《圆》全章复习与巩固—知识讲解（提高）

《圆》全章复习与巩固—知识讲解（提高）

【学习目标】

1．理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征；

2．了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线；

3．了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆；

4．了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积；

5．结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.

【知识网络】

【要点梳理】

要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角 1．圆的定义

(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆. (2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合. 要点诠释：

①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可； ②圆是一条封闭曲线. 2．圆的性质

(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心.

在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，

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那么它所对应的其他各组分别相等.

(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴. (3)垂径定理及推论：

①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. ③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.

④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦. ⑤平行弦夹的弧相等. 要点诠释：

在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 3．两圆的性质

(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线.

(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点. 4．与圆有关的角

(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.

圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数. (2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角. 圆周角的性质：

①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.

②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. ③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.

④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. ⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角. 要点诠释：

(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. (2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.

要点二、与圆有关的位置关系 1．判定一个点P是否在⊙O上 设⊙O的半径为，OP=，则有 点P在⊙O 外； 点P在⊙O 上；点P在⊙O 内. 要点诠释：

点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系. 2．判定几个点A、A、?A在同一个圆上的方法

12n 当时，在⊙O 上.

3．直线和圆的位置关系

设⊙O 半径为R，点O到直线的距离为. (1)直线和⊙O没有公共点直线和圆相离. (2)直线和⊙O有唯一公共点直线和⊙O相切. (3)直线和⊙O有两个公共点直线和⊙O相交. 4．切线的判定、性质 (1)切线的判定：

①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. ②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线.

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(2)切线的性质：

①圆的切线垂直于过切点的半径.

②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点. ③经过切点作切线的垂线经过圆心.

(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.

(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.

5．圆和圆的位置关系 设 (1) (2) (3) (4) (5)

和和. 和. 和

有两个公共点

相交

.

有唯一公共点，除这个点外，

的每个点都在

内部

内切

和

的半径为

.

没有公共点，且

的每一个点都在

内部

内含

外切

有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部

，圆心距

.

外离

没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部

要点三、三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形

1．三角形的内心、外心、重心、垂心

(1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示.

(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示.

(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示.

(4)垂心：是三角形三边高线的交点. 要点诠释：

(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；

(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即

(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).

(3) 三角形的外心与内心的区别： 名称 外心(三角形外接圆的圆心) 确定方法 三角形三边中垂线的交点 图形 性质 (1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部 第3页 共22页

内心(三角形内切圆的圆心) 三角形三条角平分线的交点 (1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内 心在三角形内部.

2．圆内接四边形和外切四边形

(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角. (2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.

要点四、圆中有关计算 1．圆中有关计算 圆的面积公式：，周长. 圆心角为 圆心角为

、半径为R的弧长

.

.

，半径为R，弧长为的扇形的面积

弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.

圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为.

圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为

，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有. 要点诠释：

(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的

，即

；

(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量. (3)扇形面积公式类似，可类比记忆；

(4)扇形两个面积公式之间的联系：

【典型例题】 类型一、圆的基础知识

1. 如图，已知⊙O是以数轴的原点O为圆心，半径为1的圆，∠AOB=45°,点P在数轴上运动，若

.

，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式

有点

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过点P且与OA平行（或重合）的直线与⊙O有公共点, 设OP=x，则x的取值范围是（ ）.

A．－1≤x≤1 B．?2≤x≤2 C．0≤x≤2 D．x＞2

【答案】C； 【解析】如图，平移过P点的直线到P′，使其与⊙O相切，设切点为Q，连接OQ， 由切线的性质，得∠OQP′=90°， ∵OA∥P′Q， ∴∠OP′Q=∠AOB=45°， ∴△OQP′为等腰直角三角形， 在Rt△OQP′中，OQ=1， OP′=2， ∴当过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点时，0≤OP≤当点P在x轴负半轴即点P向左侧移动时，结果相同． 故答案为：0≤OP≤2． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系问题．关键是通过平移，确定直线与圆相切的情况，求出此时OP的值． 举一反三：

， 第5页 共22页

【变式】如图，已知⊙O是以数轴的原点为圆心，半径为1的圆，∠AOB=45°，点P在数轴上运动，若过点P且与OB平行的直线于⊙O有公共点，设P（x，0），则x的取值范围是（ ）. A．-1≤x＜0或0＜x≤1 B．0＜x≤1 C．-2≤x＜0或0＜x≤2 D．x＞1 【答案】∵⊙O是以数轴的原点为圆心，半径为1的圆，∠AOB=45°， ∴过点P′且与OB平行的直线与⊙O相切时，假设切点为D， ∴OD=DP′=1， OP′=2， ∴0＜OP≤2， 同理可得，当OP与x轴负半轴相交时， -2≤OP＜0， ∴-2≤OP＜0，或0＜OP≤2． 故选C． 类型二、弧、弦、圆心角、圆周角的关系及垂径定理

