2010年中考数学真题分类汇编（150套）专题四十七 开放探究型问题

一、填空题

1．（2010江苏盐城）写出图象经过点(1，－1)的一个函数关系式 ▲ ． 12

【答案】y=-x或y=- 或y=x-2x，答案不唯一

x二、解答题

1．（2010安徽蚌埠二中）已知⊙O过点D（3，4）,点H与点D关于x轴对称，过H作⊙

O的切线交x轴于点A。

⑴ 求sin?HAO的值；

⑵ 如图，设⊙O与x轴正半轴交点为P，点E、F是线段OP上的动点（与点P不重合），连接并延长DE、DF交⊙O于点B、C，直线BC交x轴于点G，若?DEF是以EF为底的等腰三角形，试探索sin?CGO的大小怎样变化，请说明理由。

【答案】 ⑴

sin?HAO?HOAO?35y D A O H y D G O F E P B x C （2）试探索sin?CGO的大小怎样变化，请说明理由.

解：当E、F两点在OP上运动时（与点P不重合），sin?CGO的值不变 过点D作DM?EF于M，并延长DM交?O于N，连接ON， 交BC于T。

因为?DEF为等腰三角形， DM?EF， 所以DN平分?BDC

所以弧BN=弧CN，所以OT?BC， 所以?CGO??MNO 所以sin?CGO=sin?MNO?OMON?35

即当E、F两点在OP上运动时（与点P不重合），sin?CGO的值不变。

用心 爱心 专心

2．（2010安徽蚌埠）如图1、2是两个相似比为1：2的等腰直角三角形，将两个三角形如图3放置，小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合。

⑴ 在图3中，绕点D旋转小直角三角形，使两直角边分别与AC、BC交于点E,F，如图4。 求证：AE2?BF22?EF；

⑵ 若在图3中，绕点C旋转小直角三角形，使它的斜边和CD延长线分别与AB交于点E、F，如图5，此时结论AE2?BF不成立，请说明理由。

⑶ 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，满足?CEF的周长等于正方形ABCD的周长的一半，AE、AF分别与对角线BD交于M、N，试问线段BM、

MN、DN能否构成三角形的三边长？若能，指出三角形的形状，并给出证明；若不能，

22?EF是否仍然成立？若成立，请给出证明；若

C C 图1 D A 图2 B A C D 图3 B C F E A D 图4 B A E 图5 D F B 用心 爱心 专心

请说明理由。

?A N D 【答案】⑴ 在图4中，由于AD?BD，将?AED绕点D旋转180，得M ?BE?D， AE?BE?、ED?E?D。连接E?F

??FBE???ABC??ABE???ABC??CAB?90?

?在Rt?BE?F中有E?B2F B E C ?BF22?E?F

又?FD垂直平分EE? ?EF?FE?

?代换得AE2?BF2?EF2

在图5中，由AC?BC，将?AEC绕点C旋转90?，得?BE?C AE?BE?,CE?CE? 连接E?F

??FBE???ABC??CBE???ABC??CAB?90 ?在Rt?BE?F中有E?B2??BF22?E?F

又可证?CEF≌?CE?F，得EF?FE?V

?代换得AE2?BF22?EF

(3)将?ADF绕点A瞬时针旋转90，得?ABG，且FD?GB,AF?AG 因为?CEF的周长等于正方形ABCD周长的一半，所以

CE?EF?CF?CD?CB?CF?FD?CE?BE,

?A N D 化简得EF?EG从而可得?AEG≌?AEF， 推出?EAF??EAG?45

此时该问题就转化为图5中的问题了。由前面的结论知：

MN2?F M G B E C ?BM2?DN，再由勾股定理的逆定理知：

2线段BM、MN、DN可构成直角三角形。

3．（2010安徽省中中考）如图，已知△ABC∽△A1B1C1，相似比为k（k?1），且△ABC

用心 爱心 专心

的三边长分别为a、b、c（a?b?c），△A1B1C1的三边长分别为a1、b1、c1。 ⑴若c?a1，求证：a?kc；

⑵若c?a1，试给出符合条件的一对△ABC和△A1B1C1，使得a、b、c和a1、b1、c1进都是正整数，并加以说明；

⑶若b?a1，c?b1，是否存在△ABC和△A1B1C1使得k?2？请说明理由。

【答案】

4．（2010江苏盐城）（本题满分12分）已知：函数y=ax2+x+1的图象与x轴只有一个公共点． （1）求这个函数关系式； （2）如图所示，设二次函数y=ax2+x+1图象的顶点为B，与y轴的交点为A，P为图象．．上的一点，若以线段PB为直径的圆与直线AB相切于点B，求P点的坐标；

（3）在(2)中，若圆与x轴另一交点关于直线PB的对称点为M，试探索点M是否在抛

物线y=ax2+x+1上，若在抛物线上，求出M点的坐标；若不在，请说明理由．

用心 爱心 专心

y

【答案】解：（1）当a = 0时，y = x+1，图象与x轴只有一个公共点???(1分)

1

当a≠0时，△=1- 4a=0，a = ，此时，图象与x轴只有一个公共点．

412

∴函数的解析式为：y=x+1 或`y= x+x+1??（3分）

4 （2）设P为二次函数图象上的一点，过点P作PC⊥x 轴于点C． ∵y=ax2+x+1 是二次函数，由（1）知该函数关系式为： 12

y= x+x+1，则顶点为B（-2，0），图象与y轴的交点 4

坐标为A（0，1）???（4分）

∵以PB为直径的圆与直线AB相切于点B ∴PB⊥AB 则∠PBC=∠BAO ∴Rt△PCB∽Rt△BOA ∴PCOB?BCAO，故PC=2BC，????????????????????（5分）

设P点的坐标为(x，y)，∵∠ABO是锐角，∠PBA是直角，∴∠PBO是钝角，∴x<-2 ∴BC=-2-x，PC=-4-2x，即y=-4-2x， P点的坐标为(x，-4-2x)

1212

∵点P在二次函数y= x+x+1的图象上，∴-4-2x= x+x+1???????（6分）

44解之得：x1=-2，x2=-10

∵x<-2 ∴x=-10，∴P点的坐标为：(-10，16)?????????????（7分）

2

（3）点M不在抛物线y=ax+x+1 上?????????????????（8分） 由（2）知：C为圆与x 轴的另一交点，连接CM，CM与直线PB的交点为Q，过点M作x轴的垂线，垂足为D，取CD的中点E，连接QE，则CM⊥PB，且CQ=MQ

1

∴QE∥MD，QE= MD，QE⊥CE

2

∵CM⊥PB，QE⊥CE PC⊥x 轴 ∴∠QCE=∠EQB=∠CPB

1

∴tan∠QCE= tan∠EQB= tan∠CPB =

2

816

CE=2QE=232BE=4BE，又CB=8，故BE= ，QE=

55

1816

∴Q点的坐标为(- ， )

55

1432

可求得M点的坐标为( ， )???????????????????（11分）

55

11421414432∵()+()+1 = ≠ 455255∴C点关于直线PB的对称点M不在抛物线y=ax2+x+1 上????????（12分） (其它解法，仿此得分)

