2016-2017学年安徽合肥一中高二（上）月考（一）数学（理）试题

2016-2017学年安徽合肥一中高二（上）月考（一）

数学（理）试题

一、选择题

1．下列命题是公理的是（ ） A．直线和直线外一点确定一个平面

B．过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面

C．空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 D．平行于同一个平面的两个平面相互平行 【答案】B

【解析】试题分析：由题意得，对于A、C、D中，都是推论，只有B中，过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面是公理三，故选B． 【考点】立体几何的公理．

2．下面是一些命题的叙述语（A,B表示点，a表示直线，?,?表示平面），其中命题和叙述方法都正确的是（ ）

A．∵A??,B??，∴AB?? B．∵a??,a??，∴????a

C．∵A??,a??，∴A?? D．∵A??,a??，∴A?? 【答案】C

【解析】试题分析：对于A中，AB??是不正确的；对于B中a??,a??表述是不正确的；对于D中，a??是不正确的，故选C． 【考点】点、直线与平面的关系． 3．下列命题中正确的个数是（ ）

①由五个面围成的多面体只能是三棱柱； ②用一个平面去截棱锥便可得到棱台； ③仅有一组对面平行的五面体是棱台；

④有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A

【解析】试题分析：①中，由五个面围成的多面体可以是四棱锥，所以不正确；②中，用一个平行于底面的平面截棱锥才能得到一个棱台；③中，仅有一组对面平行的五面体，可以是三棱柱；④中，有一个个面是多边形，其余各面是三甲型的几何体不一定是棱锥，如三棱台，所以选A． 【考点】多面体的特征．

4．设a,b是两条直线，?,?,?是三个平面，则下列推导错误的是（ ） A．a//b,b??,a???a//?

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B．a//b,a???b??

C．?//?,????a,????b?a//b D．a??,b??,a//?,b//???//? 【答案】D

【解析】试题分析：由题意得，如平面?与平面?相交时，假设交线为l，若

a??,b??,a//l,b//，则la//?,b//?，所以选项D中的推理是不正确的，故选D．

【考点】线面位置关系的判定与证明．

5．一个几何体的三视图如图所示，其中侧视图与俯视图均为半径是2的圆，则这个几何体的体积是（ ）

A．2? B．4? C．8? D．16? 【答案】C

【解析】试题分析：由题意得，根据给定的三视图可知，原几何体表示一个半径为2的球，去掉

1343个球，所以该几何体的体积为V????2?8?，故选C． 443【考点】几何体的三视图及体积的计算．

【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的三视图的应用，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状，本题的解答中，根据几何体的三视图得出原几何体表示表示一个半径为2的球，去掉

1个球是解得关键，属于基础题． 46．已知直线a//平面?，直线a//平面?，????b，直线a与直线b（ ） A．相交 B．平行 C．异面 D．不确定 【答案】B

【解析】试题分析：直线a//平面?，直线a//平面?，所以在?,?中可以找到一条直线平行与直线a，设m在平面?内，n在平面?内，则m//a,n//a，所以m//n，又因为m不在平面?内，n在平面?内，所以m//?，又因为????b，所以m//b，

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又因为m//a，所以a//b，故选B． 【考点】直线与平面平行的判定及性质．

7．平面?截球O的球面所得圆的半径为2，球心O到平面?的距离为1，则此球的半径为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．2 【答案】C

【解析】试题分析：因为平面?截球O的球面所得圆的半径为2，球心O到平面?的

2距离为1，所以球的半径为(2)?1?3，故选C．

【考点】球的性质．

8．两条异面直线在同一平面上的正投影不可能是（ ） A．两条相交直线 B．两条平行直线 C．一条直线和直线外一点 D．两个点 【答案】D

【解析】试题分析：当两条直线在同一平面上的射影为两个点时，两条直线都垂直于这个平面，所以两条直线平行，所以两条异面直线在同一个平面上的正投影不可能是两个点，故选D．

