第四章模糊数学(管理数学基础)

第四章Sets)

模糊数学(Fuzzy Maths)第一节 模糊集(Fuzzy

一、模糊现象与模糊集

有些概念，其外延是清楚的，如男人、 女人。而有些概念，其外延不很清楚，如青年人、 老年人。于是我们有如下定义： 模糊集—边界不清楚的集合。 例如： 雨天是清晰集(普通集),而晴天是模糊集； 青年人、老年人也是模糊集。 事实上，“青年”变为“老年”是一个 连续的过程。因此，处于中间过渡阶段年龄的人， 自然就具有“亦此亦彼”的属性。我们把这种属性 称为：

模糊性—客观事物的差异性在中介过渡时所 呈现的“亦此亦彼”性。 模糊数学—研究和处理模糊性现象的数学。 1965年，美国加利福尼亚大学的控 制论专家扎德(L.A.Zadeh)教授发表了题为《模 糊集》的论文，首次提出了用隶属函数来刻画 模糊集的方法。从此，以模糊集理论为基本内 容的模糊数学作为一门科学迅速发展起来。

二、模糊集的隶属函数 1、隶属函数的概念 无论是研究模糊集还是普通集合，都 要首先明确它们所在的范围，这个范围就是我们 所可能涉及的研究对象的全体，称为： 论域—研究对象的全体，记为Z、Y、U等。 如年龄论域X=[0,200]。 我们若研究18-35岁的年龄，则它是X的一个普 通子集，记为A= [18,35]。 0 200 18 35

由于它的边界是清晰的，因此X中的任一个年龄x, 要么属于A ,要么不属于A ,非此即彼。即为： x∈ A 1 x → x A 0 即按x是否属于A可定义一个映射µA (x) : x →{01 ,, } 称为普通集A 的特征函数或隶属函数

µA (x)=

1 0

x∈ A x A

µA (x)的图形如下图所示：

µA

0 18 35

200 x

若考虑A {青年人的年龄 ，则A是X中的一个 = } 模糊子集，X中的元素是否属于A ,就不像它是否 属于普通集A那样“非此即彼”。但仍可以认为X 中的每个元素x都对应一个隶属于A 的程度，只不过 它不一定只取 或0,而是在[0,1]之间取值。这样， 1 按x属于模糊集A 的程度，也可以定义一个隶属函数 µA (x): X →[01] , , 例如µA (18) = 1 µA (35) = 0.8,µA (45) = 0.1等， 的隶属度。 µA (x)称为x关于A

假若确定了A 的隶属函数，则可作出其图形。 与普通集合类似，根据隶属函数，也可以确定模 糊集A ,只不过它的边界是模糊的。可见，隶属函 数µA也确实反映了A 的特征。从而，我们可以用隶 属函数表示一个模糊集。

0

200

2、模糊集的表示 设论域X上的模糊集A ,其隶属函数为µA (x),则A可表示为： µA (x) A= ∫ X x 当X为有限集(离散)x1,……,xn},则A也可表示为： { µA (x1) µA (xn ) A= +……+ x1 xn 注：此处的加和分数线只是一

种表示符号。 如µA (x)的最大值为，则A称正则(正规)模糊集。 1 1 例：产品集X = { x1,x2,x3,x4},子集A = {优质品 是一个 } 模糊集。若认为µA (x1) =1 µA (x2 ) = 0.6,µA (x3 ) = 0.1 , ,

µA (x4 ) = 0,则有：

1 0.6 0.1 0 A= + + + (最后一项可不写) x1 x2 x3 x4

3、隶属函数的确定 这里介绍两种常用的确定方法，以R1中的模糊 集为例： (1)专家评定法(德尔菲法) 步骤： 1 给定论域X 及其模糊子集A ; 2 适当选取X中若干点xi,请专家评定其µA (xi );

(可多位专家取其平均值，如体操比赛打分) 3 描点 xi,µA (xi )),作出µA (xi )的曲线。 (

例 ：考虑年龄论域X上的模糊子集A= {青年人的年龄 ， 2 } 请专家评定结果如表：

15 18-28 30 35 38 40 45-200 18450. 0. 0. 0. 0 0.5 1 0 9 6 5 3 描点作图：

0-14

1 0 14 45

( )模糊统计法 2 步骤： 1 给定论域X 及其模糊子集A ; 2 选定若干被调查者(设共有n人),请他们回答：“你认 为A 的边界应为何？其回答的的结果为普通集A, … An; ” 1… , 3 找出A, … An中的最小、大边界，取包含此边界的范 1… , 围，并适当分组(设m组),各组的组中值为x1, … xm; … , 4 计算每个xi被A, … An包含的频数ki以及相对频数(即 1… , k 频率)i ,作为µA (xi )的估计值(当n充分大，频率的稳定 n 值即为µA (xi )); 5 描点 xi,µA (xi )),作出µA (xi )的曲线。 (