用心 爱心 专心

y P M Q E C B -2 1 A O 1 D x

5．（2010辽宁丹东市）如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH，点H的坐标为（－8，

0），点N的坐标为（－6，－4）．

（1）画出直角梯形OMNH绕点O旋转180°的图形OABC，并写出顶点A，B，C的坐标（点

M的对应点为A， 点N的对应点为B， 点H的对应点为C）； （2）求出过A，B，C三点的抛物线的表达式；

（3）截取CE=OF=AG=m，且E，F，G分别在线段CO，OA，AB上，求四边形．．．BEFG的面积

S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；面积S是否存在最小值?若

存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；

（4）在（3）的情况下，四边形BEFG是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接写出．．

此时m的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由．

H（-8，0）yOxN（-6，-4）M 第26题图 【答案】（1） 利用中心对称性质，画出梯形OABC． ·············· 1分

∵A，B，C三点与M，N，H分别关于点O中心对称，

∴A（0，4），B（6，4），C（8，0） ·················· 3分 （写错一个点的坐标扣1分）

用心 爱心 专心

y ↑

A F H －8 O M

D

B → E C x N (－6，－4)

（2）设过A，B，C三点的抛物线关系式为y?ax2?bx?c， ∵抛物线过点A（0，4），

∴c?4．则抛物线关系式为y?ax2?bx?4． ············· 4分 将B（6，4）， C（8，0）两点坐标代入关系式，得

?36a?6b?4?4， ··························· 5分 ?64a?8b?4?0．?1?a??，??4解得? ···························· 6分

?b?3．??2所求抛物线关系式为：y??14x?232x?4． ·············· 7分

（3）∵OA=4，OC=8，∴AF=4－m，OE=8－m． ··············· 8分 ∴S四边形EFGB?S梯形ABCO?S△AGF?S△EOF?S△BEC ? ?1212OA（AB+OC）??4?（6?8）?212AF·AG?1212OE·OF?1212CE·OA

?4m

12m(4?m)?m(8?m)? ?m?8m?28 （ 0＜m＜4） ············· 10分

2∵S?(m?4)?12． ∴当m?4时，S的取最小值．

又∵0＜m＜4，∴不存在m值，使S的取得最小值． ············ 12分 （4）当m??2?26时，GB=GF，当m?2时，BE=BG． ·········· 14分 6．（2010山东青岛）问题再现

现实生活中，镶嵌图案在地面、墙面乃至于服装面料设计中随处可见．在八年级课题学

用心 爱心 专心

习“平面图形的镶嵌”中，对于单种多边形的镶嵌，主要研究了三角形、四边形、正六边形的镶嵌问题．今天我们把正多边形的镶嵌作为研究问题的切入点，提出其中几个问题，共同．．．．来探究.

我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形镶嵌平面．如右图中，用正方形镶嵌平面，可以发现在一个顶点O周围围绕着4个正方形的内角.

O 试想：如果用正六边形来镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕着 个 正六边形的内角．

问题提出

如果我们要同时用两种不同的正多边形镶嵌平面，可能设计出几种不同的组合方案？ 问题解决

猜想1：是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？

分析：我们可以将此问题转化为数学问题来解决．从平面图形的镶嵌中可以发现，解决问题的关键在于分析能同时用于完整镶嵌平面的两种正多边形的内角特点．具体地说，就是在镶嵌平面时，一个顶点周围围绕的各个正多边形的内角恰好拼成一个周角．

验证1：在镶嵌平面时，设围绕某一点有x个正方形和y个正八边形的内角可以拼成一个周角．根据题意，可得方程：

90x??8?2??1808????y?360，整理得：2x?3y?8，

?x?1?y?2我们可以找到惟一一组适合方程的正整数解为? ．

结论1：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正方形和2个正八边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌．

猜想2：是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？若能，请按照上述方法进行验证，并写出所有可能的方案；若不能，请说明理由．

验证2：

结论2： ． 上面，我们探究了同时用两种不同的正多边形组合镶嵌平面的部分情况，仅仅得到了一部分组合方案，相信同学们用同样的方法，一定会找到其它可能的组合方案．

问题拓广

请你仿照上面的研究方式，探索出一个同时用三种不同的正多边形组合进行平面镶嵌的方案，并写出验证过程．

猜想3： .

验证3：

结论3： .

【答案】

解：3个； ······························ 1分

用心 爱心 专心

验证2：在镶嵌平面时，设围绕某一点有a个正三角形和b个正六边形的内角可以

拼

成一个周角．根据题意，可得方程：

60a?120b?360． 整理得：a?2b?6，

可以找到两组适合方程的正整数解为??a?2?b?2和??a?4?b?1．························· 3分

结论2：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着2个正三角形和2个正六边形的内角

或者围绕着4个正三角形和1个正六边形的内角可以拼成一个周角，所以同时

用正三角形和正六边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌． ··············· 5分

猜想3：是否可以同时用正三角形、正方形和正六边形三种正多边形组合进行平面

镶嵌？

······························ 6分

验证3：在镶嵌平面时，设围绕某一点有m个正三角形、n个正方形和c个正六边

形的内角可以拼成一个周角. 根据题意，可得方程：

60m?90n?120c?360，

整理得：2m?3n?4c?12，

?m?1?可以找到惟一一组适合方程的正整数解为?n?2. ······························ 8分

?c?1?结论3：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正三角形、2个正方形和1个正

六边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正三角形、正方形和正六边

形三种正多边形组合可以进行平面镶嵌. （说明：本题答案不惟一，符合要求即可.）

7．（2010山东青岛）已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．∠ACB = ∠EDF = 90°，∠DEF = 45°，AC = 8 cm，BC = 6 cm，EF = 9 cm．

如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1 cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2 cm/s的速度沿BA向点A匀速移动.当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动，点P也随之停止移动．DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）（0＜t＜4.5）．解答下列问题：

（1）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？

（2）连接PE，设四边形APEC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；是否存在某一时刻t，使面积y最小？若存在，求出y的最小值；若不存在，说明理由．

（3）是否存在某一时刻t，使P、Q、F三点在同一条直线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．（图（3）供同学们做题使用）

A A

D P Q B

（ C E）

图（1）

···························· 10分

D F B E C 图（2）

F 用心 爱心 专心

A B

图（3）

C

【答案】

解：（1）∵点A在线段PQ的垂直平分线上，

∴AP = AQ.

∵∠DEF = 45°，∠ACB = 90°，∠DEF＋∠ACB＋∠EQC = 180°， ∴∠EQC = 45°. ∴∠DEF =∠EQC. ∴CE = CQ.

由题意知：CE = t，BP =2 t，

∴CQ = t. ∴AQ = 8－t.

在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB = 10 cm . 则AP = 10－2 t. ∴10－2 t = 8－t.

解得：t = 2.

答：当t = 2 s时，点A在线段PQ的垂直平分线上. ······················· 4分

A （2）过P作PM?BE，交BE于M，

∴?BMP?90?.

ACPMD 在Rt△ABC和Rt△BPM中，sinB?， ?P ABBPPM88Q ∴ . ∴PM = t. ?2t105图（2）

8 ∴y = S△ABC－S△BPE =BC?AC－BE?PM= ?6?8－??6?t??t

222254244842=t2?. t?24 = ?t?3??55554∵a??0，∴抛物线开口向上.

