离散数学_屈婉玲_耿素云_张立昂_主编_课后答案_(高等教育出版社)

(?p→q)→(?q?p)

??(p?q)?(?q?p) ?(?p??q)?(?q?p)

?(?p?(?q?p))?(?q?(?q?p)) ?1?(p??q) ?(p??q) ? M1 ?∏(1) (2) 主合取范式为：

?(p→q)?q?r??(?p?q)?q?r ?(p??q)?q?r?0 所以该式为矛盾式.

主合取范式为∏(0,1,2,3,4,5,6,7) 矛盾式的主析取范式为 0 (3)主合取范式为：

(p?(q?r))→(p?q?r)

??(p?(q?r))→(p?q?r)

?(?p?(?q??r))?(p?q?r)

?(?p?(p?q?r))?((?q??r))?(p?q?r))

?1?1 ?1

所以该式为永真式.

永真式的主合取范式为 1

主析取范式为∑(0,1,2,3,4,5,6,7)

第三章部分课后习题参考答案

14. 在自然推理系统P中构造下面推理的证明： (2)前提：p?q,?(q?r),r 结论：?p

(4)前提：q?p,q?s,s?t,t?r

1

结论：p?q

证明：（2）

①?(q?r) 前提引入 ②?q??r ①置换

③q??r ②蕴含等值式 ④r 前提引入 ⑤?q ③④拒取式 ⑥p?q 前提引入 ⑦￢p（3） ⑤⑥拒取式

证明（4）：

①t?r 前提引入 ②t ①化简律 ③q?s 前提引入 ④s?t 前提引入

⑤q?t ③④等价三段论 ⑥（q?t）?(t?q) ⑤ 置换 ⑦（q?t） ⑥化简 ⑧q ②⑥ 假言推理 ⑨q?p 前提引入 ⑩p ⑧⑨假言推理 (11)p?q ⑧⑩合取

15在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理： (1)前提：p?(q?r),s?p,q 结论：s?r 证明

①s 附加前提引入 ②s?p 前提引入

2

③p ①②假言推理 ④p?(q?r) 前提引入 ⑤q?r ③④假言推理 ⑥q 前提引入 ⑦r ⑤⑥假言推理

16在自然推理系统P中用归谬法证明下面各推理：

(1)前提：p??q,?r?q,r??s 结论：?p 证明：

①p 结论的否定引入 ②p?﹁q 前提引入 ③﹁q ①②假言推理 ④￢r?q 前提引入 ⑤￢r ④化简律 ⑥r?￢s 前提引入 ⑦r ⑥化简律 ⑧r?﹁r ⑤⑦ 合取

由于最后一步r?﹁r 是矛盾式,所以推理正确.

第四章部分课后习题参考答案

3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值:

(1) 对于任意x,均有

2=(x+

)(x

).

(2) 存在x,使得x+5=9. 其中(a)个体域为自然数集合. (b)个体域为实数集合. 解：

F(x):

2=(x+

)(x

).

G(x): x+5=9.

(1)在两个个体域中都解释为?xF(x)，在（a）中为假命题，在(b)中为真命题。

3

(2)在两个个体域中都解释为?xG(x)，在（a）(b)中均为真命题。

4. 在一阶逻辑中将下列命题符号化: (1) 没有不能表示成分数的有理数. (2) 在北京卖菜的人不全是外地人. 解:

(1)F(x): x能表示成分数 H(x): x是有理数

命题符号化为: ??x(?F(x)?H(x)) (2)F(x): x是北京卖菜的人 H(x): x是外地人

命题符号化为: ??x(F(x)?H(x)) 5. 在一阶逻辑将下列命题符号化: (1) 火车都比轮船快.

(3) 不存在比所有火车都快的汽车. 解:

(1)F(x): x是火车; G(x): x是轮船; H(x,y): x比y快 命题符号化为: ?x?y((F(x)?G(y))?H(x,y))

(2) (1)F(x): x是火车; G(x): x是汽车; H(x,y): x比y快 命题符号化为: ??y(G(y)??x(F(x)?H(x,y))) 9.给定解释I如下:

(a) 个体域D为实数集合R. (b) D中特定元素=0.

(c) 特定函数(x,y)=xy,x,y?D.

(d) 特定谓词(x,y):x=y,(x,y):x

答:(1) 对于任意两个实数x,y,如果x

(2) 对于任意两个实数x,y,如果x-y=0, 那么x

4

10. 给定解释I如下：

（a） 个体域D=N(N为自然数集合). （b） D中特定元素=2. （c） D上函数

=x+y,(x,y)=xy.

