全国初中数学竞赛试题及答案(2005年)

2005年全国初中数学联赛决赛试卷

一、选择题：(每题7分，共42分) 1

、化简：

的结果是＿＿。

A、无理数 B、真分数 C、奇数 D、偶数

2、圆内接四条边长顺次为5、10、11、14；则这个四边形的面积为＿＿。 A、78.5 B、97.5 C、90 D、102 3、设r≥4，a＝1－1，b

，

rr+1c

，则下列各式一定成立的是＿＿。

A、a>b>c B、b>c>a C、c>a>b D、c>b>a 4、图中的三块阴影部分由两个半径为1的圆及其外公

切线分割而成，如果中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和，则这两圆的公共弦长是＿＿。 A

、

B

、C

D

5、已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，

记p＝|a－b＋c|＋|2a＋b|，q＝|a＋b＋c|＋|2a－b|A、p>q B、p＝q C、p<q D、p、q大小关系不能确定 6、若x1，x2，x3，x4，x5为互不相等的正奇数，满足(2005－x1)(2005－x2)(2005

22222

－x3)(2005－x4)(2005－x5)＝242，则x1的未位数字是＿＿。 +x2+x3+x4+x5

A、1 B、3 C、5 D、7 二、填空题(共28分)

1、不超过100的自然数中，将凡是3或5的倍数的数相加，其和为＿＿。 2、，则x＝＿＿＿。

3、若实数x、y满足

x＋y=1,x＋y=1,则x＋y＝＿＿。 33+4333+6353+4353+63

4、已知锐角三角形ABC的三个内角A、B、C满足：A＞B＞C，用a表示A－B，B－C以及90°－A中的最小者，则a的最大值为＿＿＿。 三、解答题(第1题20分，第2、3题各25分)

1、a、b、c为实数，ac＜0

，且，证明：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有大于3而小于1的根。

2、锐角ΔABC中，AB＞AC，CD、BE分别是AB、AC边上的高，过D作BC的垂线交BE于F，交CA的延长线于P，过E作BC的垂线，交CD于G，交BA的延长线于Q，证明：BC、DE、FG、PQ四条直线相交于一点。

3、a、b、c为正整数，且a2＋b3＝c4，求c的最小值。

2005年全国联赛决赛试卷详解

一、选择题：(每题7分，共42分) 1

A、无理数 B、真分数 C、奇数 D、偶数 解

：

5

14

所以选D

2、圆内接四条边长顺次为5、10、11、14；则这个四边形的面积为＿＿。

A、78.5 B、97.5 C、90 D、102 解：由题意得：

2222

5＋14－2×5×14×cosα＝10＋11－2×10×11×cos(180°－α)

∴221－140cosα＝221＋220 cosα ∴cosα＝0 ∴α＝90°

∴四边形的面积为：5×7＋5×11＝90 ∴选C

3、设r≥4，a＝－

1r

1，b

，c

，则下列各式一定成立

r+1的是＿＿。

A、a>b>c B、b>c>a C、c>a>b D、c>b>a 解法1：用特值法，取r=4，则有

25 1.0361111 a=－ ，b

＝ ，

22020

521.18 c

2020∴c>b>a，选D

解法2：a＝－

11 1， rr 1b

c

r 4, r r 1

r

r r 1

r1r

1 1 1

故r, r

ar

b

r

r0

D

r

故b c,综上所述: a b选　

,c

＜1

解法3：∵r≥4

∴a b

c

b

∴a<b<c，选D

4、图中的三块阴影部分由两个半径为1的圆及其外公切线分割而成，如果中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和，则这两圆的公共弦长是＿＿。

ADBC

2

解：由图形割补知圆面积等于矩形ABCD的面积 ∴ 1 2AB, AB

由

垂

径

定

2

理

得

公

共

弦

为

2 ∴选D

2

5、已知二次函数f(x)＝ax＋bx＋c的图象如图所示， 记p＝|a－b＋c|＋|2a＋b|，q＝|a＋b＋c|＋|2a－b|，则＿＿。 A、p>q B、p＝q C、p<q D、p、q大小关系不能确定 解：由题意得：a<0，b>0，c=0

