概率论与数理统计期末复习试题一

概率论与数理统计期末复习试题一

一．（本题满分35分，共有5道小题，每道小题7分）． 1．掷2颗均匀的骰子，令：

，B 两颗骰子出现的点数之和为7 ． A 第一颗骰子出现4点

⑴ 试求P A ，P B ，P AB ；⑵ 判断随机事件A与B是否相互独立？ 解：

⑴ 掷2颗骰子，共有6 36种情况（样本点总数）．

2

61

． 36661 ． B事件含有6个样本点，故P B

366

1

AB事件含有1个样本点，故P AB ．

36

111

P A P B ，所以随机事件A与B相互独立． ⑵ 由于P AB

3666

A事件含有6个样本点，故P A 2．设连续型随机变量X的密度函数为

cx xf x 2

2 0

求：⑴ 常数c；⑵ 概率P 2 X 6 ． 解：

0 x 33 x 4， 其它

⑴ 由密度函数的性质

f x dx 1，得

3

4

1

f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx

3

4

3

4

x

0dx cxdx 2 dx 0dx

2 03 4

c2x 97 91 x 2x c 2 c 20 42424 3

1

．即随机变量X的密度函数为 6

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3

2

4

所以，得c

x 6 x f x 2

2 0

⑵ P 2 X 6

3

4

6

3

4

0 x 33 x 4． 其它

6

f x dx f x dx f x dx f x dx

2

2

3

4

6

xx

dx 2 dx 0dx

62 23 4

xx 512

2x ． 122 4 31243

23

2

4

3．设随机变量X和Y的数学期望分别是 2和2，方差分别是1和4，而相关系数为 0.5． ⑴ 求E X Y 及D X Y ；⑵ 试用切比雪夫（Chebyshev）不等式估计概率PX Y 6． 解：

⑴ 令Z X Y，则有

E Z E X Y E X E Y 2 2 0 D Z D X Y D X D Y 2cov X，Y D X D Y 2DXDY X，Y 1 4 2 4 0.5 3 ⑵ 根据切比雪夫不等式，有

PX Y 6 PZ 6 PZ E Z 6

D Z 31

． 361262

4．在总体X~N52，6.3中随机抽取一个容量为36的样本，求P50.8 53.8． （附，标准正态分布N 0，1 的分布函数 x 的部分值：

2

解：

6.32

由于总体X~N 52，6.3 ，而且样本量n 36，所以~N 52，36 ．

2

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50.8 52 5253.8 52

所以，P 50.8 53.8 P

666

53.8 52 50.8 52

1.71 1.14 6.36.3

66

1.71 1.14 1 0.9564 0.8729 1 0.8293． 5．设总体X~N

, 2 ，其中且 与 2都未知， ， 2 0．现从总体X中抽取容

量n 16的样本观测值 x1，x2， ，x16 ，算出

x

i 1

16

i

8060， xi2 4060802．试在置信水平

i 1

16

1 0.95下，求 的置信区间．

（已知：t0.05 15 1.7531，t0.05 16 1.7459，t0.025 15 2.1315，t0.025 16 2.1199）． 解：

由于正态总体N

, 2 中期望 与方差 2都未知，所以所求置信区间为

SS

nt n 1 , nt n 1 ．

22

由 0.05，n 16，得

2

0.025．查表，得t0.025 15 2.1315．

116

由样本观测值，得 xi 503.75，

16i 1

1161 16222 x x n s 6.2022． i i15i 115 i 1

所以，

s6.2022t n 1 503.75 2.1315 500.445， n2s6.2022t n 1 503.75 2.1315 507.055， n2

,因此所求置信区间为 500.445507.055 ．

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二．（本题满分45分，共有5道小题，每道小题9分）．

6．甲、乙、丙三人独立地破译一份密码．已知甲、乙、丙三人能译出的概率分别为

111

、、． 534

⑴ 求密码能被破译的概率．⑵ 已知密码已经被破译，求破译密码的人恰是甲、乙、丙三人中的一个人的概率． 解：

⑴ 设A 甲破译出密码，B 乙破译出密码，C 丙破译出密码． D 密码被破译． 则D A B C，因此，

P D P A B C 1 PA B C 1 P 1 PPP 1

42323 1 ． 53455

⑵ D1 破译密码的人恰是甲、乙、丙三人中的一个人，则 D1 A B C，所以

P D1 PA B PA PB PC P A PP PP B P PPP C

12341342111213

5345345341051530

13

P D1D P D1 13

注意到D1 D，所求概率为P D1D ．

18PDPD5

7．某学生参加一项考试，他可以决定聘请5名或者7名考官．各位考官独立地对他的成绩做出判断，并且每位考官判断他通过考试的概率均为0.3，如果至少有3位考官判断他通过，他便通过该考试．试问该考生聘请5名还是7名考官，能使得他通过考试的概率较大？ 解：

