空间trial space，

Vn称为检验函数空间Test space。

对于Ritz-Galerkin方程（14），其系数矩阵

?a(?1,?1)a(?2,?1)?a(?,?)a(?,?)1222 A?????a(?1,?n)a(?2,?n)显然，矩阵A对称symmetrical，且

a(?n,?1)?a(?n,?2)??

??a(?n,?n)?

i,j?1?a(?,?)ccijinj?a(?ci?i,?cj?j)?a(un,un)?0

i?1j?1nn从而矩阵A正定，Ritz-Galerkin方程（14）惟一可解。

定理3 设u是变分原理（7）或虚功原理（8）的解，un是Ritz-Galerkin方程（14）的解，则有与u与n无关的常数??0，满足

u?un?1??infu?v1

v?Un如果??i?1于U完全，即??i?1的一切可能的线性组合于U稠密，则进一步得到 limu?unn??1??0

例 利用Ritz-Galerkin方法求解边值问题：

?u''?u??x,0?x?1, ?

?u(0)?u(1)?0本问题有精确解： u*(x)?sinx?x sin1),?i1,2 ,Ritz-Galerkin方法通常选取的子空间有两种，一种其基底选为

i?(x ?i(x)?sin另外一种基底选为

i?1 ?i(x)??(x)x,?i1,2 ,为使?i(x)满足边值条件，取

1x ) ?(x)?x(?将un(x)表成 un(x)??c?(x)?x(1?x)(c?cx?ii12i?1ncnxn?1)

n?1：u1(x)?c1x(1?x)，c1满足方程

11'' c1(?1??1)?1dx??x(1?x)dx

00??2从而得到 c1?5,18u1?5x(1?x) 18，得到Ritz-Galerkin方程： n?2：u2?c1?1?c2?2，f??x代到方程（14）

31?3?c?c??,??10120212 ? ??3c??13c??112?10520?20解得c1?717,c2?，故 36941717?x) 36941u1(x) 0.052 0.069 0.052 u2?x(1?x)( 表1 计算结果比较 x u*(x) 0.044 0.070 0.060 u2(x) 0.044 0.069 0.060 1 41 23 4

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