（d） D上谓词(x,y):x=y.

说明下列各式在I下的含义，并讨论其真值. (1) xF(g(x,a),x)

(2) xy(F(f(x,a),y)→F(f(y,a),x)

答:(1) 对于任意自然数x, 都有2x=x, 真值0.

(2) 对于任意两个自然数x,y,使得如果x+2=y, 那么y+2=x. 真值0.

11. 判断下列各式的类型:

(1) (3)

yF(x,y).

解:(1)因为 p?(q?p)??p?(?q?p)?1 为永真式； 所以

为永真式；

(3)取解释I个体域为全体实数 F(x,y)：x+y=5

所以,前件为任意实数x存在实数y使x+y=5，前件真； 后件为存在实数x对任意实数y都有x+y=5，后件假，] 此时为假命题

再取解释I个体域为自然数N， F(x,y)：:x+y=5

所以,前件为任意自然数x存在自然数y使x+y=5，前件假。此时为假命题。

此公式为非永真式的可满足式。 13. 给定下列各公式一个成真的解释，一个成假的解释。

(1) (F(x)

(2) x(F(x)G(x)H(x)) 解:(1)个体域:本班同学

F(x)：x会吃饭, G(x)：x会睡觉.成真解释

F(x)：x是泰安人,G(x)：x是济南人.（2）成假解释

5

(2)个体域:泰山学院的学生

F(x)：x出生在山东,G(x):x出生在北京,H(x):x出生在江苏,成假解释. F(x)：x会吃饭,G(x)：x会睡觉,H(x)：x会呼吸. 成真解释.

第五章部分课后习题参考答案

5.给定解释Ｉ如下: (a)个体域D={3,4}; (b)f(x)为f(3)?4,f(4)?3

(c)F(x,y)为F(3,3)?F(4,4)?0,F(3,4)?F(4,3)?1. 试求下列公式在Ｉ下的真值. (1)?x?yF(x,y)

(3)?x?y(F(x,y)?F(f(x),f(y))) 解:(1) ?x?yF(x,y)??x(F(x,3)?F(x,4))

? (F(3,3)?F(3,4))?(F(4,3)?F(4,4)) ?(0?1)?(1?0)?1

(2) ?x?y(F(x,y)?F(f(x),f(y)))

??x((F(x,3)?F(f(x),f(3)))?(F(x,4)?F(f(x),f(4))))

??x((F(x,3)?F(f(x),4))?(F(x,4)?F(f(x),3))) ?((F(3,3)?F(f(3),4))?(F(3,4)?F(f(3),3)))

?((F(4,3)?F(f(4),4))?(F(4,4)?F(f(4),3)))

?((0?F(4,4))?(F(3,4)?F(4,3)))?((1?F(3,4))?(0?F(3,3)))

?(0?0)?(1?1)?(1?1)?(0?0)?1

12.求下列各式的前束范式。

(1)?xF(x)??yG(x,y)

(5)?x1F(x1,x2)?(H(x1)???x2G(x1,x2)) (本题课本上有错误) 解:(1) ?xF(x)??yG(x,y)??xF(x)??yG(t,y)??x?y(F(x)?G(t,y)) (5) ?x1F(x1,x2)?(H(x1)???x2G(x1,x2))

6

??x1F(x1,x2)?(H(x3)??x2?G(x3,x2)) ??x1F(x1,x4)??x2(H(x3)??G(x3,x2)) ??x1?x2(F(x1,x4)?(H(x3)??G(x3,x2)))

15.在自然数推理系统F中,构造下面推理的证明:

(1) 前提: ?xF(x)??y((F(y)?G(y))?R(y)),?xF(x)

结论: ?xR(x)

(2) 前提: ?x(F(x)→(G(a)∧R(x))), xF(x) 结论:x(F(x)∧R(x)) 证明(1)

①?xF(x) 前提引入 ②F(c) ①EI

③?xF(x)??y((F(y)?G(y))?R(y)) 前提引入 ④?y((F(y)?G(y))?R(y)) ①③假言推理 ⑤(F(c)∨G(c))→R(c)) ④UI ⑥F(c)∨G(c) ②附加 ⑦R(c) ⑤⑥假言推理 ⑧?xR(x) ⑦EG (2)

①?xF(x) 前提引入 ②F(c) ①EI

③?x(F(x)→(G(a)∧R(x))) 前提引入 ④F(c)→(G(a)∧R(c)) ③UI ⑤G(a)∧R(c) ②④假言推理 ⑥R(c) ⑤化简 ⑦F(c)∧R(c) ②⑥合取引入 ⑧?x(F(x)∧R(x)) ⑦EG