【考点】异面直线的定义及投影的概念．

9．如图，圆锥的底面直径AB?2，母线长VA?3，点C在母线VB上，且VC?1，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A到达点C，则这只蚂蚁爬行的最短距离是（ ）

A．13 B．7

C．

4333 D． 32【答案】B

【解析】试题分析：由题意得，底面圆的直径为2，故底面周长等于2?，设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为?，根据底面周长等于展开后扇形的弧长得2??3?，解得

2?2??，所以?AOA??，则?1?，过C作CF?OA，因为C为OB的三等333??1分点，BO?3，所以OC?1,?1?，所以?OCF?，所以FO?，

362315222所以CF?CO?OF?，因为AO?3,FO?，所以AF?，在直角?AFC中，

422??利用勾股定理得：AC?AF?FC?7，则AC?7，故选B．

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222

【考点】圆锥的侧面展开图．

10．已知a,b,c均为直线，?,?为平面，下面关于直线与平面关系的命题： ①任意给定一条直线与一个平面?，则平面?内必存在与a垂直的直线； ②a//?,?内必存在与a相交的直线；

③a//?,a??,b??，必存在与a,b都垂直的直线；

其中正确命题的个数为（ ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C

【解析】试题分析：由题意得，对于（1）中，任意给定一条直线与一个平面?，如果线面垂直，显然没成立；如果线面不垂直，则直线在平面内必垂直射影，在平面一定能找到一条直线与射影垂直，根据射影定理，命题也成立；故任意戈丁一条直线与一个平面?，则平面?内必存在与a垂直的直线是正确的；对于（2）中，a//?，则直线与平面内直线一定没有交点，所以?内不存在与a相交的直线，所以是错误的；对于（3）中，a//?,a??,b??，与两个平面垂直的直线，与直线a,b垂直，故必存在与a,b的直线，所以是正确的，故选C．

【考点】线面位置关系的判定与证明．

E、F分别为AC、BD中点，11．空间四边形ABCD中，若CD?2AB?2,EF?AB，

则EF与CD所成的角为（ ）

A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】A

【解析】试题分析：设G为AD的中点，连接GF,GE，则GF,GE分别为

?ABD,?ACD的中线，所以GF//AB，且GF?11AB?,GE//CD且221GE?CD?1，则EF与CD所成角的度数等于EF与CE所成角的度数，又

2EF?AB,GF//AB，所以EF?GF，则?GEF为直角三角形，11GF?,GE?1,?GEF?900，所以在直角?GEF中，sin?GEF?，所以

22?GEF?300，故选A．

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【考点】异面直线所成的角．

【方法点晴】本题主要考查了异面直线所成的角，其中解答中涉及到三角形的中位线定理、异面所成角的概念、三角函数的概念及已知三角函数值求角，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中利用GF//AB,GE//CD，进而得到?GEF为异面所成的角，放置在三角形中求解．属于基础题．

D是AA1的中点，则点A到12．在正三棱柱ABC?A1B1C1中，若AB?AA1?4，点

平面DBC1的距离是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．2 【答案】B

【解析】试题分析：以AC为y轴，以AA1为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

D是AA1的中点，所以因为正三棱柱ABC?A1B1C1中，若AB?AA1?4，点

B(23,2,0),C1(0,4,4),D(0,0,2),A1(0,0,4)，所以

??????????????C的法向量为DB?(23,2,?2),DC1?(0,4,2),DA1?(0,0,2)，设平面BD1??????????????23x?2y?2z?0，所以n?(x,y,z，)因为n?DB?0,n?DC1?0，所以?4y?2z?0?????????n?DA10?0?4n?(3,?1,2)，所以点A到平面DBC1的距离是d????2，故3?1?4n选B．

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【考点】点到平面的距离的求解． 【方法点晴】本题主要考查了点到平面的距离问题，其中解答中涉及到空间向量的应用、平面法向量的求解、点、线、面的位置关系的判定等知识点综合考查，解答中要认真审题，合理地运用空间向量法进行合理求解，其中向量法是求解点到平面距离问题的一种常用方法，着重考查了学生的推理与运算能力，属于中档试题．