51111 ∵BC = 6 cm，CE = t， ∴ BE = 6－t.

B M E C F ∴当t = 3时，y最小=

845.

845答：当t = 3s时，四边形APEC的面积最小，最小面积为

cm2.················ 8分

（3）假设存在某一时刻t，使点P、Q、F三点在同一条直线上.

过P作PN?AC，交AC于N，

∴?ANP??ACB??PNQ?90?. ∵?PAN??BAC，∴△PAN ∽△BAC. ∴

PNBC?APAB?ANACA D P N Q E C 图（3）

.

用心 爱心 专心

B F

PN610?2tAN∴

10868∴PN?6?t，AN?8?t55??.

.

∵NQ = AQ－AN， ∴NQ = 8－t－(8?t) =

5835t．

∵∠ACB = 90°，B、C（E）、F在同一条直线上，

∴∠QCF = 90°，∠QCF = ∠PNQ. ∵∠FQC = ∠PQN， ∴△QCF∽△QNP . ∴

PNFC?NQCQ6?6 . ∴5?59?tt6t3t .

6?∵0?t???? ∴解得：t = 1.

t5?39?t5

答：当t = 1s，点P、Q、F三点在同一条直线上. ···························· 12分

8．（2010山东烟台）（本题满分14分）

如图，已知抛物线y=x2+bx-3a过点A（1,0），B(0,-3),与x轴交于另一点C。

（1）求抛物线的解析式； （2）若在第三象限的抛物线上存在点P，使△PBC为以点B为直角顶点的直角三角形，

求点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在一点Q，使以P,Q,B,C为顶点的四边形为直角梯形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。

【答案】

用心 爱心 专心

9．（2010四川凉山）如图，B为线段AD上一点，△ABC和△BDE都是等边三角形，连接CE并延长，交AD的延长线于F，△ABC的外接圆?O交CF于点M。

（1） 求证：BE是?O的切线； （2） 求证：AC2?CM?CF；

（3） 若 过点D 作DG∥BE交EF 于点G，过G 作GH∥DE交DF于点H ，则易

知△DHG是等边三角形；设等边△ABC、△BDE、△DHG的面积分别为

S1、S2、S3，试探究S1、S2、

C

S3之间的数量关系，并说明理由。

M E 用心 爱心 专心 O B 第26题图

D F

A

【答案】

10．（2010四川眉山）如图，Rt△AB ?C ? 是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，连结CC

? 交斜边于点E，CC ? 的延长线交BB ? 于点F． （1）证明：△ACE∽△FBE；

（2）设∠ABC=?，∠CAC ? =?，试探索?、?满足什么关系时，△ACE与△FBE是

全等三角形，并说明理由．

用心 爱心 专心

EBC'FB'CA

【答案】

（1）证明：∵Rt△AB ?C ? 是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的， ∴AC=AC ?，AB=AB ?，∠CAB=∠C ?AB ? ………………（1分） ∴∠CAC ?=∠BAB ?

∴∠ACC ?=∠ABB ? ……………………………………（3分） 又∠AEC=∠FEB ∴△ACE∽△FBE ……………………………………（4分）

（2）解：当??2?时，△ACE≌△FBE． …………………（5分） 在△ACC?中，∵AC=AC ?， ∴?ACC'?180???CAC'2?180???2?90??? ………（6分）

在Rt△ABC中，

∠ACC?+∠BCE=90°，即90?????BCE?90?，

BC'EFB'CA ∴∠BCE=?．

∵∠ABC=?，

∴∠ABC=∠BCE ……………………（8分） ∴CE=BE

由（1）知：△ACE∽△FBE， ∴△ACE≌△FBE．………………………（9分）

11．（2010 嵊州市）（10分）

（1）请在图①的正方形ABCD内，画出使∠APB＝90°的一个点P，并说明理由。 （2）请在图②的正方形ABCD内（含边），画出使∠APB＝60°的所有的点P，并说明理由。

（3）如图③，现在一块矩形钢板ABCD，AB＝4，BC＝3，工人师傅想用它裁出两块全等的、

面积最大的△APB和△CP'D钢板，且∠APB＝∠CP'D＝60°，请你在图③中画出符合要求的点P和P'。

图① 图② 图③

用心 爱心 专心

【答案】(1)如图①，点P为所求

（2）如图②，圆上实线部分弧EF为所求②③ （3）如图③，点p、p'为所求 全品中考网

12．（2010重庆市潼南县）（12分）如图, 已知抛物线y?12x?bx?c与y轴相交于C，

2与x轴相交于A、B，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，-1）.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点E是线段AC上一动点，过点E作DE⊥x轴于点D，连结DC，当△DCE的面

积最大时，求点D的坐标；

（3）在直线BC上是否存在一点P，使△ACP为等腰三角形，若存在，求点P的坐标，

若不存在，说明理由.

yDBoECA x26题图

用心 爱心 专心

yBoCA x备用图

【答案】

解：（1）∵二次函数y?122x?bx?c的图像经过点A（2，0）C(0,－1)

?2?2b?c?0∴??c??1

解得： b=－

12 c=－1-------------------2分

12x?2∴二次函数的解析式为y?12x?1 --------3分

（2）设点D的坐标为（m，0） （0＜m＜2） ∴ OD=m ∴AD=2-m 由△ADE∽△AOC得，∴

2?m2?DE1ADAO?DEOC --------------4分

∴DE=

2?m2-----------------------------------5分

12∴△CDE的面积=

m423

2?m223m

14=??m2=?14(m?1)?

当m=1时，△CDE的面积最大

∴点D的坐标为（1，0）--------------------------8分 （3）存在 由(1)知：二次函数的解析式为y?设y=0则0?12x?212x?212x?1

12x?1 解得：x1=2 x2=－1

用心 爱心 专心

∴点B的坐标为（－1，0） C（0，－1） 设直线BC的解析式为：y=kx＋b ∴ ???k?b?0?b??1 解得：k=-1 b=-1

∴直线BC的解析式为: y=－x－1

在Rt△AOC中，∠AOC=900 OA=2 OC=1 由勾股定理得：AC=5 ∵点B(－1,0) 点C（0，－1） ∴OB=OC ∠BCO=45

①当以点C为顶点且PC=AC=5时， 设P(k, －k－1) 过点P作PH⊥y轴于H ∴∠HCP=∠BCO=450

CH=PH=∣k∣ 在Rt△PCH中

0

k2+k2=?5? 解得k1=

2102， k2=－

102102

102∴P1（

102，－

102?1） P2（－，?1）---10分

②以A为顶点，即AC=AP=5 设P(k, －k－1)

过点P作PG⊥x轴于G AG=∣2－k∣ GP=∣－k－1∣

222

在Rt△APG中 AG＋PG=AP （2－k)2+(－k－1)2=5 解得：k1=1,k2=0(舍)

∴P3(1, －2) ----------------------------------11分 ③以P为顶点，PC=AP设P(k, －k－1) 过点P作PQ⊥y轴于点Q PL⊥x轴于点L ∴L(k,0)

