物理竞赛辅导力学

力学 1 直线运动

题型讲解：

例1：如图1所示，地面上有一固定的球面，球面的斜上方P处有一质点.现要确定一条从P到球面光滑斜面轨道，使质点从静止开始沿轨道滑行到球面上所经时间最短.

解析：此题求解关键是：根据点从竖直圆的顶点开始，沿圆内任一弦下滑，经历的时间都相等这一结论，找到一个顶点是P且与固定球面

相切的球面M，这样质点从P点与两球切点连线的弦上下滑所经历的时间就最短.(质点沿其他弦下滑时，经历的时间除沿弦下滑的时间外，还要再加上从球面M到固定球面的一段时间).

先证明这样一个问题：设地面附近有一空心球，顶点P上有众多的光滑斜直轨道与球面上其他点相连，试证明质点从P点自静止出发经任一轨道再到达球面所需时间相同. 证明：如图2所示，取任一与水平线夹角为φ的轨道PQ，其长为 l=2Rsinφ

此处R为球半径.质点沿PQ轨道下滑的加速度为gsinφ，因此从P到Q所需时间为

t==2.

图2

该t与轨道参量φ无关，故任一轨道对应时间相同.

根据上述结论，本题只要以P点为顶点作一球面，使其与题中固定球面相切，从P点到切点Q的光滑斜直轨道为所求.下面给出的是过P且与固定球面相切的球面的作法：

图3：所示，原球面球心记为O，半径记为R.设O、P所在竖直平面即为图示的纸平面，在该竖直面上过P点作一条竖直线AB，且使PA长等于R.连结O、A两点，作直线段OA的中垂线，此中垂线与AB的交点O′即为待作新球面的球心，O′到P点的距离取为新球面的半径R′.这样作出的新球面O′与原球面O相切于Q点，P到Q的光滑斜直线轨道即为所求.

例2：老鼠离开洞穴沿直线前进，它的速度与到洞穴的距离成反比，当它行进到离洞穴距离为d1的甲处时速度是v1则它行进到离洞穴距离为d2的乙处时的速度是 .从甲到乙用去的时间是 .

图3

解析：由于老鼠的运动速度与到洞穴的距离成反比，故可通过画-d图象，把反比例图象

转化成线性图象，进而求出时间.本题也可以直接应用数学积分知识进行求解.

设老鼠离开洞穴的距离为d，运动的速度为v，则v=

，k为反比例常数.根据题意d=d1时，

v=v1，则k=d1v1.故d=d2时，v=v2满足v2==v1.

为求老鼠从甲到乙用用时间，根据分析提出的求解思路如下：

(1)图象法.建立图4，所示的-d图象，则图象上任意小的面积(图中阴

图4

影部分)其物理意义就是老鼠在经历任意短的距离△d时用去的时间，

因为这任意短的距离中，老鼠的速成度可视为不变，则△t==·△d，这正是图象阴影

面积中的长和宽的乘积.这样图象与d轴包围象与d轴包围的面积可视为由无数个图中阴影面积所组成，也就是说，图在从d1至d2图象与d轴包围的梯形面积就是所求的老鼠用去的时间。

t=(+)(d2－d1)=(d1+d2)(d2-d1)=.

(2)积分法.在老鼠前进中，任意短的时间间隔T至T+dt内的路程为dx，速度为v，则从甲至乙的时间

t ==dx=(d-d)=.

例3：有两把齿能不同的梳子，其中一把每厘米有4个齿，另一把每厘米有5个齿.今将其重叠起来，再透过其齿间的缝隙去看亮光，则可以看到亮段和暗段交替出现.如果把其中的一把梳子以1cm/s的速度移动，问亮光部位将以多大的速度移动？

解析：如图5，我们以黑白两色的梳子表示题述的两梳子.它们重叠在一起，其中白色梳子每厘米有5个齿.图中A处两梳子的齿刚好重叠在一起.显然，两梳子的齿重叠后，在A处附近透光的间隙较多，透过它去看亮光，这里就是一个“亮段”的中心.而图中B处两梳子的齿相互错开的距离最大，这里能透光的间隙就是最少，故此处是一个“暗段”的中心.当两梳了间有相对运动时，这些亮段

图5

和暗段会随之移动.明显可以看到，当发生移动时，亮段和暗段的移动速度是相同的。以下我们仅讨论亮段的移动速度.

(1)当白色梳子不动，黑色梳子以速度v=lcm/s向右移动.设原来黑、白色梳子的对应两齿刚好在A处重叠，则由于黑色梳子的移动，接着发生的便是紧邻A处右侧的那个黑色梳齿和白色梳齿重叠，这相当于上述的亮段的中心由A处移至A右侧第一个白色梳齿处.由此，这

段移动的距离为白色梳子的齿距，即△s1=cm.

这一过程中黑色梳子移动的距离为黑白两梳子的齿距之差，即

△s=-=(cm)

以v1表示此时亮段移动工速度，乃有

=，所以

v1=v=×5(cm/s)

由上叙述中还可以看到，此时亮段移动速度主向是向右的，即亮段移动速度方向与移动的梳子(黑梳子)的移动速度方向是相同的.

(2)当黑色梳子不动而白色梳子以速度v=lcm/s向右运动时，同样设原来黑白梳子对应的两齿刚好在A处重叠，则由于白梳子的移动，接着发生的便是紧邻A处左侧的那个黑色梳齿和白色梳齿和白色梳齿相生叠.这相当于上述的亮段的中心由A处移至A左侧第一个黑色梳齿

处，这一过程中亮段移动的距离为黑色梳子的齿距，即△s2=cm.

这一过中的色梳子移动的距离为黑、白两梳子的齿距之差，即△s=cm.

以v2表示此时亮段移动的速度，乃有

=.所以

v2=v=×1=4(cm/s)

由上叙述还可以看到，此时亮段移动的速度方向是向左的，即亮段移动速度方向与移动梳子(白梳子)的移动速度方向是相反的.

例4：如图6所示，AA1和BB1是两根光滑的细直杆，并固定于天花板上，绳的一端拴在B点，另一端拴在套于AA1杆中的珠子D上，另有一珠子C穿过强及杆BB1以速度v1匀速下落，而珠子D以一定速度沿杆上升.当图中角度为α时，珠子D上升的速度v2多大？

解析：珠子D作变速直线运动，但在极短时间内却可视为匀速运动，适当进行小量处理即可求解.

用微元法取，极短时间△t进行分析如图7所示珠子C下落的距离

=v2△t，取F点，使

与=

之间的夹角应为无穷小量△θ.过C点作，而

=

，绳总长不变，故有

=

=v1△t，上升的距离平行于

，在

中

.又因为△θ很小，所以

等腰△CEF的底角可近似看作90°，于是有

(v1△t+v2△t)cosα=

=

=v1△t，

v2=v1.

图6

图7

点评：这种解法具有典型性，此题不可以将珠子C假想为一个滑轮，然后将重心移至滑轮来进行研究.这上一种不常见的解法，但有时常可以使难题得以简化.

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