∴p＝|a－b|＋|2a＋b|，q＝|a＋b|＋|2a－b| 又

b

1, b 2a, 2a b 0,从而a b a 0 2a

∴p＝|a－b|＋|2a＋b|＝b-a+2a+b=a+2b=2b+a， q＝|a＋b|＋|2a－b|= a＋b＋b-2a=2b-a

∴p<q，选C 6、若x1，x2，x3，x4，x5为互不相等的正奇数，满足(2005－x1)(2005－x2)(2005－x3)(2005

22222－x4)(2005－x5)＝24，则x1的未位数字是＿＿。 +x2+x3+x4+x5

2

A、1 B、3 C、5 D、7

解：因为x1，x2，x3，x4，x5为互不相等的正奇数，所以(2005－x1)、(2005－x2)、(2005－x3)、(2005－x4)、(2005－x5)为互不相等的偶数

22

而将24分解为5个互不相等的偶数之积，只有唯一的形式：24＝2·(-2)·4·6·(-6) 所以(2005－x1)、(2005－x2)、(2005－x3)、(2005－x4)、(2005－x5)分别等于2、(-2)、4、6、(-6)

22 2222 2

所以(2005－x1)＋(2005－x2)＋(2005－x3)＋(2005－x4) ＋(2005－x5) ＝2＋(-2)22 2

＋4＋6＋(-6)＝96

222222

展开得：5 2005-4010x1+x2+x3+x4+x5+x1+x2+x3+x4+x5 96

22222 x1+x22+x3+x4+x5=96-5 2005+4010 x1+x2+x3+x4+x5 　　　　　　　　 1 mod10 ，选　A

二、填空题(共28分)

1、不超过100的自然数中，将凡是3或5的倍数的数相加，其和为＿＿。

解：(3×1＋3×2＋……3×33)＋(5×1＋5×2＋……5×20)－(15×1＋15×2＋……15×6)＝1683＋1050－315＝2418

2

，则x＝＿＿＿。

∵x≠0，

，

2

两边平方化简得：7x 2

12或x 4(舍去)

73

yyxx3、若实数x、y满足33＋33=1,33＋33=1,则x＋y＝＿＿。

3+43+65+45+6

再平方化简得：21x2 8x 48=0，解之得x 解法1：假设x＋y＝a，则y＝a－x

33

33 6 x＋ 3

即 6 4 x 3

3

3

33 53 6 x＋ 5

3

3

3

即 6 4 x 5

3

a x － 4

a 3 4

a x － 4

a 5 4

33

2

33

2

2

33 63 3

3

3

3 3

3

43,

3

3

4 3 6　　 4 5 3

3

3

3

63

1

53 63 5

3

43,

3

3

3

4 5 6　　 4 63

2

2 － 1 得：

53 33 a 53 33 53 33 43 53 33 63　

a 33 43 53 63=432

2

3

3

5是关于t的方程解法2：易知3、

xy

1的两根 t 43t 63

2333333

化简得：t x y 4 6t 6x 4y 4 6 0

由韦达定理得：33 53 x y 43 63　　　　 x y 3 4 5 6 432

3

3

3

3

4、已知锐角三角形ABC的三个内角A、B、C满足：A＞B＞C，用a表示A－B，B－C以

及90°－A中的最小者，则a的最大值为＿＿＿。

解： 　 min A B,B C,90 A

　　 A B, B C , 　　6 2 A B B C 　　　　 27 0 A B C

　　 15

9 0A

3 9 0A

90

另一方面，当A B B C 90 A 15 时，有A 75 ,B 60 ,C 45 满足题设条件，故

可取得最大值15

三、解答题(第1题20分，第2、3题各25分)

