中考专题数学解答组新函数与新概念

新函数 1.有这样一个问题,探究函数y=33的图象和性质。小强根据学习一次函数的经验,对函数y=的x?2x?2图象和性质进行了探究。 下面是小强的探究过程，请补充完整： (1)函数y=3的自变量x的取值范围是___； x?23图象的一部分，请结合自变量x?2 (2)如图,在平面直角坐标系xOy中,他通过列表描点画出了函数y=的取值范围，补出函数图象的另一部分； (3)进一步探究发现，该函数图象有一条性质是：在第一象限的部分，y随x的增大而 ； (4)结合函数图象，写出该函数图象的另外一条性质。 解答： (1)由已知得：x?2≠0, 解得：x≠2. 故答案为：x≠2. (2) 补出函数图象的另一部分，如图。 3中k=3>0， x?2∴该函数在第一象限的部分，y随x的增大而减小。 故答案为：减小。 (4)在第三、四象限的部分，y随x的增大而减小。 42.已知函数y=2+. x(3)∵在y= (1)写出自变量x的取值范围：___； (2)请通过列表，描点，连线画出这个函数的图象： ①列表： x … ?8 ?4 ?3 ?2 ?1 ?12 12 1 2 3 4 8 … 32105 … y … 1 0 ?2 ?6 10 6 4 3 2332②描点(在下面给出的直角坐标系中补全表中对应的各点)； ③连线(将图中描出的各点用平滑的曲线连接起来,得到函数的图象). (3)观察函数的图象，回答下列问题： 4①图象与x轴有 个交点,所以对应的方程2+=0实数根是 ； x②函数图象的对称性是 . A. 既是轴对称图形，又是中心对称图形 B. 只是轴对称图形，不是中心对称图形 C. 不是轴对称图形，而是中心对称图形 D. 既不是轴对称图形也不是中心对称图形 44(4)写出函数y=2+与y=的图象之间有什么关系?(从形状和位置方面说明) xx解答： (1)自变量x的取值范围：x≠0； 故答案为：x≠0； (2)(2,4),(4,3)需要补上，如图所示； 4(3)①图象与x轴有1个交点,所以对应的方程2+=0实数根是x=?2， x②A， 故答案为：1，x=?2；A； 44(4)将函数y=的图象向上平移2个单位就可以得到函数y=2+的图象。 xx3.小慧根据学习函数的经验，对函数y=|x?1|的图象与性质进行了探究。下面是小慧的探究过程，请补充完整： (1)函数y=|x?1|的自变量x的取值范围是 ； (2)列表，找出y与x的几组对应值。 x … ?1 0 1 2 3 … y … b 1 0 1 2 … 其中，b=___； (3)在平面直角坐标系xOy中，描出以上表中对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； (4)写出该函数的一条性质：___. 解答： (1)∵x无论为何值，函数均有意义， ∴x为任意实数。 故答案为：任意实数； (2)∵当x=?1时，y=|?1?1|=2， ∴b=2. 故答案为：2； (3) 如图所示；

(4)由函数图象可知，函数的最小值为0. 故答案为：函数的最小值为0(答案不唯一).

x24.有这样一个问题：探究函数y=的图象与性质。 2x?2下面是小文的探究过程，请补充完整： x2(1)函数y=的自变量x的取值范围是 ； 2x?2(2)如表是y与x的几组对应值。 x … ?3 ?2 ?1 0 2 3 4 5 … 9219825 … y … ? ? ? 0 2 834438如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点。 ①观察图中各点的位置发现：点A1和B1,A2和B2,A3和B3,A4和B4均关于某点中心对称，则该点的坐标为 ； x2②小文分析函数y=的表达式发现：当x<1时，该函数的最大值为0，则该函数图象在直线x=12x?2左侧的最高点的坐标为 ； 1139(3)小文补充了该函数图象上两个点(,?),(,)， 2424①在上图中描出这两个点，并画出该函数的图象； ②写出该函数的一条性质： . 解答： (1)依题意得：2x?2≠0， 解得x≠1， 故答案是：x≠1； (2)①点A1和B1,A2和B2,A3和B3,A4和B4均关于某点中心对称,B1(0,0),A1(2,2)， ∴中心点坐标为(1,1)； ②∵当x<1时，该函数的最大值为0， ∴该函数图象在直线x=1左侧的最高点的坐标为(0,0)； 故答案为(1,1);(0,0)； (3)① ②该函数的性质： (ⅰ)当x<0时，y随x的增大而增大； 当0?x<1时，y随x的增大而减小； 当11时，该函数的最小值为1. 故答案为当x>1时，该函数的最小值为1. k5.阅读下面材料：如图1,在平面直角坐标系xOy中,直线y1=ax+b与双曲线y2=交于A(1,3)和B(?3,?1)x两点,观察图象可知：①当x=?3或1时,y1=y2;②当?31时,y1>y2;即通过观察函数的图象,可以k得到不等式ax+b>的解集。 x有这样一个问题：求不等式x3+4x2?x?4>0的解集。 类比以上知识的研究方法,用函数与方程的思想对不等式的解法进行了探究,请将他下面的(2)(3)(4)补充完整： 4(1)当x=0时,原不等式不成立：当x>0时,原不等式可以转化为x2+4x?1>;当x<0时,原不等式可以转x4化为x2+4x?1<. x(2)构造函数，画出图象 4设y3=x2+4x?1,y4=在同一坐标系中分别画出这两个函数的图象。 x4双曲线y4=如图2所示,请在此坐标系中直接画出抛物线y3=x2+4x?1(可不列表)； x (3)利用图象，确定交点横坐标