书 ~ 页给出了一个模糊统计的例子。 159 161 有时候我们得到的µA (x)的图形是不规则的，很难

写出其精确的数学表达式。有时为了计算、编程的需 要，我们希望得到µA的函数表达式，可根据估计的µA

进行适当修正，得到与其最接近的函数表达式。下面 介绍几种常见的模糊分布曲线： 4、几种常见的µA (x)类型(论域为R1):

(1)矩形(清晰集)

(2)梯形

(3)柯西形

例 ：考虑年龄论域X = [0, ,A = {年青人的年龄 ， 3 200] } B = {年老人的年龄 。扎德给出其隶属函数： } 1 0 ≤ x ≤ 25 1 µA (x) = 25 < x ≤ 200 1+ ( x 25)2 5 0 0 ≤ x ≤ 50 1 µB (x) = 50 < x ≤ 200 1+ ( x 50) 2 5

三、模糊集的运算 由上已知，若要给定一个模糊集，主要是给定其隶 属函数。由于两个模糊集的运算结果仍为一个模糊集。 因此，定义模糊集的运算，主要是阐明其隶属函数为何。 1 、运算定义 设A B均为论域X上的模糊集，则有下列定义： 、 (1)相等A = B:µA (x) = µB (x),表现为两者曲线重合； (2)包含A B:µA (x) ≤ µB (x),表现为µA处处不大于µB; (3)并A∪ B:µA∪B (x) = max{µA (x),µB (x)} µA (

x) ∨ µB (x); (4)交A∩ B:µA∩B (x) = min{µA (x),µB (x)} µA (x) ∧ µB (x); (5)补集(或Ac):µA (x) = 1 µA (x), A (6)空集 :µ (x) ≡ 0,一个x也不属于 ,即 中无元素。

200] 例4:考虑年龄论域X = [0, ,A = {年青人的年龄 ， } B = {年老人的年龄 。采用扎德给出的隶属函数， } 1 0 ≤ x ≤ 25 1 µA (x) = 25 < x ≤ 200 1+ ( x 25)2 5 0 0 ≤ x ≤ 50 1 µB (x) = 50 < x ≤ 200 1+ ( x 50) 2 5 (1)求A∪ B和A∩ B; (2)验证A∩ B A∪ B

解：(1) 1 x 25 2 -1 µA∪B (x) = [1+ ( )] 5 x 50 2 -1 [1+ ( 5 ) ] 0 µA∩B (x) = x 25 2 -1 [1+ ( 5 ) ] 的图形为 0 ≤ x ≤ 25 25 < x ≤ 50 50 < x ≤ 200 0 ≤ x ≤ 50 50 < x ≤ 200

µA

µB

0

25

50

(2)易见，µA∩B (x) ≤ µA∪B (x), ∴A∩ B A∪ B

2、运算律： 设A B、C均为X上的模糊集 、 (1)幂等律：A∪ A = A A∩ A = A , (2)交换律：A∪ B B ∪ A A∩ B B ∩ A = , = (3)结合律：(A∪ B) ∪C = A∪ (B ∪C),(A∩ B) ∩C = A∩ (B ∩C) (4)分配律：A∩ (B ∪C) = ( A∩ B) ∪ ( A∩C) A∪ (B ∩C) = ( A∪ B) ∩ ( A∩C) (5)吸收律：A∩ ( A∪ B) = A A∪ ( A∩ B) = A , 证：由分配律，A∩ ( A∪ B) = ( A∩ A) ∪ ( A∩ B) ∴µA∩( A∪B) (x) = (µA (x) ∧ µA (x)) ∨ (µA (x) ∧ µB (x)) = µA (x)

(6)复原律：( A) = A (7)对偶律：( A∪ B) = A∩ B ( A∩ B) = A∪ B ,

0.1 0.7 0.5 例5:已知X上的模糊集A = + + , x1 x2 x3 1 0.4 0.5 0.6 ,C = + 。 B= + x1 x3 x2 x3 求(1)A∪ (B ∩ C);(2) ∪ B A 0.1 0.7 0.5 0 0 0.4 解：(1)A∪ (B ∩ C) = ( + + )∨( + + ) x1 x2 x3 x1 x2 x3 0.1 0.7 0.5 = + + x1 x2 x3 0.1 0 0.4 C 0.9 1 0.6 (2) ∪ B = ( A∩ B) = ( + + ) = A + + x1 x2 x3 x1 x2 x3 还有一个模型识别的例子，见书 页例4.7。 167

四、模糊集的水平截集与分解定理 1 、水平截集 设A为论域X上的模糊集，λ ∈[01] , 。称集合 Aλ = { x ∈ X | µA (x) ≥ λ} 为A 的水平截集，简称A 的 λ截集，λ称水平或阈值。 易见，模糊集A λ截集Aλ是一个普通集合。 的 µ 其隶属函数为： 1 µA (x) ≥ λ 1 λ µAλ (x) = µA (x) < λ 0 Aλ x

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