∴△QPC为等腰直角三角形 PQ=CQ=k 由勾股定理知 CP=PA=

2k

∴AL=∣k-2∣, PL=｜－k－1｜ 在Rt△PLA中

(2k)2=(k－2)2＋(k＋1)2

用心 爱心 专心

解得：k=

52∴P4(

52,－

72) ------------------------12分

102102综上所述： 存在四个点：P1（

，－?1）

7P2（-

102，

102?1） P3(1, －2) P4(,－)

22513．（2010江苏宿迁）（本题满分12分）已知抛物线y?x2?bx?c交x轴于A(1,0)、B(3,0)两点，交y轴于点C，其顶点为D． （1）求b、c的值并写出抛物线的对称轴；

（2）连接BC，过点O作直线OE⊥BC交抛物线的对称轴于点E．

求证：四边形ODBE是等腰梯形；

（3）抛物线上是否存在点Q，使得△OBQ的面积等于四边形ODBE的面积的

求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）求出：b??4，c?3，抛称轴为：x=2

(2)

213？若存在，

物线的对

抛物线的解析式为

y?x?4x?3，易得C点坐标为（0，3），D点坐标为（2，-1）

设抛物线的对称轴DE交x轴于点F，易得F点坐标为（2，0），连接OD，DB，BE

∵?OBC是等腰直角三角形，?DFB也是等腰直角三角形，E点坐标为（2，2）， ∴∠BOE= ∠OBD=45 ∴OE∥BD

∴四边形ODBE是梯形 ??????5分 在Rt?ODF和Rt?EBF中， OD=OF2??DF2?2?1?225 ，BE=EF2?FB2?2?1?225

∴OD= BE

∴四边形ODBE是等腰梯形 ??????7分

用心 爱心 专心

(3) 存在， ??????8分

由题意得：S四边形ODBE?12OB?DE?12?3?3?92 ??????9分

设点Q坐标为（x，y）， 由题意得：S三角形∴y??1

当y=1时，即x2?4x?3?1，∴ x1?2?2， x2?2?2，

OBQ?12OB?y?32y=

13S四边形ODBE?13?92?32

∴Q点坐标为（2+2，1）或(2-2，1) ??????11分 当y=-1时，即x2?4x?3??1， ∴x=2， ∴Q点坐标为（2，-1）

综上所述，抛物线上存在三点Q1（2+2，1），Q2 (2-2，1) ，Q3（2，-1） 使得S三角形

OBQ=

13S四边形ODBE． ??????12分

E Q2 F

Q1 Q3

14．（2010 山东济南）如图，已知抛物线y?x?bx?c经过点（1，-5）和（-2，4） （1）求这条抛物线的解析式．

（2）设此抛物线与直线y?x相交于点A，B（点B在点A的右侧），平行于y轴的直线

x?m0?m?2?5?1与抛物线交于点M，与直线y?x交于点N，交x轴于点P，求

?线段MN的长（用含m的代数式表示）．

（3）在条件（2）的情况下，连接OM、BM，是否存在m的值，使△BOM的面积S最大？

若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由．

用心 爱心 专心

【答案】

A O y x=m y=x B N P M x

15．（2010 浙江衢州）(本题12分)△ABC中，∠A=∠B=30°，AB=23．把△ABC放在平面直角坐标系中，使AB的中点位于坐标原点O(如图)，△ABC可以绕点O作任意角度的旋转．

(1) 当点B在第一象限，纵坐标是62时，求点B的横坐标；

用心 爱心 专心

(2) 如果抛物线y?ax2?bx?c(a≠0)的对称轴经过点C，请你探究：

① 当a?54，b??12，c??355时，A，B两点是否都在这条抛物线上？并说

明理由；

② 设b=-2am，是否存在这样的m的值，使A，B两点不可能同时在这条抛物线

上？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．

y C -1 -1 A 1 O 1 x B

【答案】解：(1) ∵ 点O是AB的中点， ∴ OB?设点B的横坐标是x(x>0)，则x2?(解得 x1?6262)?(3)2212AB?3．

，

，x2??6262(舍去)．

，c??．

355∴ 点B的横坐标是(2) ① 当a?(3)

y?54(x?5455．

12

542

x?12

x?

355

，b??)?2时，得 y?

13520

以下分两种情况讨论．

情况1：设点C在第一象限(如图甲)，则点C的横坐标为OC?OB?tan30??3?33?1．

55，

y A -1 1 O -1 C 1 B x (甲)

55由此，可求得点C的坐标为(点A的坐标为(?2155，255)，

，155)，

∵ A，B两点关于原点对称，

用心 爱心 专心

∴ 点B的坐标为(2155，?155)．

1555将点A的横坐标代入(＊)式右边，计算得将点B的横坐标代入(＊)式右边，计算得?，即等于点A的纵坐标； ，即等于点B的纵坐标．

5515∴ 在这种情况下，A，B两点都在抛物线上． ，-

255 )，

情况2：设点C在第四象限(如图乙)，则点C的坐标为(y 1 O -1 B -1 C 1 x A (乙)

点A的坐标为(2155 ，155)，点B的坐标为(?

2155，?155)．

经计算，A，B两点都不在这条抛物线上．

(情况2另解：经判断，如果A，B两点都在这条抛物线上，那么抛物线将开口向下，而已知的抛物线开口向上．所以A，B两点不可能都在这条抛物线上) ② 存在．m的值是1或-1．

(y?a(x?m)2?am2?c，因为这条抛物线的对称轴经过点C，所以-1≤m≤1．当m=±1时，点C在x轴上，此时A，B两点都在y轴上．因此当m=±1时，A，B两点不可能同时在这条抛物线上)

16．（2010江苏泰州）如图，二次函数y??交于A、B两点．

⑴求c的值；

⑵如图①，设点C为该二次函数的图象在x轴上方的一点，直线AC将四边形ABCD的面积二等分，试证明线段BD被直线AC平分，并求此时直线AC的函数解析式； ⑶设点P、Q为该二次函数的图象在x轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样的点P、Q，使△AQP≌△ABP？如果存在，请举例验证你的猜想；如果不存在，请说明理由．（图②供选用）

1?2x?c的图象经过点D??2?3,9??，与x轴2?用心 爱心 专心

【答案】⑴ ∵抛物线经过点D(?∴?12?(?3)?c?23,92)

92

∴c=6.

⑵过点D、B点分别作AC的垂线，垂足分别为E、F，设AC与BD交点为M， ∵AC 将四边形ABCD的面积二等分，即：S△ABC=S△ADC ∴DE=BF 又∵∠DME=∠BMF， ∠DEM=∠BFE ∴△DEM≌△BFM

∴DM=BM 即AC平分BD ∵c=6. ∵抛物线为y??12x?6

2∴A（?23,0）、B（23,0）

39,） 24∵M是BD的中点 ∴M（

设AC的解析式为y=kx+b，经过A、M点

?33??23k?b?0k????10解得 ??39k?b??b?9?4?2?5?331095??直线AC的解析式为y?x?.