第六章部分课后习题参考答案

5.确定下列命题是否为真：

7

（1）??? 真 （2）??? 假 （3）??{?}

真

（4）??{?} 真 （5）｛a,b｝?｛a,b,c,｛a,b,c｝｝ 真 （6）｛a,b｝?｛a,b,c,｛a,b｝｝ 真 （7）｛a,b｝?｛a,b,｛｛a,b｝｝｝ 真 （8）｛a,b｝?｛a,b,｛｛a,b｝｝｝ 假

6．设a,b,c各不相同，判断下述等式中哪个等式为真: （1）｛｛a,b｝，c,?｝ =｛｛a,b｝,c｝ 假 （2）｛a ,b,a｝=｛a,b｝ 真 （3）｛｛a｝，{b}｝=｛｛a,b｝｝ 假 （4）｛?，｛?｝，a,b｝=｛｛?,｛?｝｝,a,b｝ 假 8．求下列集合的幂集：

（1）｛a,b,c｝ P(A)={ ?,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}} （2）｛1，｛2，3｝｝ P(A)={ ?, {1}, {{2,3}}, {1，{2，3}} } （3）｛?｝ P(A)={ ?, ｛?｝ }

（4）｛?，｛?｝｝ P(A)={ ?, {1}, {{2,3}}, {1，{2，3}} } 14．化简下列集合表达式： （1）（A?B）?B ）-（A?B） （2）（（A?B?C）-（B?C））?A 解:

(1)（A?B）?B ）-（A?B）=（A?B）?B ）?～（A?B）

=（A?B）?～（A?B）)?B=??B=?

（2）（（A?B?C）-（B?C））?A=（（A?B?C）?～（B?C））?A =（A?～（B?C））?（（B?C ）?～（B?C））?A =（A?～（B?C））???A=（A?～（B?C））?A=A

18．某班有25个学生，其中14人会打篮球，12人会打排球，6人会打篮球和排球，5人会打篮球和网球，还有2人会打这三种球。已知6个会打网球的人都会打篮球或排球。

8

求不会打球的人数。

解: 阿A={会打篮球的人}，B={会打排球的人}，C={会打的人}

|A|=14, |B|=12, |A?B|=6,|A?C|=5,| A?B?C|=2, |C|=6,C?A?B 如图所示。

25-(5+4+2+3)-5-1=25-14-5-1=5 不会打球的人共5人

21.设集合A＝{{1，2}，{2，3}，{1，3},{?}},计算下列表达式： （1）?A （2）?A （3）??A （4）??A 解:

（1）?A={1，2}?{2，3}?{1，3}?{?}={1，2，3,?}

（2）?A={1，2}?{2，3}?{1，3}?{?}=?

（3）??A=1?2?3??=?

（4）??A=?27、设A,B,C是任意集合，证明 (1)(A-B)-C=A- B?C (2)(A-B)-C=(A-C)-(B-C) 证明

(1) (A-B)-C=(A?～B) ?～C= A?( ～B?～C)= A?～(B?C) =A- B?C (2) (A-C)-(B-C)=(A?～C) ?～(B ?～C)= (A?～C) ?(～B?C)

=(A?～C?～B) ? (A?～C?C)= (A?～C?～B) ?? = A?～(B?C) =A- B?C 由（1）得证。

网球

第七章部分课后习题参考答案

7.列出集合A={2,3,4}上的恒等关系I A,全域关系EA,小于或等于关系LA,整除关系DA.

9

解：IA ={<2，2>,<3,3>,<4,4>}

EA={<2,2>,<2,3>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<3,2>,<3,3>,<4,2>,<4,3>}

LA={<2,2>,<2,3>,<2,4>,<3,3>,<3,4>,<4,4>} DA={<2,4>}

13.设A={<1,2>,<2,4>,<3,3>} B={<1,3>,<2,4>,<4,2>}

求A?B,A?B, domA, domB, dom(A?B), ranA, ranB, ran(A?B ), fld(A-B). 解：A?B={<1,2>,<2,4>,<3,3>,<1,3>,<4,2>} A?B={<2,4>}

domA={1,2,3} domB={1,2,4} dom(A∨B)={1,2,3,4}

ranA={2,3,4} ranB={2,3,4} ran(A?B)={4}

A-B={<1,2>,<3,3>}，fld(A-B)={1,2,3} 14.设R={<0,1><0,2>,<0,3>,<1,2>,<1,3>,<2,3>}

求R?R, R-1, R?{0,1,}, R[{1,2}] 解：R?R={<0,2>,<0,3>,<1,3>}

R-1,={<1,0>,<2,0>,<3,0>,<2,1>,<3,1>,<3,2>}

R?{0,1}={<0,1>,<0,2>,<0,3>,<1,2>,<1,3>} R[{1,2}]=ran(R|{1,2})={2,3}

16．设A={a,b,c,d}，R1，R2为A上的关系，其中

R1=?a,a,a,b,b,d?