试，则P A 0.3． 设A 一位考官判断他通过考

B 该考生通过考试．

由于各位考官独立地对他的成绩做出判断，因此考生聘请n位考官，相当于做一个n重Bernoulli试

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验．令X表示判断他通过考试的考试人数，则X~B n,

k

P X k Cn 0.3k 0.7n k， k 0,1, ,

0.3 ，因此 n ．

⑴ 若考生聘请5位考官，相当于做一个5重Bernoulli试验．所以， P B P X 3 P X 3 P X 4 P X 5

345 C5 0.33 0.72 C5 0.34 0.71 C5 0.35 0.70 0.16308．

⑵ 若考生聘请7位考官，相当于做一个7重Bernoulli试验．所以， P B P X 3 1 P X 3 1

P X k

k 0

2

012 1 C7． 0.30 0.77 C7 0.31 0.76 C7 0.32 0.75 0.3529305

所以聘请7位考官，可以使该考生通过考试的概率较大． 8．设二维随机变量 X,Y 的联合密度函数为

212

xyx2 y 1

f x，y 4

其它 0

⑴．求E X ，E Y 及E XY ； ⑵．分别求出求X与Y的边缘密度函数；

⑶．判断随机变量X与Y是否相关？是否相互独立？ 解： ⑴．E X

xf x,

2121

y dxdy dx x3ydy x3 1 x4 dx 0

4 1x28 1

1

1

1

1

111

E Y

yf x,

21777

y dxdy dx x2y2dy x2 1 x6 dx x2 1 x6 dx

4 1x24 1209217

y dxdy dx x3y2dy x3 1 x6 dx 0

4 1x24 1

1

1

1

E XY

xyf x,

⑵．当 1 x 1时，

2122124

fX x f x，y dy xydy x1 x 4x28

所以，随机变量X的边缘密度函数为

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1

212

x 1 x4 1 x 1

fX x 8 ；

0其它

当0 y 1时，

5

2173722

fY x f x，y dx xydx yx y 4 y220

所以，随机变量X的边缘密度函数为

5

72

fY y 2y

0

0 y 1 其它

⑶．由于cov X,Y E XY E X E Y 0，所以X与Y不相关． f x,

y fX x fY y ，所以X与Y不独立．

9．某快餐店出售四种快餐套餐，这四种快餐套餐的价格分别为6元、10元、15元和18元．并且这4种快餐套餐售出的概率分别为0.2、0.45、0.25和0.1．若某天该快餐店售出套餐500份，试用中心极限定理计算：⑴ 该快餐店这天收入至少为5500元的概率．⑵ 15元套餐至少售出140份的概率． （附，标准正态分布N 0，1 的分布函数 x 的部分值：