??CB?，2．如图所示，已知在⊙O中，AB是⊙O的直径，弦CG⊥AB于D，F是⊙O上的点，且CFBF交CG于点E，求证：CE＝BE．

【答案与解析】

证法一：如图(1)，连接BC，

??GB?． ∵ AB是⊙O的直径，弦CG⊥AB，∴ CB 第6页 共22页

??BC?，∴ CF??GB?．∴ ∠C＝∠CBE．∴ CE＝BE． ∵ CF

证法二：如图(2)，作ON⊥BF，垂足为N，连接OE．

??BG?． ∵ AB是⊙O的直径，且AB⊥CG，∴ CB??CF?，∴ CF??BC??BG?．∴ BF＝CG，ON＝OD． ∵ CB∵ ∠ONE＝∠ODE＝90°，OE＝OE，ON＝OD， ∴ △ONE≌△ODE，∴ NE＝DE． ∵ BN?11BF，CD?CG， 22∴ BN＝CD，∴ BN-EN＝CD-ED，∴ BE＝CE．

证法三：如图(3)，连接OC交BF于点N．

??BC?，∴ OC⊥BF． ∵ CF∵ AB是⊙O的直径，CG⊥AB，

??BC?，CF??BG??BC?．∴ BF??CG?，ON?OD． ∵ BG ∵ OC＝OB，∴ OC-ON＝OB-OD，即CN＝BD． 又∠CNE＝∠BDE＝90°，∠CEN＝∠BED， ∴ △CNE≌△BDE，∴ CE＝BE．

【点评】上述各种证明方法，虽然思路各异，但都用到了垂径定理及其推论．在平时多进行一题多解、

一题多证、一题多变的练习，这样不但能提高分析问题的能力，而且还是沟通知识体系、学习知识，使用知识的好方法．

举一反三：

【变式】如图所示，在⊙O内有折线OABC,其中OA=8,AB=12,∠A=∠B=60°,则BC的长为（ ）

A．19 B．16 C．18 D．20

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【答案】如图，延长AO交BC于点D,过O作OE⊥BC于E.

则三角形ABD为等边三角形，DA=AB=BD=12，OD=AD-AO=4

在Rt△ODE中，∠ODE=60°，∠DOE=30°,则DE=OE垂直平分BC，BC=2BE=20. 故选D

1OD=2，BE=BD-DE=10 2

类型三、与圆有关的位置关系

3．一个长方体的香烟盒里，装满大小均匀的20支香烟.打开烟盒的顶盖后，二十支香烟排列成三行，如图（1）所示.经测量，一支香烟的直径约为0.75cm，长约为8.4cm. （1）试计算烟盒顶盖ABCD的面积（本小题计算结果不取近似值）；

（2）制作这样一个烟盒至少需要多少面积的纸张（不计重叠粘合的部分，计算结果

精确到0.1cm，3取173.）.

【答案与解析】 （1）如图（2），作O1E⊥O2O3

OO?OO?OO?0.75? ?122331 ?OE??13434333 ?28 ?AB?2?33333?3???cm? 844D?7?? A321cm??

44 ∴四边形ABCD的面积是：

2133?3633?632??cm?? 4416 第8页 共22页

（2）制作一个烟盒至少需要纸张： 2??633?6333?321?2. ????8.48.4?144.096?144.c1m???644??1【点评】四边形ABCD中，AD长为7支香烟的直径之和，易求；求AB长，只要计算出如图（2）中的O1E

长即可.

类型四、圆中有关的计算

4．已知梯形ABCD内接于⊙O，AB∥CD，⊙O的半径为4，AB＝6，CD＝2，求梯形ABCD的面积.

【答案与解析】

分两种情况讨论：

（1）当弦AB、CD分别在圆心O的两侧时，如图（1）：

过O作OE⊥CD于E，延长EO交AB于F 连OC、OB，则CE＝DE ∵AB∥CD，OE⊥CD

∴OF⊥AB，即EF为梯形ABCD的高 在Rt△OEC中，∵EC＝1，OC＝4

OE?OC?EC?4?1?15 ?

同理，OF?7

2222EF?OE?OF?15?7 ?

S?2?615?7?415?7?415?47 ?. ??梯形ABCD （2）当弦AB、CD在圆心O的同侧时，如图（2）：

12????

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过O作OE⊥CD于E，交AB于F 以下证法同（1），略。 ? EF?15?7???? ?梯形ABCD的面积为4?15?7?或4?15?7?.

? S?2?615?7?415?7?415?47??梯形ABCD12【点评】要求梯形面积必须先求梯形的高，即弦AB、CD间距离，为此要构造直角三角形利用勾股定理

求高.为了便于运用垂径定理，故作OE⊥CD于E，延长EO交AB于F，证OF⊥AB.此题容易出现丢解的情况，要注意分情况讨论.

举一反三：

【变式】⊙∠CAD所夹圆内O的直径AB?2cm，过A点有两条弦AC=2cm，AD?3cm，求部分的面积.

【答案】符合题设条件的图形有两种情况： （1）圆心O在∠CAD的内部，如图（1），连结OC、OD，过O作OE⊥AD于点E

? OA?OC?1，AC?2 ∴OC⊥AB

S?S?S??1?1? ?1?AOC扇形BOC ?OA?1，AE?AD?2123 290?11?? 36024??12?3?112 ?OE?1????，即OE?OA

22?2? ?S2?S?AOD?S扇形BOD?1160?1??3???3??? 2236046S?S?S????? ??12?21?3??2?35???cm

2446?412? （2）圆心O在∠DAC的外部时，如图（2），有：

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