二、填空题

13．等边三角形AOB的边长为a，建立如图所示的直角坐标系xOy，用斜二测画法得到它的直观图，则它的直观图的面积是______________．

【答案】

62a 1613a,BD?OC?a，22【解析】试题分析：过B作BD?OA,BC?OC，则OD?0作x?轴和y?轴，使得?x?O?y??45，在x?轴上取点A?,D?，使得

O?A??OA?,a?O??D131a，过O?D，在y?a轴上取点C?，使得O?C??OC?2241a，连接O?B?,A?B?,B?D?，则?A?O?B?的直2点C?C?B?//x?轴，使得C?B??O?D??观图，由直观图作法可知B?D??O?C??3a,?B?D?A???x?O?y??450，过B?作4?E?sB?i0?Dn?6485，

所a以

B?E?O?A?于

E，则

B?S?A?O?B?1166a2?O?A??B?E???a?a?． 22816第 6 页 共 14 页

【考点】平面图形的直观图．

14．如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积为S，那么该圆柱的体积为_____________． 【答案】SS 4?h2，由题意得可知，S??h，所2【解析】试题分析：设圆柱的高为h，则底面半径为

以h?S?，所以V??()?h?h22SS． 4?【考点】圆柱的侧面积．

15．如图所示，G、N、M、H分别是正三棱柱（两底面为正三角形的直棱柱）的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有____________（填上所有正确答案的序号）．

【答案】②④

【解析】试题分析：由题意得，可知（1）中，直线GH//MN；图（2）中，G,H,N三点共面，但M?面GHN，因此直线GH与MN异面；图（3）中，连接

MG,GM//HN，因此GH与MNG，所以直线GH与MN共面；图（4）中，G,M,N共面，但H?面GHN，所以直线GH与MN异面． 【考点】异面直线的判定．

【方法点晴】本题主要考查了空间中异面直线的判定问题，其中解答中涉及到异面直线的定义和异面直线的判定方法、三棱柱的结构特征等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于基础题，本题的解答中正确把握三棱柱的基本结构特征和异面直线的概念与判定方法是解答的关键． 16．已知一个三棱锥的俯视图与侧（左）视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一条直角边长为2的直角三角形，则该三棱锥的表面积为______________．

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【答案】19?3?2

【解析】试题分析：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，其直观图如图所示，其中AE?BC?CD?BD?2,则

1DE?3,AB?AC?5,AD?7，?ABC的面积为?2?2?2，?BCD的面积

2为32?2?3，?ABD和?ACD的三边边长方程为2,5,7，则由公式可得三角419，所以该三棱锥的表面积为19?3?2． 2形?ABD和?ACD的面积为

【考点】几何体的三视图和几何体的表面积．

【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的三视图和几何体的表面积的计算，其中解答中涉及到几何体的三视图的规则——“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状，在利用三角形的面积公式求解几何体的表面积，其中解答中还原出几何体的直观图是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．

三、解答题

ABCD17．如图，在直角梯形中，

?DAB??CBA?900,?DCB?600,AD?1,AB?3，在直角梯形内挖去一个以A为圆心，以AD为半径的四分之一圆，得到图中阴影部分，求图中阴影部分绕直线AB旋转一周所得旋转体的体积、表面积．

【答案】V?73?2?，S?12?． 3【解析】试题分析：旋转后几何体是一个圆台，从上面挖去一个半球，根据数据利用面积公式与体积公式，即可求解该几何体的体积与表面积． 试题解析：V?73?2?;S?12? 3第 8 页 共 14 页

【考点】旋转体的概念及体积．

18．如图，在三棱柱ABC?A 1B1C1中，E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,AC11的中点．

求证：（1）平面EFA1//平面BCHG； （2）BG、CH、AA1三线共点．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．