观察所画两个函数的图象,猜想并通过代入函数解析式验证可知：满足y3=y4的所有x的值为 . (4)借助图象，写出解集 结合(1)的讨论结果,观察两个函数的图象可知：不等式x3+4x2?x?4>0的解集为 . 解答： (2)y3=x2+4x?1对称轴是x=?2,顶点坐标(?2,?5),且开口向上, 与y轴交点的坐标分别是(0,?1),(0,?1)关于对称轴的对称点是(?4,?1) 用三点法作抛物线如图所示。 (3)观察函数图象可知：交点的横坐标分别为?4，?1或1. 4当x=?4时,y3=x2+4x?1=?1,y4==?1； x4当x=?1时,y3=x2+4x?1=?4,y4==?4； x4当x=1时,y3=x2+4x?1=4,y4==4. x∴满足y3=y4的所有x的值为：?4，?1 或1. 故答案为：?4，?1 或1. 4(4)观察函数图象可知：当?41时,二次函数y3=x2+4x?1的图象在反比例函数y4=的图象的上方， x∴不等式x3+4x2?x?4>0的解集为：?41. 故答案为：?41. 6.某班“数学兴趣小组”对函数y=x2?2|x|的图象和性质进行了探究.探究过程如下，请补充完整. (1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表：

其中m= .

(2) 根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分.请画出该函数图象的另一部分.

(3)观察函数图象，写出两条函数的性质. (4)进一步探究函数图象发现：

①函数图象与x轴有 个交点，所以对应的方程x2?2|x|=0有 个实数根； ②方程x2?2|x|=2有 个实数根；

③关于x的方程x2?2|x|=a有4个实数根时，a的取值范围是 . 解答：

(1)当x=?2时,y=(?2)2?2×|?2|=0， ∴m=0， 故答案为：0;

(2)根据给定的表格中数据描点画出图形，如图所示.

(3)观察函数图象，可得出：①函数图象关于y轴对称，②当x>1时，y随x的增大而增大. (4)①观察函数图象可知：当x=?2、0、2时，y=0， ∴该函数图象与x轴有3个交点， 即对应的方程x2?2|x|=0有3个实数根. 故答案为：3；3. ②由函数图象知： ∵直线y=2与该函数图象有两个交点， ∴方程x2?2|x|=2有2个实数根， 故答案为：2； ③由函数图象知： ∵关于x的方程x2?2|x|=a有4个实数根， ∴a的取值范围是?1

1将x=?4代入y=?x2+8，得y=6， 8∴P(?4,6)，此时△PDE的周长最小，且△PDE的面积为12，点P恰为“好点， ∴△PDE的周长最小时”好点“的坐标为：(?4,6)， 1∴S△PDE=?(a+6)2+13， 4∵?8?a?0， ∴4?S△PDE?13， ∴△PDE的面积可以等于4到13所有整数，在面积为12时，a的值有两个， 所以面积为整数时好点有11个，经过验证周长最小的好点包含这11个之内，所以好点共11个， 综上所述：11个好点,P(?4,6). 3.我们定义：如图1,在△ABC看,把AB点A顺时针旋转α(0°<α<180°)得到AB′,把AC绕点A逆时针旋转β得到AC′,连接B′C′.当α+β=180°时，我们称△A′B′C′是△ABC的“旋补三角形”，△AB′C′边B′C′上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”。 特例感知： (1)在图2，图3中，△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”。 ①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD= BC； ②如图3,当∠BAC=90°，BC=8时，则AD长为 . 猜想论证： (2)在图1中,当△ABC为任意三角形时,猜想AD与BC的数量关系,并给予证明。

解答： (1)①如图2,当△ABC为等边三角形时,AD与BC的数量关系为AD=1BC； 2

理由：∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC=AC=AB′=AC′， ∵DB′=DC′， ∴AD⊥B′C′， ∵∠BAC=60°,∠BAC+∠B′AC′=180°， ∴∠B′AC′=120°， ∴∠B′=∠C′=30°， 11∴AD=AB′=BC， 221故答案为. 2②如图3,当∠BAC=90°，BC=8时，则AD长为4. 理由：∵∠BAC=90°,∠BAC+∠B′AC′=180°， ∴∠B′AC′=∠BAC=90°， ∵AB=AB′,AC=AC′， ∴△BAC≌△B′AC′， ∴BC=B′C′， ∵B′D=DC′， 11∴AD=B′C′=BC=4， 22故答案为4. 1(2)猜想AD=BC. 2证明：如图,延长AD至点Q,则△DQB′≌△DAC′， ∴QB′=AC′,QB′∥AC′， ∴∠QB′A+∠B′AC′=180°， ∵∠BAC+∠B′AC′=180°， ∴∠QB′A=∠BAC， 又由题意得到QB′=AC′=AC，AB′=AB， ∴△AQB′≌△BCA， ∴AQ=BC=2AD， 1即AD=BC. 2

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