⑶存在．设抛物线顶点为N(0，6)，在Rt△AQN中，易得AN=43，于是以A点为圆心，

用心 爱心 专心

AB=43为半径作圆与抛物线在x上方一定有交点Q，连接AQ，再作∠QAB平分线AP交抛物线于P，连接BP、PQ，此时由“边角边”易得△AQP≌△ABP． 17．（2010福建福州）如图1，在平面直角坐标系中，点B在直线y＝2x上，过点B作x轴1

的垂线，垂足为A，OA＝5．若抛物线y＝x2＋bx＋c过O、A两点．

6

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若A点关于直线y＝2x的对称点为C，判断点C是否在该抛物线上，并说明理由； （3）如图2，在（2）的条件下，⊙O1是以BC为直径的圆．过原点O作⊙O1的切线OP，P为切点(点P与点C不重合)．抛物线上是否存在点Q，使得以PQ为直径的圆与⊙O1相切?若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由．

(第22题图1) (第22题图2)

1

【答案】解：（1）把O（0，0）、A（5，0)分别代入y＝x2＋bx＋c，

6

5?c?0，?b??,??得?25解得?6

?5b?c?0.??c?0.?6?15∴ 该抛物线的解析式为y＝x2－x．

66

（2）点C在该抛物线上．

理由：过点C作CD⊥x轴于点D，连结OC，设AC交OB于点E． ∵ 点B在直线y＝2x上， ∴ B(5，10)

∵ 点A、C关于直线y＝2x对称， ∴ OB⊥AC，CE＝AE，BC⊥OC，OC＝OA＝5，BC＝BA＝10． 又∵ AB⊥x轴，由勾股定理得OB＝55．

11

∵ SRt△OAB＝AE2OB＝OA·AB，

22

∴ AE＝25， ∴ AC＝45．

∵ ∠OBA十∠CAB＝90°，∠CAD＋∠CAB＝90°， ∴ ∠CAD＝∠OBA． 又∵ ∠CDA＝∠OAB＝90°， ∴ △CDA∽△OAB． ∴

CDADAC

＝＝ ∴ CD＝4，AD＝8 ∴ C（－3，4） OAABOB

15

当x＝－3时，y＝39－3(－3)＝4．

66

125

∴ 点C在抛物线y＝x－x上．

66

用心 爱心 专心

（3）抛物线上存在点Q，使得以PQ为直径的圆与⊙O1相切． 过点P作PF⊥x轴于点F，连结O1P，过点O1作O1H⊥x轴于点H． ∴ CD∥O1H∥BA． ∵ C(－3，4)，B(5，10)，

1

∴ O1是BC的中点． ∴ 由平行线分线段成比例定理得AH＝DH＝AD＝4，

2 ∴ OH＝OA－AH＝1．同理可得O1H＝7． ∴ 点O1的坐标为(1，7)． ∵ BC⊥OC， ∴ OC为⊙O1的切线． 又∵OP为⊙O1的切线， ∴ OC＝OP＝O1C＝O1P＝5．

0

∴ 四边形OPO1C为正方形． ∴ ∠COP＝90． ∴ ∠POF＝∠OCD． 又∵∠PFD＝∠ODC＝90°， ∴ △POF≌△OCD．

∴ OF＝CD，PF＝OD． ∴ P(4，3)． 设直线O1P的解析式为y＝kx+B(k≠0)． 把O1(1，7)、P(4，3)分别代人y＝kx+B， 4?k??，??k?b?7，?3得? 解得? ?4k?b?3．?b?25．?3?425

∴ 直线O1P的解析式为y＝－x＋．

33

若以PQ为直径的圆与⊙O1相切，则点Q为直线O1P与抛物42515

线的交点，可设点Q的坐标为(m，n)，则有n＝－m＋，n＝m2－M

3366

42515

∴ －m＋＝m2－M．整理得m2＋3m－50＝0，

3366解得m＝

－3±209 2

第22题图

－3＋209－3－209∴ 点Q的横坐标为或．

22

18．（2010江苏无锡）

（1）如图1，在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点，P是BC延长

线上一点，N是∠DCP的平分线上一点．若∠AMN=90°，求证：AM=MN．

下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明． 证明：在边AB上截取AE=MC，连ME．正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC． ∴∠NMC=180°—∠AMN—∠AMB=180°—∠B—∠AMB=∠MAB=∠MAE． （下面请你完成余下的证明过程）

用心 爱心 专心

AEDNANBMCPB图1 图2

MCP

（2）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2），N是∠ACP的平

分线上一点，则当∠AMN=60°时，结论AM=MN是否还成立？请说明理由． （3）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正n边形ABCD??X”，请你作出猜想：当

∠AMN=

°时，结论AM=MN仍然成立．（直接写出答案，不需要证明）

【答案】解：（1）∵AE=MC，∴BE=BM， ∴∠BEM=∠EMB=45°， ∴∠AEM=135°， ∵CN平分∠DCP，∴∠PCN=45°，∴∠AEM=∠MCN=135°

??AEM??MCN,?在△AEM和△MCN中：∵?AE?MC,∴△AEM≌△MCN，∴AM=MN

??EAM=?CMN,?

（2）仍然成立．

在边AB上截取AE=MC，连接ME ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC，∠B=∠ACB=60°， ∴∠ACP=120°． ∵AE=MC，∴BE=BM ∴∠BEM=∠EMB=60°

∴∠AEM=120°．

∵CN平分∠ACP，∴∠PCN=60°，

∴∠AEM=∠MCN=120°

∵∠CMN=180°—∠AMN—∠AMB=180°—∠B—∠AMB=∠BAM ∴△AEM≌△MCN，∴AM=MN (n?2)180?n（3）

19．（2010 黄冈）（6分）如图，一个含45°的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合，过E点作EF⊥AE交∠DCE的角平分线于F点，试探究线段AE与EF的数量关系，并说明理由。

第18题图

用心 爱心 专心

【答案】提示：由∠H＝∠FCE，AH＝CE，∠HAE＝∠FCE可证△HAE≌△CEF，从而得到AE＝EF.

20．（2010山东临沂）如图1，已知矩形ABCD，点C是边DE的中点，且AB?2AD. (1)判断?ABC的形状，并说明理由； (2)保持图1中的?ABC固定不变，绕点C旋转DE所在的直线MN到图2中的位置（当垂线段AD、BE在直线MN的同侧）.试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？并给予证明；

（3）保持图2 中的?ABC固定不变，继续绕点C旋转DE所在的直线MN到图3中的位置（当垂线段AD、BE在直线MN的异侧）.试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？并给予证明.

DCECENMDABAB图1图2（第25题图）

【答案】解：（1）△ABC是等腰直角三角形。 如图（1）在矩形ABED中，

因为点C是边DE的中点，且AB=2AD, 所以AD=DC=CE=EB, ∠D=∠E=90°.

∴Rt△ADC≌Rt△BEC. ∴AC=BC, ∠1=∠2=45°. ∴∠ACB=90°.

∴△ABC是等腰直角三角形。 （2）DE=AD+BE. 如图（2），在Rt△ADC和Rt△BEC中， ∵∠1=∠CAD=90°, ∠1+∠2=90°. ∴∠CAD=∠2.