【解析】试题分析：（1）E,F分别为AB,AC的中点，得出EF//BC，求得EF//平面BCHG．再根平行四边形的性质得出A1E//GB，求得A1E//平面BCHG，即可证明平面EFA1//平面BCHG；（2）根据平面的性质，证得P?直线AA1，即可证明三点共线．

试题解析：证明：（1）∵E,F分别为AB,AC的中点，∴EF//BC， ∵EF?平面BCHG,BC?平面BCHG， ∴EF//平面BCHG． ∵AG与EB平行且相等， 1∴四边形A1E//GB， 1EBG是平行四边形，∴A∵A1E?平面BCHG,GB?平面BCHG，∴A1E//平面BCHG． ∵A1E?EF?E，∴平面EFA1//平面BCHG． （2）∵GH//BC,GH?BC，∴BG与CH必相交，

P?平面BAA1B1， 设交点为P，则由P?BG,BG?平面BAA1B1，得

同理P?平面CAAC11，

又平面BAA1B1?平面CAAC11?AA1，

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∴P?直线AA1，∴BG、CH、AA1三线共点．

【考点】直线与平面平行的判定与证明；平面的性质． 19．如图，四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为矩形，PA?平面ABCD，设E为PD的中点．

（1）证明：PB//平面AEC；

（2）设异面直线BP与CD所成角为45°，AP?1,AD?3，求三棱锥E?ACD的体积．

【答案】（1）证明见解析；（2）3． 12【解析】试题分析：（1）连BD交AC于F,F为BD中点，运用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理，即可证明PB//平面AEC；（2）由题意，三棱锥E?ACD的体积等于三棱锥P?ACD的体积的一半，即可求解三棱锥的体积．

试题解析：（1）连BD交AC于F,F为BD中点，连EF又在三角形PBD中，E为PD的中点，

所以：PB//EF，

因为EF?平面AEC,PB?平面AEC， 所以PB//平面AEC． （2）∵AB//CD，

∴异面直线BP与CD所成角的平面角为?ABP?45， ∴AB?AP?1， 所以：VE?ACD?011113VP?ACD????1?3?1?． 223212

【考点】直线与平面平行；三棱锥的体积的计算．

20．如图所示，四棱锥P?ABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱PA?底面ABCD，

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在侧面PBC内，有BE?PC于E，且BE?6a． 3

（1）求证：PB?BC；

（2）试在AB上找一点F，使EF//平面PAD．

2AB． 3【解析】试题分析：（1）由PA?面ABCD，∴PA?BC，又BC?AB，根据线面垂直的判定定理，得出BC?面PAB，即可证明PB?BC；（2）在平面PCD内，过E作EG//CD交PD于AG，连接AG，在AB上取点F，使AF?EG，得到

【答案】（1）证明见解析；（2）AF?FE//AG，又PB?BC∴PC2?BC2?PB2?BC2?AB2?PA2，设PA?x，即

2AB． 3试题解析：（1）由PA?面ABCD，∴PA?BC， 又BC?AB，∴BC?面PAB，∴PB?BC．

（2）在平面PCD内，过E作EG//CD交PD于AG， 连接AG，在AB上取点F，使AF?EG，

可求解x的值，从而得出AF?∵EG//CD//AF,EG?AF，

∴四边形FEGA为平行四边形，∴FE//AG．

又AG?平面PAD,FE?平面PAD，∴EF//平面PAD，∴F即为所示的点． ∵PB?BC，∴PC?BC?PB?BC?AB?PA， 设PA?x，则PC?2a2?x2，由PB?BC?BE?PC得：

222222a2?x2?a?2a2?x2?26a，∴x?a，即PA?a，∴PC?3a． 3?6?PE2GEPE23???， 又CE?a2??，∴，∴a?a?3??PC3CDPC33??2222即GE?CD?a，∴AF?a，即AF?AB．