解：

⑴ 设X表示售出一份套餐的收入，则X的分布律为

则 E X 6 0.2 10 0.45 15 0.25 18 0.1 11.25， EX

6

2

2

0.2 102 0.45 152 0.25 182 0.1 140.85，

2

D X EX2 E X 140.85 11.252 14.2875． 令Xi表示出售的第i套快餐套餐的收入， i 1,且Xi i 1,

2, ,500 ．则X1,X2, ,X500独立同分布，

2, ,500 的分布都与X的分布相同．则

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500

X 11.25 500 i 5500 11.25 500 500 i 1

P Xi 5500 P

500 14.2875 i 1 500 14.2875

500

X 11.25 500 i i 1

1 P 1.48 1 1.48 1.48 0.9306

500 14.2875

⑵ 设Y表示售出的500份套餐中15套餐的份数，则Y~B 500, P Y 140 P

0.25 ．则

140 500 0.25 Y 500 0.25

500 0.25 0.75 0.25 0.75

1 P

Y 500 0.25

1.55 1 1.55 1 0.9394 0.0606．

0.25 0.75

2

10.设总体X的二阶矩存在，记E X ，D X 2，且 与 都未知， ，

2 0． X1，X2， ，Xn 是从总体X中抽取的一个样本，求 与 2的矩估计量．

解：

记 k EXk k 1,

2 ．则有

1

， 22

2 1

1n1n2

将 1与 2分别用样本 X1，X2， ，Xn 的样本均值 Xi与样本的二阶原点矩A2 Xi

ni 1ni 1

来替换，得到 与 的矩估计量为

2

，

A2

2

2

1n21n22

Xi Xi B2． ni 1ni 1

10．设总体X~N0,

2

2 ， X1,X2, ,Xn 是取自该总体中的一个样本．

⑴ 求 的极大似然估计量；⑵ 求p P X 1 的极大似然估计量． 解：

⑴. 总体X的密度函数为

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f x 2

所以似然函数为

12 2

x2

exp 2 x ．

2

L

2

2

n2 2

1n2

exp 2 xi xi ,i 1,2, ,n

2 i 1

所以，取对数，得

nn1

lnL ln 2 ln 2

222 2

2

x

i 1

n

2

i

xi ,i 1,

2, ,n

所以，

dd 2d

n11

lnL

2 22 4

22

1 1n2

x 2 n 2 xi 2 i 1 i 1

2i

n

解方程

d 21n21 1n2 2

lnL 2 n 2 xi 0，得 xi，所以 2的极大似然估计量为

ni 12 i 1

1n2

Xi．

ni 1

2

⑵ 由于 P X 1 P

X1 1

，并且 2的极大似然估计量为

1n2

Xi．

ni 1

2

又函数 2具有单值反函数，因此 的极大似然估计量为

1n2

Xi．

ni 1

又函数

1

具有单值反函数，因此 的极大似然估计量为

1 n

1 Xi2 n

i 1

．

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三．（本题满分20分，共有2道小题，每道小题10分）．

11．设随机变量 与 相互独立，且服从同一分布． 的分布律为

P i

又设X max , ，Y min , ．

1

i 1,2,3 ． 3

⑴ 求出二维随机变量 X,Y 的联合分布律及随机变量X及Y各自的边缘分布律；⑵ 求E X 、

E Y 及E XY ．

解：

⑴ 由 与 的取值都是1,

2,3，可知X max , 与Y min , 的取值也是1,2,3．

1, 1 P 1 P 1 P X 1,Y 1 P

P X 1,Y 2 P 0； P X 1,Y 3 P 0；

P X 2,Y 1 P 1, 2 P 2, 1

111

； 339

11112 ； 33339

111

2, 2 P 2 P 2 ； P X 2,Y 2 P

339

1 P 2 P 2 P 1 P

P X 2,Y 3 P 0；

P X 3,Y 1 P 3, 1 P 1, 3

3 P 1 P 1 P 3 P

11112

； 33339

P X 3,Y 2 P 3, 2 P 2, 3

11112

； 33339

111

3, 3 P 3 P 3 ； P X 3,Y 3 P

339

3 P 2 P 2 P 3 P

因此二维随机变量 X,Y 的联合分布律及X的边缘分布律为

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⑵ E X 1 2 3 ，E Y 1 2 3 ，

99999999122121

E XY 1 2 3 4 6 9 4．

999999

12．设总体X的数学期望为 ，方差为

2

0，现从中分别抽取容量为n1与n2的两个独立样本，这两

个样本的样本均值分别为1与2．证明：对于满足a b 1的任何常数a及b，Y a1 b2是 的无偏估计，并确定常数a及b，使得Y a1 b2的方差达到最小． 解：

由样本均值的数学期望的性质，得

E Y Ea1 b2 aE1 bE2 aEX bEX a b 所以，Y a1 b2是 的无偏估计． 又由于 D1

2

n1

，D2

2

n2

．

2

所以，D Y Da1 b2 aD1 bD2

2

a2b2 2

a b n1n2 nn2 1

2

2

2 2

a2b2 下面求二元函数g a，b 在条件a b 1下的最小值．由Lagrange乘数法，令

n1n2

a2b2L a b 1 ，

n1n2

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L2a

a n 0

1

L2b则有， 0 ，解此方程组，得

bn2

L a b 1 0

a

n1n2

， b

n1 n2n1 n2

即当a

n1n2

，b 时，Y a1 b2的方差达到最小．

n1 n2n1 n2

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