又∵AC=BC, ∠ADC=∠CEB=90°, ∴Rt△ADC≌Rt△CEB. ∴DC=BE,CE=AD. ∴DC+CE= BE+AD, 即DE=AD+BE.

（3）DE=BE-AD. 如图（3），在Rt△ADC和Rt△CEB中，∵∠1+∠CAD=90°,∴∠CAD=∠2.

又∵∠ADC=∠CBE=90°,AC=CB, ∴Rt△ADC≌Rt△CBE.

用心 爱心 专心

NCEBADM图31+∠2=90°， ∠

∴DC=BE,CE=AD.∴DC-CE=BE-AD, 即DE=BE-AD.

NCD1C2ECMD1E2N12EADM(第25题图3)

BA(第25题图1)BA(第25题图2)B

21．（2010福建宁德）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM. ⑴ 求证：△AMB≌△ENB；

⑵ ①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；

②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由； ⑶ 当AM＋BM＋CM的最小值为3?1时，求正方形的边长.

A D N E M B C

【答案】解：⑴∵△ABE是等边三角形，

∴BA＝BE，∠ABE＝60°. ∵∠MBN＝60°，

∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN. 即∠BMA＝∠NBE. 又∵MB＝NB，

∴△AMB≌△ENB（SAS）. ??????5分 ⑵①当M点落在BD的中点时，AM＋CM的值最小. ②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时， AM＋BM＋CM的值最小.

理由如下：连接MN.由⑴知，△AMB≌△ENB，

E 用心 爱心 专心 F

N M B C A D

∴AM＝EN.

∵∠MBN＝60°，MB＝NB， ∴△BMN是等边三角形. ∴BM＝MN.

∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM.

根据“两点之间线段最短”，得EN＋MN＋CM＝EC最短

∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的长. ⑶过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F， ∴∠EBF＝90°－60°＝30°. 设正方形的边长为x，则BF＝在Rt△EFC中， ∵EF2＋FC2＝EC2， ∴（

x232x，EF＝

x2.

）＋（

22

32x＋x）＝?3?1?.

2

2解得，x＝（舍去负值）.

2∴正方形的边长为.

22．（2010湖北随州）已知抛物线y?ax2?bx?c(a?0)顶点为C（1，1）且过原点O.过抛物线上一点P（x，y）向直线y?（1）求字母a，b，c的值；

（2）在直线x＝1上有一点F(1,)，求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标，并

4354作垂线，垂足为M，连FM（如图）.

证明此时△PFM为正三角形；

（3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N（1，t），使PM＝PN恒成立，若存在请求

出t值，若不存在请说明理由.

【答案】（1）a＝－1，b＝2，c＝0

（2）过P作直线x=1的垂线，可求P的纵坐标为MF＝PF＝1，故△MPF为正三角形.

用心 爱心 专心

14，横坐标为1?123.此时，MP＝

（3）不存在.因为当t＜

54，x＜1时，PM与PN不可能相等，同理，当t＞

54，x＞1时，

PM与PN不可能相等.

23．（2010 内蒙古包头）已知二次函数y?ax2?bx?c（a?0）的图象经过点A(1，0)，

B(2，0)，C(0，?2)，直线x?m（m?2）与x轴交于点D．

（1）求二次函数的解析式；

（2）在直线x?m（m?2）上有一点E（点E在第四象限），使得E、D、B为顶点的三角形与以A、O、C为顶点的三角形相似，求E点坐标（用含m的代数式表示）； （3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形？若存在，请求出m的值及四边形ABEF的面积；若不存在，请说明理由．

?a?b?c?0，?【答案】解：（1）根据题意，得?4a?2b?c?0，

?c??2.?y O x 解得a??1，b?3，c??2．

····························· （2分） ?y??x?3x?2． ·（2）当△EDB∽△AOC时， 得

AOEDAOED?COBDCO2y A O (F2)F1 C (x=m) E1 (E2) B D x 或

AOBD?COED，

∵AO?1，CO?2，BD?m?2， 当

?BDm?22时，得，

1ED?2m?2，

∴ED?∵点E在第四象限，∴E1?m，??2?m?······························································· （4分） ?． ·

2?2当

AOBD?COED时，得

1m?2?ED，∴ED?2m?4，

4?2m)． ·∵点E在第四象限，∴E2(m，······························································· （6分）

（3）假设抛物线上存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形，则

用心 爱心 专心

EF?AB?1，点F的横坐标为m?1，

当点E1的坐标为?m，??2?m?2?m??时，点的坐标为Fm?1，1???， 2?2??∵点F1在抛物线的图象上， ∴

∴2m2?11m?14?0， ∴(2m?7)(m?2)?0， ∴m?722?m2??(m?1)?3(m?1)?2， 全品中考网

2， ，m?2（舍去）

3??， 4?34?34∴F1?，??2?5∴S?ABEF?1?．························································································· （9分）

当点E2的坐标为(m，4?2m)时，点F2的坐标为(m?1，4?2m)， ∵点F2在抛物线的图象上，

∴4?2m??(m?1)2?3(m?1)?2， ∴m?7m?10?0，

∴(m?2)(m?5)?0，∴m?2（舍去），m?5，

?6)， ∴F2(4，2∴S?ABEF?1?6?6． （12分）

24．（2010 湖南湘潭）如图，直线y??x?6与x轴交于点A，与y轴交于点B，以线段AB为直径作⊙C，抛物线y?ax?bx?c过A、C、O三点．

(1) 求点C的坐标和抛物线的解析式；

(2) 过点B作直线与x轴交于点D，且OB2=OA·OD，求证：DB是⊙C的切线； (3) 抛物线上是否存在一点P， 使以P、O、C、A为顶点的四边形为直角梯形，如果

存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

用心 爱心 专心

2

yx26题图

【答案】解：（1）A（6，0），B（0，6） ????????1分

o

连结OC,由于∠AOB=90，C为AB的中点，则OC?1AB，

2所以点O在⊙C上（没有说明不扣分）．

过C点作CE⊥OA，垂足为E，则E为OA中点,故点C的横坐标为3． 又点C在直线y=-x+6上，故C（3，3） ????????2分 抛物线过点O，所以c=0,

又抛物线过点A、C，所以所以抛物线解析式为y???133?9a?3b10?36a?6b，解得：a??,b?2

3x?2x ???????3分

2（2）OA=OB=6代入OB2=OA·OD，得OD=6 ????????4分 所以OD=OB=OA，∠DBA=90． ????????5分 又点B在圆上，故DB为⊙C的切线 ????????6分 （通过证相似三角形得出亦可）

（3）假设存在点P满足题意．因C为AB中点,O在圆上,故∠OCA=90o,

要使以P、O、C、A为顶点的四边形为直角梯形，

则 ∠CAP=90o或 ∠COP=90o, ????????7分 若∠CAP=90o,则OC∥AP，因OC的方程为y=x,设AP方程为y=x+b． 又AP过点A（6，0），则b=-6, ????????8分 方程y=x-6与

y??13x?2x联立解得：

2o

?x1?6y1?0，

?x2??3y2??9，

故点P1坐标为（-3，-9） ????????9分 若∠COP=90,则OP∥AC，同理可求得点P2（9，-9） (用抛物线的对称性求出亦可)

用心 爱心 专心

o

故存在点P1坐标为（-3，-9）和P2（9，-9）满足题意．????10分

25．（2010 甘肃）(12分) 如图，抛物线与x轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点，与y

轴交于点C（0，－3），设抛物线的顶点为D． （1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标；

（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？

（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存

在，请指出符合条件的点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明

理由．

【答案】解：（1）设该抛物线的解析式为y?ax2?bx?c，

由抛物线与y轴交于点C（0，－3）,可知c??3.