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【考点】直线与直线垂直的判定；直线与平面平行的判定与应用．

21．如图，在边长为4的等边三角形ABC中，点D,E,F分别是边AB,AC,BC的中点，DC?EF?O，沿EF将?CEF翻折到?PEF，连接PA,PB,PD，得到如图的四棱锥P?ABFE，且PB?10．

（1）求证：AB?平面POD； （2）求四棱锥P?ABFE的体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）3．

【解析】试题分析：（1）∵点E,F分别是边CA,CB的中点，∴AB//EF，根据线面垂直的判定定理，

证得EF?平面POD．即可证得AB?平面POA；（2）连接BO，则

CD?23,DO?PO?，在Rt?BHO中，BO?7，在?PBO中，证得3PO?BO，从而证得PO?平面ABFE，即可利用体积公式求解几何体的体积．

试题解析：（1）证明：∵点E,F分别是边CA,CB的中点，∴AB//EF． ∵CD?EF，∴EF?DO,EF?PO，

∵DO?平面POA,PO?平面POA,DO?PO?O， ∴EF?平面POD．∴AB?平面POA． （2）连接BO，∴CD?23,DO?PO?3， 在Rt?BHO中，BO?2BD2+DO2?7，

22在?PBO中，BO?PO?10?PB，∴PO?BO．

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∵PO?EF,EF?BO?O,EF?平面BFED,BO?平面BFED，∴PO?平面

ABFE．

1?EF?AB??DO?33， 211∴四棱锥P?BFED的体积V?S?PO??33?3?3．

33梯形BFED的面积为S?【考点】直线与平面垂直；几何体的体积的计算．

【方法点晴】本题主要考查了直线与平面垂直的判定与证明、几何体的体积的计算，其中解答中涉及到直线与平面垂直的判定定理与性质定理，三棱锥的体积的计算、勾股定理的应用等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力以及推理与运算能力，其中熟记判定定理是解得关键，属于中档试题．

22．如图，圆锥顶点为P，底面圆心为O，其母线与底面所成的角为45°，AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦，?COD?60.

0

（1）证明：平面PAB与平面PCD的交线平行于底面； （2）求轴OP与平面PCD所成的角的正切值．

【答案】（1）证明见解析；（2）

3． 2【解析】试题分析：（1）利用线面平行的判定与性质，可证平面PAB与平面PCD的交线平行于底面；（2）设CD的中点为M，连接OM、PM，因为OC?OD，所以

OM?CD，设OD?r，则OM?3r，证得OH?平面PCD，得出?OPH为轴2OP与平面PCD所成的角的平面角，在?OPH中，即可求解OP与平面PCD所成的

角的正切值． 试题解析：（1）设面PAB?面PCD?直线m，

∵AB//CD且CD?平面PCD?AB//面PCD?AB//直线m， ∵AB?面ABCD?直线m//面ABCD．

所以面PAB与面PCD的公共交线平行底面ABCD．

（2）设CD的中点为M，连接OM、PM，

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因为OC?OD，所以OM?CD， 设OD?r，则OM?3r， 2又OP?平面PCD，所以OP?CD，

又OP?OM?O，所以CD?平面OPM，

过O作OH?PM，垂足为H，则CD?OH，

又OH?PM?H，所以OH?平面PCD，所以OP在平面PCD内的射影为PH， 所以?OPH为轴OP与平面PCD所成的角的平面角，

又母线与底面所成的角为45°，即?ODP?45，所以OP?OD?r， 在直角?POM中，tan??OPM?03， 23． 2而?OPM??OPH，所以轴OP与平面PCD所成的角的正切值为

【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定与性质．

【方法点晴】本题主要考查了直线与平面所成的角、直线与平面垂直的判定与性质，其中解答中直线与平面平行的判定定理与性质定理，以及直线与平面所成角、已知三角函数值求解角等知识点的考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中熟记线面位置关系的判定定理与性质定理和直线与平面所成角是解得的关键．属于中档试题．

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