R2??a,d,b,c,b,d,c,b23求R1?R2,R2?R1,R1,R2。

?

解: R1?R2={,,} R2?R1={}

10

R12=R1?R1={,,} R22=R2?R2={,,} R23=R2?R22={,,}

36．设A={1，2，3，4}，在A?A上定义二元关系R，

?,?A?A ，〈u,v> R ?u + y = x + v. (1)证明R 是A?A上的等价关系. (2)确定由R 引起的对A?A的划分. （1）证明：∵R ?u+y=x-y

∴R?u-v=x-y

??A?A

∵u-v=u-v ∴R ∴R是自反的

任意的,∈A×A 如果R ，那么u-v=x-y ∴x-y=u-v ∴R ∴R是对称的

任意的,,∈A×A 若R,R 则u-v=x-y,x-y=a-b ∴u-v=a-b ∴R ∴R是传递的 ∴R是A×A上的等价关系

(2) ∏={{<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>}, {<2,1>,<3,2>,<4,3>}, {<3,1>,<4,2>}, {<4,1>}, {<1,2>,<2,3>,<3,4>}, {<1,3>,<2,4>}, {<1,4>} }

41.设A={1，2，3，4}，R为A?A上的二元关系, ?〈a，b〉，〈c，d〉? A?A , 〈a，b〉R〈c，d〉?a + b = c + d (1) 证明R为等价关系.

11

(2)求R导出的划分. (1)证明：?

a+b=a+b ∴R ∴R是自反的

任意的,∈A×A 设R，则a+b=c+d ∴c+d=a+b ∴R ∴R是对称的

任意的,,∈A×A 若R,R 则a+b=c+d,c+d=x+y ∴a+b=x+y ∴R ∴R是传递的

∴R是 A×A上的等价关系

(2)∏={{<1,1>}, {<1,2>,<2,1>}, {<1,3>,<2,2>,<3,1>}, {<1,4>,<4,1>,<2,3>,<3,2>}, {<2,4>,<4,2>,<3,3>}, {<3,4>,<4,3>}, {<4,4>}}

43. 对于下列集合与整除关系画出哈斯图:

(1) {1,2,3,4,6,8,12,24}

(2) {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} 解:

24884211263126319511

107

42 (1) (2)

45.下图是两个偏序集的哈斯图.分别写出集合A和偏序关系R?的集合表达式.

12

debafc

gbcfdeag

(a) (b) 解: (a)A={a,b,c,d,e,f,g}

R?={,,,,,,,,,}?IA

(b) A={a,b,c,d,e,f,g}

R?={,,,,,,}?IA

46.分别画出下列各偏序集的哈斯图,并找出A的极大元`极小元`最大元和最小元.

(1)A={a,b,c,d,e}

R?={,,,,,,}?IA. (2)A={a,b,c,d,e}, R?={}?IA. 解:

edbcadeabc

(1) (2)

项目 (1) (2) 极大元: e a,b,d,e 极小元: a a,b,c,e 最大元: e 无 最小元: a 无

第八章部分课后习题参考答案

13

1．设f :N?N,且

?1，若x为奇数? f (x)=?x

若x为偶数?2，?求f (0), f ({0}), f (1), f ({1}), f ({0,2,4,6,…})，f ({4,6,8}), f -1({3,5,7}). 解：f (0)=0, f ({0})={0}, f (1)=1, f ({1})={1},

f ({0,2,4,6,…})=N，f ({4,6,8})={2,3,4}, f -1 ({3,5,7})={6,10,14}. 4. 判断下列函数中哪些是满射的?哪些是单射的?哪些是双射的? (1) f:N?N, f(x)=x2+2 不是满射，不是单射

(2) f:N?N,f(x)=(x)mod 3,x除以3的余数 不是满射，不是单射

?1，若x为奇数 (3) f:N?N,f(x)=? 不是满射，不是单射

?0，若x为偶数

?0，若x为奇数 (4) f:N?{0,1},f(x)=? 是满射，不是单射

?1，若x为偶数

(5) f:N-{0}?R,f(x)=lgx 不是满射，是单射 (6) f:R?R,f(x)=x2-2x-15 不是满射，不是单射

5. 设X={a,b,c,d},Y={1,2,3},f={,,,}判断以下命题的真假: (1)f是从X到Y的二元关系,但不是从X到Y的函数; 对 (2)f是从X到Y的函数,但不是满射,也不是单射的; 错 (3)f是从X到Y的满射,但不是单射; 错 (4)f是从X到Y的双射. 错