即抛物线的解析式为y?ax2?bx?3． ?????????1分

?a?b?3?0,把A（－1，0）、B（3，0）代入, 得?

9a?3b?3?0.?解得a?1,b??2.

∴ 抛物线的解析式为y = x2－2x－3． ?????????????????3分 ∴ 顶点D的坐标为?1,?4?. ????????????????????4分 说明：只要学生求对a?1,b??2，不写“抛物线的解析式为y = x2－2x－3”不扣分. （2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形. ???????????5分

理由如下：

过点D分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F.

用心 爱心 专心

在Rt△BOC中，OB=3，OC=3，∴ BC2?18. ??????????6分

2在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF-OC=4-3=1，∴ CD?2. ??????????7分

在Rt△BDE中，DE=4，BE=OB-OE=3-1=2，∴ BD2?20. ??????????8分 ∴ BC2?CD2?BD， 故△BCD为直角三角形. ??????????9分

2（3）连接AC，可知Rt△COA∽ Rt△BCD，得符合条件的点为O（0，0）． ???10分

过A作AP1⊥AC交y轴正半轴于P1，可知Rt△CAP1 ∽ Rt△COA∽ Rt△BCD，

求得符合条件的点为P1(0,)． ????????????????11分

31过C作CP2⊥AC交x轴正半轴于P2，可知Rt△P2CA∽ Rt△COA∽ Rt△BCD， 求得符合条件的点为P2（9，0）． ????????????????12分 ∴符合条件的点有三个：O（0，0），P1(0,)，P2（9，0）.

3126．（2010福建南平）如图1，在△ABC中，AB=BC，P为AB边上一点，连接CP，以PA、PC为邻边作□APCD，AC与PD相交于点E，已知∠ABC=∠AEP=α（0°<α<90°）. （1）求证：∠EAP=∠EPA；

（2）□APCD是否为矩形？请说明理由； （3）如图2，F为BC中点，连接FP，将∠AEP绕点E顺时针旋转适当的角度，得到∠MEN（点M、N分别是∠MEN的两边与BA、FP延长线的交点）.猜想线段EM与EN之间的数量关系，并证明你的结论.

用心 爱心 专心

D C D C E A E F P 图1

B M A N P 图2 B

【答案】(1)证明：在ΔABC和ΔAEP中 ∵∠ABC=∠AEP，∠BAC=∠EAP ∴ ∠ACB=∠APE 在ΔABC中，AB=BC ∴∠ACB=∠BAC ∴ ∠EPA=∠EAP

(2)答：□ APCD是矩形

∵四边形APCD是平行四边形 ∴ AC=2EA, PD=2EP ∵ 由（1）知 ∠EPA=∠EAP ∴ EA=EP 则 AC=PD

∴□APCD是矩形 (3)答： EM=EN

1

∵EA=EP ∴ ∠EPA=90°－ α

2

11

∴∠EAM=180°-∠EPA=180°-(90°- α)=90°+ α

22由（2）知∠CPB=90°,F是BC的中点，∴ FP=FB

∴∠FPB=∠ABC=α

11

∴ ∠EPN=∠EPA+∠APN=∠EPA+∠FPB=90°- α+α=90°+α

22∴ ∠EAM=∠EPN

∵ ∠AEP绕点E顺时针旋转适当的角度，得到∠MEN ∴ ∠AEP=∠MEN

∴∠AEP- ∠AEN=∠MEN-∠AEN 即 ∠MEA=∠NEP

∴ ΔEAM≌ΔEPN ∴ EM=EN

27．（2010 甘肃）(12分) 如图，抛物线与x轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点，与y

轴交于点C（0，－3），设抛物线的顶点为D．

（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标；

（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？

（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存

在，请指出符合条件的点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

用心 爱心 专心

【答案】解：（1）设该抛物线的解析式为y?ax2?bx?c，

由抛物线与y轴交于点C（0，－3）,可知c??3.

即抛物线的解析式为y?ax2?bx?3． ?????????1分

?a?b?3?0,?9a?3b?3?0.把A（－1，0）、B（3，0）代入, 得?解得a?1,b??2.

∴ 抛物线的解析式为y = x－2x－3． ?????????????????3分 ∴ 顶点D的坐标为?1,?4?. ????????????????????4分 说明：只要学生求对a?1,b??2，不写“抛物线的解析式为y = x－2x－3”不扣分. （2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形. ???????????5分 理由如下：

过点D分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F.

2

2

在Rt△BOC中，OB=3，OC=3，∴ BC2?18. ??????????6分

2在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF-OC=4-3=1，∴ CD在Rt△BDE中，DE=4，BE=OB-OE=3-1=2，∴ BD?2. ??????????7分 ?20. ??????????8分

2用心 爱心 专心

∴ BC2?CD22?BD， 故△BCD为直角三角形. ??????????9分

（3）连接AC，可知Rt△COA∽ Rt△BCD，得符合条件的点为O（0，0）． ???10分

过A作AP1⊥AC交y轴正半轴于P1，可知Rt△CAP1 ∽ Rt△COA∽ Rt△BCD，

求得符合条件的点为P1(0,)． ????????????????11分

31过C作CP2⊥AC交x轴正半轴于P2，可知Rt△P2CA∽ Rt△COA∽ Rt△BCD，

求得符合条件的点为P2（9，0）． ????????????????12分 ∴符合条件的点有三个：O（0，0），P1(0,)，P2（9，0）.

3128．（2010 福建莆田） 如图1，在Rt?ABC中，∠ACB=900 ,AC=6,BC=8,点D在边AB上运动，DE平分∠CDB交边BC于点E，EM?BD垂足为M，EN?CD垂足为N。

（1） 当AD=CD时，求证：DE∥AC；

（2） 探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？

（3） 探究：AD为何值时，四边形MEND与△BDE的面积相等？ 【答案】

用心 爱心 专心

用心 爱心 专心

用心 爱心 专心

29．（2010天门、潜江、仙桃）如图，平面直角坐标系中，点A、B、C在x轴上，点D、E在y轴上，OA=OD=2，OC=OE=4，DB⊥DC，直线AD与经过B、E、C三点的抛物线交于F、G两点，与其对称轴交于M.点P为线段FG上一个动点(与F、G不重合)，PQ∥y轴与抛物线交于点Q.

(1)求经过B、E、C三点的抛物线的解析式；

(2)是否存在点P，使得以P、Q、M为顶点的三角形与△AOD相似？若存在，求出满足条

件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)若抛物线的顶点为N，连接QN，探究四边形PMNQ的形状：①能否成为菱形；②能否

成为等腰梯形？若能，请直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由.