1、a、b、c为实数，ac＜0

，证明：一元二次方程ax＋bx＋c＝0有大于

2

3而小于1的根。 解：设f x ax2 bx c

3 3 9

则f f 1 a b c a b c

4 4 16

1

　　　 　 9a 1b2 c1a b c 6

16

+ 5c

5

9a 1b2 c1a b c 　a 4 4c15 6 c

6 a

a c

a 　　 c2 0

c

∴f

3

f 1 ＜0 4

2

∴一元二次方程ax＋bx＋c＝0有大于

3而小于1的根. 2、锐角ΔABC中，AB＞AC，CD、BE分别是AB、AC边上的高，DE 与BC的延长线于交于T，过D作BC的垂线交BE于F，过E作BC的垂线交CD于G，证明：F、G、T三点共线。

证法1：设过D、E的垂线分别交BC于M、N，在Rt△BEC 与Rt△BDC中，由射影定理得： 22

CE＝CN·CB，BD＝BM·BC CNCE2

∴ BMBD2

又Rt△CNG ∽Rt△DCB，Rt△BMF ∽Rt

BDCE

CN,FM BM ∴GN CDBE

∴

GNBD BECNBD BECE2 2

FMCD CEBMCD CEBDBD CD

在Rt△BEC 与Rt△BDC中，由面积关系得：BE·CE＝EN·BC，BD·CD＝DM·BC ∴由

BE CEENTN

2

BD CDDMTM

(1)(2)

得

：

GNTN

,

又GN FM， F、G、TFMTM

证法2：设CD、BE相交于点H，则H的垂心，记DF、EG、AH与BC的交点分别为

R

∵DM∥AR∥EN

∴

由合比定理得：

DFAHEG

FMHRGN

DMENGNENTN

, ,故F、G、T三点共线. FMGN

FMDMTM

证法3：在△ABC中，直线DET分别交BC、CA、AB于T、E、D，由梅涅劳斯定理得：

BTCEAD

1　　　　(1) TCEADB

设CD、BE相交于点H，则H为△ABCAH⊥BC

∵DF⊥BC、EG⊥BC ∴AH ∥DF ∥EG ∴

CECGADHFBT , ,代入 1 得EAGHDBFBTC

由梅涅劳斯定理的逆定理得：F、G、T三点共线.

DF 证法4：连结FT交EN于G’，易知FM为了证明F、G、T三点共线，只DFEG

即可 FMGN

∵

BD BFsin ABEDFS BDF 1 FMS BMFBM BFsin CBEBMsin CBE

EGS CEGCEsin ACDCE CGsin ACD 1

GNS CMGCN CGsin BCDCNsin BCDBDBCCEBC

, BMBDCNCE

DFBCsin ABEEGBCsin ACD

, 　　∴ 1 FMBDsin CBEGNCEsin BCD

又

∵CD⊥AB、BE⊥CA，∴B、D、E、C四点共圆 ∴∠ABE＝∠ACD (2)

BDCE

BC , BDsin CBE CEsin BCD (3)

sin BCDsin CBE

DFEG

将(2) (3)代入（1）得：，故F、G、T三点共线. FMGN

又

3、设a、b、c为正整数，且a＋b＝c，求c的最小值。

223

解：显然c＞1.由题设得：(c-a)(c+a)=b

2

3

4

c2 a bb b 1 2

若取 2 ,则c 2

2 c a b

由大到小考察b，使

b b 1 2

为完全平方数，易知当b＝8时，c＝36，则c=6，从而

2

显然，表中c-x的值均不是完全平方数。故c的最小值为6

参考答案：一、1、D 原式

14

2、C ∵52+142=221=102+112 ∠A、 ∠C都是直角 3、D

4、D 5、C 6、A

二、1、2418 2、12 3、x＋y＝33＋43＋53＋63＝432 4、15°

7三、1、略 2、略 3、c的最小值为6。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/u5fq.html