第十章部分课后习题参考答案

4．判断下列集合对所给的二元运算是否封闭： （1） 整数集合Z和普通的减法运算。

封闭,不满足交换律和结合律，无零元和单位元 （2） 非零整数集合

普通的除法运算。不封闭

（R）和矩阵加法及乘法运算，其中n2。

14

（3） 全体n?n实矩阵集合

封闭 均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律； 加法单位元是零矩阵，无零元；

乘法单位元是单位矩阵，零元是零矩阵；

（4）全体n?n实可逆矩阵集合关于矩阵加法及乘法运算，其中n2。不封闭 （5）正实数集合

和运算，其中运算定义为：

不封闭 因为 1?1?1?1?1?1??1?R? （6）n关于普通的加法和乘法运算。

封闭，均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律 加法单位元是0，无零元；

乘法无单位元（n?1），零元是0；n?1单位元是1 （7）A = {a1,a2,?,an} n

运算定义如下：

封闭 不满足交换律，满足结合律， （8）S =

关于普通的加法和乘法运算。

封闭 均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律 （9）S = {0,1},S是关于普通的加法和乘法运算。 加法不封闭，乘法封闭；乘法满足交换律，结合律 （10）S =

,S关于普通的加法和乘法运算。

加法不封闭，乘法封闭，乘法满足交换律，结合律

5．对于上题中封闭的二元运算判断是否适合交换律，结合律，分配律。 见上题

7．设 * 为Z?上的二元运算?x,y?Z?，

X * Y = min ( x，y ),即x和y之中较小的数.

(1)求4 * 6，7 * 3。 4, 3

(2)* 在Z上是否适合交换律，结合律，和幂等律？ 满足交换律，结合律，和幂等律

(3)求*运算的单位元，零元及Z?中所有可逆元素的逆元。

? 15

解：e是环

23、已知n阶m条的无向图 G是k(k≥2)棵树组成的森林，证明：m = n-k.；

证明：数学归纳法。k=1时, m = n-1，结论成立；

设k=t-1(t-1?1)时，结论成立，当k=t时, 无向图 G是t棵树组成的森林,任取两棵树，每棵树任取一个顶点，这两个顶点连线。则所得新图有t-1棵树，所以m = n-（k-1）.

所以原图中m = n-k 得证。

24、在图16.6所示2图中，实边所示的生成子图T是该图的生成树.

(1)指出T的弦，及每条弦对应的基本回路和对应T的基本回路系统.

(2) 指出T的所有树枝， 及每条树枝对应的基本割集和对应T的基本割集系统.

(a) (b) 图16.16 解：(a)T的弦：c,d,g,h

T的基本回路系统: S={{a,c,b},{a,b,f,d},{e,a,b,h},{e,a,b,f,g}} T的所有树枝: e,a,b,f

T的基本割集系统: S={{e,g,h},{a,c,d,g,h},{b,c,d,g,h},{f,d,g}} (b)有关问题仿照给出

25、求图16.17所示带权图中的最小生成树.

(a) (b)

图16.17

解：

26

注：答案不唯一。

37、画一棵权为3，4，5，6，7，8，9的最优2叉树，并计算出它的权.

38.下面给出的各符号串集合哪些是前缀码? A1={0，10，110，1111} 是前缀码 A2={1，01，001，000} 是前缀码 A3={1，11，101，001，0011} 不是前缀码 A4={b，c，aa，ac，aba，abb，abc} 是前缀码 A5={ b，c，a，aa，ac，abc，abb，aba} 不是前缀码 41.设7个字母在通信中出现的频率如下: a: 35% b: 20% c: 15% d: 10% e: 10% f: 5% g: 5%

用Huffman算法求传输它们的前缀码.要求画出最优树，指出每个字母对应的编码.并指出传输10n(n≥2)个按上述频率出现的字母，需要多少个二进制数字.

解：

27

a:01 b:10 c:000 d:110 e:001 f:1111 g:1110 W(T)=5*4+5*4+10*3+10*3+15*3+20*2+35*2=255

传输10n(n≥2)个按上述频率出现的字母，需要255*10n-2个二进制数字.

28

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/u5d6.html