【答案】

（1）设函数解析式为y=a(x+2)(x-4)，则 a323(-4)=4，解得a=-12

12所以经过B、E、C三点的抛物线的解析式为y=-(2) y=-12(x+2)(x-4)=-

12x2+x+4.

x2+x+4=-

12（x-1）2+

92.

易知直线AD解析式为y=x+2，所以M（1，3），过点M作MR⊥PQ于点R，因为△AOD是等腰直角三角形，结合题意可知△MPQ是等腰直角三角形，设MN=m，则PQ=2m，所以P(1-m，

用心 爱心 专心

3-m)，Q(1-m，3+m)，所以

-12（1-m-1）2+

92=3+m，解得m1=1，m2=-3（不合题意，舍去）

此时P(0，2)

30．（2010年福建省泉州））我们容易发现：反比例函数的图象是一个中心对称图形.你

可以利用这一结论解决问题.

如图，在同一直角坐标系中，正比例函数的图象可以看作是：将x轴所在的直线绕着原点O逆时针旋转α度角后的图形.若它与反比例函数y?象限的点B、D，已知点A(?m,0)、C(m,0).

（1）直接判断并填写：不论α取何值，四边形ABCD的形状一定是 ; （2）①当点B为(p,1)时，四边形ABCD是矩形，试求p、α、和m有值；

②观察猜想：对①中的m值，能使四边形ABCD为矩形的点B共有几个？(不必

说理)

（3）试探究：四边形ABCD能不能是菱形？若能, 直接写出B点的坐标, 若不能, 说明理由.

3x的图象分别交于第一、三

用心 爱心 专心

【答案】解：（1）平行四边形 ????（3分）

（2）①∵点B(p,1)在y?3x的图象上，∴

1?3p

∴p?3????????????（4分）

过B作BE?x轴于E，则OE?在Rt?BOE中，tan??α=30° ∴OB?2

又∵点B、D是正比例函数与反比例函数图象的交点， ∴点B、D关于原点O成中心对称 ∴OB=OD=2

C(m,0)

BEOE13333，BE?1

??

???????????????????????（5分）

???????????????（6分）

∵四边形ABCD为矩形，且A(?m,0)

∴OA?OB?OC?OD?2?????????????????????（7分） ∴m?2；

???????????????????????（8分）

②能使四边形ABCD为矩形的点B共有2个； ????????????（9分） （3）四边形ABCD不能是菱形.

?????????????????（10分）

法一：∵点A、C的坐标分别为(?m,0)、(m,0) ∴四边形ABCD的对角线AC在x轴上.

又∵点B、D分别是正比例函数与反比例函数在第一、三象限的交点. ∴对角线AC与BD不可能垂直. ∴四边形ABCD不能是菱形

法二：若四边形ABCD为菱形，则对角线AC⊥BD，且AC与BD互相平分， 因为点A、C的坐标分别为（-m，0）、（m，0）

所以点A、C关于原点O对称，且AC在x轴上. ??????????????（11分）

用心 爱心 专心

所以BD应在y轴上，这与“点B、D分别在第一、三象限”矛盾，

所以四边形ABCD不可能为菱形. ????????????????????（12分） 31．（2010年福建省泉州）如图所示，已知抛物线y?14x?x?k的图象与y轴相交于点

2B(0,1)，点C(m,n)在该抛物线图象上，且以BC为直径的⊙M恰好经过顶点A.

（1）求k的值; （2）求点C的坐标；

（3）若点P的纵坐标为t，且点P在该抛物线的对称轴l上运动，试探索：

①当S1?S?S2时，求t的取值范围（其中：S为△PAB的面积，S1为△OAB的面积，S2为四边形OACB的面积）；

②当t取何值时，点P在⊙M上.（写出t的值即可）

【答案】解：（1）∵点B（0，1）在y?1?14?0?0?k??????（2分）

214x?x?k的图象上，∴

2∴k=1??????（3分） （2）由（1）知抛物线为：

y?14x?x?1即y?214(x?2)

2∴顶点A为（2，0） ????（4分） ∴OA=2，OB=1

过C（m，n）作CD⊥x轴于D，则CD=n，OD=m，∴AD=m-2 由已知得∠BAC=90° ???????（5分）

∴∠CAD+∠BAO=90°，又∠BAO+∠OBA=90°∴∠OBA=∠CAD ∴Rt△OAB∽Rt△DCA

用心 爱心 专心

∴

OAOB?CDADADOB?21CDOA?，即nm?21?n2(或tan∠OBA= tan∠CAD

，即m?2)?（6分）

∴n=2(m-2)；

14(x?2)上，∴n?22又点C（m,n）在y?∴2(m?2)?1414(m?2)

2(m?2)，即8(m?2)(m?10)?0

∴m=2或m=10；当m=2时，n=0, 当m=10时，n=16；???????（7分） ∴符合条件的点C的坐标为（2，0）或（10，16）?（8分） （3）①依题意得，点C（2，0）不符合条件，∴点C为（10，16） 此时S1?12OA?OB?1

S2?SBODC?S?ACD?21???????????? （9分）

又点P在函数y??∴S?1214(x?2)图象的对称轴x=2上，∴P（2,t），AP= 2t

OA?AP?AP= ???????????（10分） t

∵S1?S?S2

∴当t≥0时，S=t，∴1﹤t﹤21. ??????（11分） ∴当t﹤0时，S=-t，∴-21﹤t﹤-1

∴t的取值范围是：1﹤t﹤21或-21﹤t﹤-1 ????（12分） ②t=0，1，17. ??????????????（14分）

32．（2010湖南娄底）如图11，在梯形ABCD中，AB//CD,AB=2，DC=10，AD=BC=5，

点M、N分别在边AD、BC上运动，并保持MN//AB，ME?DC，NF?DC，垂足分别为E、F

(1) 求梯形ABCD的面积

(2) 探究一：四边形MNFE的面积有无最大值？若有，请求出这个最大值；若无，请

说明理由；

探究二：四边形MNFE能否为正方形？若能，请求出正方形的面积；若不能，请说明理由.

用心 爱心 专心

【答案】解：做AG⊥DC，BH⊥DC.（1）因为AB//DC,所以四边形AGHB是矩形，所以GH=AB=2，AG=BH.又因为AD=BC=5，所以Rt△ADG≌Rt△BCH，所以DG=CF.所以DG=（DC-GH）÷2=4.在Rt△ADG中，AG=AD?DG=3.所以梯形ABCD的面积是

DC?EF222(AB?CD)?AG2=18.

（2） 设MN=x，则EF=MN=x，所以DE==

10?x2.因为ME⊥DC，NF⊥DC，所以

10?xME//AG, ∠MED=∠AGD=90°，所以△DEM∽△DGA，所以所

以

ME=

3(10?x)8875838MEAG=

DEDG，所以

的

ME3=

24，是

，

x?2所

308以

38四

2边

758形MEFN面积

S=MN2ME=x2积的最大值是

3(10?x)=?=?(x?5)?.所以当x=5时，四边形MEFN的面

MEAG.（3）四边形MEFN能为正方形，且边长为x，则由（2）知道，=

DEDG，

10?x所以

x3=

24，所以x=

3011.此时四边形的面积是x?(23011)?2900121.

用心 爱心 专心

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